GEEM - Habiletés et connaissances

B1.7 Lire, représenter, comparer et ordonner des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes, dans divers contextes.

Habileté : lire des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes

L’apprentissage des nombres décimaux est étroitement lié à la compréhension de la notation décimale. Cette notation est employée couramment, entre autres, dans le système international d’unités (SI) et dans le système monétaire. Toutefois, malgré son utilisation fréquente au quotidien et en classe, la notation décimale est loin d’être bien comprise et maîtrisée.

Afin d’explorer l’apprentissage des nombres décimaux, il importe d’examiner la terminologie reliée à ces nombres et à la notation décimale. Un nombre décimal est un nombre qui peut être exprimé en notation décimale avec une partie décimale finie (par exemple, 3,72; 12,135 64). L’ensemble des nombres décimaux inclut tous les entiers, car ces derniers peuvent être exprimés avec une partie décimale (par exemple, 3 = 3,0).

Il est intéressant de constater que tous les nombres décimaux peuvent être exprimés sous forme de fractions décimales, c’est-à-dire des fractions dont le dénominateur est une puissance de 10.

Au cycle moyen, l’étude des nombres décimaux est reliée plus particulièrement à l’utilisation de la notation décimale pour exprimer ces nombres. Un nombre exprimé en notation décimale est composé de deux parties, à savoir la partie entière et la partie décimale.

Exemple

Le nombre \(8\;\frac{1}{2}\) s’écrit en notation décimale 8,5.

8 virgule 5. 8 est la partie entière. 5 est la partie décimale.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 28-29.

Dans l’enseignement des nombres décimaux et de la notation décimale qui s’y rapporte, on met trop souvent l’accent sur l’apprentissage de procédures et de règles, plutôt que sur les concepts qui les soutiennent. On empêche ainsi les élèves de développer une connaissance conceptuelle des nombres décimaux. Des énoncés comme « on peut ajouter des zéros après la dernière décimale sans changer la quantité, par exemple 2,3 = 2,30 » nuisent à la compréhension de la quantité représentée par un nombre décimal et leur emploi réduit l’apprentissage des nombres décimaux à une obéissance à des règles. Selon les recommandations dans le document intitulé Enseigner et apprendre les mathématiques : Rapport de la Table ronde des experts en mathématiques de la 4^e à la 6^e année (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2004a), un enseignement efficace des mathématiques doit viser à faire comprendre le sens des concepts enseignés. Puisque la partie décimale d’un nombre n’est, de fait, qu’une différente façon de représenter une fraction décimale, il est essentiel que les élèves aient une compréhension solide des fractions et de la valeur de position avant d’être initiés au concept de nombre décimal. En ce qui a trait à la quantité que représente un nombre décimal, il faut établir des liens entre la partie décimale du nombre et le concept de fraction. Paradoxalement, l’écriture et la lecture des nombres décimaux s’apparentent davantage à celles des nombres naturels qu’à celles des fractions.

L’utilisation de nombres décimaux pour exprimer une quantité répond à un besoin d’exprimer des quantités avec plus de précision.

Exemple

Considérons une diagonale d’un carré dont les côtés mesurent 1 m. Si on tente de décrire la longueur de cette diagonale en utilisant les nombres naturels, on peut dire qu’elle mesure 1 m et « une partie de un mètre ».

Un carré divisé en 2 par une ligne diagonale reliant un coin opposé à un autre. La longueur des côtés du carré est d’un mètre.

Il est possible de donner une mesure plus précise en exprimant cette « partie de un mètre » en notation décimale. En utilisant une règle graduée en décimètres, on peut déterminer que la diagonale mesure environ 1,4 m.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 30-34.

Relations de valeur de position

C’est au début du cycle moyen que les élèves étudient pour la première fois la partie décimale d’un nombre. Elles et ils doivent alors approfondir leur compréhension de la valeur de position des chiffres et de la relation entre les valeurs de position. Les nombres décimaux font partie du quotidien et la compréhension des valeurs de position à la droite et à la gauche de la virgule est essentielle.

La virgule joue un rôle significatif dans la notation décimale. Elle sépare la partie entière de la partie décimale et, de ce fait, indique la position des unités.

