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Un remaniement des guides d'enseignement efficace en mathématiques

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D2. Décrire la probabilité que des événements se produisent et utiliser cette information pour faire des prédictions.

SITUATION D’APPRENTISSAGE : DE QUELLE COULEUR SERA LE JETON?

Durée totale : environ 90 minutes

Sommaire

Dans cette situation d’apprentissage, les élèves déterminent la probabilité expérimentale de prendre au hasard un jeton rouge et celle de prendre au hasard un jeton bleu d’un sac contenant un certain nombre de jetons. Les élèves jouent ensuite à un jeu dans lequel elles et ils utilisent cette probabilité pour prédire la couleur du jeton qu’elles et ils vont tirer.

Attente

Contenu d’apprentissage

D2. Probabilité

Décrire la probabilité que des événements se produisent et utiliser cette information pour faire des prédictions.

D2.2 Déterminer et comparer les probabilités théoriques et expérimentales qu’un événement se produise.

Intention pédagogique

Cette situation d’apprentissage a pour but d’amener les élèves :

  • à reconnaître que les résultats d’une expérience peuvent varier (la variabilité);
  • à comprendre la relation entre le nombre d’essais effectués au cours d’une expérience aléatoire, la fréquence d’un résultat particulier et la probabilité de ce résultat;
  • à explorer la relation entre la probabilité théorique et la probabilité expérimentale;
  • à appliquer les étapes de la résolution de problèmes en probabilité.
Contexte Préalables

Au cours des années d’études précédentes, les élèves ont réalisé des expériences simples de probabilité. Elles et ils ont comparé les résultats obtenus à la liste de résultats prévus et ont décrit, à l’aide de mots, la probabilité qu’un événement se produise. En 5e année, les élèves apprennent à exprimer la probabilité à l’aide d’une fraction et à comparer la probabilité expérimentale à la probabilité théorique.

La présente situation d’apprentissage permet aux élèves d’explorer la relation entre la probabilité théorique et la probabilité expérimentale, et de découvrir que la variabilité est inhérente à toute situation aléatoire. Pour être en mesure de réaliser cette situation d’apprentissage, les élèves doivent pouvoir décrire la probabilité théorique d’un événement à l’aide de fractions.

Matériel

  • sacs A : sacs de papier contenant 3 jetons bleus et 2 jetons rouges (1 sac par équipe)
  • sacs B : sacs de papier contenant 5 jetons rouges et 5 jetons bleus (1 sac par équipe)
  • sacs mystères : sacs de papier contenant 35 jetons rouges et 15 jetons bleus (1 sac par équipe)
  • Annexe 6.1 – Probabilité théorique et probabilité expérimentale (une copie par équipe)
  • Annexe 6.2 – Sac mystère (une copie par équipe)
  • Annexe 6.3 – Qu’est-ce qui se cache dans les sacs mystères? (une copie par élève)

Vocabulaire

probabilité, probabilité théorique, probabilité expérimentale, fréquence, résultats possibles, variabilité

Avant l’apprentissage (mise en train)

Durée : Environ 15 minutes

Préparer à l’avance les sacs A et B, ainsi que les sacs mystères (voir le Matériel). Présenter aux élèves la situation d’apprentissage suivante :

« Aujourd’hui, vous effectuerez une expérience liée au hasard afin d’explorer des concepts importants en probabilité. Pour commencer, vous ferez une petite activité pour revoir certaines de vos connaissances en probabilité. Je vais vous remettre une copie de l’activité à faire et deux sacs de papier. Je vous demande de ne pas regarder le contenu des sacs de papier et d’attendre que je vous donne des consignes. »

Grouper les élèves en équipes. Remettre à chaque équipe un sac A, un sac B et une copie de l’Annexe 6.1 – Probabilité théorique et probabilité expérimentale.

Examiner les questions avec les élèves. Après la lecture à voix haute d’une question, demander à une ou à un élève de l’expliquer en ses propres mots. S’assurer que toutes et tous comprennent bien le travail à effectuer. Revoir, au besoin, la façon d’exprimer une probabilité à l’aide d’une fraction. Demander, ensuite, aux élèves de répondre aux questions. Circuler dans la salle de classe et intervenir uniquement pour des besoins de clarification. Lorsque toutes les équipes ont terminé, faire un retour sur leurs réponses et animer une discussion au sujet des différences entre la probabilité théorique (question 1) et la probabilité expérimentale (question 3).

