B1.1 Lire, représenter, composer et décomposer les nombres naturels de 0 jusqu’à 200, à l’aide d’une variété d’outils et de stratégies, dans divers contextes, et décrire de quelles façons ils sont utilisés dans la vie quotidienne.
Habileté : lire les nombres naturels
La lecture des nombres permet de les interpréter comme des quantités lorsqu’ils sont exprimés en mots ou en chiffres, ou représentés à l’aide de matériel concret ou de modèles.
Une quantité décrit un ordre de grandeur (le « nombre-de » ou le « combien-il-y-a-de ») et constitue un concept essentiel au développement du sens du nombre.
Lorsque les tout-petits apprennent à compter, ils ne font pas immédiatement de liens entre les nombres récités et la notion de quantité. Ensuite, lorsque les élèves apprennent à dénombrer, elles et ils associent machinalement chaque nombre 1, 2, 3, 4, 5 à l’un des objets dans un ensemble d’objets donnés sans nécessairement saisir que 5, le résultat du dénombrement, correspond aussi à la quantité d’objets dans l’ensemble. Le lien entre la quantité et le nombre qui la représente est fort complexe. Un même nombre, par exemple 2, peut décrire des réalités très différentes. Il peut représenter à la fois 2 pommes, 2 pains ou encore 1 pomme et 1 pain. Il peut représenter aussi bien 2 gros ballons que 2 petits ballons. Ainsi, même si les ensembles d’objets sont différents, la quantité d’objets dans chacun des ensembles est la même. La complexité est accrue lorsque la quantité fait référence à une mesure (par exemple, longueur, masse, capacité), puisque les « objets quantifiés », c’est-à-dire les unités de mesure (par exemple, cm, kg, ml), ne sont pas manipulables comme le sont, par exemple, les pommes, les pains ou les ballons.
Il est important de saisir la notion de quantité pour comprendre le concept de valeur de position.
Le concept de quantité intervient dans la compréhension du concept de valeur de position des chiffres qui composent un nombre. Cette valeur augmente successivement d’un facteur 10 lorsqu’on lit les chiffres de droite à gauche et diminue d’un facteur 10 lorsqu’on les lit de gauche à droite. La compréhension du concept de valeur de position s’avère aussi très utile lorsque les élèves commencent à utiliser des nombres plus grands ou des nombres décimaux.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 44.
Développer une compréhension conceptuelle du dénombrement a un lien direct avec la compréhension de la quantité et la valeur de position.
En dénombrant dans le cadre d’activités concrètes, les élèves acquièrent les concepts et les stratégies de base qui les aident à comprendre la valeur quantitative du nombre. Les élèves apprennent à compter avec précision, à reconnaître les régularités dans le système de numération en base dix (par exemple, 11, 12, 13…; 21, 22, 23…; 31, 32, 33…) et à faire des liens entre ces régularités et la valeur de position des chiffres qui composent les nombres. Le personnel enseignant doit tenir compte du fait que certains nombres sont particulièrement difficiles à apprendre en français. Il suffit de penser, par exemple, à un nombre comme 12, que des élèves appelleront spontanément « dix-deux » ou aux nombres 70, 80 et 90, qui devraient logiquement se nommer « septante », « huitante » et « neufante ».
Exemple 1
Aider les élèves à apprendre les noms des nombres de 11 à 16 et à reconnaître qu’ils ne suivent pas la régularité des nombres de 20 à 69 (par exemple, vingt et un, trente et un, quarante et un). Leur faire remarquer, par exemple, que les nombres de 11 à 16 sont formés à partir des nombres de 1 à 6 et que certains commencent par les mêmes lettres (deux et douze; trois et treize; quatre et quatorze; six et seize).
Exemple 2
Aider les élèves à repérer, dans une grille de nombres, des régularités telles que :
- Le chiffre 9 termine toujours la dizaine (par exemple, 29, 39, 49).
- Dans la suite 10, 20, 30, …, le chiffre des dizaines suit la même séquence que 1, 2, 3, …
- La suite de nombres à l’intérieur de chaque dizaine est formée à partir de 1, 2, 3, … (par exemple, 20 se combine à 1 pour devenir 21, puis à 2 pour devenir 22, et ainsi de suite).
- Les nombres pairs se terminent toujours par le chiffre 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Les nombres impairs se terminent toujours par le chiffre 1, 3, 5, 7 ou 9.
