B2. Sens des opérations

Utiliser ses connaissances des nombres et des opérations pour résoudre des problèmes mathématiques de la vie quotidienne.

Situation d’apprentissage 1 : la gare de chemin de fer


Durée totale : 2 h 20 min

Attente Contenus d'apprentissage
Nombres
B2. Utiliser ses connaissances des nombres et des opérations pour résoudre des problèmes mathématiques de la vie quotidienne.
B2.2 Se rappeler les faits d’addition de nombres jusqu’à 10 et les faits de soustraction associés, et démontrer sa compréhension de ces faits.

B2.4 Utiliser des objets, des schémas et des équations pour représenter, décrire et résoudre des situations relatives à l’addition de nombres naturels dont la somme est égale ou inférieure à 50 et à la soustraction de nombres égaux ou inférieurs à 50.

Intention pédagogique

Le but de cette situation est d’aider l’élève :

  • à regrouper deux ensembles pour former un tout;
  • à représenter de façon concrète les faits d’addition de 5 à 9;
  • à comprendre les faits d’addition de 5 à 9.
Contexte pédagogique Préalables
En 1re année, l’élève fait l’apprentissage formel de l’addition et de la soustraction.

Pour développer le sens du nombre, l’élève doit comprendre les nombreuses applications de l’addition et de la soustraction dans des situations réelles. L’apprentissage de ces opérations se fait par la représentation de problèmes à l’aide de matériel de manipulation ou encore d’illustrations ou de dessins. Il est préférable de laisser l’élève représenter les problèmes à sa façon plutôt que de lui imposer un modèle. Autrement dit, la démarche ne doit pas être l’objet de la leçon, mais plutôt un outil dont se sert l’élève pour comprendre des situations et des problèmes sous forme d’énoncés.

Le symbole de l’addition (+), de la soustraction (–) et de l’égalité (=) sont des conventions qu’il importe d’explorer à l’aide d’activités telles que celles dans le Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3e année, Modélisation et algèbre, Fascicule 2 : Situations d’égalité, Sens du symbole d’égalité, p. 36-48. Certains signes peuvent avoir des significations différentes, ce qui peut devenir déroutant pour les élèves; par exemple, le signe moins (–) signifie habituellement qu’il faut retrancher une quantité. Cette définition est toutefois limitative, puisque les élèves constateront aux cycles moyen et intermédiaire que ce signe peut aussi vouloir dire autre chose au cours de l’exploration des nombres entiers négatifs en 6e année.

Les concepts de décomposition et de regroupement se développent au cours des premières années d’études. Comprendre le lien qui existe entre ces concepts aide à interpréter les opérations, les phrases mathématiques et les équations. Pour représenter des problèmes de décomposition et de regroupement, l’utilisation de matériel concret aide l’élève à saisir la notion de quantité et peut lui fournir des modèles au cours de la résolution de problèmes d’addition ou de soustraction.

Dans cette situation d’apprentissage, l’élève doit :

  • comprendre le sens des symboles de l’addition (+), de la soustraction (–) et de l’égalité (=);
  • connaître les faits d’addition de 2 à 4.

Matériel

  • annexe 1SO.1 (Papier quadrillé aux 2 cm) (une copie par élève)
  • annexe 1SO.2 (Jeu de l’addition) (deux copies par élève)
  • dossards bleus et dossards jaunes (un dossard par élève)
  • récipients (un par équipe de deux)
  • cubes emboîtables de deux couleurs différentes ou carreaux ou jetons bicolores
  • ciseaux
  • craies de cire ou marqueurs
  • bâtonnets de colle (un par élève)
  • papier de bricolage (une feuille par élève)
  • dés (2)

Vocabulaire mathématique

phrase mathématique, faits d’addition, est égal à, régularité

Avant l’apprentissage (mise en train)

Durée : environ 40 min

Faire asseoir les élèves en grand cercle.

Remettre un dossard jaune à la moitié des élèves et un dossard bleu à l’autre moitié.

Expliquer que chacune et chacun est un wagon et que son dossard représente la couleur d’un wagon.

Dire aux élèves qu’il faut former des trains composés de deux wagons de couleur différente.

Inviter une ou un élève à former un train de deux wagons de couleur différente.

Action souhaitée : L’élève choisit une ou un élève qui porte un dossard jaune et une ou un autre qui porte un dossard bleu pour former le train. Le train sera composé d’un wagon jaune suivi d’un bleu ou d’un wagon bleu suivi d’un jaune dans ce cas-ci.

