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D1.5 Déterminer l’incidence de l’ajout ou de la suppression de données sur les mesures de tendances centrales et décrire comment ces changements modifient la représentation et la distribution des données.

Habileté : déterminer et décrire comment l’ajout ou la suppression de données sur les mesures de tendances centrales Modifient les représentations graphiques

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Les mesures statistiques telles que les mesures de tendance centrale sont des nombres utilisés pour caractériser un ensemble de données; par exemple, la moyenne est une mesure statistique. Les mesures statistiques sont présentées à la quatrième étape du processus d’enquête, soit l’interprétation des résultats, parce qu’elles constituent une autre façon d’attribuer un sens aux données et qu’elles peuvent fournir des renseignements sur lesquels s’appuyer pour prendre une décision.

Différentes mesures statistiques sont couramment utilisées en traitement des données, telles que l’étendue, le mode, la médiane et la moyenne (enseignées au cycle moyen). Chacune de ces mesures est une façon de décrire un ensemble de données, c’est-à-dire qu’un seul nombre, soit le mode, la médiane ou la moyenne, représente un ensemble de plusieurs données.

Les élèves doivent bien comprendre ce que chacune des mesures représente afin de les choisir, de les déterminer et de les utiliser de façon appropriée.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 107.

Elles et ils pourront par la suite déterminer et décrire la façon dont l’ajout ou la suppression de données dans un ensemble peut avoir un effet ou non sur la représentation graphique des données.

Connaissance : étendue des données

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En examinant un ensemble de données quantitatives, nous sommes souvent portées et portés à repérer la valeur maximale et la valeur minimale de ces données. Ces valeurs extrêmes fixent, dans notre esprit, l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les données. Or, en traitement des données, on s’intéresse aussi à la taille de cet intervalle. Cette taille est appelée l’étendue de l’ensemble des données. L’étendue est donc le nombre qui correspond à la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale des données. L’étendue donne une mesure de variabilité des données. Si l’étendue est petite, on sait qu’il y a peu de variabilité, puisque les données sont regroupées à l’intérieur d’un petit intervalle. Dans le cas contraire, c’est-à-dire si l’étendue est grande, il y a beaucoup de variabilité, puisque les données sont réparties sur un plus grand intervalle. À noter que l’étendue n’est pas une mesure de tendance centrale.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 107.

Exemple 

Température au mois de juillet (°C)

25 29 30 30 31 31 32 34 34 35 38 38 42

Pour cette série de données, l’étendue est de 17 (42 – 25).

Connaissance : mesures de tendance centrale (mode, médiane, moyenne)

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Chacune des mesures de tendance centrale est une façon de décrire un ensemble de données avec une valeur (un nombre) unique. Dans certaines situations, une seule de ces mesures a du sens, mais dans d’autres, deux ou trois sont significatives, même si elles sont différentes.

Source : adapté et traduit de Making Math Meaningful, Marian Small, p. 574.

Mode

Le mode d’un ensemble de données représente la ou les données ayant la plus grande fréquence, c’est-à-dire la ou les données qui paraissent le plus souvent. Le mode est particulièrement significatif dans des contextes d’enquêtes où il faut déterminer ce qui est le plus populaire, le plus vendu, le plus fréquent, etc. Comme en témoignent les exemples ci-dessous, il est possible de déterminer le mode d’un ensemble de données quantitatives ou qualitatives.

Exemple 1 

Le tableau ci-dessous présente les données correspondant au nombre d’enfants dans les familles des élèves du groupe-classe. La donnée la plus fréquente est 2, ce qui indique qu’il y a davantage de familles de deux enfants. Le mode de cet ensemble de données quantitatives est donc deux enfants par famille.

Nombre d'enfants dans les familles des élèves de la classe

Exemple 2 

Le diagramme ci-dessous porte sur les couleurs préférées des élèves du groupe-classe. Pour déterminer le mode de ces données qualitatives, il suffit d’examiner la longueur des bandes. Or, la bande rouge et la bande bleue sont d’égale longueur et elles sont plus longues que toutes les autres. Dans ce cas-ci, il y a donc deux modes, soit le rouge et le bleu.

