B2.5 Additionner et soustraire des fractions avec et sans dénominateurs communs, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés, dans divers contextes.
Habileté : additionner et soustraire des fractions avec et sans dénominateurs communs, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés
Faire le lien entre les opérations sur les nombres naturels et celles sur les fractions
Les élèves ont déjà acquis une compréhension solide de l’addition et de la soustraction. Il est important de faire des liens entre les opérations sur les nombres naturels et celles sur les fractions. Par exemple, l’addition de 3 huitièmes et de 2 huitièmes est la même que celle de 3 bonbons et de 2 bonbons. Seule la notation est différente et plus complexe.
Valoriser les procédures informelles pour développer des stratégies
Il est important de valoriser les procédures informelles, car elles contribuent au développement du sens du nombre et du sens des opérations. Dans des situations qui impliquent des opérations, plusieurs élèves font appel à des algorithmes personnels plutôt qu’aux procédures. Par exemple, l’élève qui a un bon sens du nombre pourrait aborder l’addition de \(\frac{7}{8}\) d’un sandwich et de \(\frac{4}{8}\) d’un autre sandwich identique de cette façon : « Je sais qu’avec \(\frac{7}{8}\) d’un sandwich, il me manque \(\frac{1}{8}\) d’un sandwich pour avoir un sandwich complet. Alors, si j’ajoute \(\frac{1}{8}\) à \(\frac{7}{8}\), j’ai un entier et il me reste \(\frac{3}{8}\). Donc, \(\frac{7}{8}\; + \;\frac{4}{8}\; = \;1\frac{3}{8}\). »
Nature des opérations fondamentales
L’application d’une opération sur des nombres a pour effet de réorganiser les quantités en jeu. Il est très important que les élèves comprennent cette facette de la quantité lorsqu’elles et ils utilisent l’une ou l’autre des quatre opérations. Les élèves du cycle moyen ont eu l’occasion d’apprendre cette relation par rapport aux quatre opérations sur les nombres naturels. Dans l’addition, deux quantités sont mises ensemble pour former une nouvelle quantité. Dans une soustraction, on enlève une quantité d’une autre. On peut aussi reconnaître que l’on cherche une quantité par laquelle deux quantités données diffèrent.
Il faut beaucoup de temps pour construire un sens des opérations sur les fractions, car il faut réfléchir aux numérateurs, aux dénominateurs et aux touts en cause. Il faut donner aux élèves l’occasion de travailler avec des modèles concrets et semi-concrets et de développer un sens de l’ordre de grandeur des résultats avant de passer aux opérations mettant en cause les représentations symboliques.
Selon le programme-cadre, les élèves de 6e année voient l’addition et la soustraction de fractions avec et sans dénominateurs communs.
Pour l’addition et soustraction avec des fractions ayant un même dénominateur, il s’agit essentiellement de l’addition et de la soustraction d’objets ou de quantités de même nature.
Par exemple, dans \(\frac{3}{7}\; + \;\frac{2}{7}\; = \;\frac{5}{7}\), l’addition représente simplement \(3\;{\rm{un \ septièmes}}\; + \;2\;{\rm{un \ septièmes}}\; = \;5\;{\rm{un \ septièmes}}\), tout comme 3 pommes + 2 pommes = 5 pommes. Dans cet exemple, les septièmes sont comptés de la même façon que des pommes. On a 3 morceaux d’une certaine taille et 2 morceaux de la même taille, ce qui donne 5 morceaux de cette taille.
Effectuer l’addition de fractions devient plus complexe lorsque les fractions ont des dénominateurs différents, puisque les morceaux n’ont pas la même taille et ne sont pas de même nature.
La soustraction se traite de la même façon. Par exemple, si j’enlève 3 billes d’un sac qui en contient 5, il en reste 2. De même, si je soustrais 3 un huitièmes de 5 un huitièmes, il reste 2 un huitièmes (\(\frac{5}{8}\; - \;\frac{3}{8}\; = \;\frac{2}{8}\)).
L’addition de deux nombres naturels a pour effet d’augmenter les deux quantités initiales, tandis que la soustraction de deux nombres naturels a pour effet de diminuer la quantité initiale. Il est important que les élèves comprennent qu’il en est de même pour l’addition et la soustraction de fractions.
