GEEM - Habiletés et connaissances

B1.1 Lire et représenter les nombres naturels de 0 jusqu’à un million, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés, et décrire de quelles façons ils sont utilisés dans la vie quotidienne.

Habileté : lire les nombres naturels de 0 jusqu’à un million

La lecture des nombres permet de les interpréter comme des quantités lorsqu’ils sont exprimés en mots ou en chiffres, ou à l’aide de la forme développée.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Le système à base 10

Le système de numération à base dix couramment utilisé aujourd’hui dans bon nombre de pays fait appel à 10 symboles différents, soit les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. C’est un système dit de position puisqu’une valeur différente est accordée aux symboles selon leur position dans un nombre. Par exemple, le chiffre 2 a une valeur de 2 unités dans le nombre 356 742, alors qu’il a une valeur de 20 000 unités dans le nombre 623 487. La compréhension des relations entre la valeur des chiffres et leur position dans un nombre est essentielle au développement du sens du nombre.

Au cycle primaire, les élèves développent une compréhension des relations entre les valeurs de position des unités, des dizaines et des centaines. Cependant, aux cycles moyen et intermédiaire, ils ne transposent pas automatiquement cette compréhension aux plus grands nombres. C’est pourquoi le personnel enseignant doit s’assurer de leur faire comprendre que la valeur de n’importe quelle position dans un nombre est toujours 10 fois plus grande que la valeur de la position immédiatement à droite, et 10 fois plus petite que la valeur de la position immédiatement à gauche. Il est aussi important d’examiner les relations de 100 fois ou de 1 000 fois plus grand ou plus petit entre les valeurs de position afin de développer chez les élèves un sens du nombre approfondi, notamment le sens des grands nombres.

Les élèves doivent aussi reconnaître, par exemple, qu’une (1) dizaine de mille représente un regroupement de 100 centaines, un regroupement de 1 000 dizaines ou même un regroupement de 10 000 unités. Ces regroupements permettent de reconnaître des représentations équivalentes de nombres (par exemple, 2 534 est égal à 25 centaines et 34 unités).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 44-45.

Il est important que les élèves comprennent qu’un zéro dans le nombre indique qu’il n’y a pas de groupe à cette valeur de position. Il sert de zéro positionnel et garde les autres chiffres dans leur bonne « position ».

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Le nombre est une représentation abstraite d’un concept très complexe. C’est pourquoi le rapport entre la façon de nommer un nombre et la quantité qu’il représente n’est pas évident pour les élèves. Plusieurs adultes croient à tort que si les élèves savent compter, ils comprennent de facto le sens de chacun de ces nombres. Pourtant, un ou une élève peut bien être en mesure de lire et de nommer un nombre, par exemple, deux cent cinquante-huit mille, sans vraiment avoir un sens de la quantité qu’il exprime.

Le personnel enseignant doit les aider à établir des liens entre le système de numération à base dix et la façon de nommer et d’écrire les nombres.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 65.

Une stratégie favorisant l’association du nombre à la quantité qu’il représente consiste à le nommer en mettant l’accent sur la valeur de position de chacun des chiffres qui le composent (par exemple, au lieu de lire le nombre 762 098 en disant sept cent soixante-deux mille quatre-vingt-dix-huit, les élèves peuvent dire 7 centaines de mille, 6 dizaines de mille, 2 unités de mille, 9 dizaines et 8 unités) ou sur certains regroupements (par exemple, 76 dizaines de mille et 2 098 unités).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 70.

La représentation mentale

La représentation mentale d’une quantité est l’image, élaborée par la pensée, qu’on se fait d’un nombre. Lorsque les élèves entendent et lisent un nombre, ils doivent « voir » la quantité que représente ce nombre et en comprendre le « combien ».

Il est donc important que les élèves aient des représentations mentales de différents nombres dans différents contextes. Prenons, par exemple, le nombre « 200 000 », qu’on peut se représenter mentalement par 20 grilles de 10 000 ou par 10 fois le nombre de sièges que l’on trouve dans un amphithéâtre.

Il est important que les élèves se fassent des représentations mentales variées des nombres. Ces visualisations peuvent représenter simplement des quantités. Par exemple, le « combien » de 1 000 000 peut engendrer une représentation mentale de 100 grilles de 10 000. Cependant, la présence d’unités dans une situation peut favoriser une représentation mentale différente et plus précise, laquelle serait en relation avec une situation donnée. Par exemple, les élèves peuvent visualiser que 100 000 personnes, représentent 100 voitures stationnées dans 1 000 stationnements de la ville ou encore 200 écoles comportant 500 élèves.

