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Un remaniement des guides d'enseignement efficace en mathématiques

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B2.4 Représenter et résoudre des problèmes relatifs à l’addition de nombres naturels dont la somme est égale ou inférieure à 100 000 et à la soustraction de nombres naturels égaux ou inférieurs à 100 000, et l’addition et la soustraction de nombres décimaux jusqu’aux centièmes, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés, et d’algorithmes.

Habileté : représenter et résoudre des problèmes d’addition et de soustraction à l’aide de stratégies y compris des algorithmes

L’apprentissage des opérations mathématiques s’effectue progressivement. Le point de départ devrait être l’exploration des opérations en situation de résolution de problèmes. Les élèves apprennent à associer des situations à des opérations particulières, ce qui leur permet de commencer à donner un sens aux opérations. De plus, les élèves doivent utiliser des stratégies basées sur leur compréhension du contexte, du problème et des opérations. Elles et ils prennent conscience qu’il existe plusieurs façons de résoudre un problème et même plusieurs façons d’effectuer la même opération. Par la suite, les élèves sont invités à résoudre une variété de problèmes afin de progresser vers l’utilisation de stratégies efficaces.

Contrairement à la démarche traditionnelle où les élèves apprennent surtout à appliquer les algorithmes usuels, l’apprentissage des opérations doit davantage être orienté vers la compréhension des opérations, l’exploration du calcul mental et l’utilisation de diverses stratégies pour effectuer les opérations. C’est en ce sens que le programme-cadre de mathématiques stipule l’attente pour les élèves du cycle moyen, soit que l’élève doive pouvoir résoudre des problèmes reliés aux opérations étudiées en utilisant diverses stratégies ou des algorithmes personnels.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 75-76.

Problèmes écrits : Addition et soustraction 

Dans l’addition ou la soustraction, des quantités sont ajoutées, retirées, unies ou comparées. Pour que les élèves comprennent les liens entre les quantités dans chacun de ces cas, il est important qu’elles et ils soient confrontés à divers types de problèmes.

L’addition et la soustraction ne sont que des opérations qui surviennent dans des problèmes. Il faut donc éviter de parler de « problèmes de soustraction » ou « problèmes d’addition », car c’est la compréhension de la situation, ainsi que la compréhension des opérations qui font choisir la stratégie de résolution de problèmes à adopter, en l’occurrence le choix de l’addition ou de la soustraction. Donc, les élèves doivent analyser le problème, choisir une stratégie et l’appliquer, tout comme le font les adultes. Dans ce contexte, le rôle du personnel enseignant est d’aider les élèves dans leur analyse et dans leur compréhension des opérations.

Il est important de noter que les problèmes présentés ci-dessous semblent similaires en raison de leur contexte. Or pour les élèves, chaque situation représente un problème particulier. C’est en maîtrisant ces divers types de problèmes que les élèves acquièrent une maîtrise de l’addition et de la soustraction.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 81.

Problèmes d’ajout

Le modèle partie-tout peut être utile pour représenter les valeurs connues et inconnues dans des problèmes d’ajout. Le modèle d’ensemble est utile pour représenter l’ajout d’une quantité.

  • Ajout : valeur finale inconnue

Jamil a un sac de 600 bonbons. Il achète 500 bonbons de plus. Combien de bonbons Jamil a-t-il à présent?

image Image un: 600 plus 500 égal point d’interrogation.Un rectangle bleu identifié avec un point d’interrogation au-dessus duquel un crochet représente la valeur finale.Sous le rectangle il y a 2 rectangles qui, ensemble, occupent le même espace que le rectangle bleu.Le rectangle de gauche est jaune et il y est inscrit le nombre 600. Un crochet sous le rectangle jaune indique que c’est la valeur initiale.Le rectangle de droite est rouge et il y est inscrit 500. Un crochet sous le rectangle rouge indique que c’est la valeur ajoutée.Image 2: 600 plus 500 égal point d’interrogation.Une légende décrit que chaque point noir vaut 100 bonbons.Un ensemble bleu contient un ensemble jaune et un ensemble rouge. L’ensemble jaune est identifié comme la valeur initiale.Dans l’ensemble jaune, il y a 6 points noirs. L’ensemble rouge est identifié comme la valeur ajoutée.Dans l’ensemble rouge il y a 5 points noirs.Dans le cercle bleu représentant la valeur finale, il y a un point d’interrogation.

  • Ajout : valeur initiale inconnue

Jamil a plusieurs bonbons. Il en achète 500 de plus. Il en a 1 100 à présent. Combien de bonbons Jamil avait-il au début?

image Point d’interrogation plus 500 égal 1100.Un rectangle bleu identifié avec le nombre 1100 au-dessus duquel un crochet représente la valeur finale.Sous le rectangle il y a 2 rectangles qui, ensemble, occupent le même espace que le rectangle bleu.Le rectangle de gauche est jaune et il y est inscrit un point d'interrogation. Un crochet sous le rectangle jaune indique que c’est la valeur initiale.Le rectangle de droite est rouge et il y est inscrit le nombre 500. Un crochet sous le rectangle rouge indique que c’est la valeur ajoutée.

\(?\; + \;500\; = \;1\;100\)

  • Ajout : valeur ajoutée inconnue

Jamil a un sac de 600 bonbons. Il en achète beaucoup d’autres. Il en a 1 100 à présent. Combien de bonbons Jamil a-t-il achetés?

image 600 plus point d’interrogation égal 1100.Un rectangle bleu identifié avec le nombre 1100 au-dessus duquel un crochet représente la valeur finale.Sous le rectangle il y a 2 rectangles qui, ensemble, occupent le même espace que le rectangle bleu.Le rectangle de gauche est jaune et il y est inscrit le nombre 600. Un crochet sous le rectangle jaune indique que c’est la valeur initiale.Le rectangle de droite est rouge et il y est inscrit un point d’interrogation. Un crochet sous le rectangle rouge indique que c’est la valeur ajoutée.

\(600\; + \;?\; = \;1\;100\)

Problèmes de retrait

Le modèle partie-tout peut être utile pour représenter les valeurs connues et inconnues dans des problèmes de retrait. Le modèle d’ensemble est utile pour représenter le retrait d’une quantité.

