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B1.6 Décrire les relations et représenter l’équivalence entre des fractions et des nombres décimaux jusqu’aux millièmes, à l’aide d’outils et de schémas appropriés, dans divers contextes.

Habileté : décrire les relations et représenter les équivalences entre des fractions, des nombres décimaux jusqu’aux millièmes et des pourcentages, à l’aide d’outils et de schémas appropriés, dans divers contextes

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Les élèves doivent comprendre que puisque la notation décimale n’est qu’une autre façon de représenter une fraction décimale, il est alors possible d’établir une relation d’égalité entre les deux notations (par exemple, \(0,3\; = \frac{3}{{10}}\)). En reconnaissant cette égalité, elles et ils sont en mesure d’associer une valeur de position à chacune des décimales qui composent un nombre décimal, soit successivement les dixièmes, les centièmes, les millièmes et ainsi de suite.

Exemple

Image Trois équations sont alignées côte à côte. La première est : trois sur dix égale zéro virgule trois. Avec des flèches, le mot « dixièmes » pointe vers le dix de trois sur dix et vers le trois de zéro virgule trois.La deuxième équation est : sept sur cent égale zéro virgule zéro sept. Avec des flèches, le mot « centièmes » pointe vers le cent de sept sur cent et vers le sept de zéro virgule zéro sept.La troisième équation est : cinq sur mille égale zéro virgule zéro zéro cinq. Avec des flèches, le mot « millièmes » pointe vers le mille de cinq sur mille et vers le cinq de zéro virgule zéro zéro cinq.

Les élèves qui n’ont pas compris cette association sont parfois portés à représenter une fraction telle que \(\frac{2}{5}\) par 0,2 ou 0,25. La description ci-après décrit des comportements observables d’élèves ayant acquis une compréhension conceptuelle des nombres et du lien entre leurs différentes représentations.

Compréhension conceptuelle des nombres

Nombre : 0,3

Comportements observables :

• L’élève peut en faire la lecture (trois dixièmes).
• L’élève peut écrire le nombre en notation fractionnaire, soit \(\frac{3}{{10}}\).
• L’élève peut représenter le nombre à l’aide de matériel concret ou semi-concret.

Exemple

Nombre : \(\frac{{16}}{{100}}\)

Comportements observables :

• L’élève peut en faire la lecture (seize centièmes).
• L’élève peut écrire le nombre en notation décimale, soit 0,16.
• L’élève peut représenter le nombre à l’aide de matériel concret ou semi-concret.

Exemple

Nombre : \(\frac{2}{7}\)

Comportements observables :

• L’élève peut en faire la lecture (deux septièmes).
• L’élève sait que la fraction \(\frac{2}{7}\) n’est pas représentée par 0,2 puisqu’il ou elle sait que \(0,2\; = \;\frac{{2}}{10}\).

Pour établir la relation d’égalité entre une fraction dont le dénominateur n’est pas une puissance de dix (par exemple, \(\frac{1}{4}\)) et le nombre décimal correspondant, il est nécessaire de recourir au concept de fractions équivalentes. Par exemple, les élèves peuvent utiliser des bandes d’égales longueurs telles qu’illustrées ci-dessous pour constater que \(\frac{1}{4}\) se situe entre \(\frac{{2}}{10}\) et \(\frac{3}{{10}}\).

Image Deux rectangles de longueur égale sont placés l’un sous l’autre en étant vis-à-vis. Le premier rectangle est divisé en quatre parties égales, la première est rouge tandis que les trois autres sont blanches. Le deuxième rectangle est divisé en dix parties égales toutes blanches.

Ils peuvent ensuite subdiviser les dixièmes en dix parties égales, créant ainsi cent parties égales, soit des centièmes du tout et reconnaître que \(\frac{{25}}{{100}}\) est une fraction équivalente à \(\frac{1}{4}\).

Image Deux rectangles de longueur égale sont placés l’un sous l’autre en étant vis-à-vis. Le premier rectangle est divisé en quatre parties égales, la première est rouge tandis que les trois autres sont blanches. Le deuxième rectangle est divisé en dix parties égales, toutes blanches, et chacune de ces parties est divisée en dix. Un trait vertical situé dans la troisième partie de dix et à la vingt-cinquième partie de cent indique où se termine la partie rouge du rectangle d’en haut.

Puisque \(\frac{{25}}{{100}}\; = \;0,25\), ils peuvent conclure que la fraction \(\frac{1}{4}\) peut aussi être représentée en notation décimale par 0,25 (\(\frac{1}{4}\; = \;\frac{{25}}{{100}}\; = \;0,25\)). Ce genre d’exemple permet aux élèves de reconnaître que toutes les fractions qui peuvent être exprimées par une fraction décimale équivalente peuvent être représentées par un nombre décimal. C’est le cas notamment des fractions exprimées en demis, en quarts, en cinquièmes et en vingtièmes comme le démontre le tableau suivant.

Note : Certaines fractions (par exemple, \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{5}{{11}}\)) ne peuvent être représentées par une fraction décimale équivalente. Ces fractions ne sont donc pas des nombres décimaux. Elles peuvent cependant être exprimées par des nombres à virgule ayant une partie décimale périodique (par exemple, \(\frac{2}{3}\; = \; 0, \overline{6}\); \(\frac{3}{7}\; = \mathop 0,\overline{428\;571}\); \(\frac{5}{{11}}\; = 0, \overline{45}\)) en divisant le numérateur par le dénominateur.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 46-48.