De plus, si le contexte le suggère, les élèves peuvent porter un regard critique sur la quantité (par exemple, déterminer si celle-ci est « beaucoup » ou « peu »). La représentation mentale sera alors teintée par le contexte. Par exemple, la représentation mentale de 100 personnes à une fête familiale n’est pas la même que celle de 100 personnes dans une foule à l’occasion d’un match de hockey. Les diverses représentations mentales sont toutes valables; elles dépendent essentiellement du contexte de la situation et du sens du nombre qu’ont les élèves. La représentation mentale demeure personnelle, mais l’aisance avec laquelle un individu peut visualiser les nombres est un indicateur de son sens du nombre.

Afin de développer des représentations mentales, les élèves utilisent différentes stratégies qui répondent à des situations et à des besoins variés. Avec de très petits nombres, il est possible pour eux d’utiliser la reconnaissance globale, c’est-à-dire quantifier les éléments d’un petit ensemble d’objets donné sans en dénombrer chacun des éléments. Pour reconnaître de plus grandes quantités, les élèves auront recours à d’autres stratégies. Par exemple, il peut être laborieux de dénombrer chaque pois d’un paquet de petits pois; le regroupement peut alors être utilisé.

L’image montre trois rangées de dix petits pois noirs.

Ainsi, après en avoir dénombré 10, ils peuvent constater qu’il y a 3 ensembles égaux pour un total de 30 pois. Dans ce cas, la stratégie du dénombrement (10) est combinée avec la stratégie de reconnaissance globale (3 ensembles). En cheminant, les élèves utilisent de plus en plus le regroupement pour comprendre la quantité. Ainsi, les élèves se créeront des représentations mentales en visualisant des regroupements égaux, par exemple, en visualisant 30 comme 3 ensembles de 10 pois.

La représentation mentale de grands nombres peut difficilement se faire en reconnaissant individuellement les éléments. Elle pourra cependant être créée en utilisant des repères qui seront mis en rapport avec une grande quantité (par exemple, reconnaître que 100 000 personnes c’est environ cinq fois le nombre de spectateurs dans un amphithéâtre ayant 20 000 sièges).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 29-31.

Repères

De façon générale, un repère est une marque, un jalon, un élément de référence. Dans le cadre du développement du sens du nombre, l’utilisation de repères favorise la représentation mentale et, de ce fait, facilite la compréhension du nombre et de la notion du « combien ». Les repères, sans lesquels il est difficile de comprendre la quantité, sont des nombres ou des quantités aisément représentables mentalement puisque ceux-ci ont déjà été vus et manipulés. Les élèves auront de la difficulté à comprendre la quantité s’ils n’utilisent pas de repères. Par exemple, en lisant un extrait d’un livre de records, les élèves voient des nombres associés à du texte. Ils saisissent que les quantités mentionnées sont d’un ordre de grandeur impressionnant, mais souvent n’ont pas le sens véritable de ces quantités, puisqu’ils n’établissent pas de lien entre ces nombres et des repères significatifs pour eux. Tel est le cas d’un ou d’une élève qui lit l’extrait suivant :

Le nouveau-né le plus lourd

Le 19 janvier 1879, la Canadienne Anna Bates […] accoucha chez elle […] d’un petit garçon qui pesait 10,8 kg et mesurait 76 cm.

(Guinness World Records, 2005, p. 22)

L’élève réagit et trouve ce fait extraordinaire, cependant il n’a pas mis la quantité 10,8 kg en relation avec des repères. Ce fait est extraordinaire, car c’est un « record », mais l’élève ne saisit pas qu’il s’agit probablement de plus du double de son poids à sa naissance ou ce que représente réellement un bébé de 10,8 kg.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 33.

À la suite d’expériences (par exemple, étude de la monnaie, compte par intervalles de 25 000, 50 000 et 100 000) et d’apprentissages (par exemple, intériorisation de relations telles que $4\; \times \;25\;000\; = \;100\;000$, $100\;000\; = \;2\; \times \;50\;000$, $2\; \times \;2\; \times \;25\;000\; = \;100\;000$), les nombres tels que 25 000, 50 000 ou 100 000 peuvent devenir des repères. Ainsi, 32 000 peut être compris comme 25 000 plus 7 000 ou 25 000 plus 5 000 plus 2 000, et le nombre 125 000 peut être rapidement associé à 5 groupes de 25 000.

