B2.1 Utiliser les propriétés et la priorité des opérations et les relations entre les opérations pour résoudre des problèmes comportant des nombres rationnels, des rapports, des taux et des pourcentages, y compris des problèmes à plusieurs étapes et à plusieurs opérations.
Habileté : utiliser les propriétés des opérations
La plupart des contenus mathématiques liés au domaine Nombres, de la 7e à la 10e année, peuvent être abordés en misant sur l’objectif de développer la pensée algébrique. Au lieu de demander aux élèves de mémoriser des règles pour effectuer des opérations sur différents nombres, il est plus efficace de « […] les amener à dépasser ces cas particuliers et arriver à penser à la généralisation mathématique sous-jacente (Beatty et Bruce, 2012; ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2005) » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2013, p. 6). L’objectif est d’amener les élèves à observer et à analyser une situation, ainsi qu’à établir diverses relations en vue de formuler une généralisation. La compréhension des propriétés telles que la commutativité, l’associativité et la distributivité en Nombres est un préalable à la simplification d’expressions algébriques et à la résolution d’équations. Simplifier et résoudre des équations exigent aussi une bonne compréhension du sens d’une situation d’égalité et du sens du symbole égal.
Explorer les diverses propriétés des opérations, c’est examiner les relations entre les nombres, c’est-à-dire analyser des situations dans lesquelles le changement d’une quantité a un effet sur une autre quantité.
Commutativité de l’addition et de la multiplication
Lorsque deux nombres sont additionnés ou multipliés, l’égalité demeure vraie même si l’ordre des nombres est changé.
L’élève qui fait cette généralisation comprend la propriété de commutativité. Cette compréhension l’aide à simplifier des expressions algébriques et à résoudre des équations parce qu’elle ou il peut établir un lien avec une connaissance antérieure. Toutefois, l’élève qui ne comprend pas la propriété de commutativité effectuera l’addition ou la multiplication au lieu de comparer les termes de chaque côté du signe égal.
| ADDITION | MULTIPLICATION |
|---|---|
|
|
QUESTIONNEMENT
Que remarques-tu au sujet de l’ordre des termes?
Crois-tu que le changement de l’ordre des termes modifie la solution? Comment peux-tu le justifier?
Est-ce que les égalités dans les exemples a) sont vraies? Comment le sais-tu?
Comment as-tu déterminé la valeur de y dans les exemples b)?
As-tu pensé à une stratégie pour vérifier ta réponse?
Dans les deux exemples c), comment as-tu utilisé la propriété de commutativité pour simplifier les expressions?
Associativité
Lorsque les nombres sont additionnés ou multipliés, il est possible de les regrouper de diverses façons sans changer le résultat de l’opération; l’égalité demeure vraie. L’élève qui fait cette généralisation comprend la propriété d’associativité soit, que l’ordre des nombres est respecté, mais que les parenthèses sont déplacées. Comprendre cette propriété lui permet de simplifier des expressions algébriques et de résoudre des équations.
| ADDITION | MULTIPLICATION |
|---|---|
|
\((40\; + \;- 5)\; + \; - 30\; = \;40\; + \; (- 5\; + \; - 30)\) \((2x\; + \; - 3)\; + \; -4\; = \;2x\; + \;(- 3\; + \; - 4)\) |
\((10\; \times \; - 2)\; \times \;5\; = \;10\;(-2\; \times \;5)\) \((3x\; \times \;-2)\; \times \;4\; = \;3x\;(-2\; \times \;4)\) |
QUESTIONNEMENT
Que compares-tu lorsque tu observes l’égalité?
Comment peux-tu expliquer les regroupements?
Que remarques-tu au sujet de l’ordre des termes?
Crois-tu que les changements liés aux regroupements modifient la solution? Comment peux-tu le justifier?
Distributivité
La distributivité de la multiplication sur l’addition ou sur la soustraction est une propriété qui transforme un produit de sommes ou de différences à une somme ou à une différence de produits. L’élève qui fait cette généralisation comprend qu’il est possible de répartir les termes de différente façon, c’est-à-dire de décomposer les nombres et d’obtenir le même résultat.
Le problème ci-dessous est un exemple typique de ce qui peut être présenté à l’élève pour l’amener à comprendre la propriété de distributivité de la multiplication.
Exemple
Une salle de spectacle contient 16 rangées de 34 sièges. Combien de sièges y a-t-il dans la salle de spectacle?
L’utilisation du contexte d’une salle de spectacle n’est pas un hasard. C’est un contexte propice à l’exploration d’un modèle d’aire appelé disposition rectangulaire.
Une séquence d’enseignement bien orchestrée amène l’élève à utiliser une disposition rectangulaire réalisée :
- à l’aide de matériel concret (par exemple, matériel de base dix, carreaux algébriques);
Image Deux rangées de quatre ensembles d’unités sont présentées. Première rangée : trois grilles
de cent unités
mesurant dix par dix, et quatre bâtonnets de dix unités. Deuxième rangée : trois ensembles de six bâtonnets de dix
unités et un ensemble contenant quatre colonnes de six
unités.
- à l’aide de matériel semi-concret (par exemple, papier quadrillé)
Image Un ensemble d’unités est illustré comme suit : trois grilles de cent unités et quatre bâtonnets
de dix unités sont placés côte à côte. Sous chaque grille il y a six rangées de dix unités supplémentaires, et sous
chaque bâtonnet il y a six unités supplémentaires. Au-dessus de l’image est écrit le nombre 34 et à gauche de l’image
est écrit le chiffre 6.