Image Un diagramme à bandes s’intitule « Couleurs préférées des élèves de la classe ». L’axe horizontal correspond aux couleurs, tandis que l’axe vertical, gradué de zéro à six, correspond au nombre d’élèves. La bande jaune, qui représente la même couleur, s’élève à quatre. La bande rouge s’élève à cinq. La bande verte s’élève à trois. La bande bleue s’élève à cinq. Et une bande violette, qui représente les autres couleurs, s’élève à quatre. Sous l’axe horizontal, le mot « mode » pointe vers rouge et bleu au moyen de deux flèches.

Exemple 3 

Les données ci-dessous ont été enregistrées à l’occasion d’une compétition de saut en longueur.

• 1,04 m 1,06 m 1,12 m 1,13 m 1,16 m 1,19 m 1,22 m 1,28 m 1,36 m

Puisque toutes les données sont différentes, il n’y a pas de donnée ayant la plus grande fréquence. Cet ensemble de données n’a aucun mode. Cependant, les données pourraient être regroupées en catégories, comme dans le tableau ci-dessous. Dans un tel cas, le mode correspond à la catégorie ayant la plus grande fréquence, soit la catégorie de 1,10 m à 1,19 m.

Sauts en longueur

Lorsque le mode est utilisé pour répondre à une question d’intérêt ou prendre une décision, il est important de tenir compte de l’ensemble de données. En effet, dans certaines situations, la donnée la plus fréquente n’est pas nécessairement celle qui donne le meilleur sens aux données. Il est important d’inciter les élèves à examiner chaque situation de près avant de formuler des conclusions fondées sur le mode. 

Voici quelques exemples de situations dans lesquelles est évaluée la pertinence d’utiliser le mode comme valeur représentative des données :

• Dans l’exemple 1 précédent, le mode deux enfants par famille semble assez représentatif de la situation puisqu’il y a un écart important entre cette fréquence et les autres.
• Dans l’exemple 2 précédent, non seulement y a-t-il deux modes (le rouge et le bleu), mais l’écart entre leur fréquence et les autres n’est pas très grand. Il est donc difficile de conclure que ces deux modes représentent une préférence de couleur marquée. Dans ce cas-ci, il serait préférable de mentionner que le rouge et le bleu sont légèrement plus populaires, mais que le jaune suit de près.
• D’après le diagramme à tiges et à feuilles ci-dessous, le mode correspond à 72 battements de cœur par minute. Ce nombre fait aussi partie de l’intervalle (70 à 79) qui compte le plus de données. Il représente donc bien cet ensemble de données.

Nombre de battements de cœur par minute des élèves de la classe

• D’après la ligne de dénombrement ci-dessous, le mode correspond à 60 battements de cœur par minute. Ce nombre est éloigné de l’intervalle qui compte la plupart des données (69 à 77). De plus, l’étendue des données (29) est grande et les données ne paraissent qu’une, deux ou trois fois chacune. Il serait donc préférable de ne pas utiliser le mode pour formuler une conclusion au sujet de cet ensemble de données.

image La ligne de dénombrement s’intitule « Nombre de battements de cœur par minute des élèves de la classe ». Elle est graduée de 60 à 90. Avec une flèche, le mot « mode » pointe le nombre 60. Les nombres qui ne possèdent aucun X sont : 61, 63, 64, 65, 66, 68, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 86, 87, 88, et 90. Les nombres 62, 67, 69, 70, 71, 74, 76, 77, 81, 85 et 89 possèdent un X. Les nombres 72, 73 et 64 possèdent deux X. Le nombre 60 possède trois X.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 108-111.

Médiane

La médiane d’un ensemble de données correspond à la donnée qui se situe au centre de l’ensemble. Il y a donc le même nombre de données situées de part et d’autre de la médiane. Pour déterminer la médiane d’un nombre impair de données, il suffit de les placer en ordre croissant ou décroissant et de déterminer la donnée qui se situe au centre. Dans le cas d’un nombre pair de données, la médiane correspond au nombre qui est à mi-chemin entre les deux nombres qui se situent au centre. Dans de tels cas, la médiane pourrait être un nombre qui ne fait pas partie de l’ensemble des données.

Exemple 1

On a enregistré les données ci-dessous à l’occasion d’une compétition de saut en longueur.

