B2.8 Multiplier et diviser des fractions par d’autres fractions, à l’aide d’outils, dans divers contextes.
Habileté : multiplier et diviser des fractions par d’autres fractions, à l’aide d’outils, dans divers contextes
Multiplication
Lorsqu’on multiplie des fractions, il y a une certaine progression à suivre. Au cycle moyen, les élèves ont déjà un bagage de connaissances sur la multiplication. En effet, depuis le cycle primaire, elles et ils explorent des concepts reliés à la multiplication à l’aide de matériel concret, de la calculatrice, d’illustrations et de symboles. En 4e année, la multiplication de fractions est limitée à la multiplication d’une fraction unitaire par un nombre naturel. Ce type de multiplication peut être compris en le reliant à l’addition répétée. Ainsi, les élèves saisissent facilement que \(3\; \times \;\frac{1}{2}\), qu’on peut lire « 3 fois 1 demi », est une multiplication qui peut être représentée par l’addition répétée, soit \(\frac{1}{2}\; + \;\frac{1}{2}\; + \;\frac{1}{2}\). Elles doivent être explorées pour aider les élèves à comprendre la multiplication des fractions.
Exemple
De combien de cartons l’élève qui doit distribuer un demi-carton à 4 camarades aura-t-elle ou il besoin?
En comprenant la situation, les élèves reconnaissent qu’il y a multiplication d’une quantité, soit \(4\; \times \;\frac{1}{2}\), qui peut être représentée par une addition répétée, soit \(\frac{1}{2}\; + \;\frac{1}{2}\; + \;\frac{1}{2}\; + \;\frac{1}{2}\). Pour trouver la réponse, les élèves se représentent la situation de façon mentale ou semi-concrète ou utilisent leurs connaissances de l’addition des fractions en question. Certaines et certains élèves peuvent visualiser que 2 parties égales d’un 1er carton sont distribuées à 2 camarades et que 2 parties égales d’un 2e carton sont distribuées aux 2 autres camarades. Elle ou il lui faut donc 2 cartons.
D’autres peuvent penser à la représentation abstraite suivante : « Il faut 4 fois un demi-carton. Je sais que \(4\; \times \;\frac{1}{2}\) est égal à 2, car 2 demis font 1. Il me faut donc 2 cartons. » D’autres peuvent illustrer le problème comme suit, puis regrouper mentalement les morceaux 2 par 2 pour constater qu’il y a l’équivalent de 2 cartons complets.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 86-87.
Cependant, il est plus difficile de donner un sens à la multiplication d’un nombre naturel par une fraction (par exemple, \(\frac{1}{2}\; \times \;3\)). Ces situations sont explorées à partir de la 5e année en multipliant un nombre naturel par une fraction unitaire.
Exemple
Dans une salle de classe de 6e année, \(\frac{1}{2}\) des élèves portent une tuque.
S’il y a 24 élèves dans la salle de classe, combien d’élèves portent une tuque?
- Multiplication effectuée à l’aide d’une droite numérique double
Pour trouver \(\frac{1}{2}\) de 24, je divise 24 par 2, ce qui me donne 12.
Je représente les 24 élèves sous la droite et la moitié de 24 sur le haut de la droite.
Image
Une droite numérique est graduée de zéro à 26 par marques d’intervalles de deux. Au-dessus, une flèche relie zéro à
douze en indiquant « douze élèves », et en dessous, une flèche relie zéro à 24 en indiquant « 24 élèves ».
Il y a 12 élèves qui portent une tuque.
- Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire
Je décompose 24 en \(20\; + \;4\). Je détermine la moitié de 20 et la moitié de 4, \(10\; + \;2\; = \;12\).
Image
Un rectangle est traversé par une ligne verticale entre le centre et l’extrême droit. Au-dessus du rectangle, il est
écrit le nombre 20 à gauche de la ligne verticale, et le chiffre quatre à droite de la ligne verticale. À l’intérieur
du rectangle, il est écrit dix à gauche de la ligne verticale et deux à droite de la ligne. À gauche du rectangle, il
est écrit un demi.