- à l’aide d’une représentation plus abstraite (par exemple, disposition rectangulaire ouverte).
Image Un rectangle est divisé en deux rangées de deux rectangles. De gauche à droite et de haut en
bas, premier rectangle : à l’intérieur, il est écrit : parenthèse ouvrante dix fois trente parenthèse fermante. 300
sièges. Deuxième rectangle : à l’intérieur, il est écrit : parenthèse ouvrante dix fois quatre parenthèse fermante.
Quarante sièges. Troisième rectangle : parenthèse ouvrante six fois trente parenthèse fermante. 180 sièges. Quatrième
rectangle : parenthèse ouvrante six fois quatre parenthèse fermante. Vingt-quatre sièges. Au-dessus du premier
rectangle il est écrit 30, et à gauche, dix. Au-dessus du deuxième rectangle, il est écrit quatre. Et à gauche du
troisième rectangle, il est écrit six.
La stratégie liée au concept d’aire qui consiste à faire des sommes de produits partiels aide l’élève à généraliser et à découvrir la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition.
Cet apprentissage a son utilité à différents cycles, car la disposition rectangulaire peut s’appliquer à la multiplication dans d’autres systèmes de nombres (par exemple, fractions, nombres décimaux), ainsi qu’à des situations algébriques.
| MULTIPLICATION DE FRACTIONS | MULTIPLICATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES |
|---|---|
| Calcule \(4\frac{1}{2}\; \times \;8\frac{1}{4}\). | Simplifie \((x\; + \;3)(x\; + \;2)\). |
 Image Dans un rectangle, il y a une division verticale très
près du côté droit et une division horizontale très près du bas. La longueur mesure comme suit : huit pour
la grande partie, un quart pour la mince partie. La largeur mesure comme suit : quatre pour la grande
partie, un demi pour la mince partie. Sous le rectangle, le chiffre quatre pointe avec une flèche vers la
mince partie horizontale, et à droite du rectangle, le chiffre un pointe avec une flèche vers la mince
partie verticale. Au coin en bas à droite il est écrit un huitième.  Image Un rectangle est divisé en deux rangées de deux rectangles. De gauche à droite et de
haut en bas : le premier rectangle contient le nombre 32, le deuxième rectangle contient le chiffre un, le
troisième rectangle contient le chiffre quatre, et le quatrième rectangle contient la fraction un
huitième. Au-dessus du premier rectangle il est écrit huit, et à gauche, quatre. Au-dessus du deuxième
rectangle, il est écrit un quart. Et à gauche du troisième rectangle, il est écrit un demi. |
 Image Un rectangle est représenté par des réglettes. Il est
formé comme suit : un carré bleu à droite duquel se collent trois longues réglettes vertes rectangulaires
de la même longueur; et sous lequel se collent deux réglettes vertes de la même longueur. Deux rangées de
trois unités cubes jaunes viennent pallier le coin droit du bas.  Image Un rectangle est divisé en deux rangées de deux rectangles. De gauche à droite et de
haut en bas : le premier rectangle contient la variable « X » au carré, le deuxième rectangle contient la
variable trois « X », le troisième rectangle contient la variable deux « X » et le quatrième rectangle
contient le chiffre six. Au-dessus et à gauche du premier rectangle, il y a un « X ». Au-dessus du
deuxième rectangle, il y a le chiffre trois, et à gauche du troisième rectangle, il y a le chiffre deux.
|
|
\(\begin{array}{l}\quad 4\frac{1}{2}\; \times \;8\frac{1}{4}\\ = \;(4\; \times \;8)\; + \;(4\; \times \;\frac{1}{4})\; + \;(\frac{1}{2}\; \times \;8)\; + \;(\frac{1}{2}\; \times \;\frac{1}{4})\\ = \;32 + 1 + 4 + \frac{1}{8}\\ = \;37\frac{1}{8}\end{array}\) |
\(\begin{array}{l}\quad (x\; + \;3)\; \times \;(x\; + \;2)\\ = {x^2}\; + \;3x\; + \;2x\; + \;6\\ = {x^2}\; + \;5x\; + \;6\end{array}\) |
Il est important que l’élève explore parallèlement si les propriétés de commutativité, d’associativité et de distributivité s’appliquent à la soustraction et à la division. L’associativité et la commutativité ne s’appliquent pas à la soustraction ni à la division. La distributivité ne s’applique pas à la division.
| SOUSTRACTION | DIVISION
|
|
|---|---|---|
| ASSOCIATIVITÉ |
\(\begin{array}{l}(a\; - \;b)\; - \;c\; \ne \;a\; - \;(b\; - \;c)\\(10\; - \;2)\; - \;3\; \ne \;10\; - \;(2\; - \;3)\\5\; \ne \;11\end{array}\) |
\(\begin{array}{l}(a\; \div \;b)\; \div \;c\; \ne \;a\; \div \;(b\; \div \;c)\\(48\; \div \;4)\; \div \;2\; \ne \;48\; \div \;(4\; \div \;2)\\6\; \ne \;24\end{array}\) |
| COMMUTATIVITÉ |
\(\begin{array}{l}a\; - \;b\; \ne \;b\; - \;a\\36\; - \;27\; \ne \;27\; - \;36\end{array}\) |
\(\begin{array}{l}a\; \div \;b\; \ne \;b\; \div \;a\\120\; \div \;5\; \ne \;5\; \div \;120\end{array}\) |
| DISTRIBUTIVITÉ |
\(\begin{array}{l}a\; \div \;(b\; + \;c)\; \ne \;(a\; \div \;b)\; + \;(a\; \div \;c)\\24\; \div \;(4\; + \;8)\; \ne \;(24\; \div \;4)\; + \;(24\; \div \;8)\\24\; \div \;12\; \ne \;6\; + \;3\\2\; \ne \;9\end{array}\) |
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 18-22.