Poser aux élèves les questions suivantes :

  • Combien y a-t-il de wagons bleus et de wagons jaunes?
  • Combien y a-t-il de wagons en tout dans le train?
  • Le train respecte-t-il la directive?

Présenter les règles à suivre pour les trains de plus de deux wagons :

  • les wagons doivent être alignés;
  • les trains doivent tous commencer par la même couleur :
  • les wagons de la même couleur doivent se suivre (par exemple, trains de 4 wagons : 1 wagon jaune suivi de 3 bleus ou 2 wagons jaunes suivis de 2 bleus ou 3 wagons bleus suivis de 1 jaune).

Inviter une ou un autre élève à former un train de trois wagons et à le placer à côté du premier train. Si le premier train a un wagon bleu au début, le nouveau train doit aussi avoir un wagon bleu au début.

Poser aux élèves les questions suivantes :

  • Combien y a-t-il de wagons bleus et de wagons jaunes? (par exemple, 1 wagon bleu et 2 wagons jaunes)
  • Le train respecte-t-il les trois directives? Si non, faire reprendre la formation du train.
  • Y a-t-il une autre façon de former le train? (par exemple, 2 wagons bleus et 1 wagon jaune)
  • Combien de wagons y a-t-il dans l’un ou l’autre des trains?

Inviter une ou un autre élève à former un train de quatre wagons. Les élèves choisies et choisis vont s’installer à côté des autres trains.

Poser aux élèves les questions suivantes :

  • Combien y a-t-il de wagons bleus et de wagons jaunes? (par exemple, 2 wagons bleus et 2 wagons jaunes)
  • Le train respecte-t-il les trois directives? Si non, faire reprendre la formation du train.
  • Y a-t-il d’autres façons de former le train tout en respectant les directives? Lesquelles?

Inviter d’autres élèves à former les trains qui représentent les façons proposées (par exemple, 1 wagon bleu et 3 wagons jaunes ou 3 wagons bleus et 1 wagon jaune) et poser la question suivante : combien y a-t-il de wagons dans chacune de ces formations?

Présenter un train de quatre wagons construit à l’aide de cubes emboîtables qui est conforme aux règles et un train qui ne l’est pas.

Un rectangle est divisé en quatre carrés : deux jaunes et deux bleus.

Ce train représente \(\ 2 + 2\) et est conforme aux directives.

Un rectangle est divisé en quatre carrés : un jaune, deux bleus, un jaune.

Ce train représente \(\ 2 + 2\), mais n’est pas conforme aux directives.

Demander aux élèves de montrer le train conforme aux directives et d’expliquer la raison pour laquelle il l’est.

Pendant l’apprentissage (exploration)

Durée : environ 50 min

Former des équipes de deux.

Remettre un récipient contenant des cubes emboîtables de deux couleurs différentes ou des carreaux ou des jetons bicolores à chaque équipe.

Inviter les élèves à utiliser les cubes emboîtables ou les carreaux ou les jetons bicolores pour construire le plus grand nombre possible de trains différents composés de 5 wagons.

Réunir les élèves une fois qu’elles et ils ont construit plusieurs trains et leur remettre une copie de l’annexe 1SO.1 (papier quadrillé aux 2 cm).

Demander aux élèves de représenter chacun de leurs trains sur le papier quadrillé en utilisant des crayons de couleur correspondant aux couleurs des wagons.

Faire découper les trains de papier.

Remettre une feuille de papier de bricolage à chaque élève.

Demander aux élèves de trouver une façon d’organiser leurs trains, de les coller et d’écrire une phrase mathématique correspondante sous chaque train (par exemple, si le train est composé de 3 wagons bleus et de 2 wagons jaunes, écrire : \(\ 3 + 2 = 5\)).

Circuler pendant que les élèves travaillent et observer leur démarche. Poser les questions suivantes :

  • Comment décrirais-tu tes trains?
  • Que peux-tu faire pour savoir si tu as trouvé toutes les répartitions possibles de wagons?

Le travail des élèves pourrait se présenter ainsi :

Un rectangle est divisé en cinq carrés : un jaune et quatre bleus.

\(\ 1 + 4 = 5\)

Un rectangle est divisé en cinq carrés : deux jaunes et trois bleus.