  • Retrait : valeur finale inconnue

Nadia a 1 500 $. Elle donne 500 $ à son frère. Combien lui reste-t-il de dollars à présent?

image Image un:1500 moins 500 égal point d’interrogation.Un rectangle bleu identifié avec le nombre 1500 au-dessus duquel un crochet représente la valeur initiale.Sous le rectangle il y a 2 rectangles qui, ensemble, occupent le même espace que le rectangle bleu.Le rectangle de gauche est jaune et il y est inscrit le nombre 500. Un crochet sous le rectangle jaune indique que c’est la valeur retirée.Le rectangle de droite est rouge et il y est inscrit un point d’interrogation. Un crochet sous le rectangle rouge indique que c’est la valeur finale.Image 2: 1500 moins 500 égal point d’interrogation.Une légende indique qu’un point noir équivaut à 100 dollars.Un grand ensemble bleu correspond à la valeur initiale.Dans l’ensemble bleu, 6 points noirs font partie d’un ensemble jaune représentant la valeur retirée. Une flèche rouge part de cette direction et pointe en dehors de l’ensemble bleu.À côté de l’ensemble jaune, dans l’ensemble bleu, il y a dix points noirs représentant la valeur finale. Une flèche rouge partant de l’extérieur de l’ensemble bleu et pointant vers l’ensemble de dix points noirs dans l’ensemble bleu.

\(1\;500\; - \;500\; = \;?\)

  • Retrait : valeur retirée inconnue

Nadia a 1 500 $. Elle en donne à son frère. Il lui reste 1 000 $ à présent. Combien d’argent Nadia a-t-elle donné à son frère?

image 1500 moins point d’interrogation égal 1000.Un rectangle bleu identifié avec le nombre 1500 au-dessus duquel un crochet représente la valeur initiale.Sous le rectangle, il y a 2 rectangles qui, ensemble, occupent le même espace que le rectangle bleu.Le rectangle de gauche est jaune et il y est inscrit un point d’interrogation. Un crochet sous le rectangle jaune indique que c’est la valeur retirée.Le rectangle de droite est rouge et il y est inscrit le nombre 1000. Un crochet sous le rectangle rouge indique que c’est la valeur finale.

\(1\;500\; - \;?\; = \;1\;000\)

  • Retrait : valeur initiale inconnue

Nadia avait un certain montant d’argent. Elle a donné 500 $ à son frère. Il lui reste 1 000 $ à présent. Combien Nadia avait-elle d’argent au début?

image Point d’interrogation moins 500 égal 1000.Un rectangle bleu identifié avec un point d'interrogation au-dessus duquel un crochet représente la valeur initiale.Sous le rectangle il y a 2 rectangles qui, ensemble, occupent le même espace que le rectangle bleu.Le rectangle de gauche est jaune et il y est inscrit le nombre 500. Un crochet sous le rectangle jaune indique que c’est la valeur retirée.Le rectangle de droite est vert et il y est inscrit le nombre 1000. Un crochet sous le rectangle vert indique que c’est la valeur finale.

\(?\; - \;500\; = \;1\;000\)

Problèmes de réunion 

Le modèle partie-tout peut être utile pour représenter les parties du tout connues et inconnues ou le tout connu ou inconnu dans des problèmes de réunion.

  • Réunion : partie du tout inconnue

La classe a 800 crayons de couleur. 300 de ces crayons sont rouges. Les crayons qui restent sont bleus. Combien la classe a-t-elle de crayons bleus?

image 800 moins 300 égal point d’interrogation.Un rectangle bleu identifié avec le nombre 800 au-dessus duquel un crochet représente le tout.Sous le rectangle il y a 2 rectangles qui, ensemble, occupent le même espace que le rectangle bleu.Le rectangle de gauche est jaune et il y est inscrit le nombre 300. Un crochet sous le rectangle jaune indique que c’est une partie du tout.Le rectangle de droite est vert et il y est inscrit un point d’interrogation. Un crochet sous le rectangle vert indique que c’est une partie du tout.

\(800\; - \;300\; = \;?\)

  • Réunion : Tout inconnu

La classe a beaucoup de crayons de couleur. Il y a 300 crayons rouges et 500 crayons bleus. Combien la classe a-t-elle de crayons de couleur?

image Point d’interrogation moins 300 égal 500.Un rectangle bleu identifié avec un point d’interrogation au-dessus duquel un crochet représente le tout.Sous le rectangle il y a 2 rectangles qui, ensemble, occupent le même espace que le rectangle bleu.Le rectangle de gauche est jaune et il y est inscrit le nombre 300. Un crochet sous le rectangle jaune indique que c’est une partie du tout.Le rectangle de droite est vert et il y est inscrit le nombre 500. Un crochet sous le rectangle vert indique que c’est une partie du tout.

\(?\; - \;300\; = \;500\)

Problèmes de comparaison 

Le modèle linéaire peut être utile pour représenter la différence entre 2 nombres dans des problèmes de comparaison. Dans cet exemple, on utilise les réglettes Cuisenaire et la droite numérique double.

  • Comparaison : différence inconnue

Judith a 600 $ et Jeanne a 300 $. Combien de dollars Judith a-t-elle de plus que Jeanne? OU Judith a 600 $ et Jeanne a 300 $. Combien de dollars Jeanne a-t-elle de moins que Judith?

Je sais que la réglette verte foncée représente 6 (centaines), alors je la place en haut de la droite numérique en partant du 0. Je sais que la réglette vert lime représente 3 (centaines), alors je la place sous la droite numérique en partant du 0. Je compare les 2 réglettes et je vois que la réglette vert lime est 3 (centaines) de moins que la réglette verte foncée. Je trouve la différence ou l’écart entre les 2 quantités. Il y a une différence de 300 $. Judith a 300 $ de plus que Jeanne ou Jeanne a 300 $ de moins que Judith.

image Une droite numérique graduée de zéro à 1000 par intervalles de 100.Une réglette vert foncé intitulée valeur comparée est posée sur le dessus de la droite et attribué à Judith. Cette réglette part de zéro et se rend jusqu’au tiret identifié par 600.Une réglette, vert lime, intitulée valeur de référence est sous la droite et est attribuée à Jeanne. Cette réglette part de zéro et se rend jusqu’au tiret identifié par 300. Un crochet reliant l'intervalle entre 300 et 600 est intitulé Différence connue.600 moins 300 égal point d’interrogation600 moins 300 égal 300.
  • Comparaison : valeur comparée inconnue

Judith a 300 $ de plus que Jeanne. Jeanne a 300 $. Combien de dollars Judith a-t-elle? OU Jeanne a 300 $ de moins que Judith. Jeanne a 300 $. Combien de dollars Judith a-t-elle?