Or, il est essentiel que les élèves reconnaissent la position des unités puisque c’est elle qui définit le tout en fonction duquel sont formés les dixièmes et d’autre part, les dizaines, les centaines et les milliers. On peut donc dire que l’unité, identifiée par la virgule, est au cœur du système décimal.

Cette reconnaissance du rôle de l’unité est mise en évidence par les préfixes des noms donnés à la valeur de position des chiffres de chaque côté de l’unité. Ainsi, les dizaines représentent une quantité dix fois plus grande que l’unité, alors que les dixièmes représentent une quantité dix fois plus petite que l’unité.

Note : Certains élèves ont l’impression que c’est la virgule qui est au centre du système décimal. Conséquemment, elles et ils ont tendance à appeler la première position à droite de la virgule, la position des unièmes plutôt que des dixièmes.

Il est important que les élèves saisissent aussi la relation multiplicative par 10 qui existe entre les valeurs de position adjacentes. Elles et ils ont préalablement développé une compréhension de cette relation dans le cadre de l’étude des nombres naturels, soit que chaque position a une valeur 10 fois plus grande que celle à sa droite et 10 fois plus petite que celle à sa gauche.

Or, cette relation multiplicative est aussi vraie pour les positions décimales.

Les élèves peuvent en développer une compréhension en effectuant des regroupements à l’aide du matériel de base dix. Il s’agit de démontrer que, tout comme 10 unités donnent 1 dizaine, 10 dixièmes donnent 1 unité.

Il arrive fréquemment aux élèves du cycle moyen d’écrire, par exemple, 0,13 pour représenter treize dixièmes. Ces élèves tentent de placer 13 dans la colonne des dixièmes comme suit.

0,13

Or, le système décimal ne permet pas d’écrire deux chiffres dans une position. Les élèves doivent reconnaître que 10 dixièmes c’est l’équivalent de 1 unité, ce qui fait que 13 dixièmes c’est égal à 1 unité plus 3 dixièmes. On écrit donc 1,3.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 51-53.

Représentation mentale

Pour bien développer le sens du nombre, il est important que les élèves se forment des images des quantités représentées par les nombres. Dans le cas des nombres décimaux, les lire correctement permet de s’en faire une meilleure représentation mentale et de faire appel à leurs connaissances des fractions (par exemple, 0,7 se lit « sept dixièmes » et non pas « zéro virgule sept »). Il faut inciter les élèves à utiliser plusieurs modèles pour favoriser la création de diverses représentations mentales.

Exemple

Un sur dix ou zéro, un. Une réglette de dix cubes dont les 9 premiers sont mauves et le dernier est rouge.70 sur 100 ou zéro virgule 7.Une planchette de 100 cubes dont 70 sont rouges.

Lors de la représentation de nombres décimaux à l’aide de modèles, il y a une adaptation à faire, car ces mêmes modèles étaient utilisés jusqu’alors pour représenter d’autres concepts (par exemple, la languette représentait une dizaine de cubes). Les élèves doivent comprendre que l’unité a changé. Dans le premier des deux exemples précédents, c’est l’objet au complet qui représente l’unité (le tout); dans le deuxième, c’est le grand carré au complet qui représente l’unité (le tout).

Les élèves doivent aussi se former une représentation mentale de nombres décimaux supérieurs à un. À la lecture d’un tel nombre décimal, les élèves doivent se représenter mentalement la quantité qu’il représente en interprétant les deux parties qui le composent : la partie entière et la partie décimale. Par exemple, les élèves doivent reconnaître que le nombre 8,2 représente 8 entiers et une partie d’un autre entier identique. Une quantité entre 8 et 9 peut alors être visualisée.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 36-37.

Habileté : représenter des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes

Les élèves doivent apprendre non seulement à représenter les nombres décimaux de diverses façons, mais aussi à les reconnaître sous leurs multiples représentations. Ces habiletés les aident à établir des liens entre les nombres, leurs représentations et les quantités qu’elles et ils représentent. Dans certains cas, l’utilisation de modèles facilite la construction des représentations.