\(\ 2 + 3 = 5\)

Un rectangle est divisé en cinq carrés : trois jaunes et deux bleus.

\(\ 3 + 2 = 5\)

Un rectangle est divisé en cinq carrés : quatre jaunes et un bleu.

\(\ 4 + 1 = 5\)

Faire ressortir que la quantité de 5 cubes emboîtables a été répartie de 4 façons différentes.

Note : Il est possible que les élèves aient construit un train de 5 wagons de la même couleur, ce qui est associé au fait d’addition \(\ 5 + 0 = 5\). Il importe que l’on fasse remarquer que le train JBJBJ représente aussi \(\ 2 + 3 = 5\), mais n’est pas conforme aux directives de l’activité.

Après l’apprentissage (objectivation/transfert des connaissances)

Durée : environ 50 min

Inviter chaque équipe à présenter les trains qu’elle a construits.

Poser aux élèves les questions suivantes :

  • Qu’est-ce qui était difficile dans la construction des trains?
  • Qu’est-ce qui était facile?
  • Quelles stratégies avez-vous utilisées pour construire les trains?
  • Comment savez-vous si vous avez construit tous les trains possibles?
  • Quel ordre avez-vous suivi pour organiser les trains?

Répéter l’activité au cours des jours suivants, mais en augmentant le nombre de wagons qui composent les trains. Leur faire construire des trains de 6, de 7, de 8 et de 9 wagons en trouvant toutes les répartitions possibles.

Questionner les élèves au sujet des relations entre la quantité finale et les quantités unies, et la représentation \(\ 2 + 4 = 6\), et les termes (2 et 4) et la somme (6).

Amener les élèves à réaliser que les trains de 5 wagons peuvent être utiles pour construire des trains de 6 wagons et plus.

Exemples de critères d’évaluation

L’élève :

  • illustre différentes répartitions de wagons pour représenter le même nombre;
  • emploie une stratégie pour trouver toutes les répartitions possibles;
  • écrit les phrases mathématiques correctement;
  • comprend que l’ordre des termes ne change pas la somme;
  • repère les régularités;
  • explique sa stratégie et les régularités en employant le vocabulaire mathématique approprié.

Différenciation pédagogique

L’activité peut être modifiée pour répondre aux différents besoins des élèves.

Pour faciliter la tâche Pour enrichir la tâche

  • demeurer à l’étape de la manipulation des cubes emboîtables aussi longtemps que nécessaire;
  • utiliser les mêmes petits nombres à plusieurs reprises;
  • travailler individuellement avec les élèves qui ont de la difficulté et leur poser des questions pour les amener à réfléchir plus longuement avant d’agir.

  • demander de construire des trains avec un plus grand nombre de cubes emboîtables (12 à 20);
  • faire construire des trains avec des cubes emboîtables de trois couleurs différentes.

Suivi à la maison

Jeu de l’addition

À la maison, l’élève peut jouer au jeu de l’addition avec une ou un membre de sa famille.

Remettre deux copies de l’annexe 1SO.2 (Jeu de l’addition) à chaque élève.

Expliquer les règles du jeu de l’addition :

  • Lancer deux dés.
  • Demander aux élèves de trouver la somme des deux dés.
  • Leur demander d’indiquer sur le plateau de jeu la colonne correspondant à la somme des deux nombres et préciser qu’il leur faudra colorier une case au moment du jeu.
  • Répéter ces étapes quelques fois.
  • Préciser que la première personne qui colorie toutes les cases dans une colonne gagne la partie.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 91-98.

Situation d’apprentissage 2 : dix dans le nid (relations)


Durée totale : 2 heures

Attente Contenus d'apprentissage
Nombres
B2. Utiliser ses connaissances des nombres et des opérations pour résoudre des problèmes mathématiques de la vie quotidienne.
B2.2 Se rappeler les faits d’addition de nombres jusqu’à 10 et les faits de soustraction associés, et démontrer sa compréhension de ces faits.

B2.4 Utiliser des objets, des schémas et des équations pour représenter, décrire et résoudre des situations relatives à l’addition de nombres naturels dont la somme est égale ou inférieure à 50 et à la soustraction de nombres égaux ou inférieurs à 50.