Généralisations algébriques
L’élève devrait maîtriser les généralisations algébriques ci-dessous relatives aux propriétés des nombres réels.
Commutativité :
Pour tous les a et b éléments de ℝ (nombres réels), \(\ a + b = b + a\).
Pour tous les a et b éléments de ℝ (nombres réels), \(\ a \times b = b \times a\).
Associativité :
Pour tous les a, b et c éléments de ℝ (nombres réels), \(\ (a + b) + c = a + (b + c)\).
Pour tous les a, b et c éléments de ℝ (nombres réels), \(\left( {a\; \times \;b} \right)\; \times \;c\; = \;a\; \times \;\left( {b\; \times \;c} \right)\).
Distributivité :
Pour tous les a, b et c éléments de ℝ (nombres réels), \(a\left( {b\; + \;c} \right)\; = \;ab\; + \;ac\).
Élément neutre :
Pour tous les a éléments de ℝ (nombres réels), \(a\; + \;0\; = \;0\; + \;a\; = \;a\).
Pour tous les a éléments de ℝ (nombres réels), \(a\; \times \;1\; = \;1\; \times \;a\; = \;a\).
Élément absorbant :
Pour tous les a éléments de ℝ (nombres réels), \(a\; \times \;0\; = \;0\; \times \;a\; = \;0\).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 24-25.
Habileté : utiliser la priorité des opérations
La priorité des opérations peut survenir dans un contexte de résolution de problèmes ou dans des opérations présentées sous forme d’expressions numériques sans contexte.
En classe, il est plus important de miser sur le sens des expressions en contexte de résolution de problèmes que sur l’habileté à évaluer des expressions comportant de multiples opérations.
Les opérations en contexte de résolution de problèmes
Pour résoudre un problème comportant une série d’opérations, l’ordre à suivre est dicté par le sens du problème.
Exemple 1
Simon a 3 enveloppes contenant 5 timbres chacune et sa sœur Annabelle a 7 enveloppes contenant 4 timbres chacune. Ils décident de regrouper tous leurs timbres pour former une plus grosse collection. Combien de timbres compte leur collection commune?
Pour résoudre ce problème logiquement, les élèves doivent d’abord déterminer le nombre de timbres dans la collection de Simon (\(3\; \times \;5\; = \;15\)), puis le nombre de timbres dans celle d’Annabelle (\(7\; \times \;4\; = \;28\)). Ensuite, ils doivent trouver le nombre total de timbres dans les 2 collections (\(15\; + \;28\; = \;43\)). Ici, la multiplication a donc priorité sur l’addition.
Pour représenter toutes ces opérations en une seule expression numérique, on pourrait écrire \(3\; \times \;5\; + \;7\; \times \;4\). Or, cette expression peut porter à confusion. C’est pourquoi il est préférable de recourir à des parenthèses pour préciser l’ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées, soit \((3\; \times \;5)\; + \;(7\; \times \;4)\). La solution peut alors être présentée comme suit :
\(\begin{align}(3\; \times \;5)\; + \;(7\; \times \;4)\; &= 15\; + \;28 \\ &= \;43 \end{align}\)
Donc, la collection commune contient 43 timbres.
Dans l’exemple suivant, il est possible de résoudre le problème en donnant la priorité à l’addition sur la multiplication.
Exemple 2
Alphonse commande 12 recueils de bandes dessinées vendus au prix de 7 $ chacun. Il y a des frais de livraison de 2 $ par recueil. Combien lui coûtent les 12 recueils?
Les élèves peuvent d’abord déterminer le prix de chaque recueil \(\left( {7\;\$ \; + \;2\;\$ \; = \;9\;\$ } \right)\), puis le coût total \(\left( {12\;\$ \; \times \;9\;\$ \; = \;108\;\$ } \right)\). Comme dans l’exemple précédent, il est possible de présenter les deux opérations avec des parenthèses dans la même expression numérique : \((7\; + \;2)\; \times \;12\) ou \(12\; \times \;(7\; + \;2)\).
Ainsi, les parenthèses permettent de regrouper certains éléments d’une expression numérique et de préciser que ces éléments doivent être traités en priorité.
