B1.3 Arrondir les nombres naturels à la dizaine et à la centaine près, dans divers contextes.
Habileté : arrondir les nombres naturels
L’habileté à arrondir exige analyse et réflexion. L’opération ne se limite pas à l’arrondissement d’un nombre donné à une certaine valeur de position; elle nécessite aussi l’évaluation du contexte dans lequel le nombre se trouve. Les activités qui visent l’habileté à arrondir doivent alors être faites en contexte afin qu’elles permettent de refléter une utilisation authentique de l’arrondissement, de donner un sens à cet apprentissage, sens qui sera transféré au bagage cognitif des élèves.
Dans la vie courante, la décision d’arrondir provient de l’interprétation d’une situation et non d’une consigne reçue. Puis, la situation et le nombre en cause sont évalués pour désigner une valeur de position de l’arrondissement (par exemple, doit-on arrondir à la centaine près ou à la dizaine près?). La prochaine étape consiste à retenir des nombres repères en fonction de la position choisie (par exemple, pour arrondir 362 à la dizaine près, certains élèves reconnaîtront mentalement ou sur une droite numérique la progression des dizaines – 300, 310, 320, 330, 340, 350, 360, 370 — alors que d’autres verront d’emblée que 362 se situe entre 360 et 370). Ainsi, en reconnaissant le nombre le plus près du nombre en cause (362), les élèves seront en mesure de déterminer la valeur arrondie du nombre. La dernière étape est celle de la communication du nombre arrondi. Bien sûr, certaines étapes se font de façon intuitive et presque automatiquement. Cette aisance vient précisément du sens du nombre; en d’autres termes, c’est l’utilisation de nos connaissances qui soutient ces décisions.
En salle de classe, souvent, plusieurs décisions ont déjà été prises pour les élèves. C’est alors que les élèves interviennent, par exemple, pour arrondir un nombre comme 865 à la dizaine près et à la centaine près, ou encore simplement pour déterminer si 365 est plus près de 300 ou de 400. Il serait profitable pour leur apprentissage que les élèves aient l’occasion de prendre l’ensemble des décisions entourant l’arrondissement d’un nombre. Cela favorise le développement de leur sens critique de l’utilisation des nombres et approfondit leur sens de l’arrondissement.
Voici une situation qui illustre le raisonnement au cours de l’arrondissement de nombres. Les informations supplémentaires offrent quelques pistes pédagogiques.
Il y a généralement entre 700 et 800 spectateurs à la salle de spectacle « La Scène ». À la suite du spectacle, le préposé à la billetterie fait le décompte et détermine qu’il y a eu 736 spectateurs. Il croise la direction et décide de lui donner un aperçu des ventes de la soirée. Que dira-t-il à la direction?
| Raisonnement au cours des arrondissements | Raisonnement du préposé |
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Décider d’effectuer un arrondissement Il est judicieux d’effectuer un arrondissement si le but est de communiquer une quantité en utilisant un nombre qui peut rapidement être significatif pour le destinataire. |
Dans l’exemple, si le préposé veut communiquer l’idée de grandeur des ventes et non la quantité exacte, il peut alors arrondir le nombre. Cependant, s’il devait inscrire les nombres au grand livre de la comptabilité, il devrait alors utiliser le nombre exact. |
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Déterminer à quelle valeur de position se fera l’arrondissement Il n’y a pas de règle quant au choix de la valeur de position. Cependant, le choix n’est pas arbitraire, car il dépend de l’interprétation de la situation et du sens du nombre de l’individu. Il est important de ne pas imposer systématiquement aux élèves d’arrondir à une certaine valeur de position, mais de discuter avec eux en donnant des exemples et des contre-exemples afin qu’ils comprennent comment effectuer un choix judicieux. |
Si on vendait généralement entre 800 et 900 billets, l’arrondissement s’effectuerait à la centaine près pour montrer qu’il y a une baisse importante des ventes. Dans l’exemple, le préposé décide d’arrondir à la centaine près étant donné que les ventes sont généralement entre 700 et 800 billets. S’il voulait que l’arrondissement donne un degré plus élevé de précision, il l’effectuerait à la dizaine près. |
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Déterminer des nombres repères en fonction du choix de la valeur de position Le repérage de nombres aide les élèves à voir le nombre en relation avec d’autres nombres. L’utilisation de droites numériques permet de mieux saisir le sens du nombre et de visualiser la grandeur relative du nombre. Le repérage des nombres en fonction du regroupement donne de l’importance au regroupement choisi et permet de trouver les bornes d’un intervalle approprié pour compléter l’arrondissement. Il s’agit de reconnaître qu’un nombre tel que 736 est situé entre le nombre de centaines du nombre en question (7) et la centaine suivante (8). Le repérage peut aussi se faire en reconnaissant un ensemble de valeurs reliées à la position choisie (par exemple, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900). Note : Il est très important que les élèves utilisent l’ensemble des positions lorsqu’ils font des arrondissements. Par exemple, en cherchant à arrondir à la dizaine près, certains ne retiendraient que le chiffre de la position en question et diraient, par exemple, que 736 se situe entre 3 dizaines (30) et 4 dizaines (40) et que donc l’arrondissement se fait à 40 (au lieu de 740). |
Dans l’exemple, le préposé détermine que 736 est situé entre 700 et 800.   |
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Arrondir le nombre Les élèves doivent saisir que l’arrondissement s’effectue à une valeur proche du nombre. Par exemple, 736 s’arrondit à la centaine près à 700, car il est plus près de 700 que de 800. Note : Par convention, si le nombre est équidistant de 2 valeurs, l’arrondissement s’effectue habituellement à la valeur la plus élevée des 2 valeurs. Par exemple, 750 s’arrondit à la centaine près à 800. |
 Image Une droite numérique qui commence à 7 centaines, 700 et finie à 8 centaines, 800. L’emplacement du nombre 736 est pointé par une flèche sur la droite. Une étoile est placée à cet endroit. Une seconde flèche part de l’étoile vers le 700.  Image Une droite numérique de zéro à 800 par intervalles de 100. L’emplacement du nombre 736 est pointé par une flèche sur la droite. Une étoile est placée à cet endroit. Une seconde flèche part de l’étoile vers le 700.