Cela leur permet de comprendre l’invraisemblance de certaines réponses obtenues à partir de procédures erronées. Par exemple, l’élève qui, pour calculer \(\frac{2}{3}\; + \;\frac{1}{3}\), additionne les numérateurs et les dénominateurs et obtient \(\frac{3}{6}\), devrait voir que cette réponse, qui est égale à \(\frac{1}{2}\), est inférieure à une des fractions initiales, soit \(\frac{2}{3}\).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 76-77.
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Explorer les opérations à l’aide de plusieurs modèles
Il est important pour les élèves d’apprendre les concepts liés aux fractions dans diverses situations à l’aide d’une variété de modèles tels que des modèles de surface, des modèles de longueur et des modèles d’ensemble. Il en est de même pour l’apprentissage des opérations sur les fractions.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 76.
Lorsqu’on travaille avec les fractions, le plus important et parfois le plus difficile, c’est de bien représenter le tout. Avec du matériel concret ou semi-concret, l’effet visuel de l’addition et de la soustraction est renforcé. En puisant dans leurs expériences avec les nombres naturels et en se forgeant un sens de l’opération, les élèves peuvent reconnaître, par exemple, que l’ajout de deux tiers (\(\frac{2}{3}\)) à un tiers (\(\frac{1}{3}\)) donne trois tiers (\(\frac{3}{3}\)), soit le tout.
Image Le tout est représenté par une languette verte divisée en trois parties égales. Sous celle-ci, il y a une languette de la même longueur divisée en trois parties égales : une jaune, qui représente un tiers, et deux bleu marine, qui représentent deux tiers.
Or, il n’est pas toujours clair pour les élèves que l’addition se fait par rapport au numérateur. Dans une situation où il reste trois huitièmes (\(\frac{3}{8}\)) d’une pizza et deux huitièmes (\(\frac{2}{8}\)) d’une autre pizza de même grandeur, on cherche combien il en reste en tout. Est-ce qu’on compte des huitièmes ou des seizièmes, puisque les pizzas comptaient seize morceaux en tout?
Image Quatre diagrammes circulaires sont placés côte à côte. Ils sont tous divisés de la même façon, en huit parts égales. Le premier diagramme a trois parts oranges et cinq parts blanches. Il indique trois huitièmes. Le deuxième a deux parts oranges et indique deux huitièmes. Une flèche le relie au suivant. Le troisième a cinq parts oranges et indique cinq huitièmes. Et le quatrième est tout blanc et n’indique aucune fraction.
Les élèves progressent vers des problèmes comportant des fractions avec dénominateurs différents. Les élèves peuvent néanmoins explorer ce type de problème dans un contexte à l’aide de représentations concrètes et semi-concrètes.
Par exemple, Alexis et son frère Mycolas ont chacun une barre tendre. Les barres sont identiques. Alexis a mangé le tiers (\(\frac{1}{3}\)) de sa barre tendre et Mycolas a mangé les trois quarts (\(\frac{3}{4}\)) de la sienne. Quelle quantité de barres tendres leur reste-t-il en tout ? Cette situation représente certes un défi pour les élèves, mais si elles et ils ont recours à des repères, à une visualisation de la situation ou à une représentation semi-concrète, elles et ils sont en mesure de conclure qu’il reste presque une barre tendre au complet.
Image L’image montre quatre rectangles de longueur égale. Le premier rectangle est divisé en trois parts égales, deux des trois parts sont colorées en brun et la troisième part est blanche. Au-dessus, il est écrit : Alexis a mangé un tiers de sa barre. Le deuxième rectangle est divisé en quatre parts égales, l’une d’elles est colorée en brun et les autres sont blanches. Au-dessus, il est écrit : Mycolas a mangé trois-quarts de sa barre. Le troisième rectangle est divisé en trois parts égales. Deux parts sont colorées en brun et les trois quarts de la dernière part sont bruns, tandis que le reste est blanc. Une accolade en dessous indique « barre tendre restante ». Le quatrième rectangle est divisé en quatre parts blanches égales.
Cette situation est représentée à l’aide d’un modèle de surface. La forme rectangulaire est plutôt naturelle, puisqu’elle ressemble à une barre tendre. Cependant, il ne faut pas négliger d’autres représentations, comme le modèle de longueur.