Bien que la majorité des élèves qui arrivent en 6^e année sachent lire et écrire symboliquement les nombres jusqu’à 100 000, ils ne comprennent pas nécessairement la quantité représentée par ces grands nombres. C’est en créant des repères et en visualisant des regroupements qu’ils développeront une meilleure compréhension du concept de quantité représentée par de grands nombres.

Les repères sont particulièrement utiles pour comprendre les grands nombres, puisqu’il est généralement impossible de reconnaître globalement ces quantités ou de les saisir par le dénombrement. Les élèves doivent alors s’en faire une idée en la comparant avec un repère. Par exemple, l’école vient de recevoir 200 000 feuilles pour des photocopies. Le concierge devrait-il demander de l’aide pour les transporter? Afin que les élèves puissent vraiment comprendre la situation et la quantité en jeu, ils doivent se créer une image mentale de ce que 200 000 feuilles peuvent représenter. En utilisant un paquet de 500 feuilles comme repère, ils peuvent imaginer cette quantité et appliquer la relation de proportionnalité pour déduire que 2 paquets contiennent 1 000 feuilles. Donc, 200 000 feuilles, ce sera 200 fois plus de paquets, soit 400 paquets de feuilles. On peut aussi reconnaître que 20 paquets équivalent à 1 boîtes de papier. La représentation mentale de l’espace qu’occupent ces 200 000 feuilles devient alors possible. Et la réponse à la question de départ, à savoir si le concierge devrait demander de l’aide pour transporter les feuilles, peut alors être débattue en toute connaissance de cause.

Les élèves doivent s’approprier des repères afin d’y avoir plus facilement recours selon le contexte et les nombres traités. Il n’existe pas de liste de repères. Ceux-ci sont personnels et proviennent des expériences vécues par tout un chacun. Toutefois, les situations de la vie courante fournissent à l’enseignant ou à l’enseignante suffisamment d’occasions d’attirer l’attention de ses élèves sur la quantité et la création de repères.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 34-35.

Approximation

Les nombres ont été créés pour représenter des quantités avec un haut degré d’exactitude. En effet, ils apportent une précision que des termes comme « plus », « quelques », « des », « beaucoup » et « peu » ne donnent pas. Cependant, on peut aussi les employer pour montrer un certain ordre de grandeur de cette quantité. Dans ce cas, le nombre est utilisé pour représenter approximativement la quantité (par exemple, environ 200 personnes étaient à la fête ne signifie pas qu’il y en avait exactement 200). En général, l’approximation est une grandeur suffisamment près d’une grandeur connue (arrondissement) ou inconnue (estimation).

Les termes « arrondissement » et « estimation » sont souvent utilisés, à tort, de façon interchangeable. La différence fondamentale entre ces deux concepts réside dans la provenance du nombre. L’estimation provient de la relation entre une quantité inconnue et des connaissances antérieures, généralement sous forme de repères. L’arrondissement, lui, provient de la relation entre un nombre connu (précis ou approximatif) et sa proximité relative à d’autres nombres. Généralement, les estimations et les arrondissements servent à brosser un « portrait » plus clair de la quantité en question et à transmettre un sens de l’ordre de grandeur du nombre. Le tableau suivant, qui traite de l’exemple du prix d’une voiture, montre cette distinction.

	Arrondir un nombre	Estimer une quantité
Définitions	Remplacer un nombre par une valeur appropriée à la situation, en suivant certains critères préétablis ou personnels.	Évaluer approximativement une quantité.
Exemples	Si le prix affiché d’une voiture neuve est 18 753 $, on peut dire qu’elle coûte environ 19 000 $.	En se promenant dans un stationnement, on remarque une voiture et on estime son prix à 20 000 $.
Explications	Le prix réel (nombre connu) a été arrondi au millier près.	Le prix ne repose sur aucune information précise reçue, mais sur des connaissances antérieures.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 35-36.

Habileté : représenter les nombres naturels de 0 jusqu’à un million

Les élèves doivent apprendre à représenter les nombres de diverses façons et à les reconnaître sous leurs multiples représentations. Ces habiletés les aident à établir des liens entre un nombre, sa représentation et la quantité qu’il représente. Il est donc essentiel que les élèves soient exposés à différentes représentations des nombres. Il importe aussi qu’ils soient exposés à divers contextes qui les mènent à représenter un nombre selon chacun des modes de représentation illustrés dans le schéma suivant ainsi qu’à passer d’un mode de représentation à un autre.

Le schéma s’intitule « Modes de représentation ».