Les opérations sous forme d’expressions numériques
Idéalement, les expressions numériques devraient être présentées dans un contexte qui permet d’établir la priorité des opérations. Il arrive cependant qu’on doive évaluer une expression numérique hors contexte. Telles que présentées précédemment, les parenthèses aident à prioriser les opérations à effectuer, comme dans les expressions numériques \((3\; \times \;5)\; + \;(7\; \times \;4)\) et \(12\; \times \;(7\; + \;2)\). Cependant, une expression numérique présentée sans parenthèses et sans contexte pourrait générer une multitude de réponses. Par exemple, on pourrait décider de traiter les opérations dans l’ordre dans lequel elles paraissent :
\(\begin{align}3\; \times \;5\; + \;7\; \times \;4\; &= 15\; + \;7\; \times \;4\\ &= 22\; \times \;4\\ &= \;88\end{align}\)
On pourrait aussi décider de donner la priorité à l’addition sur la multiplication :
\(\begin{align}3\; \times \;5\; + \;7\; \times \;4\; &= 3\; \times \;12\; \times \;4\\ &= 36\; \times \;4\\&= \;144\end{align}\)
Devant une expression numérique de ce genre, certaines règles ont été établies afin de lever toute ambiguïté et d’uniformiser son traitement. Une de ces règles stipule que les multiplications et les divisions s’effectuent avant les additions et les soustractions. Dans ce contexte, la façon convenue d’évaluer l’expression précédente est :
\(\begin{align}3\; \times \;5\; + \;7\; \times \;4\; &= 15\; + \;28\\&= \;43\end{align}\)
L’acronyme PEDMAS est souvent présenté aux élèves pour les aider à retenir l’ensemble des règles qui définissent la priorité des opérations. Le « P » représente les parenthèses qu’il faut traiter en premier. Le « E » désigne les exposants qui sont évalués ensuite. Le « D » et le « M » représentent la division et la multiplication, opérations à effectuer selon l’ordre dans lequel elles paraissent. Enfin, l’addition et la soustraction correspondent aux lettres « A » et « S ». Ces deux dernières opérations sont effectuées en dernier lieu selon l’ordre dans lequel elles paraissent. La priorité des opérations est au programme de 6e année, mais il peut arriver que les élèves des autres années abordent ces règles de façon informelle. Ce n’est qu’au cycle intermédiaire qu’interviennent les exposants. En classe, il est plus important de miser sur le sens des expressions en contexte de résolution de problèmes que sur l’habileté à évaluer des expressions comportant de multiples opérations.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 108-110.
Certaines calculatrices respectent la priorité des opérations, alors que d’autres ne le font pas (par exemple, si on appuie sur les touches \(3\; + \;4\; \times \;5\; = \), une calculatrice qui respecte la priorité des opérations afficherait 23, tandis qu’une calculatrice qui ne la respecte pas afficherait 35). Les élèves doivent alors connaître les caractéristiques de leur calculatrice, ainsi que la priorité des opérations, de manière à changer l’ordre des opérations au besoin (par exemple, il faudrait appuyer sur les touches \(3\;\;(4\; \times \;5)\; = \) ou \(4\; \times \;5\; + \;3\; = \) pour obtenir la bonne réponse sur une calculatrice qui ne respecte pas la priorité des opérations).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 120
Habileté : utiliser les relations entre les opérations
Comprendre les propriétés des opérations et les relations entre ces opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.
Au cycle primaire, les élèves ont établi des liens entre les opérations à travers diverses activités. Par exemple, elles et ils savent que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses et que l’addition est commutative. Avec le temps, elles et ils développent leur sens du nombre et leur sens des opérations et s’en servent graduellement avant d’effectuer des opérations. Cette pratique, quoique souvent informelle et mentale, demeure toutefois essentielle à la compréhension des relations entre les nombres et entre les opérations.
- L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.
- La multiplication peut être associée à une addition répétée.
- La division peut être associée à une soustraction répétée.
Les opérations fondamentales, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division sont intimement reliées malgré leurs différences apparentes. Plus les élèves ont l’occasion de manier les opérations, plus elles et ils peuvent remarquer et comprendre les liens entre elles.
L’addition et la soustraction
Dans l’addition ou la soustraction, des quantités sont ajoutées, retirées, unies ou comparées. Pour que les élèves comprennent les liens entre les quantités dans chacun de ces cas, il est important qu’elles et ils soient confrontés à divers types de problèmes. Le tableau ci-après présente une variété de problèmes relatifs à l’addition et à la soustraction.
L’addition et la soustraction ne sont que des opérations qui surviennent dans des problèmes. Il faut donc éviter de parler de « problèmes de soustraction » ou « problèmes d’addition », car c’est la compréhension de la situation, ainsi que la compréhension des opérations qui font choisir la stratégie de résolution de problèmes à adopter, en l’occurrence le choix de l’addition ou de la soustraction. Donc, les élèves doivent analyser le problème, choisir une stratégie et l’appliquer, tout comme le font les adultes. Dans ce contexte, le rôle du personnel enseignant est d’aider les élèves dans leur analyse et dans leur compréhension des opérations.
Il est important de noter que les problèmes présentés dans le tableau semblent similaires en raison de leur contexte. Or pour les élèves, chaque situation représente un problème particulier. C’est en maîtrisant ces divers types de problèmes que les élèves acquièrent une maîtrise de l’addition et de la soustraction.
Types de problèmes relatifs à l'addition et la soustraction
Image
Le tableau s'intitule « Types de problèmes relatifs à la multiplication et à la division ». Il présente deux
colonnes : « Types de problèmes », qui possède toujours une seule case, et « Quantités inconnues
», qui possède deux ou trois cases. Premier type de problème : Problèmes de groupes égaux. Sous « Quantités
inconnues », il y a trois cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation.