Il y a 12 élèves qui portent une tuque.
En 6e année, en examinant le concept de multiplication d’un nombre naturel par une fraction propre, elles et ils apprendront que la fraction d’un ensemble (\(\frac{2}{3}\) de 6) est reliée à la multiplication et que cette situation peut être représentée par une multiplication (\(\frac{2}{3}\; \times \;6\)). Il faut un bon degré d’abstraction pour accepter qu’une situation comme \(\frac{1}{2}\) de 12 soit considérée comme une multiplication.
Exemple
Dans un champ de forme rectangulaire dont l’aire est de 100 m2, M. Longpré a semé des concombres sur \(\frac{2}{5}\) de cette surface. Quelle est l’aire du champ, en m2, consacrée à la culture des concombres?
Source : Les mathématiques… un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et Sens du nombre/Mesure, 6e année, Module 2, Série 2, p. 309.
- Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire
J’ai décomposé 100 en \(25\; + \;25\; + \;25\; + \;25\). J’ai aussi décomposé \(\frac{2}{5}\) en \(\frac{1}{5}\; + \;\frac{1}{5}\). Je sais que \(\frac{1}{5}\) de 25 est 5 puisque \(5\; \times \;5\; = \;25\).
J’ai additionné les produits partiels pour arriver à 40.
Image
Un rectangle est divisé en huit parts égales, soit deux rangées de quatre parts, lesquelles possèdent chacune le
chiffre cinq. Au-dessus de chaque colonne il est écrit 25, et à gauche de chaque rangée, il est écrit un cinquième.
Sous le rectangle, il est écrit : dix plus dix plus dix plus dix égale 40.
L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m2.
- Multiplication effectuée à l’aide d’un algorithme personnel
J’ai décomposé \(\frac{2}{5}\) en \(2\; \times \;\frac{1}{5}\).
À l’aide de l’associativité, j’ai multiplié \(\frac{1}{5}\; \times \;2\; \times \;100\).
J’ai multiplié \(\frac{1}{5}\; \times \;200\).
Multiplier par \(\frac{1}{5}\) est la même chose que diviser par 5.
J’obtiens 40.
\(\begin{align} \frac{2}{5} \times \;100 &= 2\; \times \;\frac{1}{5}\; \times \;100 \\ &= \frac{1}{5}\; \times \;2\; \times \;100 \\ &= \frac{1}{5}\; \times 200 \\ &= \;200\; \div \;5 \\ &= 40 \end{align}\)
L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m2.
Multiplication d’une fraction par une fraction
En 7e année, l’élève multiplie et divise des fractions par d’autres fractions. Ainsi, l’enseignante ou l’enseignant doit amener les élèves à comprendre le sens des opérations et à les représenter visuellement en utilisant diverses représentations.
L’élève qui résout des problèmes utilise du matériel de manipulation et des illustrations pour représenter les fractions et pour simuler l’action qui se dégage de l’énoncé. C’est en partant de ces représentations visuelles qu’elle ou il construit le sens des opérations (×, ÷).
Source : inspiré de Les mathématiques… un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et Sens du nombre/Mesure, 8e année, Module 1, Série 2, p. 143-144.
La vidéo suivante montre la multiplication d’une fraction par une fraction à l’aide d’un modèle de surface, ainsi que l’algorithme représentant la situation.
Description de la vidéo
Description à venir
Voici d’autres exemples de multiplication de fractions, soient la multiplication sans fractionnement et la multiplication avec fractionnement.
Multiplication sans fractionnement
- Multiplication effectuée à l’aide du modèle de surface
L’élève peut utiliser le modèle de surface, soit le rectangle ou le carré pour multiplier une fraction par une autre fraction.
Exemple
\(\frac{1}{4}\; \times \;\frac{2}{3}\;\;{\rm{ou}}\;\;\frac{1}{4}\;{\rm{de}}\;\frac{2}{3}\)
Puisque je cherche \(\frac{1}{4}\) de \(\frac{2}{3}\), je divise verticalement un rectangle en 3 parties égales et je colorie 2 parties, ce qui correspond à \(\frac{2}{3}\) du rectangle.