Le personnel enseignant doit être conscient de l’ordre dans lequel il exploite ces quatre modes de représentation avec les élèves. Baroody et Coslick (1998, pages 3 à 8 et 3 à 16) suggèrent de présenter un nouveau concept dans un contexte réel et significatif pour que les élèves puissent d’abord se créer des représentations à l’aide de mots, puis des représentations concrètes et semi-concrètes. Ce n’est que lorsqu’ils auront développé une certaine compréhension du concept qu’ils pourront passer à sa représentation symbolique. Les élèves doivent être en mesure d’établir des liens entre les représentations et de passer aisément d’une représentation à une autre.

Représentations à l’aide de mots

Au cycle moyen, les élèves apprennent à lire et à écrire en lettres les nombres jusqu’au million. Il ne faut pas sous-estimer les défis que pose l’écriture des nombres en lettres. Pour aider les élèves à surmonter ces défis, le personnel enseignant devrait inclure les nombres au mur de mots et construire avec eux des référentiels pour résumer les règles d’accord en nombre de vingt, cent et mille.

Représentations concrètes

L’utilisation de matériels de manipulation (par exemple, le tapis de valeurs de position et des jetons) pour représenter des nombres aide les élèves à développer le sens du nombre. Une mise en garde s’impose lorsqu’il est question d’utiliser le matériel de manipulation. Il importe de reconnaître que ce matériel permet de représenter un concept mathématique, ce n’est pas le concept lui-même; par exemple, un jeton n’est pas une centaine de mille, mais elle représente une centaine de mille unités.

Le danger est que les élèves utilisent le matériel de façon mécanique sans faire les liens avec les concepts mathématiques sous-jacents. C’est pourquoi le personnel enseignant doit s’assurer qu’il y a vraiment apprentissage et non pas seulement une utilisation aveugle du modèle. Par exemple, il est facile pour les élèves de remplir les espaces dans la phrase suivante en regardant le tapis de valeur de position.

La représentation est ____ centaines de mille, ____ dizaines de mille, ____ unité(s) de mille, ____ centaine(s), ____ dizaine(s) et ____ unité(s).

Mais comprennent-ils qu’il y a aussi neuf cent trente et un mille sept cent vingt-quatre unités sur le tapis et que c’est une des réalités qui sont représentées par le nombre 931 724? Il est important de demander aux élèves d’expliquer de différentes façons ce qui est représenté. Par exemple, 931 724, c’est aussi 931 unités de milles et 724 unités ou encore 93 172 dizaines et 4 unités. Une autre façon de vérifier la compréhension est de demander par exemple aux élèves combien il y a de dizaines de mille dans 931 727. Plusieurs élèves auront tendance à dire qu’il y en a 3. Il importe alors de préciser que le chiffre dans la position des dizaines de mille est un « 3 », mais que le nombre 931 172 est composé de 93 dizaines de mille ($93\;{\rm{regroupements \ de \ }}10\;000\;{\rm{unités \ de \ mille}}\; = \;930\;000$). On peut « voir » ces 93 dizaines de mille en convertissant les centaines de mille en dizaines de mille. Cela étant dit, 1 jeton d’une centaine de mille est équivalent à 10 dizaines de mille comme le démontre l’illustration ci-dessous. Alors, 9 centaines de mille représentent 90 dizaines de mille. On doit ensuite y ajouter les 3 dizaines de mille aux 90 dizaines de mille converties pour un total de 93 dizaines de mille.

En utilisant le tapis de valeur de position, on remarque que même si les nombres s’écrivent de gauche à droite, ils sont formés de droite à gauche : les unités regroupées forment les dizaines, les dizaines regroupées forment les centaines, et ainsi de suite. Mais, une fois le dénombrement terminé, on écrit le nombre en partant de la gauche.

Le choix du matériel mis à la disposition des élèves peut aussi faire une différence dans le niveau de compréhension des concepts. On trouve sur le marché une variété de matériels pour représenter les nombres : billes, cubes emboîtables ou tout autre objet pouvant être utilisé pour dénombrer. Certains de ces matériels représentent clairement et concrètement la relation de grandeur entre les unités, les dizaines, les centaines, etc. Cependant, avec d’autres matériels, cette relation est représentée de façon plus abstraite. Par exemple, sur un abaque, un « compteur de points » ou un abaque horizontal, le groupement est représenté en fonction de la position du chiffre de gauche à droite, comme dans l’écriture symbolique des nombres.

Trois outils d’apprentissage à compter sont alignés : un abaque, un compteur de points et un abaque horizontal.