1,04 m; 1,06 m; 1,12 m; 1,13 m; 1,16 m; 1,19 m; 1,22 m; 1,28 m; 1,36 m

Il y a neuf données et elles sont placées en ordre croissant. La médiane de ces données est donc la cinquième, soit 1,16 m. On remarque qu’il y a le même nombre de données (quatre) de chaque côté de la médiane.

Exemple 2

Le diagramme à tiges et à feuilles ci-dessous présente 22 données placées en ordre croissant. Deux données se situent au centre, soit la 11^e et la 12^e donnée. Notons qu’il y a le même nombre de données (dix) de chaque côté de ces deux nombres. Puisque ces deux données correspondent à 72 battements de cœur par minute, c’est la valeur attribuée à la médiane.

Exemple 3

Lors d’une collecte de fonds pour leur équipe sportive, 10 élèves ont vendu des boîtes de chocolat. Voici les nombres de boîtes vendues :

15, 12, 11, 10, 10, 8, 7, 6, 5, 5

La 5^e et la 6^e donnée se situent au centre de cet ensemble de 10 données placées en ordre décroissant. Ces deux données, soit 10 et 8, sont différentes. La médiane correspond alors au nombre 9, puisque 9 se situe à mi-chemin entre 8 et 10. Malgré le fait que cette médiane ne fasse pas partie de l’ensemble des données, on constate qu’il y a le même nombre de données (cinq) qui se situent de chaque côté d’où elle serait.

Exemple 4

Le diagramme ci-dessous présente les températures maximales quotidiennes, en degrés Celsius, dans une ville au mois de juin.

Les élèves placent les nombres sur une bande de papier et découvrent qu’il y a deux nombres au milieu, soit 24 et 25. De plus, il n’y a aucun entier à mi-chemin entre 24 et 25. Les élèves peuvent alors utiliser leurs connaissances des nombres décimaux pour déterminer que c’est le nombre 24,5 qui est situé à mi-chemin entre 24 et 25. La médiane de cet ensemble de données est donc 24,5 °C.

La médiane est une mesure statistique importante qui est couramment utilisée dans de nombreuses situations. En effet, en raison du fait qu’elle indique la valeur centrale d’un ensemble de données, il est possible de situer toutes les autres données par rapport à la médiane. Ainsi, dans l’exemple relatif à la compétition de saut en longueur (exemple 1), l’élève qui a réussi le saut de 1,28 m sait que la longueur de ce saut est supérieure à la médiane de 1,16 m et donc, supérieure à la majorité des autres sauts.

Avant d’utiliser la médiane pour prendre des décisions, il importe toutefois de tenir compte de l’étendue des données parce que la médiane ne tient pas compte des valeurs extrêmes. Par exemple, supposons que dans l’exemple relatif à la vente de boîtes de chocolat (exemple 3), on cherche à déterminer approximativement le nombre de boîtes vendues. On sait que le nombre médian de boîtes vendues est de neuf et que les données vont de 5 à 15 boîtes. La taille de l’étendue des données est donc petite et la médiane de 9 se situe presque à mi-chemin entre la valeur maximale et la valeur minimale. On peut donc supposer que chaque élève a vendu environ neuf boîtes et calculer que les 10 élèves ont vendu environ 90 boîtes.

Imaginons maintenant une situation avec les mêmes données, sauf que la donnée maximale est de 75 boîtes au lieu de 15 boîtes. La médiane est encore de neuf boîtes, mais la taille de l’étendue est très grande. De plus, la médiane ne se situe pas du tout à mi-chemin entre la valeur maximale et la valeur minimale. On ne pourrait donc pas supposer que chaque élève a vendu environ neuf boîtes comme dans la situation précédente et conclure que les 10 élèves ont vendu environ 90 boîtes en tout.

Le personnel enseignant peut aussi aider les élèves à approfondir leur compréhension du concept de médiane en modifiant certaines situations déjà étudiées, comme le démontre l’exemple suivant.

Exemple 5

Reprenons l’exemple 3 et ajoutons une variante comme suit :

Lors d’une collecte de fonds pour leur équipe sportive, 10 élèves ont vendu des boîtes de chocolat. Voici les nombres de boîtes vendues.