Je sais que la réglette vert lime représente 3 (centaines), alors je la place en haut de la droite numérique en partant du 0. Je prends 1 autre réglette vert lime et je la place sous la droite numérique en partant du 0 et j’ajoute 1 autre réglette vert lime puisque Judith a 300 $ de plus que Jeanne. Je remplace les 2 réglettes vert lime avec la réglette verte foncée qui représente 6 (centaines). Judith a donc 600 $.

image Image un: Une droite numérique graduée de zéro à 1000 par intervalles de 100.Une réglette, vert lime, intitulée valeur de référence est sur la droite et est attribuée à Jeanne. Cette réglette part de zéro et se rend jusqu’au tiret identifié par 300.Trois bonds entre 300 et 400, 400 et 500 et 500 et 600 sont indiqués comme étant la différence.Un crochet reliant l'intervalle de zéro à 600 est identifié comme la valeur comparée inconnue.Image 2: 2 réglettes vert lime de longueur identique sont côte à côte. En dessous se trouve une autre réglette qui équivaut à la longueur des 2 réglettes du dessus. Cette réglette est vert foncé et est identifiée comme Judith.

\(?\; - \;300\; = \;300\)

  • Comparaison : valeur de référence inconnue

Judith a 600 $ et Jeanne a 300 $ de moins que Judith. Combien de dollars Jeanne a-t-elle? OU Jeanne a 300 $ de moins que Judith. Judith a 600 $. Combien de dollars Jeanne a-t-elle?

Je sais que la réglette verte foncée représente 6 (centaines), alors je la place en haut de la droite numérique en partant du 0. Sur la droite numérique, je compte à rebours de 3 bonds pour arriver à 300 pour représenter que Jeanne a 300 $ de moins que Judith. Je prends une réglette vert lime, qui représente 3 (centaines) et je la place sous la droite numérique en partant du 0. Jeanne a 300 $.

image Une droite numérique graduée de zéro à 1000 par intervalles de 100. Une réglette vert foncé intitulée valeur comparée est posée sur le dessus de la droite et attribué à Judith. Cette réglette part de zéro et se rend jusqu’au tiret identifié par 600. Un crochet reliant les tirets zéro et 300 est identifié avec un point d’interrogation. Ce crochet signifie la valeur de référence inconnue. Trois bonds partent de 600 vers 500, de 500 vers 400 et de 400 vers 300. Ces bonds sont identifiés comme étant la différence. Image 2: une réglette vert lime identifiée comme Jeanne ayant la longueur de l’intervalle zéro à 300 de la droite de l’image un.

\(600\; - \;?\; = \;300\)

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 9-10.

Les problèmes d’ajout et de retrait sont perçus par les élèves comme des situations actives, plus faciles à modéliser et à « voir », car la quantité initiale augmente ou diminue. Les problèmes de réunion, cependant, supposent une situation statique, car aucune action ou aucun changement ne se produit, ce qui les rend plus abstraits et plus difficiles à comprendre. Les problèmes de comparaison, quant à eux, traitent de la relation entre 2 quantités en les opposant : il n’y a donc pas d’action, mais une comparaison d’une quantité à une autre.

Puisque les élèves sont exposés régulièrement à des problèmes dont la quantité finale est recherchée, ils les résolvent plus aisément. Cependant, ils ont plus de mal à résoudre les problèmes dont l’inconnue est la quantité initiale, la quantité ajoutée ou la quantité retirée. Ces problèmes aident à développer une compréhension plus solide des opérations d’addition et de soustraction et des liens entre les opérations. Par exemple, dans le cas des problèmes d’ajout dont l’inconnue est la quantité initiale, les élèves voient plus facilement les avantages de l’addition (par exemple, \(?\; + \;12\; = \;37\)) qui permet de respecter l’ordre dans lequel se déroule l’action dans le problème. Cela leur permet d’utiliser une stratégie (par exemple, dénombrement ou compte à rebours) afin de déterminer la quantité initiale. Ces élèves démontrent leur compréhension du problème et leur habileté à utiliser une stratégie pour le résoudre. Cependant, ils ne démontrent pas une compréhension du sens de la différence (et de la soustraction). Si elles et ils avaient utilisé la soustraction, soit \(37\; - \;12\; = \;?\), elles et ils auraient démontré une compréhension plus élargie des liens entre les quantités par rapport à cette opération. Il est toutefois inutile d’imposer une stratégie aux élèves lorsqu’elles et ils sont en apprentissage.

L’obligation de soustraire n’aidera en rien les élèves qui ne voient pas la pertinence de cette stratégie. Toutefois, si elles et ils sont régulièrement en contact avec une variété de problèmes et participent aux échanges mathématiques qui suivent, elles et ils arrivent à voir les liens entre diverses stratégies et à assimiler une variété de stratégies. Elles et ils deviennent alors plus performants.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 83-84.

Stratégies de calculs

Les stratégies personnelles ou inventées offrent plusieurs avantages par rapport à l’enseignement traditionnel des algorithmes usuels, à commencer par la fierté et la confiance en soi qu’elles procurent. Les élèves qui utilisent des algorithmes personnels font moins d’erreurs, car elles et ils comprennent ce qu’elles et ils font. De plus, elles et ils améliorent leur connaissance et leur compréhension du système numérique à base 10, sur lequel reposent la plupart des stratégies de calcul.

Par ailleurs, Van de Walle et Lovin (2006, p. 40) précisent que des recherches démontrent que les élèves qui ont pu développer des stratégies personnelles réussissent aussi bien, sinon mieux, que les autres dans des tests standardisés.

Il existe des disparités de taille entre les algorithmes personnels et les algorithmes usuels. Les algorithmes personnels sont habituellement orientés sur le sens des chiffres, selon leur position (par exemple, dans l’addition 323 + 20, j’ajoute 2 dizaines à 323, ce qui donne 343) alors que les algorithmes usuels tendent à utiliser les chiffres sans tenir compte de leur position (par exemple, dans l’addition \(323\; + \;20\), on fait : \(3\; + \;0\), c’est 3; \(2\; + \;2\), c’est 4…).

Les algorithmes usuels commencent habituellement par la droite, alors que dans leurs algorithmes personnels, les élèves commencent souvent par la gauche, ce qui leur permet de maintenir un sens de la grandeur des quantités en cause. Puisqu’un algorithme personnel est le fruit de l’imagination et de la compréhension de chaque élève, il demeure très souple, de manière qu’il puisse servir dans diverses situations.

En salle de classe, il est suggéré d’examiner plusieurs algorithmes pour une même opération. Il est essentiel que les élèves comprennent le raisonnement derrière les gestes posés dans ces algorithmes. Avec le temps, cela leur permet de choisir une stratégie efficace selon le contexte. L’enseignante ou l’enseignant qui a dans sa classe des élèves de cultures différentes peut les inviter à discuter, à la maison, de la méthode que leurs parents utilisent pour effectuer une addition, une soustraction, une multiplication ou une division. Ces élèves peuvent présenter ces méthodes à la classe, ce qui peut apporter de nouvelles stratégies.