Image
Un rectangle est divisé en trois parties égales sur le sens de la largeur. Les deux premières sont bleues tandis que
la dernière est blanche. Il est écrit un tiers au-dessus de chacune des parties.
Ensuite, je divise horizontalement le même rectangle en 4 parties égales et je colorie 1 partie, ce qui correspond à \(\frac{1}{4}\) du rectangle.
Image Un rectangle est divisé en quatre rangées de trois
rectangles tous égaux. La première rangée a trois rectangles bleus, et les trois autres ont deux rectangles bleus et
un blanc. Il est écrit un quart devant chaque rangée.
La fraction qui représente \(\frac{1}{4}\) correspond au nombre de parties coloriées 2 fois, soit \(\frac{2}{{12}}\). Le numérateur correspond aux parties coloriées plus foncées et le dénominateur correspond au nombre de parties de même taille dans le tout, soit 12 parties.
La fraction \(\frac{2}{{12}}\) peut être simplifiée à une fraction équivalente de \(\frac{1}{6}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 2.
- Multiplication effectuée à l’aide d’une représentation symbolique
L’élève multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
\(\frac{1}{4}\; \times \;\frac{2}{3}\; = \;\frac{{1\; \times \;2}}{{4\; \times \;3}}\; = \frac{2}{12}\)
Source : inspiré de Les mathématiques… un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et Sens du nombre/Mesure, 8e année, Module 1, Série 2, p. 253-254.
- Multiplication effectuée en trouvant le PPCM
Le plus petit commun multiple (PPCM) de 4 et 3 est 12.
Je divise un rectangle en 12 parties égales et je représente \(\frac{2}{3}\)du rectangle.
Ensuite, je trouve \(\frac{1}{4}\) de 8 carrés ou \(\frac{1}{4}\)de 2 colonnes = 2 carrés sur 12.
Image
Un rectangle est divisé en quatre rangées de trois rectangles tous égaux. Chaque rangée a deux rectangles bleus et un
blanc. À gauche de chacune d’elle il est écrit un quart de deux tiers. Au-dessus du grand rectangle il est écrit deux
tiers du rectangle.
Alors, \(\frac{1}{4}\)de \(\frac{2}{3}\)du rectangle est égale à 2 carrés sur l’ensemble des carrés (12).
\(\frac{1}{4}\;\;{\rm{de}}\;\;\frac{2}{3}\;\;{\rm{du \;\; rectangle}}\;\;\;{\rm{ = }}\;\frac{2}{{12}}\;\;{\rm{ou}}\;\;\frac{1}{6}\)
Multiplication avec fractionnement
- Multiplication effectuée à l’aide du modèle de surface
\(\frac{3}{4}\; \times \;\frac{2}{3}\;\;{\rm{ou}}\;\;\frac{3}{4}\;\;{\rm{de}}\;\;\frac{2}{3}\)
Puisque je cherche \(\frac{3}{4}\) de \(\frac{2}{3}\), je divise verticalement un rectangle en 3 parties égales et je colorie 2 parties, ce qui correspond à \(\frac{2}{3}\) du rectangle.
Image La figure un, la figure deux et la figure trois sont placées côte à côte. Ce sont toutes des rectangles
divisés en quatre rangées de trois rectangles tous égaux. La figure un a trois rectangles bleus dans la première
rangée, et les trois autres rangées ont deux rectangles
bleus et un rectangle blanc. Il est écrit « deux » à gauche de la première rangée. La figure deux a des rectangles
bleus partout sauf le dernier en bas à droite. Il est écrit « deux » à gauche des
trois premières rangées. Par des flèches, le premier et le deuxième rectangle de la troisième rangée se lient
respectivement au troisième rectangle de la deuxième rangée et au troisième rectangle de la première rangée de la
figure trois. La figure trois a des rectangles bleus partout sauf le dernier en bas à droite. Il est écrit « deux »
à gauche de
la première rangée.