15, 12, 11, 10, 10, 8, 7, 6, 5, 5

Or, trois autres élèves n’ont pas encore indiqué leur nombre de boîtes vendues. Si l’objectif était d’obtenir un nombre médian de huit boîtes vendues, quel ensemble de données correspondant aux ventes des 13 élèves pourrait atteindre cet objectif?

Voici deux exemples de réponses possibles.

15, 12, 11, 10, 10, 8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 4

15, 12, 11, 10, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 5, 4, 3

Si on ajoute comme condition que le mode de l’ensemble de données corresponde aussi à huit boîtes, les élèves pourraient donner la réponse qui suit.

15, 12, 11, 10, 10, 8, 8, 8, 7, 6, 5, 5, 4

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 111-115.

Moyenne

En mathématiques, la moyenne a un sens précis : elle correspond à la valeur résultant d’un partage équitable. Par exemple, si cinq amis ont recueilli respectivement 5 $, 7 $, 7 $, 8 $ et 8 $ et qu’ils mettent ces sommes en commun pour les partager également, chacun recevra 7 $. La moyenne des sommes recueillies est donc égale à 7 $. En mathématiques plus avancées, cette moyenne est appelée moyenne arithmétique. D’autres moyennes existent (par exemple, moyenne géométrique, moyenne harmonique), mais elles ne sont pas à l’étude au cycle moyen. Le personnel enseignant devrait mettre l’accent sur la compréhension du concept de moyenne plutôt que sur la mémorisation de l’algorithme usuel (la somme des données divisée par le nombre de données). Pour ce faire, il devrait proposer aux élèves des activités qui font appel au modèle de partage équitable ou au modèle d’équilibre entre la somme des manques (différences entre la moyenne et les données qui sont inférieures à la moyenne) et la somme des surplus (différences entre la moyenne et les données qui sont supérieures à la moyenne). Autrement, les élèves n’acquièrent qu’une compréhension limitée du concept de moyenne.

Partage équitable 

Les exemples ci-dessous démontrent différentes situations qui font appel au modèle de partage équitable et qui contribuent à développer une bonne compréhension du concept de moyenne. Le modèle de partage peut être utilisé pour déterminer une moyenne sans avoir à recourir à l’algorithme usuel.

Exemple 1

Amir, Bruno, Carla, Denis et Elmira sont allés à la pêche et ont attrapé respectivement 2, 2, 3, 3 et 10 poissons. Déterminer le nombre moyen de poissons pêchés.

Pour déterminer le nombre moyen de poissons pêchés, les élèves peuvent déterminer le nombre de poissons que chaque personne aurait si les poissons étaient répartis également. Elles et ils peuvent d’abord illustrer la situation initiale comme suit.

Ensuite, les élèves procèdent au partage : Elmira remet deux poissons à Amir, deux poissons à Bruno, un poisson à Carla et un poisson à Denis.

Après le partage, chaque personne a quatre poissons. On peut donc conclure qu’en moyenne, chaque individu a pêché quatre poissons.

Afin d’approfondir le concept de moyenne, il est important de donner l’occasion aux élèves de renverser le processus en leur demandant de créer un ensemble de données ayant une moyenne donnée. Cela renforce le concept de moyenne comme résultat d’un partage équitable.

Exemple 2

Six élèves d’une classe ont déterminé qu’ils avaient, en moyenne, cinq stylos chacun. Quelle pourrait être une répartition possible des stylos parmi ces six élèves?

Puisque les six élèves ont une moyenne de cinq stylos chacun, chaque élève aurait cinq stylos après le partage équitable.

Il y a donc un total de 30 stylos (6 × 5). Les six élèves peuvent alors répartir les 30 stylos entre eux comme bon leur semble. Peu importe la répartition retenue, la moyenne de cinq stylos par élève sera maintenue. Voici un exemple d’une répartition possible :

On peut vérifier qu’il y a toujours un total de 30 stylos.

On peut utiliser le modèle de partage pour développer une compréhension de l’algorithme usuel comme illustré dans l’exemple. Le modèle donne en effet un sens à l’algorithme usuel, puisqu’il démontre l’idée de regrouper les stylos, puis de les partager parmi les amis (quotient de la somme des données par le nombre de données).