Éléments sous-jacents
Selon les écrits les plus récents en éducation, les éléments ci-dessous sont considérés comme des fondements au développement du concept de quantité.
Conservation du nombre
Le dénombrement d’un ensemble d’objets demeure le même, que ces objets soient dispersés ou rapprochés les uns des autres.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 12 et 13.
Reconnaissance globale d’une quantité
L’habileté à reconnaître globalement une quantité est l’habileté à quantifier les éléments d’un ensemble d’objets donné sans dénombrer chacun des éléments. Les activités conçues pour développer cette habileté (par exemple, à l’aide de cartes à pois) aident les élèves à acquérir une représentation mentale de la quantité associée à un nombre.
Cartes à pois
la première rangée contient trois cartes, tandis que la deuxième en contient deux. La première carte contient cinq pois, la deuxième en contient trois, la troisième en contient quatre, la quatrième en contient deux, et la cinquième en contient quatre.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 46.
Points d’ancrage
Les élèves prennent conscience des relations entre les nombres dès qu’elles et ils commencent à compter sur leurs doigts. C’est alors que les élèves découvrent les relations qui existent entre les nombres de 1 à 4 et le nombre 5, et les nombres de 1 à 9 et le nombre 10. La compréhension de ces relations les aide à reconnaître, par exemple, que dans un cadre à dix cases où l’on a posé des jetons sur toutes les cases sauf sur une, on a représenté le nombre 9.
Cette compréhension est par la suite élargie, d’abord aux relations entre les nombres de 0 à 10 et les points d’ancrage 5 et 10, et ensuite aux nombres plus grands.
Comprendre les relations entre les nombres et les points d’ancrage 5 et 10 aide les élèves à mieux saisir le concept de valeur de position. En regroupant des cubes emboîtables ou des centicubes, les élèves découvrent les relations entre les unités et les dizaines, et entre les dizaines et les centaines. Il importe de souligner que tout ce matériel de manipulation aide les élèves à développer leur compréhension du concept de valeur de position dans la mesure où elles et ils ont l’occasion de l’utiliser dans le cadre d’activités bien structurées. Rien ne sert de simplement modeler l’utilisation du matériel sans donner aux élèves la possibilité de le manipuler et de développer le concept par leurs propres moyens. Cela reviendrait à leur faire apprendre un algorithme par cœur sans le comprendre.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 63-64.
Habileté : représenter les nombres naturels
Les élèves doivent apprendre à représenter les nombres de diverses façons et à les reconnaître sous leurs multiples représentations. Ces habiletés les aident à établir des liens entre un nombre, sa représentation et la quantité qu’il représente. Il est donc essentiel que les élèves soient exposées et exposés à différentes représentations de nombres ainsi qu’à divers contextes qui les mènent à représenter un nombre selon chacun des modes de représentation illustrés dans le schéma ci-dessous ainsi qu’à passer d’un mode de représentation à un autre.
En haut, en bas, à gauche et à droite, il y a quatre arcs qui, sans se toucher, forment une espèce d’ovale. Au-dessus du sommet de chaque arc est écrit le mot « contexte ». Sous chaque creux d’arc apparaissent différents termes, disposés en forme de losange, chacun écrit dans un ovale. En haut, l’ovale contient l’expression « en mots ». À droite, l’ovale contient le mot « concret ». Sous cet ovale est écrit le mot « modèles ». En bas, l’ovale contient le mot « semi-concret ». Sous cet ovale est écrit le mot « modèles ». Et à gauche, l’ovale contient le mot « symbolique ». Sous cet ovale est écrit le mot « modèles ». Tous les termes sont reliés les uns aux autres par des flèches à double sens.Répéter. Bloc de variable : mettre « moyenne » à « somme » divisé par « longueur de « liste de données ».
Il importe d’être conscient de l’ordre dans lequel il faut exploiter ces quatre modes de représentation avec les élèves. Baroody et Coslick (Fostering Children’s Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8 Mathematics Instruction) suggèrent de présenter un nouveau concept dans un contexte réel et significatif pour que les élèves puissent d’abord se créer des représentations à l’aide de mots, puis des représentations concrètes et semi concrètes. Ce n’est que lorsque les élèves auront développé une certaine compréhension du concept qu’elles et ils pourront passer à sa représentation symbolique. Les élèves doivent être en mesure d’établir des liens entre les représentations et de passer aisément d’une représentation à une autre.