Intention pédagogique

Cette situation a pour but de permettre à l’élève :

  • de distinguer les relations qui existent entre les nombres de 1 à 10;
  • de représenter de façon concrète et de connaître les faits d’addition qui font 10;
  • de construire les concepts de décomposition et de regroupement.
Contexte pédagogique Préalables
Il est nécessaire que l’élève comprenne bien ce que signifient les expressions plus que ou moins que avant de passer à des relations plus complexes entre les nombres. Ce sont des notions que l’élève a commencé à développer avant d’entrer à l’école. À la maternelle et au jardin d’enfants, l’enfant s’est exercée ou exercé à reconnaître des ensembles renfermant un plus grand nombre d’objets lorsque la différence est visuellement évidente (par exemple, lorsqu’il y a 25 jetons rouges et 5 jetons bleus). Une bonne compréhension de la signification des expressions plus que ou moins que prépare l’élève à l’utilisation des symboles plus grand que (>) et plus petit que (<), qui sont enseignés en 2e année pour montrer des relations entre les nombres.

Il importe de noter que l’habileté à distinguer les relations entre les nombres est à la base de l’acquisition du sens du nombre. En 1re année, l’élève perçoit la relation 1 ou 2 de plus que et 1 ou 2 de moins que en comptant dans l’ordre ascendant ou dans l’ordre descendant à partir d’un nombre donné. D’autres concepts fondamentaux à saisir à ce niveau sont la décomposition et le regroupement, c’est-à-dire la relation entre la somme et les termes que l’élève acquiert en maniant les nombres et en découvrant, par exemple, que 7 peut se décomposer comme suit : 6 et 1, 5 et 2 ou 4 et 3.

La relation qui existe entre 5 et 10 et entre ces nombres et les autres nombres est aussi très importante. On dit que 5 et 10 sont des points d’ancrage. Pour s’en servir comme tel, il faut que l’élève reconnaisse la relation qui existe entre 5 et 10 et les autres nombres (par exemple, 7, c’est 2 de plus que 5 et 3 de moins que 10). Une solide compréhension de la relation entre chaque nombre compris entre 1 et 10 et les points d’ancrage 5 et 10 est d’une grande utilité lorsqu’on passe à des nombres plus grands (par exemple, 27, c’est 2 de plus que 25 et 3 de moins que 30). Pour effectuer des additions et des soustractions, l’élève se sert constamment de cette relation.

Dans cette situation d’apprentissage, l’élève doit pouvoir :

  • compter à rebours à partir de 10;
  • comprendre les sens des symboles de l’addition (+), de la soustraction (–) et de l’égalité (=);
  • connaître les faits d’addition des nombres de 2 à 9.

Matériel

  • annexe 1Rel.1 (Dix dans le nid) (une copie par élève)
  • annexe 1Rel.2 (Dix dans le nid, Résolution de problème) (une copie par équipe de dix)
  • annexe 1Rel.3 (Douze dans le nid) (une copie par élève)
  • petit tapis ou morceau de carton
  • grandes feuilles de papier
  • matériel de manipulation (par exemple, boutons, blocs, jetons)
  • dessin représentant deux nids

Vocabulaire mathématique

additionner, soustraire, regroupement, répartition, décomposition, régularité, en tout

Avant l’apprentissage (mise en train)

Durée : environ 30 min

Projeter la comptine Dix dans le nid (annexe 1Rel.1).

Demander à dix élèves de s’asseoir en groupe serré sur un petit tapis ou un morceau de carton (tapis ou carton juste assez grand pour que les dix élèves s’assoient). Le tapis ou le carton représente le nid et chaque élève représente un oiseau.

Assigner un numéro de 1 à 10 à chacune et à chacun des élèves. Demander à l’élève no 1 de jouer le rôle du petit oiseau qui dit : « Poussez-vous, poussez-vous. » Tout au long de la comptine, l’oiseau qui tombe du nid est celui ayant le numéro correspondant au nombre d’oiseaux qu’il y a dans le nid.

Lire les deux premiers vers de la comptine et demander aux élèves assises et assis sur le tapis de mimer la scène.

Demander aux autres élèves :

  • Combien d’oiseaux y avait-il dans le nid?
  • Combien sont tombés?
  • Combien d’oiseaux reste-t-il dans le nid?

Lire le reste de la comptine en procédant de la même façon.

Représenter ce qui se passe au fur et à mesure que se déroule la comptine.

Exemple

Nombre d'oiseaux dans le nid Nombre d'oiseaux tombés
10 0
9 1
8 2
... ...

