E1.3 Utiliser des dessins à l’échelle pour calculer des longueurs et des aires réelles, et reproduire un dessin à une échelle différente.
HABILETÉ : UTILISER DES DESSINS À L’ÉCHELLE POUR CALCULER DES LONGUEURS ET DES AIRES RÉELLES
Les dessins à l’échelle permettent de représenter un objet très grand sur une page ou un écran. Ils sont pratiques pour visualiser, comparer et calculer des dimensions, et sont utilisés, par exemple, pour lire une carte, suivre des instructions ou concevoir un plan.
Les dessins à l’échelle sont semblables à l’objet ou à l’espace réel, c’est-à-dire que les angles du dessin et les angles réels sont congrus, et que les longueurs sont proportionnellement réduites ou augmentées par rapport aux longueurs réelles. L’échelle d’un dessin décrit explicitement cette proportion et peut être exprimée en mots, en une fraction, en un rapport ou en une représentation graphique. Une fraction ou un rapport inférieur à 1 signifie que l’objet réel est plus petit que le dessin (échelle d’agrandissement). Une fraction ou un rapport supérieur à 1 signifie que l’objet est plus grand que le dessin (échelle de réduction).
Il est possible de mesurer indirectement les distances, les aires, les volumes et les angles en se référant aux mesures du dessin. Les vues de dessus, de face et de côté (dessins en plan et en élévation) sont les plus fiables pour calculer les dimensions réelles (voir le contenu d’apprentissage E1.2).
Source : adapté de Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.
Puisque l’objet a une grandeur constante, le produit des dimensions d’un dessin par l’échelle donne la valeur réelle des dimensions de l’objet. Pour une distance de 40 km entre deux villes et l’utilisation d’une échelle de 1 : 1 000 000, l’élève doit mettre un signe d’égalité entre les rapports x : 400 = 1 : 1 000 000. La distance sur le dessin est donc de 4 cm. Ainsi, 4 cm multiplié par 1 000 000 donne 400 km.
Pour une longueur de 0,2 mm et l’utilisation d’une échelle de 1 : \(\frac{1}{100}\), l’élève doit mettre un signe d’égalité entre les rapports x : 0,2 = 1 : \(\frac{1}{100}\). La longueur sur le dessin est donc de 2 cm. Ainsi, 2 cm multiplié par \(\frac{1}{100}\) donne 0,2 cm.
HABILETÉ : REPRODUIRE UN DESSIN À UNE ÉCHELLE DIFFÉRENTE
Lorsque l’élève reproduit un dessin à une échelle différente, elle ou il fait un dessin plus gros si l’échelle est plus petite, et un dessin plus petit si l’échelle est plus grosse.
Par exemple, en passant d’une échelle 1 : 20 à une échelle 1 : 40, les dimensions du dessin seront deux fois plus petites, car le rapport de l’échelle a doublé.
Le papier quadrillé est utile pour tracer des dessins à l’échelle. Le choix de l’échelle du quadrillage est la première étape de la conception d’un dessin à l’échelle, selon que l’on veut réaliser un dessin à petite échelle (échelle de réduction) ou un dessin à grande échelle (échelle d’agrandissement).
Dans le cas d’un dessin à petite échelle, la grandeur du quadrillage de l’objet réel sera plus grande que celle du quadrillage du dessin à l’échelle, puisque l’on veut réduire l’image de l’objet réel (par exemple, une distance de 10 km entre deux villes est représentée par une longueur de 1 cm sur une carte routière). L’échelle est donc 1 : 1 000 000.
Inversement, dans le cas d’un dessin à grande échelle, la grandeur du quadrillage de l’objet réel sera plus petite que celle du quadrillage du dessin à l’échelle, puisque l’on veut agrandir l’image de l’objet réel (par exemple, une dimension de 0,1 mm sur un circuit électronique est représentée par une longueur de 1 cm sur le dessin industriel). L’échelle est donc 1 : \(\frac{1}{100}\).
Source : adapté de Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.
CONNAISSANCE : ÉCHELLE
Une échelle est un rapport de grandeur qui compare les dimensions réelles aux dimensions du dessin. Selon le type de dessin, les angles peuvent être représentés avec exactitude ou non.
Il est possible de reproduire un dessin à différentes échelles en utilisant ou en trouvant le rapport unitaire.
Les dessins à petite échelle montrent peu de détails, mais présentent une grande surface. Par exemple, 1 : 2 000 000 signifie que 1 cm dans un dessin représente une distance réelle de 2 millions cm ou 20 km.
Les dessins à grande échelle montrent beaucoup de détails, mais présentent une petite aire. Par exemple, 2 : 1 signifie que 2 cm dans le dessin représente une longueur réelle de 1 cm.
Source : Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.