B2.1 Utiliser les propriétés des opérations et les relations entre les opérations pour résoudre des problèmes comportant des nombres naturels, des nombres décimaux, des fractions, des rapports, des taux, et des pourcentages, y compris des problèmes à plusieurs étapes ou plusieurs opérations.
Activité 1 : que des trois!
L’activité suivante expose les élèves à l’utilisation de parenthèses pour préciser l’ordre des opérations dans une phrase mathématique. L’activité est conçue pour des élèves qui n’ont pas été préalablement exposés à la priorité des opérations.
Si les élèves connaissent déjà la priorité des opérations ou savent comment utiliser les parenthèses, l’activité pourrait être menée différemment. En groupe classe, dire aux élèves qu’il est possible de représenter le nombre 0 par une phrase mathématique en utilisant seulement le nombre 3 et une ou plusieurs des opérations arithmétiques. Leur donner un exemple en écrivant au tableau \(0\; = \;3\; - \;3\).
Leur présenter ensuite la phrase mathématique \(3\; \times \;3\; - \;3\; \times \;3\) et leur montrer que si on effectue les opérations dans l’ordre qu’elles apparaissent, on obtient 18 :
\(\begin{array}{l}3\; \times \;3\; - \;3\; \times \;3 &= \;9\; - \;3\; \times \;3\\ &= \;6\; \times \;3\\ &= \;18\end{array}\)
Cependant, si on effectue d’abord les deux multiplications, on obtient 0 :
\(\begin{array}{l}3\; \times \;3\; - \;3\; \times \;3 &= \;9\; - \;9\\ &= \;0\end{array}\)
Il est aussi possible d’obtenir 0 en effectuant d’abord la soustraction :
\(\begin{array}{l}3\; \times \;3\; - \;3\; \times \;3 &= \;3\; \times \;0\; \times \;3\\ &= \;0\end{array}\)
Leur expliquer que par convention, on peut utiliser des parenthèses pour donner la priorité à l’une ou l’autre des opérations. Par exemple, si on veut donner la priorité aux deux multiplications, on peut écrire \(\left( {3\; \times \;3} \right)\; - \;\left( {3\; \times \;3} \right)\). Cependant, si on veut donner la priorité à la soustraction, on peut écrire \(3\; \times \;\left( {3\; - \;3} \right)\; \times \;3\).
Afin de s’assurer que les élèves ont bien compris, leur demander de représenter le nombre 1 par des phrases mathématiques en utilisant seulement le nombre 3 et une ou plusieurs opérations. Préciser qu’elles et ils doivent au besoin utiliser les parenthèses pour donner la priorité à l’une ou l’autre des opérations. Demander à quelques élèves d’écrire une phrase au tableau et demander aux autres d’en vérifier l’exactitude.
Voici quelques exemples de réponses possibles :
\(\begin{align} 1 = \;3\; \div \;3\;\;{\rm{ou}}\;\;\frac{3}{3}\end{align}\)
\(\begin{align}1 &= \;3\; - \;\left( {3\; \div \;3} \right)\; - \;\left( {3\; \div \;3} \right)\\ &= 3-1-1 \\ &= 2-1 \\ &= 1 \end{align}\)
\(\begin{align} \; 1 &= \frac{{\left( {3\; + \;3} \right)}}{{\left( {3\; + \;3} \right)}} \\ &= \frac{6}{6}\ \\ &= \ 1 \end{align}\)
Grouper les élèves par deux et leur demander de présenter les nombres de 2 à 10 par différentes phrases mathématiques en utilisant le nombre 3, les quatre opérations et des parenthèses. Une fois la tâche accomplie, demander à quelques élèves d’écrire, à tour de rôle, leurs phrases mathématiques au tableau et les regrouper selon le nombre en question. Animer un échange mathématique et inviter les autres élèves à observer les phrases mathématiques et à en vérifier l’exactitude.