En exposant les élèves à une variété de matériels de manipulation, le personnel enseignant peut les aider à développer une meilleure compréhension des nombres.

Représentations semi-concrètes

Les élèves peuvent aussi représenter les nombres avec du matériel semi-concret (par exemple, illustration, grille de nombres, droite numérique).

Illustration : Un nombre peut être représenté par des dessins de façon à illustrer certains regroupements. Par exemple, le nombre 376 000 peut être illustré par regroupements de 50 000 comme suit :

Huit nombres sont encerclés individuellement à main levée. Il y a sept fois le nombre 50 000 et une fois le nombre 26 000.

Grille de nombres : La grille de nombres jusqu’à 100 est très utilisée au cycle primaire. Quoique plus difficiles à manipuler, les grilles de 1 000 et 10 000 peuvent aider les élèves au cycle moyen à mieux comprendre les nombres en permettant de les comparer et de faire ressortir les relations entre eux.

Trois grilles sont présentées côte à côte.

Droite numérique : Au cycle primaire, les élèves utilisent et construisent des droites numériques pour compter par intervalles ou pour identifier le nombre de dizaines dans un nombre. Au cycle moyen, l’utilisation et la construction de droites numériques variées permettent aux élèves de représenter de grands nombres et de reconnaître les relations entre eux. Voici quelques exemples de droites numériques sur lesquelles le nombre 455 736 est représenté :

droite numérique dont l’échelle est par intervalles de 100 000;

La droite numérique est graduée de zéro à un million. Il y a une étoile dorée entre 400 000 et 500 000.

droite numérique qui ne commence pas à 0, dont l’échelle est par intervalles de 50 000;

La droite numérique est graduée de 400 000 à 500 000. Il y a une étoile dorée légèrement à droite de 450 000.

droite numérique ouverte (qui n’est pas graduée) sur laquelle les nombres sont placés en relation les uns avec les autres;

Sur la droite numérique ne montrant que le nombre 500 000, il y a une étoile dorée légèrement à gauche de celui-ci.

droite numérique verticale qui présente les nombres en ordre croissant vers le haut et qui fait des liens avec les autres domaines, dont Sens de l’espace (par exemple, thermomètre) et Données (par exemple, axe des ordonnées).

Sur la droite numérique verticale graduée de 400 000 à 600 000, une étoile dorée se situe entre et 400 000 et 500 000.

Au cycle moyen, l’utilisation des cadres à 10 cases selon le principe de regroupement (faire des groupes de 10) s’avère une autre façon de représenter la valeur des chiffres qui composent les grands nombres.

Représentations symboliques

Les nombres sont représentés symboliquement à l’aide des chiffres qui les composent. Ils s’écrivent de gauche à droite par tranches de trois chiffres qui constituent les billions, les milliards, les millions, les milliers et les unités. Chacune des tranches regroupe les centaines (c), les dizaines (d) et les unités (u).

Cinq petits tableaux sont alignés côte à côte : billions, milliards, millions, milliers et unités. Ils possèdent tous trois cases présentant les lettres suivantes : « c », « d », « u ».

Note : En français, l’écriture des nombres se fait en ajoutant un espace entre les tranches de trois chiffres (par exemple, 13 567 232). Quoique l’écriture des nombres à quatre chiffres sans utiliser d’espace est acceptée (par exemple, 3543), l’écriture avec un espace (par exemple, 3 543) est privilégiée.

L’écriture des grands nombres nécessite une bonne maîtrise du concept de valeur de position, faute de quoi l’élève à qui l’on demande d’écrire symboliquement « cent trente et un mille deux cent treize » pourrait écrire 100 31 000 200 13 ou 131 000 200 13. Elle nécessite aussi une compréhension du rôle du zéro pour indiquer l’absence d’une quantité dans une des positions.

Voici un exemple d’un raisonnement que les élèves pourraient utiliser pour représenter symboliquement un grand nombre tel que neuf cent vingt-six mille quatre cents :

neuf cent vingt-six mille est représenté par un 9, 2 et 6 dans la tranche des milliers.

Deux petits tableaux sont placés côte à côte : milliers et unités. Sous milliers, les trois cases présentent les chiffres suivants : neuf, deux, six. Sous unités, les trois cases sont vides.

quatre cents est représenté par un 4 dans la position des centaines de la tranche des unités. Puisqu’il n’y a aucune indication pour la position des dizaines et des unités, il faut ajouter deux 0 pour combler ces positions.