Julie a acheté cinq livres pour
ses camarades. Chaque livre a coûté deux dollars. Combien a-t-elle dépensé pour tous ces livres? Cinq fois deux
égale point d'interrogation. Deuxième case : Tailles des groupes inconnue, sens de partage. Tiret divisé par tiret
égale point d'interrogation. Julie a dix livres. Elle veut les donner à cinq de ses camarades de manière que chacun
en reçoive le même nombre. Combien de livres recevra chaque camarade? Dix divisé par cinq égale point
d'interrogation. Troisième case : Nombre de groupes inconnu, sens de regroupement. Tiret divisé par tiret égale
point d'interrogation. Julie a acheté dix livres pour ses camarades et prépare des sacs-cadeaux. Elle met deux
livres dans chaque sac. Combien de sacs-cadeaux Julie a-t-elle utilisés? Dix divisé par deux égale point
d'interrogation. Deuxième type de problème : Problèmes de comparaison. Sous « Quantités inconnues », il y a trois
cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Mustapha a deux dollars.
Michel a quatre fois plus de dollars que lui. Combien d'argent Michel a-t-il? Quatre fois deux égale point
d'interrogation. Deuxième case : Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation
ou tiret fois point d'interrogation égale tiret. Michel a huit dollars. Il a quatre fois plus d'argent que Mustapha.
Combien d'argent Mustapha a-t-il? Huit divisé par quatre égale point d'interrogation ou quatre fois point
d'interrogation égale huit. Troisième case : Multiplicateur inconnu. Tiret divisé par tiret égale point
d'interrogation ou point d'interrogation fois tiret égale tiret. Michel a huit dollars et Mustapha a deux dollars.
Michel a combien de fois plus d'argent que Mustapha? Huit divisé par deux égale point d'interrogation ou point
d'interrogation fois deux égale huit. Troisième type de problème : Problèmes de combinaison. Sous « Quantités
inconnues », il y a deux cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Ahmed
a trois pantalons et cinq chemises. Combien de tenues différentes Ahmed a-t-il? Trois fois cinq égale point
d'interrogation. Deuxième case : Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation.
Ahmed a des chemises et des pantalons neufs. Il a 15 tenues différentes en tout. S'il a trois pantalons, combien de
chemises Ahmed a-t-il? 15 divisé par trois égale point d'interrogation
Les problèmes d’ajout et de retrait sont perçus par les élèves comme des situations actives, plus faciles à modéliser et à « voir », car la quantité initiale augmente ou diminue. Les problèmes de réunion, cependant, supposent une situation statique, car aucune action ou aucun changement ne se produit, ce qui les rend plus abstraits et plus difficiles à comprendre.
Les problèmes de comparaison, quant à eux, traitent de la relation entre deux quantités en les opposant : il n’y a donc pas d’action, mais une comparaison d’une quantité à une autre.
Puisque les élèves sont exposés régulièrement à des problèmes dont la quantité finale est recherchée, elles et ils les résolvent plus aisément. Cependant, elles et ils ont plus de mal à résoudre les problèmes dont la variable est la quantité initiale, la quantité ajoutée ou la quantité retirée. Ces problèmes aident à développer une compréhension plus solide des opérations d’addition et de soustraction et des liens entre les opérations. Par exemple, dans le cas des problèmes d’ajout dont la valeur inconnue est la quantité initiale, les élèves voient plus facilement les avantages de l’addition (par exemple, \(?\; + \;12\; = \;37\)) qui permet de respecter l’ordre dans lequel se déroule l’action dans le problème. Cela leur permet d’utiliser une stratégie (par exemple, dénombrement ou compte à rebours) afin de déterminer la quantité initiale. Ces élèves démontrent leur compréhension du problème et leur habileté à utiliser une stratégie pour le résoudre. Cependant, elles et ils ne démontrent pas une compréhension du sens de la différence (et de la soustraction). Si elles et s’ils avaient utilisé la soustraction, soit \(37\; - \;12\; = \;?\), elles et ils auraient démontré une compréhension plus élargie des liens entre les quantités par rapport à cette opération. Mais lorsque les élèves sont en apprentissage, il est inutile de leur imposer une stratégie. L’obligation de soustraire n’aidera en rien les élèves qui ne voient pas la pertinence de cette stratégie. Toutefois, si elles et s’ils sont régulièrement en contact avec une variété de problèmes et qu’elles et ils participent aux échanges mathématiques qui suivent, elles et ils arrivent à voir les liens entre diverses stratégies et à assimiler une variété de stratégies.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 81-84.
La multiplication et la division
Pour comprendre la multiplication et la division, il faut reconnaître les trois types de quantités qui entrent en jeu, soit la quantité totale (par exemple, 8 fleurs), le nombre de groupes égaux (par exemple, 4 pots) et la taille de chaque groupe (par exemple, 2 fleurs par pot).
Dans les problèmes présentés aux élèves, on associe trop souvent la division à un seul sens, soit le partage. Le sens de groupement est habituellement négligé. La division a un sens de partage lorsque la quantité totale et le nombre de groupes sont connus (par exemple, 3 élèves veulent se partager équitablement 15 pommes et on cherche le nombre de pommes que chacun recevra).
La division a un sens de groupement lorsque la quantité totale et le nombre d’éléments dans chaque groupe (taille des groupes) sont connus (par exemple, on a 15 pommes et on veut les placer dans des sacs, 3 pommes par sac; on cherche le nombre de sacs qu’il faut).