Note : Il est possible que certains élèves utilisent des parenthèses à l’intérieur des parenthèses. Dans de telles situations, il faut mentionner que la priorité est donnée d’abord aux parenthèses situées à l’intérieur des autres. Par exemple :
\(\begin{align}3\; - \;\left( {\left( {3\; + \;3} \right)\; \div \;3} \right) &= 3\; - \;\left( {6\; \div \;3} \right)\\ &= 3\; - \;2\\ &= 1\end{align}\)
Exemples de réponses possible
\(2\; = \;\left( {3\; + \;3} \right)\; \div \;3\;\;{\rm{ou}}\;\;\;\left( {3\; \div \;3} \right)\; + \;\left( {3\; \div \;3} \right)\)
\(3\; = \;\left( {3\; \times \;3} \right)\; - \;\left( {3\; + \;3} \right)\;\;{\rm{ou}}\;\;\;\left( {3\; + \;3} \right)\; - \;3\)
\(4\; = \;3\; + \;\left( {3\; \div \;3} \right)\;\;{\rm{ou}}\;\;\;\left( {3\; + \;3} \right)\; - \;\left( {\left( {3\; + \;3} \right)\; \div \;3} \right)\)
\(5\; = \;3\; + \;3\; - \;\left( {3\; \div \;3} \right)\;\;{\rm{ou}}\;\;\;\left( {3\; \times \;3} \right)\; - \;3\; - \;\frac{3}{3}\)
\(6\; = \;3\; + \;3\;\;{\rm{ou}}\;\;\;\left( {3\; \times \;3} \right)\; - \;3\)
\(7\; = \;\left( {3\; \times \;3} \right)\; - \;\frac{{3\; + \;3}}{3}\;\;{\rm{ou}}\;\;\;\left( {3\; + \;3} \right)\; + \;\left( {3\; \div \;3} \right)\)
\(8\; = \;3\; + \;3\; + \;3\; - \;\left( {3\; \div \;3} \right)\;\;{\rm{ou}}\;\;\;3\; + \;3\; + \;\left( {3\; \div \;3} \right)\; + \;\left( {3\; \div \;3} \right)\)
\(9\; = \;3\; + \;3\; + \;3\;\;\;{\rm{ou}}\;\;\;3\; \times \;3\)
\(10\; = \;3\; + \;3\; + \;3\; + \;\left( {3\; \div \;3} \right)\;\;\;{\rm{ou}}\;\;\;\left( {3\; \times \;3} \right)\; + \;\left( {3\; \div \;3} \right)\)
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 209-211.
Activité 2 : quel beau défi
L’activité suivante incite les élèves à appliquer leurs connaissances de l’ordre des opérations et de l’effet des opérations sur les nombres. Les élèves doivent utiliser chacun des nombres d’une série donnée une seule fois, ainsi que quelques-unes des quatre opérations afin d’arriver le plus près possible d’un nombre cible. Par exemple, la suite de nombres est 2, 4, 5, 7, 10 et 25 et la cible est 433.
Exemple 1
\(\begin{array}{l}10\; \times \;25\; = \;250\\5\; \times \;7\; = \;35\\250\; - \;35\; = \;215\\215\; \times \;2\; = \;430\\430\; + \;4\; = \;\bf{434}\end{array}\)
Exemple 2
\(\begin{array}{l}10\; \times \;7\; = \;70\\70\; \times \;5\; = \;350\\350\; + \;25\; = \;375\\4\; + \;2\; = \;6\\375\; + \;6\; = \;\bf{381}\end{array}\)
Exemple 3
\(\begin{array}{l}5\; \times \;7\; = \;35\\10\; + \;2\; = \;12\\35\; \times \;12\; = \;420\\420\; + \;25\; = \;445\\445\; - \;4\; = \;\bf{441}\end{array}\)
Le niveau de difficulté de l’activité peut varier selon certaines modalités, à savoir :
- le choix des nombres – il peut être utile de fournir au moins quatre ou cinq nombres inférieurs à 10 et deux ou trois nombres qui facilitent les calculs (par exemple, 15, 25, 40, 50, 75, 100);
- l’utilisation des nombres – il faut déterminer si un nombre peut servir une seule fois ou à plusieurs reprises;
- le choix de la stratégie de calcul – sur papier, mentalement ou à l’aide de la calculatrice.