Dans l’exemple, le préposé doit comprendre que 736 est entre 700 et 800, mais qu’il est plus près de 700. C’est pourquoi l’arrondissement se fera à 700. |
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Communiquer l’arrondissement Puisque l’arrondissement provient d’un contexte, la communication doit être faite en contexte. |
Le préposé pourrait mentionner à la direction qu’il y avait environ 700 spectateurs, un peu plus de 700 spectateurs ou même près de 700 spectateurs. Note : Il serait faux d’affirmer qu’il y avait 700 spectateurs. |
En classe, les activités doivent permettre aux élèves de développer l’ensemble des habiletés à arrondir. Il est important que le personnel enseignant nuance ses propos au cours des activités d’arrondissement pour ne pas orienter la réflexion des élèves vers une stratégie ou une réponse en particulier. Jusqu’à présent, il a été question des arrondissements à une valeur de position près. Cependant, l’action « d’arrondir », au quotidien, peut se faire dans un sens plus large. Par exemple, une collecte de fonds a recueilli 484 $, et l’article du journal titrera : « Quel succès, l’événement a permis d’amasser près de 500 $ ». Dans ce cas, on s’est servi de l’arrondissement pour « rendre rond » un montant d’argent, afin que l’information soit comprise rapidement. Voici quelques exemples de stratégies d’arrondissement possibles.
| Stratégies | Exemples |
|---|---|
| Définir un intervalle | S’il y a 736 personnes à un spectacle, on peut arrondir en disant qu’il y a entre 700 et 800 personnes. |
| Arrondir à un repère | Si chaque pomme coûte 44 ¢ et que nous en avons acheté une douzaine, on peut arrondir le prix à 50 ¢. |
| Arrondir en pensant à l’effet de l’arrondissement sur la quantité | Si on prépare des petits cadeaux pour chaque participant ou participante d’un concours, il est préférable d’en acheter un peu plus que le nombre de participants. Ainsi, s’il y a présentement 63 participants, on peut choisir d’arrondir à 70 et acheter 70 cadeaux afin de s’assurer d’en avoir suffisamment pour tous les participants. |
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 38-41.
Connaissance : approximation (estimation et arrondissement)
Les nombres ont été créés pour représenter des quantités avec un haut degré d’exactitude. En effet, ils apportent une précision que des termes comme « plus », « quelques », « des », « beaucoup » et « peu » ne donnent pas. Cependant, on peut aussi les employer pour montrer un certain ordre de grandeur de cette quantité. Dans ce cas, le nombre est utilisé pour représenter approximativement la quantité (par exemple, environ 200 personnes étaient à la fête ne signifie pas qu’il y en avait exactement 200). En général, l’approximation est une grandeur suffisamment près d’une grandeur connue (arrondissement) ou inconnue (estimation).
Les termes « arrondissement » et « estimation » sont souvent utilisés, à tort, de façon interchangeable. La différence fondamentale entre ces 2 concepts réside dans la provenance du nombre. L’estimation provient de la relation entre une quantité inconnue et des connaissances antérieures, généralement sous forme de repères. L’arrondissement, lui, provient de la relation entre un nombre connu (précis ou approximatif) et sa proximité relative à d’autres nombres. Généralement, les estimations et les arrondissements servent à brosser un « portrait » plus clair de la quantité en question et à transmettre un sens de l’ordre de grandeur du nombre. Le tableau suivant, qui traite de l’exemple du prix d’un vélo, montre cette distinction.
| Arrondir un nombre | Estimer une quantité | |
|---|---|---|
| Définitions | Remplacer un nombre par une valeur appropriée à la situation, en suivant certains critères préétablis ou personnels. | Évaluer approximativement une quantité. |
| Exemples | Si le prix affiché d’un vélo est 353 $, on peut dire qu’il coûte environ 400 $. | En se promenant dans un parc, on remarque un vélo et on estime son prix à 300 $. |
| Explications | Le prix réel (nombre connu) a été arrondi à la centaine près. | Le prix ne repose sur aucune information précise reçue, mais sur des connaissances antérieures. |
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 35-36.