Représentations concrètes

Pour bien comprendre les nombres décimaux, il est important que les élèves puissent les représenter concrètement à l’aide de matériel de manipulation (par exemple, jetons, matériel de base dix). Malheureusement, les élèves du cycle moyen n’ont pas toujours l’occasion d’explorer les nombres à l’aide de ce genre de matériel. Conséquemment, leur connaissance des nombres décimaux repose souvent sur la représentation symbolique et ne témoigne pas d’une solide compréhension de ces nombres. Avant d’entreprendre l’enseignement des nombres décimaux, il est important d’amener les élèves à utiliser du matériel de manipulation pour décrire des parties d’un tout représentées par une fraction décimale (par exemple, \(\frac{3}{{10}}\)).

Exemple

Un dixième (parenthèse ouvrante) un sur dix (parenthèse fermante) d’un tout.Image de 2 réglettes de couleurs différentes dont le morceau représentant le un dixième de l’un d’elles est séparé de cette réglette.

Lorsque les élèves ont pris l’habitude de bien reconnaître les dixièmes, on peut utiliser du matériel concret pour présenter la notation décimale. Voici une représentation concrète du nombre 2,4.

L’unité est la réglette orange.2 virgule 4 réglettes.L’image montre 2 séries de réglettes.La première série comporte 2 réglettes orange et une réglette mauve qui représente le 4 dixièmes d’unités.La deuxième série comporte 2 réglettes orange et 4 réglettes bleues représentant le 4 dixièmes d’unités.

Le matériel de base dix est un outil par excellence pour représenter un nombre décimal, puisqu’il met en évidence la relation multiplicative par 10 entre la valeur de position des chiffres qui le composent. Cependant, il est très important de toujours définir clairement la pièce qui constitue l’unité en fonction de laquelle les autres pièces seront définies. Lors de l’étude des nombres naturels, le petit cube était généralement associé à l’unité. Cependant, si on choisit la languette comme unité, le petit cube représente alors un dixième de languette.

Exemple

Le petit cube représente 0,1 d’une languette.

Une réglette de dix petits cubes et un petit cube à part.

Toutefois, si on choisit la planchette comme unité, la languette représente alors un dixième de planchette.

Représentations semi-concrètes

Les élèves peuvent aussi développer le sens des nombres décimaux en les représentant de façon semi-concrète. Par exemple, un disque partagé en 10 parties égales permet de représenter des dixièmes.

Exemple

Zéro virgule 3 d’un disque.
Un cercle est divisé en dix parties égales dont 3 parties sont mauves.

Des bandes et des grilles séparées en 10 parties égales peuvent aussi être utilisées pour représenter des nombres décimaux.

Exemple

Zéro virgule un d’une bande.Une bande est divisée en dix parties égales dont la première est rouge.

Il est important aussi que les élèves utilisent des modèles d’ensembles pour représenter des nombres décimaux.

Exemple

Zéro virgule 4 des carrés de l’ensemble sont rouges.Un ensemble de dix carrés dont 4 sont rouges.

Pour développer un bon sens du nombre, il est important que les élèves explorent différentes représentations d’une même quantité. Par exemple, on peut les inviter à représenter 0,5 de plusieurs façons sur une grille de \(10 \times 10\).

Exemples

On peut aussi les inviter à utiliser différentes représentations semi-concrètes pour représenter un nombre donné.

Exemple

Voici, trois représentations de 0,3.

Image un: une bande divisée en dix parties égales dont les 3 premières sont rouges.Image 2: Un carré composé de 100 petits carrés dont 30 de ses petits carrés sont rouges.Image 3: un ensemble de dix points dont 3 d’entre eux sont rouges.

Les élèves ont appris à se servir d’une droite numérique pour situer des nombres naturels et pour compter jusqu’à de grands nombres par intervalles. Elles et ils peuvent aussi l’utiliser pour situer les nombres décimaux.

Représentations symboliques

L’écriture conventionnelle des nombres décimaux est une représentation symbolique de ces concepts.

Pour représenter symboliquement des nombres décimaux, une virgule est intégrée dans l’écriture du nombre afin de séparer la partie entière de la partie décimale.

Exemple

Trois et un dixième

3 virgule un. Le 3 représente les unités et le un représente les dixièmes.

L’écriture des nombres décimaux nécessite la compréhension du concept de regroupement. Ainsi le nombre « trente-cinq dixièmes », après regroupements, correspond à 3 unités et 5 dixièmes d’où l’écriture du chiffre 3 dans la position des unités et du chiffre 5 dans la position des dixièmes, soit 3,5.