Ensuite, je peux décomposer \(\frac{3}{4}\) en \(\frac{1}{4}\; + \;\frac{1}{4} + \;\frac{1}{4}\).
Je divise horizontalement le même rectangle en 4 parties égales et je colorie tout d’abord 1 partie, ce qui correspond à \(\frac{1}{4}\) du rectangle, soit 3 carrés parmi 12. La fraction qui représente \(\frac{1}{4}\) de \(\frac{2}{3}\) correspond au nombre de parties coloriées 2 fois, soit \(\frac{2}{{12}}\). Le numérateur correspond aux parties coloriées plus foncées et le dénominateur correspond au nombre de parties de même taille dans le tout, soit 12 parties (figure 1).
Image La figure un, la figure deux et la figure trois sont placées côte à côte. Ce sont toutes des rectangles
divisés en quatre rangées de trois rectangles tous égaux. La figure un a trois rectangles bleus dans la première
rangée, et les trois autres rangées ont deux rectangles
bleus et un rectangle blanc. Il est écrit « deux » à gauche de la première rangée. La figure deux a des rectangles
bleus partout sauf le dernier en bas à droite. Il est écrit « deux » à gauche des
trois premières rangées. Par des flèches, le premier et le deuxième rectangle de la troisième rangée se lient au
troisième rectangle de la deuxième rangée de la figure trois. La figure trois a des rectangles bleus partout sauf le
dernier en bas à droite. Il est écrit « deux » à gauche de
la première rangée.
Je cherche \(\frac{3}{4}\), alors je peux faire \(2\; + \;2\; + \;2\) puisque \(\frac{1}{4}\) représente 2 carrés. Alors, \(\frac{3}{4}\) représente 6 carrés. \(\frac{3}{4}\) de \(\frac{2}{3}\) représente \(\frac{6}{{12}}\) du tout (figure 2). Si je déplace 2 des carrés (figure 3), je peux voir que \(\frac{6}{{12}}\) est aussi \(\frac{1}{2}\) du tout.
Division
Lorsqu’on divise des fractions, il y a une certaine progression à suivre. L’exploration de la division, comme celle des autres opérations, doit miser sur les représentations concrètes et semi-concrètes et non sur les algorithmes. Les élèves peuvent alors réactiver leurs connaissances antérieures et saisir le sens de l’opération. Afin de comprendre une division, il est essentiel d’examiner le sens de la division et la nature des nombres qui la composent. Une division a le sens de partage lorsqu’on cherche la taille des groupes; elle a le sens de groupement lorsqu’on cherche le nombre de groupes.
Ainsi, en 5e année, la division d’un nombre naturel par une fraction unitaire (par exemple, \(2\; \div \;\frac{1}{3}\)) se représente bien en utilisant le sens de groupement. Dans ce cas, la fraction est le diviseur.
Par exemple, si on a 2 réglisses et que l’on veut remettre à chaque enfant \(\frac{1}{3}\) d’une réglisse, on procède à une division puisqu’il faut séparer une quantité (2 réglisses) en des quantités égales (\(\frac{1}{3}\) de réglisse) pour déterminer le nombre de quantités égales ou de groupes qui peuvent être créés (6 enfants recevront \(\frac{1}{3}\) de réglisse chacun). Dans ce cas, il est important de reconnaître que le quotient exprime un nombre de sections, soit des tiers et non une quantité d’objets (réglisses).
Image
Trois ensembles de réglisses.
Le premier ensemble, qui comporte deux réglisses, pointe avec une flèche vers le deuxième ensemble, qui comporte six
réglisses placées deux par deux. Le premier paquet de deux pointe avec une flèche vers la troisième réglisse du
troisième ensemble, qui comporte six réglisses alignées et numérotées.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 80-82.
Dans le cas d’une division d’un nombre naturel par une fraction, la division prend généralement le sens de groupement. Ainsi, l’analogie de la soustraction répétée est de mise puisqu’il s’agit de séparer des parties.