Si la priorité des opérations a fait l’objet d’une étude en classe, les élèves peuvent résumer leur solution à l’aide d’une phrase mathématique. Par exemple, elles et ils pourraient résumer leur solution ainsi \(\left( {5\; \times \;7} \right)\; \times \;\left( {10\; + \;2} \right)\; + \;25\; - \;4\; = \;441\) pour l’exemple 3.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 110-111.
Activité 3 : propriété de la distributivité de la multiplication
Écrire au tableau ou sur une grande feuille, chacune des séries d’opérations apparentées suivantes, une à la fois, et demander aux élèves d’effectuer les opérations qu’elle contient.
Une fois une série complétée, faire ressortir les diverses stratégies de calcul mental en posant des questions telles que :
- Comment avez-vous résolu la dernière opération?
- Pour résoudre la dernière opération, avez-vous utilisé certains éléments des opérations précédentes?
- Avez-vous résolu les opérations dans l’ordre?
Si nécessaire, avant d’effectuer la même démarche avec la série suivante, présenter d’autres exemples d’opérations apparentées similaires.
Si les élèves ont de la difficulté à voir et à mettre en application la distributivité de la multiplication pour résoudre la dernière opération de chaque série, les y amener en représentant ces opérations sous forme de dispositions rectangulaires.
Exemple
Constatations sur chacune des séries
Série 1
Cette série permet de revoir la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition à sa plus simple expression. Il s’agit de reconnaître que pour obtenir le produit de \(3\; \times \;46\), il est possible d’effectuer une opération sur une somme de termes et d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme, c’est-à-dire :
\(\begin{align}3\; \times \;46\; &= \;3\; \times \;\left( {40\; + \;6} \right)\\ &= \;\left( {3\; \times \;40} \right)\; + \;\left( {3\; \times \;6} \right)\end{align}\)
Série 2
Cette série permet de constater que la décomposition reliée à la distributivité peut s’effectuer aussi bien sur le second terme que sur le premier, soit :
\(22\; \times \;13\; = \;\left( {20\; \times \;13} \right)\; + \;\left( {2\; \times \;13} \right)\)
ou
\(22\; \times \;13\; = \;\left( {22\; \times \;3} \right)\; + \;\left( {22\; \times \;10} \right)\)
Série 3
Cette série permet de constater que la décomposition d’un nombre pour appliquer la distributivité peut se faire en plus de deux parties. Par exemple :
\(\begin{align}4\; \times \;77\; &= \;4\; \times \;\left( {50\; + \;25\; + \;2} \right)\\ &= \;\left( {4\; \times \;50} \right)\; + \;\left( {4\; \times \;25} \right)\; + \;\left( {4\; \times \;2} \right)\end{align}\)
Série 4
Cette série permet de constater que l’on peut résoudre la dernière opération à l’aide de la distributivité de la multiplication sur la soustraction. Par exemple :
\(\begin{align}5\; \times \;95\; &= \;5\; \times \;\left( {100\; - \;5} \right)\\ &= \;\left( {5\; \times \;100} \right)\; - \;\left( {5\; \times \;5} \right)\end{align}\)
Elle permet aussi de constater que l’on peut résoudre cette opération à l’aide de la distributivité de la multiplication sur l’addition et d’autres propriétés. Par exemple :
\(5\; \times \;95\; = \;3\; \times \;\left( {5\; \times \;30} \right)\; + \;\left( {5\; \times \;5} \right)\)
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 221-222.