E1.4 Décrire et effectuer des translations, des réflexions, des rotations et des homothéties dans un plan cartésien, et prédire les résultats de ces transformations.
HABILETÉ : DÉCRIRE ET EFFECTUER DES TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES DANS UN PLAN CARTÉSIEN
Lorsque des figures sont transformées dans un plan cartésien, on observe des régularités entre les coordonnées de la figure initiale et les coordonnées correspondantes de l’image. Il est particulièrement facile de décrire ces régularités quand :
- la flèche de translation ou vecteur de translation (distance, sens et direction) est déterminée en joignant les points correspondants de la figure initiale et de son image;
- une figure subit une réflexion par rapport à l’axe des x ou à l’axe des y;
- au moment d’une réflexion par rapport à l’axe des x, chaque point de la figure initiale (x, y) devient (x, -y);
- au moment d’une réflexion par rapport à l’axe des y, chaque point de la figure initiale (x, y) devient (-x, y);
- une figure subit une rotation de 90° ou de 180° autour du point d’origine (0, 0);
- au moment d’une rotation de 90° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, chaque point de la figure initiale (x, y) devient (-y, x);
- au moment d’une rotation de 180° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, chaque point de la figure initiale (x, y) devient (-x, -y).
Remarques
- Une translation déplace un point, un segment de droite ou une figure sur une distance donnée et dans une direction donnée (flèche de translation ou vecteur de translation).
- Une réflexion « inverse » un point, un segment de droite ou une figure par rapport à un axe perpendiculaire à une direction donnée, appelé axe de réflexion, pour créer son opposé.
- Une rotation « fait pivoter » un point, un segment de droite ou une figure autour d’un centre de rotation selon un angle donné.
- Une homothétie a pour effet d’agrandir ou de réduire une distance ou les dimensions d’une figure selon un rapport d’homothétie donné. Les rapports d’homothétie d’une valeur absolue supérieure à 1 agrandissent la distance ou les dimensions d’une figure, et ceux d’une valeur absolue inférieure à 1 réduisent la distance ou les dimensions d’une figure.
- Les translations, les réflexions et les rotations produisent des images congruentes.
- Les segments de droite sont reproduits en segments de droite et conservent les mêmes longueurs.
- Les angles sont reproduits en angles et conservent les mêmes mesures.
- Les droites parallèles sont reproduites en droites parallèles.
- Les homothéties produisent des images agrandies ou réduites, qui sont semblables.
- Les angles sont reproduits en angles et conservent les mêmes mesures.
- Les droites parallèles sont reproduites en droites parallèles.
- La longueur des segments de droite est reproduite selon un rapport d’homothétie.
Source : Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.
HABILETÉ : PRÉDIRE LES RÉSULTATS DE TRANSFORMATIONS TELLES DES TRANSLATIONS, DES RÉFLEXIONS, DES ROTATIONS ET DES HOMOTHÉTIES DANS UN PLAN CARTÉSIEN
Afin de pouvoir prédire les résultats de transformations, l’élève doit comprendre l’effet des transformations sur les coordonnées de chacun des points de la figure. Ainsi, ses prédictions seront fondées sur une réelle compréhension de la matière.