B2.5 représenter et résoudre des problèmes de groupes égaux dont le nombre d’éléments est égal ou inférieur à 10, y compris des problèmes dans lesquels chaque groupe est la moitié d’un tout, à l’aide d’outils et de schémas.
Habileté : représenter et résoudre des problèmes de groupes égaux
Modélisation et dénombrement
Au début, les élèves ont habituellement besoin de modéliser les faits en utilisant leurs doigts ou des objets. Dans le cas de la multiplication, les élèves modélisent ces opérations avec des objets, des traits de dénombrement ou des dessins pour représenter des objets organisés par groupes pour ensuite dénombrer ces objets afin de trouver une réponse. Les élèves utilisent ces modèles afin de trouver une solution à des problèmes tels que « Trois bols contiennent des pommes. Chaque bol contient 5 pommes. Combien y a-t-il de pommes en tout? »
Les élèves pourront dessiner les bols de pommes et dénombrer les pommes dessinées afin de déterminer le nombre total de pommes.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 12.
Pour aborder la multiplication, les élèves doivent comprendre d’autres concepts mathématiques. Les élèves doivent notamment savoir que la multiplication peut s’interpréter comme une addition répétée. Les élèves doivent aussi être en mesure de créer des groupes ou des ensembles de taille égale.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 8.
Effet des opérations
Chaque opération produit un effet sur les quantités en cause. Selon l’opération, certaines quantités augmentent ou diminuent. Elles peuvent augmenter ou diminuer de beaucoup ou de peu. Suivre l’effet des opérations sur les nombres permet aux élèves d’établir les liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération.
On peut comparer l’effet produit par une addition avec celui produit par une multiplication. Comparativement à la multiplication, l’addition fait augmenter un nombre de peu. Par exemple, lorsque le nombre 2 est multiplié par 8, on obtient 16, alors que si on lui ajoute 8, on n’obtient que 10. Les gens qui possèdent un bon sens des opérations reconnaissent l’effet des opérations sur les nombres naturels, mais les élèves en apprentissage sont souvent impressionnées et impressionnés par l’effet, par exemple, de la multiplication. Une mise en garde s’impose : il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou les fractions peuvent avoir des effets différents de ceux sur les nombres naturels. Dans certains cas, l’effet peut même être l’inverse. En effet, si on multiplie un nombre naturel par un autre nombre naturel, le produit est plus grand que les deux facteurs (par exemple, si on multiplie 3 par 6, le produit 18 est plus grand que 6 et 3), alors que si on multiplie une fraction propre par un nombre naturel, le produit est plus petit qu’un des deux facteurs (par exemple, si on multiplie \(\frac{1}{2}\) par 6, le produit 3 est plus petit que 6).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 90-91.
Problèmes écrits relatifs à la multiplication et à la division
Les élèves acquièrent une bonne compréhension de la multiplication et de la division, ainsi que des relations entre les nombres en résolvant des problèmes écrits. Les types de problèmes présentés ci-dessous à l’aide d’exemples peuvent aider les élèves à percevoir les faits numériques de base relatifs à la multiplication et à la division de diverses façons, selon qu’il s’agit de problèmes de groupes égaux, de comparaison ou d’arrangements. Le recours aux problèmes pour présenter les faits numériques de base oblige les élèves à raisonner afin de trouver des solutions et permet ainsi de développer un meilleur sens des opérations.
Les exemples de problèmes écrits ci-dessous contiennent des nombres d’un chiffre. Les structures des trois types de problèmes écrits se prêtent aussi aux nombres à plusieurs chiffres. Les problèmes sont représentés à l’aide de réglettes Cuisenaire. En 1re année, nous traitons seulement des problèmes dont le tout est inconnu ou le nombre de groupes est inconnu. Nous donnons toujours la taille des groupes.
Problèmes de groupes égaux
image Une réglette Cuisenaire orange valant dix unités repose sur quatre réglettes Cuisenaire rouges valant chacune deux unités; deux à gauche, deux à droite, et un espace vide au milieu où il y a trois petits points. Cela forme un rectangle. Sur la première réglette rouge à gauche, il est écrit « Taille des groupes ». Au-dessus de la réglette orange, il y a une accolade qui dit « Résultat », et en dessous des réglettes rouges, il y a une accolade qui dit « Nombre de groupes ».
- Groupes égaux : tout inconnu (multiplication)
Julie a acheté 5 livres pour ses camarades. Chaque livre lui a coûté 2 $. Combien d’argent Julie a-t-elle dépensé pour tous ces livres?
image Une réglette orange repose sur cinq plus petites réglettes rouges, formant un rectangle. Sur la réglette orange, il y a un point d’interrogation. Au-dessus, il y a une accolade qui dit « Résultat inconnu ». Sur chaque réglette rouge, il est écrit « deux dollars ». En dessous, une accolade indique « cinq groupes ».
- Groupes égaux : nombre de groupes inconnu (répartition égale)
Julie a acheté 10 livres pour ses camarades et prépare des sacs-cadeaux. Elle met 2 livres dans chaque sac. Combien de sacs-cadeaux Julie a-t-elle utilisés?
image Une réglette orange repose sur cinq plus petites réglettes rouges, ce qui forme un rectangle. Sur la réglette orange, il y a un le nombre dix. Sur chaque réglette rouge, il y a le chiffre deux. En dessous, une accolade indique un point d’interrogation.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 10-11.
Connaissance : problèmes de groupes égaux
Ce sont des problèmes qui impliquent des ensembles de quantité égale. Avec ces problèmes, il y a un groupe d’une taille donnée, qui est répété un certain nombre de fois pour arriver à un résultat. Parfois la taille de chaque groupe est inconnue, parfois le nombre de groupes est inconnu et parfois le résultat est inconnu.
Note : En 1re année, on donne la taille des groupes égaux pour que les élèves déterminent soit le nombre de groupes égaux, soit le résultat correspondant. Le résultat ne devrait pas dépasser 10.