On présente souvent les algorithmes usuels comme principale stratégie de calcul. Bien qu’ils soient efficaces, ils ne sont pas toujours appropriés. Lorsque l’enseignement est axé sur l’algorithme usuel, par exemple, pour calculer \(300\; - \;15\), les élèves ont tendance à sortir un crayon et à résoudre le problème par écrit, avec l’algorithme écrit et ses échanges, ce qui est une source commune d’erreurs. Il est pourtant plus efficace de calculer mentalement comme suit : \(300\; - \;10\; = \;290,\;\;\;290\; - \;5\; = \;285\). De plus, l’algorithme usuel n’est pas la meilleure méthode à utiliser là où une estimation suffit. C’est pourquoi il est suggéré de considérer l’algorithme usuel comme une stratégie de calcul parmi tant d’autres.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 118-119.

Les élèves peuvent résoudre des problèmes écrits de différentes façons. Les tableaux qui suivent donnent quelques exemples d’algorithmes d’additions et de soustractions. Ce ne sont pas les seules façons de résoudre un problème, il en existe beaucoup d’autres, aussi faut-il donner aux élèves des occasions de raisonner pour découvrir d’autres façons de faire.

Voici des algorithmes que peuvent utiliser les élèves pour déterminer la somme 566 + 379 = _.

Il en existe d'autres et ils varieront dans chaque groupe-classe.

Des additions sont superposées :566 plus 4 égal 570.570 plus 30 égal 600.600 plus 300 égal 900.900 plus 40 égal 940.940 plus 5 égal 945.Tous les deuxièmes nombres des additions sont encerclés, et additionnés pour un total de 379.

L'élève procéde par étapes et décompose le dernier nombre seulement.

566 plus 379 égal 500 plus 60, plus 6 plus, 300 plus, 70 plus, 9.Égal 500 plus 300, plus 60 plus 70 plus 6, plus 9.Égal 800 plus 130 plus, 5 plus 10.Égal 930 plus 15.Égal 945.

L'élève décompose horizontalement les nombres.

Addition à la verticale :566 plus 379 égal800 plus 130 plus 15 égal945

L'élève regroupe les centaines, les dizaines et les unités.

Dans une bulle de pensée on peut lire :(Parenthèse ouvrante) 566 plus 4 (parenthèse fermante) plus (parenthèse ouvrante) 370 moins 4 (parenthèse fermante).566 plus 379 égal 570 plus 375Égal 500 plus 300, plus 70 plus 75.Égal 800 plus 145.Égal 945.

L'élève utlise une technique de compensation.

Voici des exemples d'algorithmes que peuvent utiliser les élèves pour déterminer la différence 631 - 439 = _ et l'expliquer. Il en existe d'autres et ils varieront dans chaque groupe-classe.

3 soustractions sont superposées.631 moins 400 égal 231.231 moins 30 égal 201.201 moins 9 égal 192.Tous les deuxièmes nombres des soustractions sont encerclés et additionnés pour un total de 439.Dix blocs de centaines sont alignés.4 d’entre eux sont marqués d’une croix rouge.3 colonnes de dix sont marquées d’une croix rouge ainsi que neuf blocs d’unités.Une soustraction :631 moins 400 moins 30 moins, 9 égal 192.

L'élève décompose le second terme et soustrait par étapes.

image Overlapping subtraction.631 minus 400 equals 231.231 minus 30 equals 201.201 minus 9 equals 192.All the second numbers in the subtractions are circled and added for a total of 439.Ten blocks of hundreds are lined up.4 of them are marked with a red cross.3 columns of tens are marked with a red cross as are nine blocks of units.Substraction:631 minus 400 minus 30 minus, 9 equals 192.

L'élève additionne pour soustraire.

631 égal 500 plus 100 plus 30 plus un.631 moins 439 égal 500 « barré et remplacé par 100», plus 100 « barré et remplacé par 70 », plus 30 « barré et remplacé par 21», plus un.Égal 192.

L'élève décompose le premier terme et soustrait par étapes.

image 439 plus 200 égal 639.639 moins 8 égal 631.200 et un sont encerclés et soustraits, c’est égal à 192.Sur une droite numérique de 439 à 639, sans intervalles réguliers, des flèches représentent les bonds suivants :De 439 à 639, bond de plus 200.De 639 à 631 bonds de moins 8.

L'élève utlise la droite numérique et note ses déplacements.

image Droite numérique de 191 à 631, sans intervalle régulier. Des flèches représentent des bonds :-de 191 à 192, un bond de plus un.-de 631 à 231, un bond de moins 400.-de 231 à 201, un bond de moins 30.-de 201 à 191, un bond de moins dix.Des phrases numériques sont superposées :631 moins 400 égal 231.231 moins 30 égal 201.201 moins dix égal 191.191 plus un égal 192.Tous les deuxièmes nombres sont encerclés, et additionnés pour un total de 439.

L'élève utilise la droite numérique et compte à rebours à partir du plus grand nombre.

Stratégies pour faciliter la compréhension des algorithmes usuels

Il est important de proposer aux élèves plusieurs activités d’exploration des algorithmes usuels en utilisant du matériel de manipulation tel que le tapis de valeur de position, les cubes emboîtables, les cadres à 10 cases, le matériel de base 10, la droite numérique, etc.

Le personnel enseignant doit leur fournir plusieurs occasions de créer leurs propres algorithmes, d’expliquer leurs stratégies ainsi que les raisons qui motivent leurs choix. Il est primordial de donner aux élèves la chance et le temps d’explorer plus en profondeur les algorithmes et de favoriser les échanges. Il est important de les encourager à travailler à 2 (une ou un élève prend en note les étapes de la démarche alors que l’autre travaille avec la représentation concrète). La compréhension du sens des étapes d’un algorithme usuel se développe lorsque l’enseignante ou l’enseignant permet aux élèves de le comparer à leur propre algorithme afin d’établir des liens entre les 2 démarches comme « additionner de gauche à droite et combiner ».

Addition sur les nombres à plusieurs chiffres sans regroupement 

Une addition de grands nombres peut être représentée sur une droite numérique. Par exemple, les élèves pourraient effectuer \(435\; + \;223\) en décomposant \(223 \ \left( {200\; + \;15\; + \;8} \right)\) et en représentant l’opération comme suit :

image Algorithme personnel435 plus 200 égal 635635 plus 15 égal 650650 plus 8 égal 658Algorithme usuelAddition verticale de 435 plus 223 égal 658.Droite numérique graduée de 400 à 800 par intervalles de 50.Des tirets sont indiqués aux nombres 435, 635, 650 et 658.Un bond de plus 200 est représenté entre les tirets 435 et 635.Un autre bond de plus 15 est représenté entre les tirets 635 et 650.Un autre bond de plus 8 est représenté entre les tirets 650 et 658.