Représentations à l’aide de mots
En 2e année, les élèves apprennent à lire et à écrire en lettres les nombres jusqu’à 200. Il ne faut pas sous-estimer les défis que pose l’écriture des nombres en lettres. Pour aider les élèves à surmonter ces défis, le personnel enseignant devrait inclure les nombres au mur de mots et de construire avec eux des référentiels pour résumer les règles d’accord en nombre de vingt et de cent.
Représentations concrètes
L’utilisation de matériel de manipulation (par exemple, jetons, matériel de base dix) pour représenter des nombres aide les élèves à développer le sens du nombre.
Une table contient plusieurs objets à usage scolaire, tels que des marqueurs de couleur, des règles à mesurer, des réglettes, des cartes, un bécher, un ensemble de cartes numérotées à tourner, et des feuilles de carton dont l’une affiche le nombre 125. Tous les termes sont reliés les uns aux autres par des flèches à double sens. Répéter. Bloc de variable : mettre « moyenne » à « somme » divisé par « longueur de « liste de données ».
Une mise en garde s’impose lorsqu’il est question d’utiliser le matériel de manipulation. Il importe de reconnaître que ce matériel permet de représenter un concept mathématique, mais que ce n’est pas le concept lui-même; par exemple, la planchette n’est pas une centaine, mais elle représente une centaine de petits cubes.
Le danger est que les élèves utilisent le matériel de façon mécanique sans faire de lien avec les concepts mathématiques sous-jacents. C’est pourquoi il est essentiel de s’assurer qu’il y a vraiment apprentissage et non pas uniquement une utilisation aveugle du modèle. Il est facile pour les élèves, par exemple, de remplir les espaces dans la phrase ci-dessous en observant le tapis de valeur de position.
La représentation est ____ centaine(s), ____dizaine(s) et ____ unité(s).
Mais est-ce que les élèves comprennent qu’il y a aussi 135 petits cubes ou unités sur le tapis, et que c’est une des réalités qui est représentée par le nombre 135? Il est important de demander aux élèves d’expliquer de différentes façons ce qui est représenté. Par exemple, 135, c’est aussi 13 dizaines d’unités et 5 unités ou encore 1 centaine et 35 unités.
Une autre façon de vérifier la compréhension des élèves est de leur demander, par exemple, combien il y a de dizaines dans 135. Plusieurs élèves auront tendance à dire qu’il y en a trois. Il importe alors de préciser que le chiffre dans la position des dizaines est un « 3 », mais que le nombre 135 est composé de 13 dizaines (13 regroupements de 10 unités = 130). On peut « voir » ces 13 dizaines en décomposant la planchette en 10 bâtonnets que l’on ajoute aux 3 bâtonnets qui sont dans la colonne des dizaines.
En utilisant le tapis de valeur de position, on remarque que même si les nombres s’écrivent de gauche à droite, ils sont formés de droite à gauche : les unités regroupées forment les dizaines, les dizaines regroupées forment les centaines, et ainsi de suite. Mais, une fois le dénombrement terminé, on écrit le nombre en partant de la gauche.
Le choix du matériel mis à la disposition des élèves peut aussi faire une différence dans le niveau de compréhension des concepts. On trouve sur le marché une variété de matériel pour représenter les nombres : billes, cubes emboîtables ou tout autre objet pouvant être utilisé pour dénombrer. Certains de ces matériels représentent clairement et concrètement la relation de grandeur entre les unités, les dizaines, les centaines, etc. (par exemple, le matériel de base dix utilisé dans les photos précédentes). En exposant les élèves à une variété de matériels de manipulation, le personnel enseignant peut les aider à développer une meilleure compréhension des nombres.
Représentations semi-concrètes
Les élèves peuvent aussi représenter les nombres à l’aide de matériel semi-concret (par exemple, illustration, grille de nombres, droite numérique).
Illustration : Un nombre peut être représenté par des dessins de façon à illustrer certains regroupements. Par exemple, le nombre 176 peut être illustré par regroupements de 50 comme suit :
Son illustration peut aussi être en lien avec le matériel de manipulation.
Grille de nombres : La grille de nombres jusqu’à 100 est très utilisée au cycle primaire. Quoique plus difficile à manipuler, une grille de 1 000 peut aider les élèves du cycle moyen à mieux comprendre les nombres en permettant de les comparer et de faire ressortir les relations entre eux.