Demander aux élèves de dire ce qu’elles et ils observent. Leur laisser le temps de s’exprimer dans leurs propres mots. Utiliser le mot régularité pour décrire ce que les élèves tentent de dire.

Pendant l’apprentissage (exploration)

Durée : environ 50 min

Former deux équipes de dix élèves et leur dire qu’elles et ils représentent des oiseaux. S’il y a plus de vingt élèves dans la classe, désigner deux ou quatre élèves qui noteront les découvertes des équipes.

Proposer le problème suivant :

La famille d’oiseaux de la comptine Dix dans le nid décide qu’elle a besoin d’un autre nid. Après avoir construit un nouveau nid, elle cherche différentes façons de répartir ses membres entre les deux nids.

Demander à quelques élèves d’expliquer, à tour de rôle, le problème dans leurs propres mots. Les aider à l’exprimer en leur posant les questions suivantes :

  • Qu’est-ce que tu sais déjà?
  • Qu’est-ce que tu cherches à savoir?

Discuter avec les élèves des diverses stratégies possibles pour résoudre le problème.

Demander aux deux équipes de trouver toutes les façons possibles de se répartir dans les deux nids, soit en simulant la situation, soit à l’aide de matériel de manipulation.

Remettre une copie de l’annexe 1Rel.2 (Dix dans le nid – Résolution de problème) à chaque équipe et leur demander d’y inscrire les solutions trouvées.

Circuler et observer les démarches utilisées par les élèves. Poser des questions telles que :

  • Pourquoi avez-vous choisi ce matériel?
  • Comment avez-vous fait pour résoudre le problème?
  • Combien de répartitions avez-vous découvertes?
  • Pensez-vous avoir trouvé toutes les répartitions possibles? Pourquoi?
  • Comment avez-vous fait pour ne pas répéter deux fois la même répartition?
  • En quoi ce problème ressemble-t-il à ce qu’on a fait quand on a récité la comptine?

Rencontrer les équipes lorsqu’elles ont terminé pour vérifier les répartitions qu’elles ont faites.

Inciter les élèves à trouver d’autres façons de répartir les oiseaux dans les deux nids si le travail est incomplet.

Après l’apprentissage (objectivation/transfert des connaissances)

Durée : environ 40 min

Rassembler les élèves et leur demander de nommer les différentes répartitions de nombres utilisées pour placer les oiseaux dans les deux nids.

Leur demander d’expliquer les stratégies utilisées pour résoudre le problème.

Attirer l’attention sur les nouvelles stratégies employées par quelques élèves.

S’assurer que la stratégie proposée par une ou un élève correspond bien au travail que l’élève a fait. Accepter la réponse « 10 oiseaux dans un nid et 0 dans l’autre » comme une possibilité de répartition des membres de la famille. Demander aux élèves d’expliquer cette réponse.

Revenir au tableau utilisé lors de la mise en train et demander aux élèves de donner les autres répartitions possibles.

Amener les élèves à découvrir les régularités lors de la répartition des oiseaux en utilisant la relation un de plus ou un de moins, soit un oiseau de plus de tombé, soit un oiseau de moins dans le nid.

Exemples de critères d’évaluation

L’élève :

  • utilise une stratégie appropriée pour résoudre le problème;
  • dessine ou représente de façon concrète le plus de répartitions possible qui font 10;
  • reconnaît des régularités;
  • explique sa façon de résoudre le problème à l’aide de mots, de nombres ou de dessins.

Différenciation pédagogique

L’activité peut être modifiée pour répondre aux différents besoins des élèves.

Pour faciliter la tâche Pour enrichir la tâche

  • remettre des cubes et plusieurs dessins de deux nids à l’élève, lui demander de répartir les cubes dans les nids et d’inscrire la décomposition sous les nids. Laisser les cubes dans tous les nids du début à la fin pour que l’élève puisse voir les répartitions déjà faites;
  • demander de placer les nids selon un ordre qui fait ressortir la régularité existante (+ 1 ou - 1).

Demander de trouver toutes les répartitions possibles des oiseaux dans trois nids plutôt que dans deux nids.

Suivi à la maison

Douze dans le nid

À la maison, l’élève peut :

Répartir douze oiseaux dans deux nids qu’elle ou il dessine dans un arbre.

Remettre une copie de l’annexe 1Rel.3 (Douze dans le nid) à chaque élève pour qu’elle ou il puisse effectuer cette activité avec une ou un membre de sa famille.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 109-114.