Dans cette vidéo, les élèves utilisent les réglettes pour additionner des fractions.
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L’exemple suivant porte sur la distance et fait appel aux nombres fractionnaires :
Dans le cadre d’un entraînement pour une course, William doit parcourir au moins \(6\frac{1}{{10}}\) km par jour. Ce matin, avant d’aller à l’école, il a couru \(3\frac{3}{{10}}\) km. Combien de kilomètres doit-il parcourir après l’école?
Puisque la situation traite d’une mesure linéaire, les élèves peuvent avoir recours à un modèle de longueur tel que la droite numérique. Il s’agit d’abord de situer \(6\frac{1}{{10}}\) sur une droite numérique graduée (à gauche) ou une droite numérique non graduée (à droite),
Image Deux droites numériques sont placées côte à côte. La première droite est graduée de zéro à sept par intervalles d’un, avec des marques d’intervalles d’un dixième. Une flèche part de zéro et se rend à six. La deuxième droite est graduée de zéro à six et un dixième et ne présente aucune marque d’intervalle.
ensuite de soustraire 3 de \(6 \frac{1}{10}\)
Image Deux droites numériques sont placées côte à côte. La première droite est graduée de zéro à sept par intervalles d’un, avec des marques d’intervalles d’un dixième. Une flèche part de six et recule à trois en indiquant moins trois. La deuxième droite est graduée de zéro à six et un dixième et ne présente aucune marque d’intervalle. Une flèche part de six et un dixième et recule à trois et un dixième, le seul autre chiffre sur la droite, en indiquant moins trois.
puis de soustraire la partie fractionnaire, soit \(\frac{3}{{10}}\) ou 3 fois \(\frac{1}{{10}}\).
Image Deux droites numériques sont placées côte à côte. La première droite est graduée de zéro à sept par intervalles d’un, avec des marques d’intervalles d’un dixième. Une flèche part de trois et un dixième et recule à deux et huit dixièmes en indiquant moins trois dixièmes. La deuxième droite est graduée de zéro à six et un dixième et ne présente aucune marque d’intervalle, mais elle affiche les chiffres deux et huit dixième ainsi que trois et un dixième. Une flèche part de ce dernier chiffre et recule à deux et huit dixièmes en indiquant moins trois dixièmes.
Ainsi, on peut conclure que William doit parcourir \(2\frac{8}{{10}}\) km. On a donc \(6\frac{1}{{10}} - 3\frac{3}{{10}}\; = \;2\frac{8}{{10}}\).
Les élèves doivent aussi explorer des situations comprenant des fractions impropres. Par exemple, l’opération \(\frac{{10}}{4}\; + \;\frac{3}{4}\) pourrait être représentée à l’aide du modèle suivant.
Image Une série de languettes verticales de longueurs égales et toutes divisées en quatre parts égales sont placées côte à côte. La première et la deuxième languette présentent quatre parts couleur pourpre. La troisième languette présente deux part pourpres et deux parts blanches, ces dernières sont pointillés. Un symbole plus précède la quatrième languette, qui présente trois parts jaunes et une part blanche pointillée. Une flèche pointant à droite précède la cinquième languette qui comme la sixième présente quatre parts pourpres. La septième languette présente deux parts pourpres et deux parts jaunes. Et la huitième languette présente une part jaune et trois parts blanches, ces dernières sont pointillées.
Ce modèle permet d’exprimer le résultat sous la forme \(\frac{{13}}{4}\), si on compte les quarts, ou \(3\frac{1}{4}\), si on tient compte des touts.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 92-94.
Voici différents types de problèmes relatifs à l’addition et à la soustraction (problèmes d’ajout, problèmes de retrait, problèmes de comparaison et problèmes de réunion).
Exemples
Problèmes d’ajout
- Mila a mangé \(\frac{2}{8}\) d’un sous-marin, alors que Pierre en a mangé \(\frac{1}{2}\). Quelle fraction du sous-marin a été mangée par les deux enfants?