Exemple d’explication

Question 1 – Sac A : La probabilité de prendre au hasard un jeton d’une couleur donnée du sac A est déterminée en prenant connaissance du contenu du sac. En effet, il faut compter les jetons afin d’établir un rapport entre le nombre de jetons d’une certaine couleur et le nombre total de jetons. Donc, en examinant le contenu du sac A, on constate que le résultat le plus probable est de prendre au hasard un jeton bleu et que la probabilité de prendre au hasard un jeton bleu est égale à \(\frac{3}{5}\). De même, la probabilité de prendre au hasard un jeton rouge est égale à \(\frac{2}{5}\). Lorsqu’on détermine la probabilité en visualisant ou en dénombrant l’ensemble des résultats possibles, on parle alors de probabilité théorique.

Question 2 – Sac B : Puisqu’on ne peut pas regarder à l’intérieur du sac, la seule façon de déterminer la probabilité de prendre au hasard un jeton d’une couleur donnée est de prendre au hasard un jeton dans le sac un certain nombre de fois et de noter les résultats. La probabilité est alors associée aux résultats de l’expérience. Il s’agit dans ce cas d’une probabilité expérimentale. Si, par exemple, on a pris au hasard 7 fois un jeton bleu et 3 fois un jeton rouge, on dit que la probabilité de prendre au hasard un jeton bleu est d’environ \(\frac{7}{10}\) et que la probabilité de prendre au hasard un jeton rouge est d’environ \(\frac{3}{10}\).

Pendant l’apprentissage (exploration)

Durée : Environ 60 minutes

Présenter aux élèves la situation suivante :

« Je vais remettre à chaque équipe un sac mystère différent qui contient un certain nombre de jetons rouges et de jetons bleus. Le jeu consiste, dans un premier temps, à deviner, à tour de rôle, la couleur du jeton que vous allez prendre au hasard. Dans un second temps, après avoir pris au hasard le jeton, vous vérifiez sa couleur. Si vous avez deviné juste, vous demeurez dans le jeu; sinon, vous êtes éliminée ou éliminé. La dernière personne à jouer gagne la partie. Avant de jouer au jeu, je vous invite à effectuer une expérience qui pourrait vous donner des indices sur la répartition des jetons dans le sac et vous aider à gagner. »

Grouper les élèves en équipes. Remettre à chaque équipe un sac mystère contenant 35 jetons rouges et 15 jetons bleus, ainsi qu’une copie de l’Annexe 6.2 – Sac mystère. Présenter aux élèves la tâche à accomplir en leur précisant de ne pas regarder à l’intérieur du sac.

Allouer aux élèves suffisamment de temps pour réaliser l’expérience de l’Annexe 6.2. Lorsque toutes les équipes ont terminé, commencer le jeu.

Déroulement suggéré du jeu

  • Demander à toutes et à tous les élèves de se lever.
  • Choisir au hasard une ou un élève pour commencer le jeu. Lui demander de deviner la couleur du jeton qu’elle ou il va prendre au hasard et de l’annoncer au groupe-classe. L’inviter ensuite à prendre au hasard un jeton dans le sac de son équipe, de le montrer au groupe-classe, puis de le remettre dans le sac.
  • Écrire, au tableau, la couleur du jeton pris au hasard.
  • Si la couleur du jeton ne correspond pas à la couleur annoncée, l’élève est éliminée ou éliminé du jeu et doit s’asseoir.
  • Si la couleur du jeton correspond à la couleur annoncée, l’élève reste debout et aura droit à un autre tour.
  • Passer à la prochaine ou au prochain élève, et ce, jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une ou un élève debout. Ce sera la gagnante ou le gagnant.

Tout le long du jeu, inciter les élèves à analyser les résultats des tirages écrits au tableau et à réfléchir à leur stratégie de jeu. Prêter attention aux commentaires des élèves et à leurs réactions afin d’évaluer si elles et ils semblent comprendre les concepts de probabilité et les appliquer. À la suite de 10 tirages consécutifs d’un jeton rouge, par exemple, l’élève qui s’apprête à jouer décide de modifier sa stratégie parce qu’elle ou il estime qu’il est peu probable de prendre au hasard, de nouveau, un jeton rouge. Il y aurait alors lieu de noter cette réaction et d’animer ultérieurement une discussion au sujet du concept de résultats indépendants et de l’idée que « le hasard n’a pas de mémoire ».