Il est essentiel de traiter des deux types de problèmes, puisqu’ils sont la base de l’intégration d’autres concepts mathématiques. Il n’est pas nécessaire que les élèves sachent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’elles et ils aient l’occasion d’en résoudre de divers types, tout en employant une variété de stratégies.
Types de problèmes relatifs à la multiplication et à la division
Image Le tableau s'intitule « Types de problèmes relatifs à la multiplication et à la division ». Il présente deux
colonnes : « Types de problèmes », qui possède toujours une seule case, et « Quantités inconnues
», qui possède deux ou trois cases. Premier type de problème : Problèmes de groupes égaux. Sous « Quantités
inconnues », il y a trois cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation.
Julie a acheté cinq livres pour
ses camarades. Chaque livre a coûté deux dollars. Combien a-t-elle dépensé pour tous ces livres? Cinq fois deux
égale point d'interrogation. Deuxième case : Tailles des groupes inconnue, sens de partage. Tiret divisé par tiret
égale point
d'interrogation. Julie a dix livres. Elle veut les donner à cinq de ses camarades de manière que chacun en reçoive
le même nombre. Combien de livres recevra chaque camarade? Dix divisé par cinq égale point d'interrogation.
Troisième case : Nombre de groupes inconnu, sens de regroupement. Tiret divisé par tiret égale point
d'interrogation. Julie a acheté dix livres pour ses camarades et prépare des sacs-cadeaux. Elle met deux livres
dans chaque sac. Combien de sacs-cadeaux Julie a-t-elle utilisés? Dix divisé par deux égale point d'interrogation.
Deuxième type de problème : Problèmes de comparaison. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première
case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Mustapha a deux dollars. Michel a
quatre fois plus de dollars que lui. Combien d'argent Michel a-t-il? Quatre fois deux égale point d'interrogation.
Deuxième case : Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation ou tiret fois
point d'interrogation égale tiret. Michel a huit dollars. Il a quatre fois plus d'argent que Mustapha. Combien
d'argent Mustapha a-t-il? Huit divisé par quatre égale point d'interrogation ou quatre fois point d'interrogation
égale huit. Troisième case : Multiplicateur inconnu. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation ou point
d'interrogation fois tiret égale tiret. Michel a huit dollars et Mustapha a deux dollars. Michel a combien de fois
plus d'argent que Mustapha? Huit divisé par deux égale point d'interrogation ou point d'interrogation fois deux
égale huit. Troisième type de problème : Problèmes de combinaison. Sous « Quantités inconnues », il y a deux cases.
Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Ahmed a trois pantalons et cinq
chemises. Combien de tenues différentes Ahmed a-t-il? Trois fois cinq égale point d'interrogation. Deuxième case :
Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Ahmed a des
chemises et des pantalons neufs. Il a 15 tenues différentes en tout. S'il a trois pantalons, combien de chemises
Ahmed a-t-il? 15 divisé par trois égale point d'interrogation.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 84-86.
Effet des opérations
Chaque opération produit un effet sur les quantités en cause. Selon l’opération, certaines quantités augmentent ou diminuent. Elles peuvent augmenter ou diminuer de beaucoup ou de peu. Suivre l’effet des opérations sur les nombres permet aux élèves d’établir les liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération. Par exemple, si on soustrait 8 de 160, on remarquera peu d’effet, car la différence entre 160 et 152 est relativement petite. Cependant, si on divise 160 par 8, l’effet produit est grand, car le quotient obtenu, soit 20, est beaucoup plus petit que 160. On peut aussi comparer l’effet produit par une addition à celui produit par une multiplication. Comparativement à la multiplication, l’addition fait augmenter un nombre de peu. Par exemple, lorsque le nombre 160 est multiplié par 8, on obtient 1 280, alors que si on lui ajoute 8, on n’obtient que 168. Les gens qui possèdent un bon sens des opérations reconnaissent l’effet des opérations sur les nombres naturels, mais les élèves en apprentissage sont souvent impressionnés par l’effet, par exemple, de la multiplication. Une mise en garde s’impose : il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou les fractions peuvent avoir des effets différents que ceux sur les nombres naturels. Dans certains cas, l’effet peut même être l’inverse. En effet, si on multiplie un nombre naturel par un autre nombre naturel, le produit est plus grand que les deux facteurs (par exemple, si on multiplie 3 par 6, le produit 18 est plus grand que 6 et 3), alors que si on multiplie une fraction propre par un nombre naturel, le produit est plus petit qu’un des deux facteurs (par exemple, si on multiplie \(\frac{1}{2}\) par 6, le produit 3 est plus petit que 6).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 90-91.
Habileté : résoudre des problèmes nécessitant plus d’une opération
Que ce soit un problème comportant une opération ou plus d’une opération, les élèves doivent prendre des décisions et faire des choix en fonction du contexte. Une approche axée sur la résolution de problèmes les initiera à cette réflexion. Devant un problème, il faut d’abord l’analyser afin d’en déterminer les données et de comprendre qu’un calcul doit être effectué. Ensuite, il faut savoir si, selon le contexte, on cherche une réponse approximative ou une réponse exacte. Dans les deux cas, selon le contexte et les nombres en cause, il faut ensuite déterminer si le calcul sera effectué mentalement, par écrit ou à l’aide d’une calculatrice. Enfin, le calcul désiré est effectué.
