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B2.9 Représenter et créer des rapports et des taux équivalents, à l’aide d’une variété d’outils et de modèles, dans divers contextes.

Habileté : représenter et créer des rapports et des taux équivalents

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Le raisonnement multiplicatif est un concept qui exige la capacité de traiter plusieurs idées ou quantités à la fois. L’idée est de voir les problèmes selon des valeurs relatives plutôt qu’absolues. Examinons le problème suivant : « Si le poids d’un chien passe de 5 kg à 8 kg et que celui d’un autre chien passe de 3 kg à 6 kg, quel est le chien qui a le plus engraissé? » Si l’élève aborde le problème du point de vue des valeurs absolues ou des additions, elle ou il peut avoir tendance à répondre que les 2 chiens ont pris autant de poids. Cependant, en se basant sur les valeurs relatives, l’élève peut affirmer que le 2^e chien a plus engraissé puisqu’il a doublé son poids de départ contrairement au 1^er, qui aurait dû atteindre 10 kg pour que sa prise de poids relative soit équivalente. Le tableau suivant illustre de manière visuelle les 2 réponses de ce problème. S’il est vrai que les 2 réponses peuvent se défendre, c’est sur la valeur relative (raisonnement multiplicatif) qu’il faut se baser pour appliquer un raisonnement proportionnel.

Pourquoi est-ce important? 

Il est difficile d’amener l’élève à passer d’un raisonnement additif à un raisonnement multiplicatif, d’où l’importance de débuter à un jeune âge. C’est la base même du programme-cadre de mathématiques de l’Ontario, de la 1^re à la 8^e année, qui comprend des idées importantes reliées entre elles comme la multiplication, la division, les fractions, les décimales, les rapports, les pourcentages et les relations linéaires. Il faut du temps, diverses situations d’apprentissage et toutes sortes d’occasions pour acquérir des connaissances de différentes façons.

Source : Qu’est-ce que le raisonnement proportionnel?, p. 5-6.

Un rapport est une comparaison entre 2 quantités de la même unité.

Un taux, tout comme un rapport, est aussi une comparaison entre 2 quantités, mais de différentes unités.

Les rapports sont présents dans le quotidien et dans plusieurs situations mathématiques, notamment dans les valeurs de position (par exemple le rapport entre les unités et les unités de mille est de \(1:\;\;\;1\;000\)), dans les fractions (par exemple \(\frac{2}{3}\) ou \(2 :\;\;\;3\)), dans les figures semblables (par exemple un agrandissement de \(1 :\;\;\;3\)), dans les nombres décimaux (par exemple le rapport entre les centièmes et les dixièmes est de \(10 :\;\;\;1\)), dans les unités de mesure du système métrique (par exemple le rapport entre les mètres et les millimètres est de \(1 :\;\;\;1\;000\)).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 54.

Taux

Exemple 1

J’achète 2 sacs de riz pour 10 $.

Je peux représenter ce taux de différentes façons :

• Par des mots — 2 sacs de riz coûtent 10 $.
• Comme une division — 2 sacs de riz/10 $.
• Comme une fraction — \(\frac{{{\rm{2 \;\; sacs \;\;\; de \;\;\; riz}}}}{{10\;\$ }}\).

À l’aide de la relation multiplicative, je peux déterminer le taux d’autres quantités de riz, c’est-à-dire des taux équivalents.

Pour 4 sacs de riz, le coût sera 20 $. 4 sacs c’est 2 fois plus que 2, donc le prix est 2 fois plus que 10 $.

Pour 10 sacs de riz, le coût sera 50 $. 10 sacs c’est 5 fois plus que 2, donc le prix est 5 fois plus que 10 $.

Je peux également déterminer le taux unitaire, soit le coût pour 1 sac de riz, à l’aide de la division.

Pour 1 sac de riz, le coût sera 5 $. 1 sac c’est 2 fois moins que 2, donc le prix est 2 fois moins que 10 $. Le taux unitaire est donc 5 $/1 sac de riz.

On peut représenter les taux équivalents dans une table de valeurs en mettant l’accent sur la relation multiplicative et non additive.

image Table de valeur du nombre de sacs de riz et du coût en dollars. 2 sacs de riz coûtent dix dollars. Si je divise par 2, on obtient, un sac pour 5 dollars. Si je multiplie par 2, on obtient 4 sacs pour 20 dollars. Si je multiplié par 5, on obtient dix sacs pour 50 dollars.