Au fil du temps, les élèves développent progressivement leur sens de l’abstraction et peuvent utiliser la même stratégie sans avoir recours à une droite numérique, mais en effectuant le calcul mentalement.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 122-123.

Addition sur les nombres à plusieurs chiffres avec regroupement

(Van de Walle et Folk, 2005, p. 191)

Il est important que les élèves puissent s’exercer à échanger des groupes de 10 unités en dizaines, des groupes de 10 dizaines en centaines, etc. Elles et ils ont besoin de l’appui de représentations visuelles de regroupements afin de développer une compréhension conceptuelle de l’algorithme.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 57.

Le matériel de base 10 aide certains élèves à visualiser l’opération plus clairement. Voici comment le matériel de base 10 peut servir pour représenter les additions.

Exemple 

image 186 plus 56.Le nombre 186 est représenté par une planchette de 100 petits cubes accompagnée de 8 réglettes et de 6 petits cubes individuels représentent le nombre 186.Le nombre 156 est représenté par une planchette de 100 petits cubes, 5 réglettes et 6 petits cubes individuels. Les 6 petits cubes du nombre 186 sont encerclés et barrés pour former une réglette de dix avec 4 des 6 petits cubes du nombre 156.5 des 8 réglettes du nombre 186 sont encerclées et barrées additionnées aux 5 réglettes du nombre 156 qui sont aussi encerclées et barrées pour former une planchette de 100.186 plus 156 égal 342.Après avoir créé ces liens, il reste dans l’image 3 planchettes, 4 réglettes et 2 petits cubes, ce qui démontre le résultat de l’opération 186 plus 156 égal 342.Algorithme usuel:L'opération, 186 plus 156 égal 342, est démontrée de façon verticale et des flèches partant de la nouvelle planchette formée ainsi que de la nouvelle réglette formée précédemment montrent la centaine et la dizaine qui sont ajoutées au-dessus de l’addition.

Les élèves peuvent aussi avoir recours à un tapis de valeur de position qui permet d’organiser le matériel selon la position du chiffre dans le nombre.

image Tapis de position de valeur.De gauche à droite, dans le tableau de l’addition, on peut y voir: Les 2 nombres à additionner: 186 et 156, La position des centaines: chacun des 2 nombres a une planchette de 100 petits cubes., La position des dizaines: le nombre 186 a 8 réglettes et le nombre 156 a 5 réglettes., La position des unités: le nombre 186 a 6 petits cubes et le nombre 156 a aussi 6 petits cubesDans la colonne de la position des unités, on voit que les 6 cubes du nombre 186 sont mis dans un ensemble de dix avec 4 des cubes du nombre 156 et de cet ensemble formant une réglette part une flèche montrant que cette dizaine est déplacée vers la gauche pour ajouter une dizaine.Dans la colonne de la position des dizaines, les 8 réglettes du nombre 186 et 2 réglettes du nombre 156 sont entourées pour former une nouvelle planchette, donc 100 unités. Une flèche part de ce nouvel ensemble et montre que cette centaine est déplacée vers la gauche dans la position des centaines.La nouvelle dizaine et la nouvelle centaine sont ajoutées à l’opération verticale 186 plus 156 et identifiées par des “ uns “ au-dessus des dizaines et des centaines.Une grosse flèche part de ce tapis de valeur et va vers un deuxième tapis de valeur à droite où le résultat de l’équation, 342, est illustré à l’aide de 3 planchettes dans la position des centaines, de 4 réglettes dans la position des dizaines et de 2 unités.

La même expression numérique (\(186\; + \;156\)) peut être représentée à l’aide d’illustrations. Ainsi, les élèves démontrent un certain niveau d’abstraction puisqu’un dessin quelconque représente 100, 10 ou 1.

image Une illustration qui représente les nombres 186 et 156, pour un total de 342 éléments.186 : un bloc qui représente la centaine, 8 bâtons représentent les dizaines et 6 bâtonnets représentent les unités.156 : un bloc représente la centaine, 5 bâtons représentent les dizaines et 6 bâtonnets représentent les unités.Un ensemble regroupe dix bâtons de dizaine.Un autre ensemble regroupe, 5 bâtonnets.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 123-124.

Soustraction sans échange

Comme pour l’addition, les élèves utilisent souvent du matériel de manipulation pour effectuer des soustractions. Cette stratégie les aide à saisir le concept de retrait, même si elle n’est pas très efficace lorsqu’il s’agit de grands nombres.

60 moins 28.L’image montre 2 ensembles de jetons, une main déplace les jetons d’un ensemble à l’autre un à un.L’équation 60 moins 28 égal 32.

Le matériel de base 10 permet aux élèves d’effectuer la soustraction au moyen d’un retrait.

Exemple 1

image 439 moins 127 égal 312.L’image montre 4 planchettes de 100 unités, 3 réglettes de dix unités ainsi que 9 cubes. Une planchette, 2 réglettes et 7 unités sont entourées et une grosse flèche pointant vers la droite indique la soustraction de tous ces cubes.

Si les élèves utilisent le tapis de valeur de position pour la soustraction, certaines et certains élèves sont portés à représenter les 2 termes. La soustraction est alors effectuée par comparaison.

Exemple 2

image Tapis de valeur de position.439 moins 127 égal 312.Un tableau comprenant 3 colonnes représentant de gauche à droite les centaines, les dizaines et les unités ainsi que 2 lignes.La ligne du haut représente le nombre 439 avec 4 planchettes, 3 réglettes ainsi que 9 unités.Une flèche part de l’une des planchettes et pointe vers la ligne au-dessous pour montrer qu’une planchette est soustraite.Une flèche partant de 2 réglettes et pointant vers la ligne au-dessous pour montrer que 2 dizaines sont soustraites.7 petits cubes indiqués avec des tirets et ayant une flèche partant de cette direction et allant vers la ligne au-dessous montrant que 7 unités sont soustraites.La ligne du bas dans le tapis représente le nombre qui est soustrait, 127, avec une planchette de 100 unités, 2 réglettes de dix unités et 7 unités.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 127-128.

Soustraction avec échange 

(Van de Walle et Folk, 2005, p. 193)

L’exploration de la soustraction avec échange en favorise la compréhension conceptuelle. Le personnel enseignant devrait encourager les élèves à utiliser le tapis de valeur de position et du matériel de base 10 pour modéliser la soustraction avec échange. Les élèves peuvent travailler à 2. Elles et ils peuvent passer à la forme écrite de l’algorithme une fois qu’elles et ils en ont développé une solide compréhension par l’entremise de modèles.