Cette relation entre l’écriture d’un nombre décimal et les regroupements peut être comprise en explorant les nombres décimaux à l’aide de représentations concrètes et semi-concrètes qui permettent de « voir » les regroupements.

Il est important de faire la distinction entre le chiffre dans la position des dixièmes et la quantité de dixièmes dans le nombre. Ainsi, dans le nombre 2,1, le chiffre dans la position des dixièmes est 1, mais il y a 21 dixièmes dans le nombre. Ainsi, si on veut que les élèves identifient le chiffre dans la position des dixièmes dans un nombre donné (par exemple, 2,3), il faut poser la question « Quel chiffre est dans la position des dixièmes dans le nombre 2,3? » plutôt que « Combien de dixièmes y a-t-il dans le nombre 2,3? »

Représentations à l’aide de mots

La façon dont les élèves apprennent à lire les nombres décimaux peut avoir une incidence sur leur compréhension. Si on leur montre à lire le nombre 0,7 en disant « zéro virgule sept », on laisse de côté le sens de la notation. Cette façon de lire un nombre décimal ne constitue qu’une énumération successive des symboles qui composent le nombre, tout comme ce serait le cas si on lisait le nombre 123 en disant « un, deux, trois ». Cependant, si on insiste pour lire ce nombre en disant « sept dixièmes », on met l’accent sur le sens de la notation. Cette façon de lire les nombres décimaux donne la possibilité aux élèves de visualiser les 7 parties de 10 et a l’avantage de rappeler la correspondance entre les nombres décimaux et les fractions décimales correspondantes. Elle permet aussi de se référer à un nombre décimal par son nom.

Il importe que le personnel enseignant modèle en tout temps cette façon de lire les nombres décimaux. Les nombres 12,3 et 1 013,7 se lisent respectivement « douze et trois dixièmes » et « mille treize et sept dixièmes ». On remarque que lors de la lecture d’un nombre décimal, la partie entière est lue comme s’il s’agissait d’un nombre naturel, le mot « et » (et non « virgule ») sert de liaison entre les deux parties, et la partie décimale est lue en fonction de la valeur de position du chiffre situé à l’extrême droite dans le nombre.

Note : Il arrive que certains élèves, en lisant, confondent les termes dizaine et dixième, à cause de leur similarité phonétique.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 57-69.

Habileté : comparer et ordonner des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes

La relation d’ordre est basée sur la comparaison de nombres. Une des grandes forces de la notation décimale, c’est la rapidité avec laquelle il est possible, grâce au concept de valeur de position, de comparer et d’ordonner des quantités. Par exemple, il est beaucoup plus facile de comparer les nombres \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{2}{{10}}\) lorsqu’ils sont exprimés en notation décimale, soit 0,5 et 0,2.

La relation d’ordre doit être abordée en comparant des nombres décimaux dans des situations contextualisées. Par exemple : « Rémi a fait un saut de 3,5 m et Samantha en a effectué un de 3,7 m. Lequel des deux a réussi le plus long saut? » Les élèves peuvent répondre et justifier leur choix si elles et ils comprennent la valeur de position. La droite numérique est un modèle visuel puissant pour comparer des nombres décimaux. Pour placer 3,5 et 3,7 sur une droite numérique, les élèves peuvent représenter les dixièmes de 3,0 à 4,0. Elles et ils peuvent alors conclure que \(\ 3,5 < 3,7\), donc que Samantha a effectué un plus long saut que Rémi.

Les élèves qui ont acquis un bon sens du nombre peuvent aussi comparer 3,5 m et 3,7 m en remarquant d’abord qu’ils représentent deux sauts supérieurs à 3 m. Ensuite, elles et ils peuvent comparer les dixièmes pour remarquer que le premier nombre compte 5 dixièmes, soit 5 décimètres, tandis que le deuxième en compte 7.

Les nombres 3 virgule 5 et 3 virgule 7 sont écrits l’un au-dessus de l’autre. Une flèche double relie les 3 ensemble. Une autre flèche double relie le 5 et le 7.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 54.