Par exemple, dans la division de 2 par \(\frac{1}{4}\) (\(2\; \div \;\frac{1}{4}\)), en faisant \(2\; - \;\frac{1}{4}\; - \;\frac{1}{4}\; - \;\frac{1}{4}\; - \;\frac{1}{4}\; - \;\frac{1}{4}\; - \;\frac{1}{4}\; - \;\frac{1}{4}\; - \;\frac{1}{4}\), on peut créer 8 groupes de \(\frac{1}{4}\). Cependant, le groupe créé est plutôt abstrait puisqu’il s’agit d’un groupe qui est une fraction d’un tout. Les questions « Combien de \(\frac{1}{4}\) peuvent être créés avec 2 touts? » et « Combien de fois \(\frac{1}{4}\) va-t-il dans 2? » peuvent aider à se représenter l’opération.
En 6e année, l’élève divise un nombre naturel par une fraction propre.
Exemple
\(6\; \div \;\frac{3}{5}\; = \;10\)
Modèle de surface
Afin de créer un dallage, chaque équipe a besoin de l’équivalent des \(\frac{3}{5}\;\)des carrés d’une feuille. Combien d’équipes peuvent effectuer la tâche si on dispose de 6 feuilles?
Image
Deux droites numériques graduées de zéro à six sont placées l’une sous l’autre. La première ne présente que
les chiffres de zéro à six. La deuxième les présente aussi mais possède également des marques d’intervalles de zéro
virgule deux en pointillé.
Au-dessus, l'accolade un regroupe zéro à zéro virgule six. L’accolade deux regroupe zéro virgule six à un virgule
deux. L’accolade trois regroupe un virgule deux à un virgule huit. L’accolade quatre regroupe un virgule huit à deux
virgule quatre. L’accolade cinq regroupe deux virgule quatre à trois. L’accolade six regroupe trois à trois virgule
six. L’accolade sept regroupe trois virgule six à quatre virgule deux. L’accolade huit regroupe quatre virgule deux
à quatre virgule huit. L’accolade neuf regroupe quatre virgule huit à cinq virgule quatre. Et l’accolade dix
regroupe cinq virgule quatre à six.
Modèle de longueur
Une enseignante a une corde de 6 m et veut la couper en sections de \(\frac{3}{5}\;\)de mètre chacune. Combien de sections pourra-t-elle créer?
Image Deux droites numériques graduées de zéro à six sont placées
l’une sous l’autre. La première ne présente que
les chiffres de zéro à six. La deuxième les présente aussi mais possède également des marques d’intervalles de zéro
virgule deux en pointillé.
Au-dessus, l'accolade un regroupe zéro à zéro virgule six. L’accolade deux regroupe zéro virgule six à un virgule
deux. L’accolade trois regroupe un virgule deux à un virgule huit. L’accolade quatre regroupe un virgule huit à deux
virgule quatre. L’accolade cinq regroupe deux virgule quatre à trois. L’accolade six regroupe trois à trois virgule
six. L’accolade sept regroupe trois virgule six à quatre virgule deux. L’accolade huit regroupe quatre virgule deux
à quatre virgule huit. L’accolade neuf regroupe quatre virgule huit à cinq virgule quatre. Et l’accolade dix
regroupe cinq virgule quatre à six.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 100-102.
En 7e année, l’élève divise des fractions par d’autres fractions.
Division d’une fraction par une fraction
La vidéo suivante montre la division d’une fraction par une autre fraction à l’aide d’un modèle de surface et d’un algorithme.
Description de la vidéo
Description à venir
Voici d’autres exemples de division de fractions, soient la division sans fractionnement et la division avec fractionnement.
Division sans fractionnement
Exemple
\(\frac{5}{6}\; \div \;\frac{1}{6}\)
- Division effectuée à l’aide du modèle de surface
Je représente \(\frac{5}{6}\) d’un rectangle en divisant le rectangle en 6 parties égales dont 5 parties sont ombragées. Je me pose la question « Combien de \(\frac{1}{6}\) y a-t-il dans \(\frac{5}{6}\)? »
Image Un rectangle est divisé en six parties égales sur le sens de la largeur. Les cinq premières
parties sont bleues et portent la fraction un sixième. Il est écrit respectivement un, deux, trois, quatre et cinq
sous ces parties. La sixième partie est blanche et ne possède aucune mention.