Lorsque le jeu est terminé, faire un retour en groupe-classe sur le jeu en posant aux élèves des questions telles que :

  • Selon vous, est-ce que la gagnante ou le gagnant du jeu a eu de la chance? Pourquoi?
  • Est-ce que la ou le même élève gagnerait si l’on jouait de nouveau? Pourquoi?

Amener les élèves à justifier leur réponse en utilisant des arguments mathématiques et en les exprimant à l’aide du vocabulaire de probabilité approprié. Inciter les autres élèves à réagir aux arguments présentés; par exemple, même si un jeton rouge a été pris au hasard 10 fois de suite, rien ne nous dit qu’on ne prendra pas au hasard un jeton rouge au prochain tirage.

Poursuivre l’échange en posant aux élèves des questions telles que :

  • Quelle stratégie avez-vous utilisée pendant le jeu? (J’ai utilisé nos données sur la probabilité expérimentale.)
  • Combien d’entre vous se sont basées et basés sur la probabilité expérimentale pour deviner la couleur du jeton que vous alliez prendre au hasard?
  • Pensez-vous que toutes les équipes ont obtenu la même probabilité expérimentale? Pourquoi? (Non, parce que les résultats obtenus par chacune des équipes dépendent du hasard.)

Demander à chaque équipe de révéler les résultats de leur expérience (questions 1 et 2 de l’Annexe 6.2) et d’écrire ces données dans un tableau de fréquences (en y incluant les fréquences exprimées en fractions).

Remettre à chaque élève une copie de l’Annexe 6.3 – Qu’est-ce qui se cache dans les sacs mystères?. Demander aux élèves de répondre individuellement à la question 1 en prenant en compte les résultats écrits au tableau.

Inviter ensuite quelques élèves à donner leur réponse en justifiant leur position. Inciter les autres élèves à réagir aux arguments présentés. Révéler ensuite aux élèves que tous les sacs mystères contiennent 50 jetons et qu’ils ont tous le même nombre de jetons rouges et de jetons bleus. Souligner que toute expérience de probabilité entraîne des résultats dont certains peuvent être plus probables que d’autres, mais que le hasard fait en sorte que les résultats obtenus varient d’une fois à l’autre. Insister sur le fait que la variation dans les résultats peut être surprenante, mais qu’elle existe et que ce phénomène s’appelle la variabilité. Préciser qu’en traitement des données, tout comme en probabilité, il faut prendre en compte la variabilité dans l’interprétation des résultats. Demander aux élèves de répondre individuellement à la question 2 de l’Annexe 6.3 en commençant par écrire 50 jetons dans la première phrase.

Après l’apprentissage (objectivation/échange mathématique)

Durée : Environ 15 minutes

Demander à quelques élèves de présenter leur estimation de la répartition des jetons dans le sac et de faire part au groupe-classe du raisonnement qu’elles et ils ont utilisé pour l’obtenir. Écrire les estimations proposées au tableau.

Voici des exemples d’estimations possibles.

  • Lorsque nous avons effectué les 10 essais, nous avons obtenu 4 jetons rouges et 6 jetons bleus. Puisque le sac contient 50 jetons, soit 5 fois plus que le nombre d’essais, alors le sac devrait aussi contenir 5 fois plus de jetons rouges et de jetons bleus. J’estime donc qu’il y a 20 jetons rouges (\(5\times 4\)) et 30 jetons bleus (\(5\times 6\)).
  • Puisque tous les sacs ont le même contenu, les résultats du jeu peuvent représenter des résultats de tirages effectués dans le même sac. Pendant le jeu, nous avons pris au hasard le plus souvent des jetons rouges, alors les sacs contiennent probablement plus de jetons rouges que de jetons bleus. Il doit alors y avoir plus de la moitié des jetons qui sont rouges. J’en déduis qu’il doit y avoir environ 30 jetons rouges et 20 jetons bleus.
  • Puisque tous les sacs ont un contenu identique, c’est comme si nous avions pris au hasard 120 fois un jeton dans le même sac lors de l’expérience (12 équipes qui ont chacune fait 10 essais). D’après le tableau, il y a eu 86 jetons rouges tirés sur 120 tirages, ce qui est équivalent à 43 jetons rouges sur 60 tirages (\(\frac{86}{120}=\frac{43}{60}\)). Puisqu’il y a uniquement 50 jetons dans le sac, alors je dirais qu’il y a environ 40 jetons rouges et 10 jetons bleus.