Les taux font partie de notre quotidien. On peut apporter les élèves à trouver différents exemples en lien avec les mesures (par exemple, je cours 12 km par heure, le vélo électrique roule à 35 km/heure, etc.) et les coûts (par exemple, 3 $ pour 12 pommes, 15 $/heure, etc.).

Les élèves peuvent résoudre des problèmes en représentant des relations multiplicatives comprenant des taux en utilisant des contextes familiers.

Exemple 2

Si tu reçois 24 $ pour 2 heures de travail, combien d’argent obtiens-tu pour 4 heures? L’élève doit donc observer que 4 heures c’est le double ou 2 fois plus que 2 heures donc le montant d’argent va également doubler, donc 48 $. Si on divise par 2, on peut trouver le taux unitaire, soit le montant d’argent reçu pour 1 heure de travail (12 $/heure).

On peut représenter ces relations dans une table de valeurs en mettant l’accent sur la relation multiplicative et non additive.

Dans cette table de valeurs, on peut également reconnaître qu’il existe une relation de proportionnalité entre le nombre d’heures travaillées et le montant d’argent reçu, soit × 12. Le coefficient de proportionnalité est de 12. On multiplie le nombre d’heures travaillées par 12 pour obtenir le montant d’argent reçu.

image Table de valeurs du nombre d’heures et de l’argent reçu en dollars. Si pour 2 heures on reçoit 24 dollars, on divise par 2, on obtient une heure pour 12 dollars.Si on multiplie par 2 on obtient, 4 heures pour 48 dollars, si multiplie à nouveau par 23, on obtient 8 heures pour 96 dollars. Le coefficient de proportionnalité est de 12.

La tableau de rapports peut être construit sans que les valeurs soient inscrites dans un ordre croissant ou sans que toutes les valeurs soient inscrites. Il est en effet parfois plus facile de trouver la solution au problème en utilisant la relation de proportionnalité comme le démontre l’exemple suivant.

Exemple 3

La vidéo montre l’utilisation d’un tableau de rapports pour déterminer des taux équivalents.

Exemple 4

Abdala achète des viandes froides en vue de faire des sandwichs pour le pique-nique de l’école. Chaque kilogramme de viande coûte 12 $ et permet de préparer 10 sandwichs. Quel sera le coût de la viande nécessaire à la préparation 25 sandwich?

Voici 2 façons différentes d’utiliser la relation de proportionnalité dans un tableau de rapports pour résoudre ce problème.

image Solution un :Table de valeurs du nombre de sandwichs et du coût en dollars. Dix sandwichs pour 12 dollars. Si on divise par 2 on obtient 5 sandwichs pour 6 dollars. Si je multiplie ces résultats par 5, on obtient 25 sandwichs pour 30 dollars.Solution 2 :Table de valeurs du nombre de sandwichs et le coût en dollars.Dix sandwichs pour 12 dollars, multiplié par 2, on obtient 20 sandwichs pour 24 dollars, ces résultats sont divisés par 4, on obtient 5 sandwichs pour 6 dollars. Donc pour 30 sandwichs coûtent 30 dollars.L’élève a déterminé que 20 sandwichs coûteront 24 dollars, et que 5 sandwichs coûteront 6 dollars. Ensuite, il conclut que le coût pour 25 sandwichs (parenthèse ouvrante) 20 plus 5 (parenthèse fermante) est de 30 dollars (parenthèse ouvrante) 24 plus 6 (parenthèse fermante).

Cette utilisation du tableau de rapports dans une situation de proportionnalité ne doit pas nécessairement être enseignée puisque les élèves, en situation de résolution de problèmes, peuvent la découvrir par eux-mêmes.

La droite numérique double met aussi en évidence des rapports qui permettent de résoudre un problème. Elle peut, par exemple, être employée à la place d’un tableau de rapports pour résoudre le problème précédent.

Les élèves situent ensuite sur la droite des rapports équivalant à celui donné dans le but de résoudre le problème. Elles et ils peuvent choisir les rapports en fonction de leurs besoins et de leur compréhension du problème. Voici 2 façons différentes de résoudre le problème à l’aide d’une droite numérique double.

Solution 1

image Une droite numérique, qui indique que zéro sandwich coût zéro dollar, 5 sandwichs coûtent 6 dollars, dix sandwichs coûtent 12 dollars, 25 sandwichs coûtent 30 dollars.L’élève situe sur la droite la moitié des quantités données, soit 5 sandwichs à 6 dollars, puis détermine que 25 sandwichs (parenthèse ouvrante) 5 fois 5 sandwichs (parenthèse fermante) correspondent à 30 dollars (parenthèse ouvrante) 5 fois 6 dollars (parenthèse fermante).