Un tableau nommé « unités » possède deux rangées de trois cases. Dans la première rangée, on trouve le chiffre quatre, un tiret et un tiret. Dans la deuxième rangée, on trouve le chiffre quatre, un zéro et un zéro.

alors, neuf cent vingt-six mille quatre cents écrit symboliquement donne 926 400.

Un nombre peut être représenté de différentes façons à l’aide de symboles mathématiques, soit en respectant la valeur de la position de chaque chiffre ($100\;\;\;236\;\;\;\;{\rm{est \ égal \ à }}\;\;\;100\;\;000\; + \;200\; + \;30\; + \;6$), soit d’après quelques valeurs de position (100 236 est égal à 1002 centaines et 36 unités) ou encore en effectuant différentes opérations (100 236 est égal à $100\;\;000\; + \;236$ ou $100\;\;\;240\; - \;4$ ou $100\;\;\;200\; + \;36$ ou $100\;\;000\; + \;100\; + \;100\; + \;15\; + \;15\; + \;6$). En fait, il existe une infinité de façons de représenter un nombre, chacune permettant aux élèves de se donner une autre façon de l’interpréter et d’en comprendre le sens.

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 64-71.

Au cycle moyen, l’utilisation des tableaux s’avère une autre façon de représenter la valeur des chiffres qui composent les grands nombres.

Un tableau présente six colonnes de six cases

Relations d’égalité

Un nombre est représenté symboliquement à l’aide de chiffres. Par exemple, le nombre huit cent cinquante-cinq mille deux cent cinquante-six écrit symboliquement donne 855 256. Il peut aussi être représenté à l’aide de diverses expressions numériques. Par exemple, la représentation $800\;\;000\; + \;50\;\;000\; + \;5\;\;000\; + \;200\; + \;50\; + \;6$ permet de reconnaître 855 256 en fonction de la valeur de position des chiffres qui le composent. Il y a de nombreuses autres façons de décomposer ou de représenter ce nombre.

Les relations d’égalité permettent d’établir l’équivalence entre diverses représentations d’une même quantité. L’exploration des multiples représentations d’un nombre aide les élèves à acquérir une meilleure compréhension du sens de ce nombre. En situation de résolution de problèmes, les élèves doivent apprendre à choisir la représentation la plus appropriée au contexte et à l’intention. Voici quelques exemples :

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 48-49.

La forme développée représente la valeur de chaque chiffre séparément, et peut s’écrire comme une égalité. En utilisant la forme développée, 7 287 s’écrit $7\;000\; + \;200\; + \;80\; + \;7 = 7\;287$.

Comparer des quantités et établir des relations entre elles aident à comprendre l’ordre de grandeur d’un nombre, ou « combien » il représente.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Relations d’ordre

L’habileté à reconnaître des relations d’ordre s’acquiert en comparant des nombres, en les plaçant en ordre croissant et décroissant, en comptant à rebours et en analysant la proximité relative de deux nombres.

Au cycle moyen, les élèves doivent reconnaître la relation d’ordre entre les nombres en les comparant. Ils peuvent décrire la relation en précisant, par exemple, que 12 273 est plus petit que 23 942. Voici quelques exemples de stratégies qu’ils peuvent utiliser pour comparer de grands nombres.

Comparaison des nombres 23 942 et 12 273

Les élèves peuvent reconnaître que 23 942 est plus grand que 12 273 :

En ciblant une partie importante de chaque nombre (constater que 23 000 est plus grand que 12 000);
En visualisant les quantités importantes (visualiser 23 regroupements de 1 000 et 12 regroupements de 1 000);

Deux ensembles de cubes blancs sont placés côte à côte. Le premier ensemble présente trois rangées de cinq cubes et deux rangées de quatre cubes. Le deuxième ensemble présente deux rangées de trois cubes et trois rangées de deux cubes.

En situant les nombres sur une droite numérique (le nombre 23 942 est situé à la droite du nombre 12 273);

Une droite numérique est graduée de 10 000 à 30 000. Deux nombres ont été ajoutés : 12 273, qui se situe légèrement à droite de 10 000, et 23 942, qui se situe environ au centre entre 20 000 et 30 000.

En comparant les chiffres dans les diverses positions en partant de la gauche (le 2 représente 20 000 alors que le 1 représente 10 000);

Deux nombres sont écrits l’un sous l’autre : 23 942 et 12 273. Une flèche double sens de haut en bas relie le premier deux du premier nombre avec le premier un du deuxième nombre.

