D1.5 Déterminer l’incidence de l’ajout ou de la suppression de données sur les mesures de tendances centrales et décrire comment ces changements modifient la représentation et la distribution des données.
ACTIVITÉ 1 : MÉDIANE ET MOYENNE
Proposer aux élèves les idées ci-dessous et les laisser les explorer en équipes de deux. Par la suite, jumeler les équipes afin qu’elles présentent leurs constats. Animer un échange mathématique afin de faire une mise en commun.
- Même si un grand nombre fait partie de l’ensemble des données, cela n’affectera pas la médiane. En montrer un exemple.
- Est-ce que cela serait le cas pour la moyenne? Pourquoi?
Source : Making Math Meaningful, Marian Small, p. 575.
ACTIVITÉ 2 : MOYENNE
Demander aux élèves d’inventer une moyenne pour une situation donnée, puis d’imaginer les données de la série pour aboutir à cette moyenne.
Exemple
Proposer aux élèves la mise en situation suivante :
Au tournoi de hockey, six amies et amis ont compté une moyenne de quatre buts. Quel peut être le nombre de buts comptés par chaque amie et ami? Expliquez votre série de nombres et comparez-la avec celle d’un pair.
Animer un échange mathématique pour faire ressortir les différentes stratégies des élèves et faire une mise en commun de leurs apprentissages.
Ce genre d’exercice va aider les élèves à comprendre ce que représente une moyenne. Il est révélateur de leur compréhension du concept.
Variante : Intégrer la moyenne aux leçons sur les nombres décimaux en remplaçant 4 buts par 4,5 buts, par exemple.
Source : L'@telier - Ressources pédagogiques en ligne (atelier.on.ca).
Explorer et discuter avec les élèves de l’effet d’ajouter une donnée (ajout de buts comptés) telle que 10, 1 ou 4, et de la façon dont cet ajout aurait une incidence sur la représentation graphique des données.
ACTIVITÉ 3 : MOYENNE
Demander aux élèves de créer deux ensembles de données ayant la même moyenne : l’un avec toutes les valeurs proches de la moyenne et l’autre avec toutes les valeurs éloignées de la moyenne.
Exemple : 4, 5, 6 vs 1, 5, 9
Quel ensemble la moyenne décrit-elle le mieux? Pourquoi?
L’ensemble dont les valeurs sont proches de la moyenne; si vous utilisiez la moyenne pour l’autre ensemble, elle ne vous indiquerait pas les valeurs les plus élevées et les plus faibles de l’ensemble.
Source : Making Math Meaningful, Marian Small, p. 575.
ACTIVITÉ 4 : MÉDIANE ET MOYENNE
Nombre d’élèves dans les groupes
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Groupe A |
Groupe B |
Groupe C |
Groupe D |
Groupe E |
Groupe F |
|---|---|---|---|---|---|
|
3 |
5 |
4 |
7 |
5 |
6 |
- La moyenne d’élèves dans les six groupes est 5. Faire un « pense-parle-partage » en demandant aux élèves ce que signifie le nombre 5, soit la moyenne.
Les élèves peuvent constater que, si l’on met toutes les valeurs des groupes ensemble et que l’on divise équitablement le total en 6, cela nous donne une moyenne de 5 élèves. On peut dire aussi que 5 ne signifie pas nécessairement 5 élèves dans chaque groupe. Il est possible qu’il y ait des groupes avec plus ou moins d’élèves.
- La médiane de cet ensemble est de 5,5. Faire un autre « pense-parle-partage » en demandant aux élèves ce que signifie le nombre 5,5, soit la médiane.
- La moyenne de 5 représente-t-elle de façon appropriée le nombre d’élèves dans les groupes?
Oui, car il y a peu de groupes qui ont un peu plus ou un peu moins de 5 élèves. Deux groupes ont 5 élèves.
- La médiane de 5,5 représente-t-elle de façon appropriée le nombre d’élèves dans les groupes?
Oui, car il y a peu de groupes qui ont un peu plus ou un peu moins de 5,5 élèves. Deux groupes ont 5 élèves.
- Si l’on ajoutait un groupe de 30 élèves? Si on enlevait le groupe A, B ou D, quelle incidence cela aurait-il sur la moyenne? sur la médiane? sur la représentation graphique? Pourquoi?
Concernant la médiane, si l’on ajoutait un groupe de 30 élèves, cela n’aurait pas une grande incidence, puisqu’elle serait de 5 au lieu de 5,5. Cependant, en ce qui concerne la moyenne, elle changerait à 10 au lieu de 5. La moyenne de 10 ne serait plus représentative du nombre d’élèves dans les groupes.
Faire ressortir qu’en ajoutant une donnée (ou deux données) dans un ensemble d’une valeur extrême la médiane est une mesure de tendance centrale particulièrement valable, car ces valeurs extrêmes n’ont pas d’incidence sur sa valeur. Toutefois, ce n’est pas le cas avec la moyenne. Discuter de ce constat avec les élèves afin de faire ressortir ce que représentent la médiane et la moyenne.
Source : adapté de Making Math Meaningful, Marian Small, p. 575.
ACTIVITÉ 5 : MODE, MÉDIANE ET MOYENNE
Présenter aux élèves l’ensemble des données suivantes :
Nombre de minutes d’exercice dans une journée
|
Élève A |
Élève B |
Élève C |
Élève D |
Élève E |
Élève F |
|---|---|---|---|---|---|
|
90 |
90 |
90 |
90 |
90 |
30 |
- Quelle mesure de tendance centrale serait la plus appropriée pour décrire cet ensemble de données? Le mode, la médiane ou la moyenne? Pourquoi?
Le mode 90, puisqu’il se répète très souvent. La médiane aussi, puisque 90 se situe au centre des données. La moyenne de 60 n’est pas le meilleur indicateur de la moyenne de minutes d’exercice des élèves.
- Quel effet la valeur de 30 de l’élève F a-t-il sur l’ensemble des données?
Concernant la moyenne, la valeur plus basse de 30, comparée aux autres à 90 minutes, donne une moyenne avec une fausse impression que le groupe d’élèves a fait, en moyenne, 60 minutes d’exercice dans une journée.
- Si on enlevait la donnée de l’élève F, quel effet cela aurait-il sur le mode, la médiane et la moyenne? sur la représentation graphique?
- Si l’on ajoutait une donnée de 90 minutes, de 30 minutes ou de 5 minutes, quelle incidence cela aurait-il sur le mode, la médiane et la moyenne?
Source : adapté de Making Math Meaningful, Marian Small, p. 575.