Dans le cas du problème \(325\; - \;118\), les élèves représentent le 1er nombre (325) avec du matériel de base 10 sur la portion supérieure du tapis de valeur de position. Ne pouvant pas retirer 8 unités puisqu’il n’y en a que 5, les élèves échangent une dizaine pour 10 unités.

image Tapis de valeur de position.3 colonnes de gauche à droite intitulées centaines, dizaines et unités.Il y a 3 planchettes de 100 unités dans la colonne des centaines. Il y a 2 réglettes de dix unités dans la colonne des dizaines et 5 unités dans la colonne des unités.À droite on voit l’opération verticale 325 moins 118.On ne peut retirer 8 unités puisqu’il n’y en a que 5. image Tapis de valeur de position.3 colonnes de gauche à droite intitulées centaines, dizaines et unités.Il y a 3 planchettes de 100 unités dans la colonne des centaines. Il y a 2 réglettes de dix unités dans la colonne des dizaines et 5 unités dans la colonne des unités.Dans la colonne des dizaines, une des 2 réglettes est encerclée. Une flèche part de cette direction et va dans la colonne des unités où on peut voir dix unités additionnelles encerclées aussi.Échanger une dizaine pour dix unités. Avec 15 unités, il est maintenant possible d’en retirer 8.L’opération 325 moins 118 est inscrite à la verticale et on voit que les 25 du 325 est barré et sur le dessus du 5 on peut voir le nombre 15 puisqu’une dizaine d’unités a été ajoutée et au-dessus du 2 il y a un “ un ” car une dizaine a été retirée.

Elles et ils obtiennent ainsi un groupe de 15 unités à partir duquel il leur est maintenant possible d’en retirer 8 de sorte qu’il en reste 7. Il faut encourager les élèves à regrouper les unités sur le tapis afin de mieux organiser leur travail.

image Tapis de valeur de position.3 colonnes de gauche à droite intitulées centaines, dizaines et unités.Il y a 3 planchettes dans la colonne des centaines, une réglette dans la colonne des dizaines et 7 unités dans la colonne des unités.À droite du tapis de valeur:Retirer 8 unités.8 petits cubes individuels sont illustrés.Il reste 7 unités.L’opération verticale 325 moins 118 égal 7 est inscrite et le 2 de 325 est barré et remplacé par un. Le 5 de 325 est barré et remplacé par 15.

Les élèves retirent maintenant 1 dizaine et 1 centaine et les placent à l’extérieur du tapis.

image Tapis de valeur de position.3 colonnes de gauche à droite intitulées centaines, dizaines et unités.Il y a 2 planchettes dans la colonne des centaines, zéro réglette dans la colonne des dizaines et 7 unités dans la colonne des unités.À droite du tapis de valeur:Retirer une dizaine et la placer à l’extérieur du tapis.Retirer une centaine et la placer à l’extérieur du tapis.Sont illustrés 8 petits cubes, une réglette et une planchette.Il reste 2 centaines et 7 unités.L’opération 325 moins 118 égal 207 est inscrite de façon verticale. Le 2 de 325 est barré et remplacé par un. Le 5 de 325 est barré et remplacé par 15.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 58-59.

Les élèves peuvent aussi utiliser la droite numérique pour effectuer une soustraction. Par exemple, pour calculer \(263\; - \;45\), elles et ils peuvent utiliser la compensation afin de travailler avec des nombres plus familiers. Puisque \(263\; + \;2\; = \;265\), on peut donc effectuer \(265\; - \;45\; = \;220\) et ensuite, soustraire 2 pour compenser \((263\; + \;2\; - \;45\; - \;2)\).

Les élèves n’ont pas à transcrire leur réflexion sous forme d’expression numérique, mais peuvent néanmoins utiliser la droite numérique pour illustrer leur démarche :

image Droite numérique graduée de 220 à 260 par intervalles de 5.Il y a un tiret à 263. Une flèche partant d’un tiret indiqué à 263 et allant au tiret 265 marquant un bond de plus 2 est indiquée. Une autre flèche partant de 265 et pointant le tiret 220 marque un bon de moins 45.Une flèche partant du tiret 220 et pointant un tiret à 218 marque un bond de moins 2.

La droite numérique peut également être employée avec la décomposition selon les valeurs de position des chiffres du nombre (263 – 40 = 223, 223 – 5 = 218) :

Droite numérique graduée de 220 à 260 par intervalles de 5.Un tiret indique 263. Une flèche part de cette direction et va jusqu’au tiret 223 montrant un bond de moins 40.Une flèche part du tiret 223 et pointe le tiret 218 montrant un bond de moins 5.

La droite numérique ouverte permet aux élèves de procéder par bonds significatifs (263 – 3 = 260, 260 − 40 = 220, 220 – 2 = 218) :

Droite numérique graduée montrant l’intervalle entre 220 et 260. Un tiret indique 263. Une flèche part de cette direction et pointe le tiret 260 montrant un bond de moins 3. Une flèche parant de 260 et pointant vers 220 montre un bond de moins 40. Une flèche partant du tiret 220 et pointant le tiret 218 montre un bon de moins 2.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 127.

Les élèves peuvent utiliser des dessins pour illustrer rapidement une expression numérique comme \(1\;369 - 821\). Les nombres peuvent être représentés par des lignes, des cercles, des points, etc. Un retrait peut être exprimé par des barres sur le dessin. Pour \(1\;369\; - \,821\), il faut enlever 8 centaines, 2 dizaines et 1 unité des 13 centaines, 6 dizaines et 9 unités.

1369 moins 821 égal 548.Dessin montrant 13 centaines illustrées par de gros cercles, 6 dizaines illustrées par des cercles moyens et 9 unités.8 centaines sont barrées.2 dizaines sont barrées.Une unité est barrée.

Habileté : représenter et résoudre des problèmes relatifs à l’addition et la soustraction de nombres décimaux jusqu’aux centièmes

Pour additionner efficacement des nombres décimaux, les élèves doivent comprendre la valeur de position des chiffres qui composent chacun des nombres et en tenir compte dans leurs calculs. Les élèves doivent aussi reconnaître que la virgule est un repère qui permet d’identifier la valeur de position des chiffres. Lors d’une addition, pour assurer la correspondance des valeurs de position, on peut aligner les virgules. Pour les élèves qui ont un bon sens de l’addition et de la valeur de position, l’alignement de la virgule n’est pas une règle à mémoriser, mais une façon de tenir compte des valeurs de position.