Exemple 3

Annie, Bahéya, Carl, Daniel et Eva ont respectivement 5 $, 6 $, 6 $, 8 $ et 10 $. Combien d’argent chaque personne a-t-elle en moyenne?

On met d’abord les sommes d’argent en commun pour constater qu’il y a 35 $ en tout. Cela correspond à l’opération 5 $ + 6 $ + 6 $ + 8 $ + 10 $ = 35 $. La somme est ensuite partagée équitablement et chaque personne reçoit 7 $, ce qui correspond à l’opération 35 $ ÷ 5 = 7 $.

Image Dans le haut de l’exemple 3, cinq noms d’élèves sont chacun accompagnés de quelques pastilles violettes. Annie possède 5 pastilles, Bahéya possède 6 pastilles, Carl possède 6 pastilles, Daniel possède 8 pastilles et Eva possède 10 pastilles. Sous les prénoms, il est écrit : Mise en commun, 5 dollars plus 6 dollars plus 6 dollars plus 8 dollars plus dix dollars égale 35 dollars. Une flèche pointe vers le milieu de l’exemple 3 où toutes les pastilles sont mises en commun pour un total de 35. Sous l’amas de 35 pastilles, il est écrit : Partage, 35 divisé par 5 égale 7 dollars. Sous l’amas de 35 pastilles, 5 flèches pointent vers le bas sur chacun des prénoms qui sont répétés et où les pastilles sont redistribuées équitablement. Annie, Bahéya, Carl, Daniel et Eva possèdent chacun 7 pastilles.

Le personnel enseignant peut profiter de cet exemple pour souligner aux élèves que la moyenne d’un ensemble de données n’est pas nécessairement un nombre qui fait partie de cet ensemble. Chez certaines et certains élèves, cette idée est difficile à comprendre.

Une autre façon d’aider les élèves à développer une compréhension du concept de moyenne est de leur demander de déterminer une donnée manquante pour qu’un ensemble de données ait une moyenne particulière.

Exemple 4

On a demandé à cinq élèves d’effectuer une collecte de fonds. Si chaque personne recueille en moyenne 25 $, les élèves gagnent des billets pour assister à une joute de hockey. Lundi, quatre des cinq élèves se rencontrent et constatent avoir recueilli 29 $, 21 $, 31 $ et 13 $. Quelle est la somme minimale que Suzie, la cinquième élève, doit avoir recueillie pour que le groupe gagne les billets de hockey?

Les élèves qui ont seulement appris à utiliser l’algorithme usuel pour déterminer la moyenne sont souvent incapables de répondre à ce genre de question. En effet, il s’agit d’une recette qu’elles et ils sont incapables d’adapter selon les circonstances, car elles et ils ne la comprennent pas. Les élèves qui ont développé une compréhension du concept de la moyenne en tant que partage sont plus aptes à résoudre ce problème. Voici un échange que pourraient avoir les quatre élèves qui veulent déterminer la somme d’argent que Suzie doit avoir recueillie.

Élève 1 – On doit obtenir une moyenne de 25 $, ce qui veut dire que si on partageait également l’argent entre nous, on aurait chacun 25 $. Moi, j’ai ramassé 29 $; je peux donc partager 4 $ avec vous.

Élève 2 – Moi, je n’ai obtenu que 21 $; il me manque donc 4 $.

Élève 3 – Moi, j’ai 6 $ de trop parce que j’ai ramassé 31 $.

Élève 4 – Je regrette. J’ai été malade en fin de semaine et j’ai seulement récolté 13 $. Il me manque 12 $.

Élève 1 – Utilisons l’idée du partage pour nous aider à déterminer combien d’argent Suzie doit avoir recueilli.

Image Sous le titre « Avant le partage », cinq boîtes sont alignées côte à côte. La première boîte contient 25 jetons. Au-dessus d’elle, un ensemble de 4 jetons est lié à la deuxième boîte par une flèche. La deuxième boîte contient 21 jetons. La troisième boîte contient 25 jetons, et au-dessus d’elle, un ensemble de 6 jetons pointe vers la quatrième avec une flèche. La quatrième boîte contient 13 jetons. Quant à la cinquième boîte, elle ne contient pas de jetons, mais présente un point d’interrogation.