En comparant les valeurs de position exprimées à l’aide de la forme développée

$23\;942\; = \;2\; \times \;10\;\;\;000\; + \;3\; \times \;1\;000\; + \;9\; \times \;100\; + \;4\; \times \;10\; + \;2\; \times \;1$

↓

$12\;273\; = \;1\; \times \;10\;\;\;000\; + \;2\; \times \;1\;000\; + \;2\; \times \;100\; + \;7\; \times \;10\; + \;3\; \times \;1$

Afin d’aider les élèves à développer l’habileté à reconnaître les relations d’ordre entre les grands nombres, le personnel enseignant peut, à partir d’un nombre donné, leur demander de compter par 1 (par exemple, 12 998, 12 999, 13 000, 13 001…) ou par intervalles (par exemple, 32 200, 32 400, 32 600…) et de compter à rebours par 1 (par exemple, 26 271, 26 270, 26 269…) ou par intervalles (par exemple, 45 650, 45 600, 45 550…).

Ces activités aident les élèves à reconnaître qu’en comptant par 1 ou par intervalles, tout nombre nommé est supérieur à ceux qui le précèdent et inférieur à ceux qui le suivent, alors qu’en comptant à rebours par 1 ou par intervalles, tout nombre nommé est inférieur à ceux qui le précèdent et supérieur à ceux qui le suivent. Bien que ces relations puissent sembler évidentes aux adultes, les élèves, pour leur part, se trompent souvent en ne tenant pas compte du concept de regroupement. Par exemple, lorsqu’on leur demande quel nombre précède 300, plusieurs ont tendance à répondre spontanément 399 parce qu’ils portent leur attention sur les deux 0; ils savent qu’un nombre qui se termine avec deux 0 est toujours précédé d’un nombre qui se termine par deux 9 et ils oublient de tenir compte du regroupement par centaines. En revanche, lorsque le même problème est posé en contexte, les élèves sont davantage portés à donner des réponses réfléchies. Par exemple, dans une situation où un enfant a 300 cartes de hockey et qu’il en donne une, les élèves répondront facilement qu’il lui reste 299 cartes.

Une fois que les élèves maîtrisent les relations plus grand que et plus petit que, ils doivent apprendre à préciser ces relations en faisant appel à leur compréhension du concept de quantité. Ils emploient alors des expressions telles que près de, environ, la même chose que, beaucoup plus que et un peu moins que. Par exemple, les élèves peuvent dire que la population d’un village de 15 239 habitants est d’environ 15 000 habitants; que 304 est un peu plus que 300; que 12 894 est un peu moins que 13 000; que 32 523 contient environ une centaine de plus que 32 432 et que 620 et 618 sont plus près l’un de l’autre que 630 et 680.

Cette habileté à préciser les relations d’ordre entre les nombres prend toute son importance lorsque les élèves utilisent les nombres en contexte de résolution de problèmes, d’arrondissement, d’estimation et de comparaison. L’activité suivante permet aux élèves de démontrer cette habileté.

Tracer au tableau une droite numérique pour représenter un intervalle quelconque (par exemple, de 1 000 à 2 000). Placer quelques lettres (par exemple, A, B, C, D) dans cet intervalle tel qu’illustré ci-dessous.

Une droite numérique est graduée de 1 000 à 2 000. Au-dessus de la droite, on trouve la lettre « A » légèrement à droite de 1 000; les lettres « BC » entre 1 000; et 1 500 et la lettre « D » entre 1 500 et 1 750.

Demander à quelques élèves de venir situer certains nombres sur la droite (par exemple, 1 873, 1 332, 1 167). Leur demander ensuite de décrire des relations d’ordre qui existent entre les nombres et les lettres.

Les élèves pourraient, par exemple, dire :

que 1 167 se situe entre A et B;
que les lettres B et C se situent entre 1 167 et 1 332;
que le nombre 1 873 est plus près de 2 000 que de la lettre D;
que la lettre B semble être plus au centre de l’intervalle entre 1 000 et 1 500 que la lettre C.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 45-48.

Habileté : décrire de quelles façons les nombres sont utilisés dans la vie quotidienne

Le contexte est l’ensemble des informations entourant une situation donnée. Ces informations aident à cerner la situation dans laquelle les quantités sont utilisées et facilitent l’exercice d’un regard critique sur les nombres en question. En outre, le contexte facilite l’établissement de liens entre les nombres, les concepts mathématiques et le monde mathématisé. Pour toutes ces raisons, on préconise l’exploration des mathématiques en situation de résolution de problèmes.