\(\frac{2}{8}\; + \;\frac{1}{2}\; = \;?\)
Représentation à l’aide de bandes fractionnaires
Image Deux rectangles de longueur égale sont placés l’un sous l’autre. Le premier rectangle est divisé en cinq parts. Les deux premières sont rouges, d‘égale longueur, et indiquent un huitième. La troisième est plus longue, jaune, et indique quatre huitièmes. Les deux dernières sont blanches, de longueur égale et équivalent aux deux premières. Le nom Mila est écrit sous la première part. Le deuxième rectangle est divisé en huit parts égales. Les quatre premières sont jaunes, et sur celles-ci, il est écrit : un demi égale Pierre. Une flèche part de celles-ci et pointe vers la part jaune à quatre huitièmes du rectangle au-dessus. Les quatre autres parts du deuxième rectangle sont blanches.
\(\frac{6}{8}\;{\rm{ou}}\;\frac{3}{4}\) du sous-marin a été mangée par les deux enfants.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 78.
- La fourmi rouge mesure \(\frac{3}{{10}}\) de centimètre, la cigale mesure \(1\frac{{1}}{{5}}\) de centimètre, le scarabée mesure \(\frac{2}{{10}}\) de centimètre et la coccinelle mesure \(\frac{3}{{10}}\) de centimètre. Quelle fraction impropre représente la longueur en cm de la suite d’insectes? Quelle est cette longueur en mètres?
Pour additionner les fractions, il faut les représenter à l’aide d’un dénominateur commun.
Image Une droite numérique est graduée de zéro à deux mètres, avec intervalle d’un mètre et avec marques d’intervalles de zéro virgule un. Une flèche relie zéro à un virgule deux en indiquant douze dixièmes. Une flèche relie un virgule deux à un virgule cinq en indiquant trois dixièmes. Une flèche relie un virgule cinq à un virgule sept en indiquant deux dixièmes. Et une flèche relie un virgule sept à deux en indiquant trois dixièmes.
\(\begin{align} \frac{{12}}{{10}}\; + \;\frac{3}{{10}}\; + \;\frac{2}{{10}}\; + \;\frac{3}{{10}} &= \frac{20}{{10}}\\ &= 2 \end{align} \)
Sa longueur est \(\frac{{20}}{{10}}\) de centimètres ou 2 cm. Sa longueur en mètres est de \(\frac{{2}}{{100}}\) de mètres ou 0,02 m.
Source : adapté de L’@telier - Ressources pédagogiques en ligne (atelier.on.ca).
Problème de comparaison
Mila a pris \(\frac{1}{4}\) d’un pichet d’eau pour arroser sa plante. Pierre a pris \(\frac{5}{8}\) du pichet pour arroser la sienne. Quelle fraction représente la différence entre les quantités d’eau utilisées par Pierre et Mila?
Pour soustraire les fractions, il faut les représenter à l’aide d’un dénominateur commun.
Image Une droite numérique est graduée de zéro à un avec des marques d’intervalles d’un huitième. Deux flèches noires bondissent de zéro à un huitième et d’un huitième à deux huitièmes. Au-dessus, il est écrit Mila deux huitièmes. Une flèche rouge bondit de deux huitièmes à cinq huitièmes, et une flèche noire bondit de zéro à cinq huitièmes. Sous cette dernière, il est écrit Pierre cinq huitièmes.
Il y a une différence de \(\frac{3}{8}\) d’eau du pichet.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 78.
Connaissance : dénominateur
Nombre de parties équivalentes par lequel le tout est divisé.
Par exemple, le tout est une longueur.
\(\frac{2}{3}\) du segment est rouge. Le dénominateur « 3 » de la fraction \(\frac{2}{3}\), représente les 3 parties équivalentes sectionnées de la droite numérique.
Image Deux lignes de la même longueur sont placées l’une sous l’autre. La première est toute noire, tandis que la deuxième est séparée en trois parties égales. Les deux premières sont rouges et la deuxième est noire.
Connaissance : numérateur
Nombre de parties équivalentes du tout dont se compose la fraction.
Par exemple, le tout est une longueur.
\(\frac{2}{3}\) du segment est rouge. Le numérateur « 2 » de la fraction \(\frac{2}{3}\), représente les 2 parties rouges des 3 sections équivalentes de la droite numérique.
Image Deux lignes de la même longueur sont placées l’une sous l’autre. La première est toute noire, tandis que la deuxième est séparée en trois parties égales. Les deux premières sont rouges et la deuxième est noire.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 32 et 34.