À la suite du partage, les trois premières et premiers élèves ont maintenant 25 $ et il manque 6 $ à la ou au quatrième élève pour obtenir 25 $. Suzie doit donc apporter les 6 $ qui manquent en plus de ses 25 $. Elle doit donc avoir 31 $.

Équilibre entre la somme des surplus et la somme des manques 

Le personnel enseignant peut aussi aider les élèves à développer une compréhension du concept de moyenne en leur présentant des situations qui font appel au modèle d’équilibre entre les surplus et les manques. Ce modèle, qui constitue en quelque sorte une variante du modèle de partage, est peut-être moins connu. Il est fondé sur l’idée que si, par exemple, un groupe d’élèves a un nombre moyen de jetons, certains élèves pourraient avoir moins de jetons que la moyenne alors que d’autres pourraient en avoir plus. Cependant, le total de ce que les élèves ont en moins doit être égal au total de ce que les élèves ont en plus. Les deux exemples ci-dessous illustrent cette idée.

Exemple 1

Cinq personnes ont quatre jetons chacun. L’une d’entre elle donne deux jetons à une autre.

Malgré cet échange, la moyenne est toujours de quatre jetons par personne. Or, on constate que par rapport à la moyenne, une personne a un manque de deux jetons, tandis qu’une autre a un surplus de deux jetons. Le manque est égal au surplus, ce qui est normal, car une personne a perdu ce qu’une autre a gagné. De plus, on peut renverser la situation, puisque le surplus de deux jetons pourrait servir à combler le manque de deux jetons afin que chacun ait quatre jetons.

L’exemple démontre que cette situation est toujours vraie, même à la suite de plusieurs échanges.

Exemple 2

Cinq élèves ont chacun quatre jetons. Annie donne un jeton à Carl et un jeton à Daniel. Bahéya donne un jeton à Carl et deux jetons à Eva.

La moyenne est toujours de quatre jetons par personne. Or, par rapport à la moyenne, Annie a un manque de deux jetons, Bahéya a un manque de trois jetons, Carl a un surplus de deux jetons, Daniel a un surplus de un jeton et Eva a un surplus de deux jetons. Donc, par rapport à la moyenne, la somme des manques est de cinq jetons (2 + 3) et la somme des surplus est de cinq jetons (2 + 1 + 2). On constate que la somme des manques est égale à la somme des surplus. Si on décidait de distribuer les surplus pour combler les manques, chaque personne aurait de nouveau quatre jetons.

Image Cinq ensembles de jetons rouges alignés côte à côte possèdent respectivement les noms suivants : Annie, Bahéya, Carl, Daniel, Eva. Le premier ensemble contient deux jetons et indique un manque de deux. Le deuxième ensemble contient un jeton et indique un manque de trois. Le troisième ensemble contient 6 jetons et indique un surplus de deux. Le quatrième ensemble contient cinq jetons et indique un surplus d’un. Et le cinquième ensemble contient 6 jetons et indique un surplus de deux. Sous les ensembles apparait l’équation suivante : somme des manques parenthèse ouvrante deux plus trois parenthèse fermante égale somme des surplus parenthèse ouvrante deux plus un plus deux parenthèse fermante.

Le modèle d’équilibre entre les surplus et les manques peut être utilisé pour résoudre divers problèmes portant sur la moyenne. Par exemple, la situation présentée à l’exemple 4 de la section « Partage équitable » et résolue à l’aide du modèle de partage peut tout aussi bien être résolue à l’aide du modèle d’équilibre entre les surplus et les manques.

Exemple 3

On a demandé à cinq élèves d’effectuer une collecte de fonds. Si chaque élève recueille en moyenne 25 $, le groupe gagne des billets pour assister à une joute de hockey. Lundi, quatre des cinq élèves se rencontrent et constatent avoir recueilli 29 $, 21 $, 31 $ et 13 $. Quelle est la somme minimale que Suzie, la cinquième élève, doit avoir recueillie pour que le groupe gagne les billets de hockey?

On examine d’abord chaque somme d’argent par rapport à la moyenne de 25 $ et on en détermine le surplus ou le manque.

29 $ : surplus de 4 $

21 $ : manque de 4 $

31 $ : surplus de 6 $

13 $ : manque de 12 $

On détermine ensuite la somme des surplus et la somme des manques.