Schéma de la réflexion faite par les élèves devant un problème
Image Schéma de la réflexion faite par les élèves devant un problème.Le schéma est constitué d'expressions dans des
bulles qui se relient à d'autres par des flèches.Bulle de départ : Situation de résolution de problèmes. La bulle se
relie à « Calcul à effectuer ». Cette dernière
se relie à deux expressions.Première expression : « Nécessité d'une réponse approximative, estimation ». Deuxième
expression : « Nécessité
d'une réponse exacte ». Toutes deux se lient à ces trois bulles : « Utilisation du calcul mental », « Utilisation
d'une méthode papier-crayon » et « Utilisation de la calculatrice ».
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 117.
Connaissance : nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction. Tous les nombres à virgule sauf ceux dont la partie décimale est infinie sont des nombres rationnels. Les nombres décimaux dont la partie décimale est infinie sont des nombres irrationnels.
| Partie décimale | Explication | Exemple |
|---|---|---|
| Partie décimale finie |
La partie décimale contient un nombre fini de chiffres. Note : Les nombres dont la partie décimale est finie peuvent être représentés par des fractions décimales. |
\(0,5\;\;\left( {\frac{5}{{10}}} \right)\) \(1,458\;\;\left( {\frac{{1\;458}}{{1\;000}}} \right)\) |
| Partie décimale infinie et périodique | La partie décimale contient un nombre infini de chiffres dont une partie (la période) se répète
indéfiniment. La période est indiquée par un trait horizontal placé au-dessus du chiffre ou du groupe de
chiffres répété.
Note : Les nombres dont la partie décimale est infinie et périodique peuvent tous être représentés par des fractions. |
\(0,353\;535 \ldots \;{\rm{ou}}\;{\rm{0}}{\rm{,}}\overline {{\rm{35}}} \;\;\;\;\left( {\frac{{35}}{{99}}}
\right)\) \(0,666 \ldots \;{\rm{ou}}\;\;{\rm{0,}} \overline {6} \;\;\;\;\left( {\frac{2}{3}} \right)\) |
| Partie décimale infinie et non périodique | La partie décimale contient un nombre infini de chiffres, sans période.
Note : Les nombres dont la partie décimale est infinie et non périodique ne peuvent pas être représentés par des fractions. |
\(\sqrt 2 \; = \;1,414\;213\;56 \ldots \) \(\pi = \;3,141\;592\;6\;5 \ldots \) |
Connaissance : propriétés des opérations
Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en cause.
Les propriétés des opérations sont :
- La commutativité : (\(3\; + \;5\; = \;5\; + \;3\))
- L’associativité : \((2\; + \;9)\; + \;11\; = \;2\; + \;(9\; + \;11)\)
- La distributivité : \(8\; \times \;7\; = \;(8\; \times \;5)\; + \;(8\; \times \;2)\)
- L’élément neutre : \(13\; + \;0\; = \;13\), \(0\; + \;13\; = \;13\); \(25\; \times \;1\; = \;25\), \(1\; \times \;25\; = \;25\);
- L’élément absorbant : \(8\; \times \;0\; = \;0\), \(0\; \times \;8\; = \;8\).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102.
Connaissance : la commutativité
Une opération est commutative si son résultat demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, 27 + 63 = 63 + 27 et 8 × 6 = 6 × 8.
Généralisation : \(a\; + \;b\; = \;b\; + \;a\), \(a\; \times \;b\; = \;b\; \times \;a\)
Connaissance : l’associativité
L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur.
Généralisation : \(\left( {a\; + \;b} \right)\; + \;c\; = \;a\; + \;\left( {b\; + \;c} \right)\), \((a\; \times \;b)\; \times \;c\; = \;a\; \times \;(b\; \times \;c)\)
Connaissance : la distributivité
La multiplication est distributive sur l’addition et sur la soustraction.
La propriété de distributivité permet d’effectuer une opération sur une somme ou une différence de termes et d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme. Par exemple,
-
on peut multiplier \(3\; \times \;(5\; + \;6)\) et arriver au même résultat que si on avait effectué (3 × 5) + (3 × 6);
-
on peut multiplier \(3\; \times \;(20\; - \;2)\) en faisant \((3\; \times \;20)\; - \;(3\; \times \;2)\).
Généralisation : \(a\; \times \;(b\; + \;c)\; = \;(a\; \times \;b)\; + \;(a\; \times \;c)\)
Connaissance : élément absorbant
Dans une multiplication, le 0 a pour effet d’« absorber » l’autre facteur. Ainsi, peu importe le nombre multiplié par 0, le produit sera toujours 0 (par exemple, \(684\; \times \;0\; = \;0\); \(16,67\; \times \;0\; = \;0\); \({14^{14}}\; \times \;0\; = \;0\)) et si 0 est multiplié par un autre nombre, le produit sera aussi 0 (par exemple, \(0\; \times 684\; = \;0\); \(0\; \times \;16,67\; = \;0\); \(0\; \times \;{14^{14}}\; = \;0\)). On qualifie alors le nombre 0 d’élément absorbant pour la multiplication.