Animer l’échange mathématique en posant aux élèves des questions telles que :

  • Crois-tu que ton estimation est une bonne approximation de la répartition des jetons dans le sac? Pourquoi?
  • Si je ne vous avais pas informés que tous les sacs avaient le même contenu, aurais-tu fait cette même estimation? Pourquoi?
  • Qui, selon toi, a fait la meilleure estimation? Quels éléments te font croire qu’elle est plus précise que d’autres? (Je pense que les personnes qui ont examiné plus de résultats pour déterminer le nombre de jetons de chaque couleur ont probablement une estimation plus juste, car si l’on considère uniquement les résultats de nos 10 essais, on obtient des résultats qui risquent d’être moins représentatifs de l’ensemble des jetons dans le sac.)
  • Es-tu certaine ou certain que votre sac contient exactement cette quantité de jetons rouges et de jetons bleus? Pourquoi? (Je ne peux pas en être certaine ou certain, puisque j’ai fondé mon estimation sur des probabilités expérimentales.)

Demander ensuite aux élèves :

  • de vérifier le contenu de leur sac et de le comparer à leur estimation de la répartition des jetons (question 2 de l’Annexe 6.3);
  • de déterminer, à l’aide de fractions, la probabilité théorique de chaque résultat et de les comparer aux probabilités obtenues lors des 10 essais (question 2 de l’Annexe 6.2).

Animer une discussion au sujet des conclusions que l’on peut tirer de ces deux comparaisons. Faire ressortir, par exemple, le fait que, dans plusieurs cas, il y a une différence importante entre le contenu du sac et les estimations de la répartition des jetons dans le sac. Cependant, si l’on examine l’ensemble des résultats obtenus lors du jeu ou les 120 résultats obtenus lors des expériences (86 fois un jeton rouge et 34 fois un jeton bleu), on constate que, toutes proportions gardées, la répartition selon les couleurs est assez semblable à la répartition des jetons dans le sac. Amener les élèves à reconnaître que plus la taille de l’échantillon est grande (par exemple, l’ensemble des résultats du jeu), plus la répartition des résultats obtenus semble constituer une bonne approximation de la répartition des jetons dans le sac. De façon similaire, les amener à conclure que plus la taille de l’échantillon est grande, plus la probabilité expérimentale d’un résultat quelconque semble constituer une bonne approximation de la probabilité théorique du même résultat.

Différenciation pédagogique

L’activité peut être modifiée pour répondre aux différents besoins des élèves.

Pour faciliter la tâche Pour enrichir la tâche

Lors de l'activité avec le sac mystère, aider les élèves à utiliser les résultats de l'expérience pour déterminer la probabilité, à l’aide de fractions, de piger un jeton rouge et celle de piger un jeton bleu.

Demander aux élèves de simuler le tirage des jetons à l'aide d'une calculatrice à affichage graphique ou d'un logiciel.

Préparer un autre sac mystère avec une répartition quelconque de jetons rouges et de jetons bleus. Inviter les élèves à déterminer collectivement une probabilité expérimentale puis à jouer de nouveau au jeu.

Note : Cette fois, le jeu se présente différemment, car tous possèdent au départ la même information.

Suivi à la maison

À la maison, les élèves peuvent effectuer une expérience avec un membre de la famille afin de consolider leur apprentissage en probabilité. Leur proposer la démarche suivante.

  • Mettre dans un sac opaque 10 objets identiques, comme des jetons, des billes ou des cubes, dont trois sont d’une couleur et sept sont d’une autre couleur.
  • Demander à un membre de la famille de prendre au hasard 10 fois un objet en notant sa couleur et en le remettant dans le sac après chaque tirage.
  • Lui demander ensuite d’estimer, parmi les 10 objets, le nombre d’objets d’une couleur et le nombre d’objets de l’autre couleur.
  • Examiner ensemble le contenu du sac, vérifier l’hypothèse émise, et en discuter.
  • Lui demander de répéter le tirage de 10 objets à quelques reprises et de comparer chaque fois les résultats à ceux obtenus la première fois.
  • Puis, lui expliquer les concepts de variabilité et de probabilité.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 229-237.