Que veut dire 214 725 au juste? On parle de 214 725 « quoi »? Bref, un nombre sans contexte a peu de sens. C’est pourquoi on doit lui adjoindre des unités si on veut qu’il soit compris. Les élèves du cycle primaire ont déjà réalisé des activités avec les nombres dans différents contextes en utilisant diverses unités. Au cycle moyen, on doit maintenir cette contextualisation afin de développer le sens des quantités, et ce, avec des nombres dans les milliers et les millions.

Un pas important à franchir est d’amener les élèves à comprendre que le même nombre représente la même quantité même si les contextes sont différents. Le nombre n’est qu’une représentation symbolique de la quantité. Si on a 1 000 000 de personnes, de pommes ou d’immeubles, la quantité qu’est le regroupement d’un million ne change pas. Pourtant, si on demande aux élèves s’ils croient qu’il y a plus de pommes que d’immeubles, un bon nombre d’élèves risque de répondre qu’il y a plus d’immeubles que de pommes. Ils se sont attardés à l’espace occupé par les objets plutôt qu’à la quantité d’objets (1 000 000).

Il faut aussi que les élèves reconnaissent que selon le contexte de la situation donnée, différentes interprétations peuvent être dégagées d’une même quantité. Par exemple, pour des jeunes, une somme de 1 000 000 $ peut représenter beaucoup d’argent. Cependant, en contexte, le sens du nombre invite à nuancer : c’est beaucoup pour le prix d’une maison, mais peu pour celui d’un immeuble résidentiel. Le contexte change, mais la quantité demeure inchangée. De même, 1 000 000 blocs de bois représentent beaucoup de blocs, alors que 1 000 000 de grains de sable équivalent à un carré de sable de 2 m³. Ou encore, les élèves peuvent considérer que 171 575 ne représente pas une grande quantité, mais si on ajoute que ce nombre représente la population totale de l’Île-du-Prince-Édouard en septembre 2022, il prend une tout autre valeur. Ces exemples concrets et simples incitent à réfléchir et à analyser les quantités de façon critique.

À partir du cycle moyen, la compréhension des nombres en contexte devient de plus en plus importante. Les élèves doivent commencer à porter des jugements critiques quant aux quantités et à faire preuve de discernement par rapport aux nombres. Les activités d’apprentissage doivent donc aider les élèves à développer d’autres habiletés, telles que reconnaître la vraisemblance d’un nombre donné, reconnaître qu’il s’agit d’une valeur exacte, ou au contraire, reconnaître qu’il s’agit d’un nombre approximatif provenant d’une estimation ou même d’un arrondissement. Le développement de ces habiletés peut être amorcé en ayant en classe des échanges sur le sens de nombres provenant de journaux et en discutant de leur signification réelle et de leur pertinence.

Le contexte permet aussi de reconnaître qu’un même nombre n’a pas toujours le même sens. En effet, lorsqu’il est question de nombres, l’interprétation courante les associe à la quantité, soit aux nombres cardinaux. Pourtant, en examinant le contexte, on remarque que certains nombres ne représentent pas des quantités, mais une position. C’est le cas des nombres ordinaux. Par exemple, lors d’un marathon, la coureuse ou le coureur qui est à la position 11 582 ne compte pas 11 582 objets. Le nombre indique la position d’une seule personne dans la série donnée. Les chiffres et les nombres sont aussi utilisés comme code d’identification. Les numéros d’assurance sociale, de codes à barres, de plaques d’immatriculation et d’adresses appartiennent à cette catégorie.

Sous l’image d’un bac à sable, il est écrit : « Un million de grains de sable. Nombre cardinal. »

Vue d’une foule participant à un marathon de course sur un boulevard fermé pour l’occasion. Sous la photo, il est écrit : « Le coureur portant un chandail rouge à la droite de l’image est au 11 582e rang. Nombre ordinal. ».

Un code à barres présente la série de chiffres suivante : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq six, sept, huit, sept, neuf, zéro, deux.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 31-32.

Connaissance : nombres naturels

Les nombres naturels sont tous les nombres entiers positifs, y compris le 0.

Par exemple : 0, 134, 5 826, 56 023, 674 150, 1 000 000, …

Il y a une infinité de nombres naturels.

Les nombres naturels dans notre système de base 10

Notre système de base 10 est axé sur le regroupement (groupes de 10).

Les unités sont regroupées en groupes de 10 pour former les dizaines.
Les dizaines sont regroupées en groupes de 10 pour former les centaines, et ainsi de suite.

Source : L’@telier - Ressources pédagogiques en ligne (atelier.on.ca).