Généralisation : \(a\; \times \;0\; = \;0\), \(0\; \times \;a\; = 0\)
Connaissance : élément neutre
Comme son nom l’indique, un élément neutre est un nombre qui n’a aucun effet pour une opération donnée. Ainsi, le nombre 0 est l’élément neutre de l’addition (par exemple, \(287\; + \;0\; = \;287\) et \(0\; + \;287\; = \;287\); \(4,5\; + \;0\; = \;4,5\) et \(0\; + \;4,5\; = \;4,5\); \(\frac{1}{8}\; + \;0\; = \;\frac{1}{8}\) et \(0\; + \;\frac{1}{8}\; = \;\frac{1}{8}\)) et le nombre 1 est l’élément neutre de la multiplication (par exemple, \(133\; \times \;1\; = \;133\) et \(1\; \times \;133\; = \;133\); \(432,1\; \times \;1\; = \;432,1\) et \(1\; \times \;432,1\; = \;432,1\); \(5\% \; \times \;1\; = \;5\% \) et \(1\; \times \;5\% \; = \;5\% \)). La soustraction et la division n’ont pas d’élément neutre. Dans une soustraction, le nombre 0 ne produit aucun effet lorsqu’il est le 2e terme (par exemple, \(3\; - \;0\; = \;0\)), mais ce n’est pas le cas s’il paraît comme 1er terme (par exemple, \(0\; - \;3\; \ne \;3\)). Ainsi, le nombre 0 n’est pas neutre pour la soustraction. De même, dans une division, le nombre 1 ne produit aucun effet lorsqu’il est le diviseur (par exemple, \(3\; \div \;1\; = \;3\)), mais ce n’est pas le cas s’il paraît comme dividende (par exemple, \(1\; \div \;3\; \ne \;3\)). Ainsi, le nombre 1 n’est pas neutre pour la division.
Généralisation : \(a\; + \;0\; = \;a\), \(a\; - \;0\; = \;a\), \(a\; \times \;1\; = \;a\), \(a\; \div \;1\; = \;a\)
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102-107.
Connaissance : relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division
Le sens des opérations fait appel à la capacité de représenter des situations avec des symboles et des nombres. Comprendre la signification des opérations, et les relations entre elles, permet de choisir l’opération qui représente le mieux une situation et permet de résoudre le plus efficacement le problème, compte tenu des outils disponibles.
- L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.
- La multiplication peut être associée à une addition répétée.
- La division peut être associée à une soustraction répétée.
Connaissance : rapport
Relation entre deux grandeurs exprimées sous la forme du quotient des nombres qui les caractérisent.
Par exemple, dans l’ensemble de 5 billes ci-dessus,
- il y a un rapport de 2 à 3 (\(\frac{2}{3}\) ou 2 : 3) entre le nombre de billes blanches et le nombre de billes noires. (rapport partie : partie)
- il y a un rapport de 2 à 5 (\(\frac{2}{5}\) ou 2 : 5) entre le nombre de billes blanches et le nombre total de billes. Ceci peut être interprété comme \(\frac{2}{5}\) des billes sont blanches. (rapport partie : tout)
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 55.
Connaissance : taux
Un taux décrit la relation entre 2 quantités exprimées avec des unités différentes (par exemple, des objets avec des dollars ou des kilomètres avec des heures).
Source : En avant, les maths!, 4e année, CM, Nombres, p. 2.
Connaissance : pourcentage
Le pourcentage est une façon particulière de présenter une fraction. Il est souvent employé dans la vie courante. Une expression numérique comme 30 % (qui se lit « trente pour cent ») est en réalité une autre notation du nombre trente centièmes, soit \(\frac{{30}}{{100}}\) ou 0,30. Afin de faciliter la compréhension du concept de pourcentage, il faut d’abord amener les élèves à établir le lien entre le pourcentage et la fraction dont le dénominateur est 100, et ce, à l’aide de matériel concret ou semi-concret.
Exemple
Les élèves doivent aussi réaliser qu’un pourcentage représente un rapport à 100 (par exemple, 30 % représente le rapport 30 : 100). Il est important de souligner qu’un résultat exprimé en pourcentage ne signifie pas que la quantité en question est nécessairement composée de 100 parties, comme expliqué dans le tableau suivant.
Lien entre le pourcentage et la quantité 100
| Représentation | Pourcentage | Notes pédagogiques |
|---|---|---|
  |
75 % des cercles sont verts. | Même si 75 % des cercles sont verts, cela ne veut pas dire qu’il y a 100 cercles dans l’ensemble. Cependant, s’il y avait 100 cercles, il y aurait 75 cercles verts. De plus, la fraction des cercles qui sont verts est équivalente à \(\frac{{75}}{{100}}\) (par exemple, \(\frac{3}{4}\; = \;\frac{{75}}{{100}}\) et \(\frac{{150}}{{200}}\; = \;\frac{{75}}{{100}}\)). |
 Image Un rectangle de 50 mètres par 80 mètres est découpé en deux parties égales sur la
largeur : une partie verte et une partie blanche. Ces deux dernières mesurent respectivement 2 000 mètres
carrés ainsi que 50 mètres par 40 mètres. |
50 % du terrain est recouvert de pelouse. | Même si 50 % du terrain est recouvert de pelouse, on ne peut pas affirmer que le terrain a une aire de 100 m2. Mais on peut affirmer que pour chaque 100 m2 de terrain, 50 m2 sont recouverts de pelouse. Ainsi, \(\frac{2\;000}{4\;000} \) = \(\frac{1}{2} \) = \(\frac{50}{100}\) = 50 %. |
Source : Guide
d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la
6e année, p. 34-35.