Grille de 100
Droite numérique : Au cycle primaire, les élèves utilisent et construisent des droites numériques pour compter par intervalles ou pour identifier le nombre de dizaines dans un nombre. L’utilisation et la construction de droites numériques variées permettent aux élèves de représenter de plus grands nombres et de reconnaître les relations entre ceux-ci. Voici quelques exemples de droites numériques sur lesquelles est représenté le nombre 127 :
- droite numérique dont l’échelle est par intervalles de 50;
- droite numérique qui ne commence pas à 0, dont l’échelle est par intervalles de 20;
- droite numérique ouverte (qui n’est pas graduée) sur laquelle les nombres sont placés en relation les uns avec les autres;
- droite numérique verticale qui présente les nombres en ordre croissant vers le haut et qui fait des liens avec les autres domaines dont Sens de l’espace (par exemple, thermomètre) et Données (par exemple, axe des ordonnées).
Représentations symboliques
Les nombres sont représentés symboliquement à l’aide des chiffres qui les composent.
L’écriture des grands nombres nécessite une bonne maîtrise du concept de valeur de position, faute de quoi l’élève à qui l’on demande d’écrire symboliquement « cent treize » pourrait écrire 100 13. Elle nécessite aussi une compréhension du rôle du zéro pour indiquer l’absence d’une quantité dans une des positions.
Un nombre peut être représenté de différentes façons à l’aide de symboles mathématiques, soit en respectant la valeur de position de chaque chiffre (136 est égal à \(\ 100 + 30 + 6\)), soit d’après quelques valeurs de position (136 est égal à 13 dizaines et 6 unités) ou en effectuant différentes opérations (136 est égal à \(\ 100 + 36\) ou à \(\ 140 \ - 4\) ou à \(\ 100 + 10 + 10 + 10 + 6\)). En fait, il existe une infinité de façons de représenter un nombre, chacune permettant aux élèves de se donner une autre façon de l’interpréter et d’en comprendre le sens.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 64 à 71.
Habileté : composer et décomposer les nombres naturels
La décomposition et le regroupement sont des notions réciproques liées aux concepts de quantités finales, initiales, ajoutées ou unies. La décomposition implique qu’une quantité finale peut être décomposée en différentes quantités initiales, ajoutées, unies ou comparées. Alors que le regroupement implique que différentes quantités initiales, unies ou ajoutées peuvent être regroupées pour former une quantité finale.
Une quantité d’objets peut être répartie de différentes façons. Par exemple, une quantité de 77 poissons peut être répartie de différentes façons dans deux aquariums : 1 poisson et 76 poissons, 2 poissons et 75 poissons, 3 poissons et 74 poissons, et ainsi de suite. Dans ce cas, on parle de répartition d’objets. Lorsque l’on représente cette répartition à l’aide de nombres, on parle de décomposition (par exemple, le nombre 77 peut être décomposé de différentes façons, soit : 1 et 76, 2 et 75, 3 et 74, et ainsi de suite).
Avec le temps, les élèves acquièrent une compréhension du concept de la quantité et de la structure des nombres en base dix. Les élèves sont alors en mesure de comprendre qu’un nombre peut aussi être décomposé en fonction des valeurs de position (par exemple, 125 peut être décomposé en 1 centaine, 2 dizaines et 5 unités) et que, de façon réciproque, il est possible de regrouper les éléments d’un ensemble en dizaines ou en centaines afin de déterminer le nombre d’éléments (par exemple, regrouper les éléments d’un ensemble en 1 centaine, 2 dizaines et 5 unités, et conclure que l’ensemble contient 125 éléments).
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 47.
Habileté : décrire les façons dont les nombres sont utilisés dans la vie quotidienne
Pour comprendre le concept d’un nombre, il faut établir des liens entre le symbole (par exemple, 84), le mot (par exemple, quatre-vingt-quatre), la quantité (par exemple, 84 objets) ou le rang (par exemple, la quatre-vingt-quatrième chaise dans une salle de spectacle). Les nombres sont aussi parfois utilisés comme simple code, sans référence à une quantité ou à un rang (par exemple, 4 dans un numéro de téléphone ou sur un maillot de soccer). Les adultes, qui ont depuis longtemps compris que le sens des nombres dépend du contexte dans lequel ils sont utilisés, n’ont souvent pas conscience de la difficulté que peuvent avoir les enfants à saisir ces différences
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 73.
Connaissance : nombres naturels
Les nombres naturels appartiennent à l’ensemble ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}.