Il y a 5 un sixième dans \(\frac{5}{6}\). Alors, \(\frac{5}{6}\; \div \;\frac{1}{6}\; = \;5\).
- Division effectuée à l’aide d’une représentation symbolique
Étant donné que le dividende et le diviseur ont un dénominateur commun, je peux diviser les numérateurs et diviser les dénominateurs.
\(\frac{5}{6}\; \div \;\frac{1}{6}\; = \frac{{5\; \div \;1}}{{6\; \div \;6}}\; = \frac{5}{1}\; = 5\)
Division avec fractionnement
Exemple
\(\frac{3}{4}\; \div \;\frac{1}{2}\)
- Division effectuée à l’aide d’une droite numérique
Je représente \(\frac{3}{4}\)sur la droite numérique (trait rouge). Je me pose la question « Combien y a-t-il de groupes de \(\frac{1}{2}\) dans \(\frac{3}{4}\)? »
En sachant que \(\frac{2}{4}\; = \;\frac{1}{2}\), je détermine combien de \(\frac{2}{4}\) il y a dans \(\frac{3}{4}\).
Image Une double droite numérique est graduée de zéro à quatre quarts
avec marques d’intervalles aux quarts. Un trait rouge la surligne de zéro à trois quarts. Au-dessus, il y a une ligne
de zéro à quatre quarts avec une marque au centre. Il est écrit « un » au-dessus de la première moitié. La deuxième
moitié et à moitié pleine et à moitié pointillée. Il est écrit « un demi » au-dessus de la partie pleine.
Sur la droite numérique ici-haut, je peux voir qu’il y a un groupe de \(\frac{1}{2}\) ou \(\frac{2}{4}\) et de \(\frac{2}{4}\)à \(\frac{3}{4}\), il y en a la moitié (\(\frac{1}{2}\)) d’un autre, donc au total il y en a 1\(\frac{1}{2}\) groupes de \(\frac{1}{2}\).
- Division effectuée à l’aide d’un dénominateur commun
\(\begin{align}\frac{3}{4}\; \div \;\frac{1}{2}\; &= \frac{3}{4}\; \div \;\frac{2}{4}\\\quad &= \;\frac{{3\; \div \;2}}{{4\; \div \;4}}\\\quad \quad \;\; &= \;\frac{{\frac{3}{2}}}{1}\; \\\quad &= \;\frac{3}{2}\\\quad \quad \;\; &= \;1\frac{1}{2}\end{align}\)
Connaissance : fraction
Le mot fraction vient du latin fractio qui veut dire « rupture ». Une partie d’un objet brisé peut donc représenter une fraction, car c’est une partie d’un tout. Toutefois, pour déterminer une fraction d’un objet divisé en plusieurs parties, il faut que les parties soient équivalentes.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 33.
Connaissance : notation fractionnaire
La notation fractionnaire \(\frac{a}{b}\) est généralement associée au concept de partie d’un tout. Le tout peut être un élément ou un ensemble d’éléments.
Par exemple :
- J’ai donné 1 quart (\(\frac{1}{4}\)) de mon sandwich à Alex.
- 1 quart (\(\frac{1}{4}\)) de mes billes sont bleues.
Image Un grand ovale contient deux rangées de deux petits ovales qui eux contiennent chacun deux
jetons. De gauche à droite et de haut en bas : le premier ovale contient deux jetons bleus, le deuxième ovale contient
un jeton pourpre et un jeton violet, le troisième ovale contient un jeton brun et un jeton jaune, et le quatrième
ovale contient un jeton rouge et un jeton vert.
Or, la notation fractionnaire peut être aussi associée à d’autres concepts tels que la division, le rapport et l’opérateur.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 36.