Ces deux sommes ne sont pas égales. Pour les équilibrer, il faut un surplus supplémentaire de 6 $ (16 $ - 10 $). Donc, Suzie doit avoir recueilli 25 $ + 6 $, soit 31 $.

Lorsque les élèves ont acquis une bonne compréhension du concept de moyenne, elles et ils sont en mesure :

• de déterminer la moyenne d’un ensemble de données et de comprendre le lien entre les données et la moyenne;
• de créer un ensemble de données qui correspond à une moyenne particulière et de comprendre qu’une même moyenne peut provenir de plus d’un ensemble de données;
• de déterminer une donnée manquante d’un ensemble de données afin d’obtenir une moyenne particulière et de comprendre l’effet sur la moyenne de l’ajout de nouvelles données.

Ce n’est que lorsque cette compréhension est acquise que l’on devrait leur présenter l’algorithme usuel pour calculer la moyenne, soit :

Soulignons que le fait de mettre l’accent sur la compréhension conceptuelle de la moyenne permet d’éviter certaines des erreurs conceptuelles ci-dessous qui ont été relevées par Konold et Higgins (2003, p. 203-204) :

• certaines et certains élèves prennent la moyenne pour le mode, c’est-à-dire qu’elles et ils l’associent à la valeur la plus fréquente;
• certaines et certains élèves associent la moyenne seulement à un algorithme, ce qui fait qu’elles et ils ont de la difficulté à créer un ensemble de données qui correspond à une moyenne particulière;
• certaines et certains élèves prennent la moyenne pour la médiane, c’est-à-dire qu’elles et ils l’associent à la valeur au centre de l’ensemble des données.

Même lorsqu’on a acquis une bonne compréhension des mesures statistiques, il n’est pas toujours facile, dans un contexte de prise de décision, de choisir celle qui correspond le mieux à une situation donnée. Au cycle moyen, il est donc préférable de s’en tenir à des situations simples.

Exemple

Mathieu veut négocier avec ses parents une augmentation de la somme hebdomadaire d’argent de poche qu’il reçoit. Sachant qu’il ne peut pas simplement demander une augmentation sans motif valable, il décide d’effectuer un sondage auprès de ses camarades du cycle moyen afin de connaître la somme d’argent de poche qu’elles et ils reçoivent chaque semaine. Il organise les données recueillies sur une ligne de dénombrement.

Image La ligne de dénombrement illustre avec des « X » des montants hebdomadaires d’argent de poche en dollars. À zéro, il y a quatre « X ». À un, il y a un « X ». À un et demi, il y a deux « X ». À deux, il y a deux « X ». À deux et demi, il y a un « X ». À trois, il y a un « X ». À trois et demi, il y a quatre « X ». À quatre, il y a cinq « X ». À quatre et demi, il y a quatre « X ». À cinq, il y a cinq « X ». À cinq et demi, il y a deux « X ». À six, il y a quatre « X ». À six et demi, il n’y a aucun « X ». À sept, il y a un « X ». À sept et demi, il n’y a aucun « X ». À huit, il y a un « X ». À 8 et demi, 9 et 9 et demi, il n’y a aucun « X ». Et à dix, il y a six « X ».

Mathieu analyse ensuite ces données afin de choisir une valeur sur laquelle il pourrait baser ses arguments en faveur d’une augmentation. Constatant que 10 $ est la valeur la plus fréquente, il va voir son père et lui explique que, selon son sondage, il y a plus d’élèves du cycle moyen qui reçoivent 10 $ d’argent de poche que toute autre somme.

Son père trouve cette somme plutôt élevée et demande à voir l’ensemble des données. Après examen, il explique à Mathieu qu’en raison de la distribution des données, le mode n’est pas la meilleure mesure pour représenter ces données. Puis, il détermine que la moyenne des sommes allouées est de 4,66 $ et indique à Mathieu que cette somme semble plus appropriée.

Un peu déçu, Mathieu calcule la médiane et constate qu’elle est de 4,50 $. Il comprend que, dans cette situation, la moyenne et la médiane sont toutes deux de bonnes mesures pour représenter les données, mais comme la médiane est inférieure à la moyenne, il décide que ce n’est pas à son avantage de l’utiliser.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 115-125.