Lorsqu’on additionne des nombres décimaux, le concept de regroupement est utilisé tout comme lors de l’addition de nombres naturels. Par exemple, tout comme l’on peut ajouter 3 centaines à 8 centaines pour former 11 centaines, on peut ajouter 3 dixièmes à 8 dixièmes pour former 11 dixièmes. Or, puisque le système décimal ne permet pas d’inscrire 2 chiffres dans une même position, les élèves doivent comprendre le concept de regroupement, comme l’illustre le tableau ci-après.

Addition de nombres naturels Addition de nombres décimaux

8 centaines + 3 centaines = 11 centaines

(Le petit cube Un cube représente une centaine représente l'unité.)

Représentation de l’addition : 8 centaines plus 3 centaines égal 11 centaines.8 cubes sont illustrés à côté de 3 cubes.

8 dixièmes + 3 dixièmes = 11 dixièmes

(La languette Une languette représente l’unité. représente l'unité.)

Représentation de l’addition : 8 dixièmes et 3 dixièmes. Égal 11 dixièmes.8 languettes sont illustrées à côté de 3 autres languettes.

Le système décimal ne permet pas d'inscrire deux chiffres dans une même position.

Valeurs de position zéro unité de mille, 11 centaines, zéro dizaine, zéro unité.

Le système décimal ne permet pas d'inscrire deux chiffres dans une même position.

Unités.Une flèche partant du mot unité et pointant vers le bas.À droite un peu plus bas que le mot unité:Une virgule.À droite:Dixièmes. Une flèche part de cette direction et pointe le nombre 11.
Puisque 10 centaines peuvent être regroupés en 1 millier, on a un millier et 1 centaine.

Un cube de milles et une planchette de 100.

La quantité « 11 centaines » s'écrit 1100.

Puisque 10 dixièmes peuvent être regroupés en 1 unité, on a une unité et 1 dixième.

Une réglette de dix, et un cube d’une unité.

La quantité « 11 dixièmes » s'écrit 1,1.

Le matériel de base 10 et le tapis de valeur de position sont une aide précieuse. Avec ce matériel, les quantités de même valeur sont réunies de façon explicite, par exemple, les centièmes sont additionnés avec les centièmes. Lorsque les élèves travaillent avec du matériel de base 10, elles et ils utilisent leurs connaissances de la valeur de position et, de ce fait, elles et ils approfondissent le concept de regroupement, en transférant ce concept qu’elles et ils appliquaient aux nombres naturels à des situations impliquant des nombres décimaux. Les élèves reconnaissent alors que peu importe la valeur de position, chaque fois que 10 éléments se retrouvent dans une position, ils sont remplacés par 1 groupe de 10 qui est placé dans la position à sa gauche.

L’utilisation de ce type de matériel accroît la compréhension des élèves et leur fait découvrir des algorithmes pour l’addition de nombres décimaux. À partir de leur connaissance des stratégies d’addition des nombres naturels et de leur compréhension des nombres décimaux, les élèves peuvent les additionner à l’aide de matériel de base 10, d’une droite numérique, d’un algorithme personnel ou de l’algorithme usuel. Il est important que le personnel enseignant amène les élèves à établir des liens entre ces stratégies afin de consolider l’addition de nombres décimaux.

Voici différentes stratégies d’addition de 2 nombres décimaux, par exemple :

Exemple 

\(1,57\; + \;2,72\)

Afin d’estimer la somme, il est possible de raisonner comme suit : \(1,57\; + \;2,72\), c’est à peu près \(2\; + \;3\), donc environ 5.

Addition à l’aide de matériel de base 10 

Pour additionner les 2 quantités, on représente chacun des 2 nombres à l’aide de matériel de base 10 sur un tapis de valeur de position. En réunissant le matériel, on obtient 3 unités, 12 dixièmes et 9 centièmes. On regroupe 10 dixièmes qu’on échange contre 1 unité. On a alors 4 unités, 2 dixièmes et 9 centièmes, soit 4,29.

image Tapis de valeur de position, pour une addition.De gauche à droite, il y a 4 colonnes, unités, la virgule, les dixièmes, et les centièmes.Les valeurs suivantes sont représentées :Un virgule 57, un bloc dans les unités, la virgule, 5 réglettes dans les dixièmes et 7 cubes dans les centièmes.2 virgule 72, 2 blocs dans les unités, la virgule, 7 réglettes dans les dixièmes et 2 cubes dans les centièmes.Dix réglettes font un ensemble et deviennent un bloc qui sera placé dans la colonne unités.Le total est : 4 virgule 29, 4 blocs dans les unités, la virgule, 2 réglettes dans les dixièmes et 9 cubes dans les centièmes.

Addition à l’aide d’une droite numérique 

image Droite numérique non graduée où sont inscrit les nombres en ordre croissant: “ un, virgule 57”, “ 3 virgule 57 ” et “ 4, virgule 27 ”.Une flèche part de, un, virgule 57 et pointe 3, virgule 57 montrant un bond de plus 2. Une autre flèche part de 3, virgule 57 et pointe 4, virgule 27 montrant un bond de plus zéro, virgule 7..Une flèche part de 4 virgule 27 et pointe 4 virgule 29, montrant un bond de plus zéro virgule zéro 2.Un, virgule 57 plus 2, virgule 72 égal un, virgule 57 plus 2 plus zéro, virgule 7.Un, virgule 5 plus 2, virgule 7 égal 4, virgule 2.

Addition à l’aide d’un algorithme personnel 

Les nombres sont décomposés selon les valeurs de position.

Exemple 

Raisonnement de l’élève

\(1,57 + 2,72\)

\(\begin{align} 0,07\; + \;0,02\; &= \;0,09\\0,5\; + \;0,7\; &= \;1,2\\1\; + \;2\; &= \;3\end{align}\) \(1,57\; + \;2,72\;\;\;{\rm{c'est}}\;\;\;0,09\; + \;1,2\; + \;3,\;\;\;{\rm{soit}}\;\;\;{\rm{4}}{\rm{,29}}{\rm{.}}\)

  1. 7 centièmes plus 2 centièmes, ça donne 9 centièmes (0,09).
  2. 5 dixièmes plus 7 dixièmes, ça donne 12 dixièmes, ce qui est équivalent à 1 unité et 2 dixièmes (1,2).
  3. 1 unité plus 2 unités, ça donne 3 unités.
  4. Alors 1,57 + 2,72, c’est 0,09 + 1,2 +3, soit 4,29

Addition à l’aide de l’algorithme usuel 

Exemple 

Raisonnement de l’élève

image Un virgule 57, plus 2 virgule 72 égal 4 virgule 29.Le raisonnement de l’élève : « premièrement, 7 centièmes plus 2 centièmes, ça donne 9 centièmes.Deuxièmement, 5 dixièmes plus 7 dixièmes, ça donne 12 dixièmes. J’échange dix dixièmes contre une unité. J’ai donc une unité et 2 dixièmes. J’écris un 2 en bas dans la colonne des dixièmes et un petit un en haut dans la colonne des unités.Troisièmement, une unité plus une unité, plus 2 unités, ça donne 4 unités. J’écris un 4 en bas dans la colonne des unités.Quatrièmement, en tout, il y a 4 unités et 29 centièmes. »

Au cours de la soustraction, il est important, comme il l’était dans le cas de l’addition, de tenir compte de la valeur de position des chiffres qui composent les nombres. Les stratégies pour soustraire les nombres décimaux sont essentiellement les mêmes que celles utilisées pour soustraire les nombres naturels.