Habileté : lire, représenter, comparer et ordonner les nombres décimaux dans divers contextes

Le contexte est l’ensemble des informations entourant une situation donnée. Pour bien saisir le sens de la quantité représentée par un nombre décimal, les élèves doivent l’analyser dans son contexte. Comme une fraction, un nombre décimal représente une partie d’un tout. L’ampleur de la quantité représentée par un nombre décimal dépend donc entièrement de la grandeur du tout.

Il faut insister sur le fait que le contexte aide à préciser la quantité représentée. Par exemple, s’il est question de 2,3, les élèves comprennent que ce nombre représente 2 fois une unité quelconque et \(\frac{3}{{10}}\) de la même unité. Mais, si on précise qu’il s’agit de 2,3 cm, elles et ils peuvent se faire une image de la quantité en contexte.

Or, dans certaines situations, il est important de reconnaître que les nombres décimaux ne se rapportent pas au même tout.

Exemple

Dans ces exemples, même si le nombre 0,2 est inférieur au nombre 0,4 (\(0,2 < 0,4\)), 0,2 kg est une masse plus grande que 0,4 g, tout comme 0,2 du gros carré est une surface plus grande que 0,4 du petit carré.

Les gros titres de journaux fournissent souvent des sujets de discussion qui peuvent aider les élèves à comprendre et à interpréter les nombres décimaux.

Exemple

Nouveau record mondial, une pomme de 13,4 kg!

Au cours d’un échange en groupe classe, le personnel enseignant peut poser des questions qui aident les élèves à analyser le titre indiqué ci-dessus.

Est-ce important de préciser les 0,4 kg dans la masse de la pomme? Pourquoi?

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 40-41.

Connaissance : nombre décimal

Ensemble des nombres décimaux (\(\Bbb{D}\))

L’ensemble des nombres décimaux est formé des nombres qui peuvent être exprimés sous forme décimale avec une partie décimale finie (par exemple, 3,72; 0; 12,135 64). Cet ensemble inclut tous les entiers, car ils peuvent être exprimés avec une partie décimale (par exemple, 3 = 3,0). Il inclut aussi certaines fractions, comme \(\frac{2}{5}\) et \(\frac{3}{{16}}\), puisque \(\frac{2}{5}\; = \;0,4\) et \(\frac{3}{{16}}\; = \;0,187\;5\). Cependant, un grand nombre de fractions sont exclues, comme \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{7}{{11}}\), car leur développement décimal nécessite un nombre infini de décimales (\(\frac{1}{3}\; = \;0,333\;3 \ldots \;{\rm{et}}\;\frac{7}{{11}}\; = \;0,636\;363 \ldots \)).

Il est intéressant de constater que tous les nombres décimaux peuvent être exprimés sous forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Les puissances de 10 sont 1, 10, 100, 1000… (on inclut 1 comme puissance de 10, car, par définition, 10º= 1).

Exemples

\(5 = 5,0 = \frac{5}{1}\)

Puisque les nombres naturels sont tous des nombres entiers et que les nombres entiers sont tous des nombres décimaux, on peut représenter la relation entre les ensembles de nombres par le diagramme de Venn ci-dessous.

Note : Il n’existe pas d’ensemble de nombres à virgule. L’appellation nombre à virgule signifie simplement que l’expression du nombre contient une virgule. Ainsi, un nombre à virgule peut être un nombre décimal (par exemple, 0,45), un nombre périodique (par exemple, 0,333…) ou un nombre irrationnel (par exemple, 3,141 5…).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e la 6^e année, p. 42.

Connaissance : dixième

La virgule joue un rôle significatif dans la notation décimale. Elle sépare la partie entière de la partie décimale et, de ce fait, indique la position des unités.

3 lignes l’une à côté de l’autre ayant une virgule entre les 2 premières. Il y a une flèche indiquant la première ligne à gauche indiquant la position des unités.

La position des unités définit le tout en fonction duquel sont formés d’une part les dixièmes, les centièmes et les millièmes et d’autre part, les dizaines, les centaines et les milliers. On peut donc dire que l’unité, identifiée par la virgule, est au cœur du système décimal.

Cette reconnaissance du rôle de l’unité est mise en évidence par les préfixes des noms donnés à la valeur de position des chiffres de chaque côté de l’unité. Ainsi, les dixièmes représentent une quantité dix fois plus petite que l’unité.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 51.