Soustraction à l’aide de matériel de base 10 

Lorsque les élèves utilisent du matériel concret pour représenter une soustraction, les élèves peuvent réellement manipuler les quantités. Pour déterminer une différence, les élèves peuvent comparer une quantité à une autre ou retirer une quantité d’une autre. En outre, les élèves découvrent, en utilisant ce matériel, qu’il est parfois nécessaire d’effectuer des échanges pour pouvoir déterminer plus facilement la différence entre les quantités.

  • Exemple de comparaison

\(3,46\; - \;1,21\)

On représente chaque nombre à l’aide de matériel de base 10 et on apparie les quantités semblables (en rouge) dans chaque position. La différence est représentée par les quantités qui restent dans le nombre 3,46 (en bleu). Ainsi, on obtient \(3,46\; - \;1,21\; = \;2,25\).

image Tapis de valeur de position, pour une soustraction.De gauche à droite, il y a 4 colonnes, unités, la virgule, les dixièmes, et les centièmes.Les valeurs suivantes sont représentées : 3 virgule 46 moins un virgule 21.Pour 3 virgule 46, 3 blocs dans unités, la virgule, 4 planchettes de dix dans les dixièmes et 6 réglettes dans les centièmes.Des flèches amènent des éléments du premier chiffre vers le bas du tapis pour illustrer la soustraction :Pour représenter un virgule 21, on enlève de 3 virgule 46, les éléments suivants :- dans les unités, un bloc, - la virgule est posée,- 2 planchettes dans les dixièmes,- une réglette dans les centièmes.Le résultat est 2 virgule 25, 2 blocs dans les unités, la virgule, 2 planchettes dans les dixièmes et 5 réglettes dans les centièmes.
  • Exemple de retrait

\(3,40\; - \;2,1\)

On représente le nombre 3,40 à l’aide de matériel de base 10. Ensuite, on retire l’équivalent du nombre 2,1. Il reste alors sur le tapis la différence entre les 2 nombres, soit 1,3.

Sur un tapis de valeurs de position,3 blocs dans la colonne des unités., la virgule, 4 planchettes dans les dixièmes, et rien dans la colonne des centièmes.Des flèches illustrent un déplacement de 2 blocs d’unités et une planchette de dixièmes.
  • Exemple d’échange

\(2,42\; - \;1,26\)

On représente le nombre 2,42 à l’aide de matériel de base 10. En voulant utiliser la stratégie de retrait pour effectuer la soustraction, on se rend compte qu’il n’y a que 2 centièmes sur le tapis alors qu’on doit retirer 6 centièmes. Dans ce cas, on échange 1 dixième contre 10 centièmes. On retire ensuite l’équivalent du nombre 1,26.

image Sur un tapis de valeur de position, 2 blocs dans unités, la virgule, 4 planchettes dans les dixièmes, 2 réglettes dans les centièmes.Un bloc d’unités est barré. 2 planchettes dans les dixièmes, une autre planchette est déplacée dans les centièmes et se transforme en ensemble de dix réglettes. Les 2 réglettes sont barrées ainsi que 4 réglettes dans l’ensemble.

Il reste alors sur le tapis, la différence entre les 2 nombres, soit 1,16.

Soustraction à l’aide d’une droite numérique 

image Une droite numérique, Les points suivants sont identifiés : un virgule 16, un virgule 22, un virgule 42, 2 virgule 42.Des flèches représentent des bonds :Un bond de moins un de 2 virgule 42, à un virgule 42.Un bond de moins zéro virgule 2 de, un virgule 42 à un virgule 22.Un bond de moins zéro virgule zéro 6, de un virgule 22 à un virgule 16.2 virgule 42 moins un virgule 26 égal 2 virgule 42 moins un, moins zéro virgule 2, moins zéro virgule zéro 6.2 virgule 42 moins un virgule 26 égal un virgule 16.

Soustraction à l’aide d’un algorithme personnel 

image 2 virgule 42 moins un virgule 26.2 virgule 42 moins un égal un virgule 42.Un virgule 42 moins zéro virgule 2 égal un virgule 22.Un virgule 22 moins zéro virgule zéro 6, égal un virgule 16.Dans un encadré on peut lire : « J’ai décomposé le deuxième nombre et j’ai enlevé les quantités selon les valeurs de position. »

Soustraction à l’aide de l’algorithme usuel 

L’algorithme usuel permet aussi d’effectuer une soustraction avec des nombres décimaux. Cependant, il faut s’assurer de faire correspondre les valeurs de position.

Raisonnement de l’élève

image 2 virgule 42 moins un virgule 26 égal un virgule 16.Raisonnement de l’élève :« Premièrement, il est impossible de retirer 6 centièmes de 2 centièmes, alors j’échange un dixième contre dix centièmes, Il me reste alors 3 dixièmes et j’ai maintenant 12 centièmes. 12 centièmes moins 6 centièmes, c’est 6 centièmes.Deuxièmement, 3 dixièmes moins 2 dixièmes, c’est un dixième.Troisièmement, 2 unités moins une unité, c’est une unité.Quatrièmement, La différence entre les deux nombres est alors de un virgule 16. »

Source : Guide d'enseignement des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 98-104

Connaissance : algorithme

Les algorithmes sont des ensembles de règles et d’actions ordonnées nécessaires à la résolution d’une addition, d’une soustraction, d’une multiplication ou d’une division. En termes simples, un algorithme est la « recette » d’une opération. (Kilpartick, Swafford et Findell, 2001, p. 103)

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 75.

Connaissance : algorithme personnel

Stratégie, généralement développée par l’élève, pour effectuer une opération.

Exemple 

378 plus 123.Les centaines sont additionnées cela est égal à 400.Les dizaines sont additionnées cela est égal à 90.Les unités sont additionnées, cela fait 11.400 plus 90 plus 11 égal 501.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 76.