Solution 2

image L’élève situe sur la droite des quantités données, soit 20 sandwichs pour 24 dollars, puis la moitié des quantités données, soit 5 sandwichs pour 6 dollars. Il ou elle situe ensuite 25 sandwichs (parenthèse ouvrante) 5 sandwichs plus 20 sandwichs (parenthèse fermante) pour 30 dollars (parenthèse ouvrante 6 dollars plus 24 dollars (parenthèse fermante).Une droite numérique qui indique que zéro sandwich coût zéro dollar, 5 sandwichs coûtent 6 dollars, dix sandwichs coûtent 12 dollars, 20 sandwichs coûtent 24 dollars, 25 sandwichs coûtent 30 dollars.

La différence entre l’utilisation d’une table de valeurs et de la droite numérique double pour représenter une situation de proportionnalité réside dans l’ordre dans lequel sont placées les valeurs qui représentent des rapports. Sur une droite numérique double, les nombres sont placés en ordre croissant en suivant des intervalles constants, alors que dans la table de valeurs, ils sont placés selon l’ordre qui répond au raisonnement suivi pour résoudre la situation.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 52-53.

Rapports

Il y a une relation de proportionnalité entre 2 quantités lorsque ces quantités peuvent augmenter ou diminuer simultanément selon le même facteur.

Exemple 1

Pour permettre aux élèves de réaliser une activité, le personnel enseignant distribue des pailles comme suit :

• l’élève qui travaille seul reçoit 4 pailles;
• une équipe de 2 élèves reçoit 8 pailles;
• une équipe de 3 élèves reçoit 12 pailles.

Une étude de la régularité de cette relation permet de reconnaître que le nombre d’élèves et le nombre de pailles augmentent selon le même facteur (facteur de 2 pour 2 élèves, facteur de 3 pour 3 élèves). Il devient alors aisé de déterminer qu’un groupe de 6 élèves recevra 24 pailles (facteur de 6). La relation de proportionnalité entre le nombre d’élèves et le nombre de pailles peut être représentée par l’égalité entre 2 des rapports (par exemple, \(\frac{1}{4}\; = \;\frac{3}{{12}}\)). Une telle égalité entre 2 rapports s’appelle une proportion.

La situation suivante, en revanche, ne présente pas de relation de proportionnalité.

Exemple 2

Pour permettre aux élèves de réaliser une activité, le personnel enseignant distribue des pailles comme suit :

• l’élève qui travaille seul reçoit 5 pailles;
• une équipe de 2 élèves reçoit 9 pailles;
• une équipe de 3 élèves reçoit 13 pailles.

Dans cette situation, il est impossible d’établir une égalité entre 2 rapports (par exemple \(\frac{1}{5}\; \ne \;\frac{3}{{13}}\)).

L’analyse de relations de  proportionnalité s’effectue en appliquant un raisonnement proportionnel. Ce raisonnement intervient lors de la comparaison de 2 rapports entre eux et de la reconnaissance d’une relation multiplicative. À noter que les relations multiplicatives incluent l’opération de division, puisque toute division peut être transformée en multiplication (par exemple, diviser par 2 est l’équivalent de multiplier par \(\frac{1}{2}\)).

L’habileté à utiliser un raisonnement proportionnel se développe tout au long de l’apprentissage des mathématiques. Par exemple, le personnel enseignant demande aux élèves du cycle primaire de déterminer le nombre de morceaux que contiennent 3 tablettes de chocolat si une tablette contient 8 morceaux. Il s’agit d’une relation multiplicative puisque le nombre de morceaux est 8 fois plus grand que le nombre de tablettes (rapport de 8 à 1). Cependant, pour résoudre ce genre de problème, les élèves auront d’abord recours à l’addition répétée \(\left( {8\; + \;8\; + \;8} \right)\). Par la suite, lorsqu’elles et ils auront été exposés au concept de multiplication, elles et ils pourront le résoudre en multipliant \(\left( {8\; \times \;3} \right)\), ce qui constitue un premier pas vers l’utilisation d’un raisonnement proportionnel.

Les termes rapport et proportion, ainsi que les notations qui s’y rattachent (par exemple, \(2:\;\;\;3\)), font partie du programme-cadre de mathématiques au cycle moyen. De plus, elles et ils développent des stratégies pour résoudre algébriquement un problème impliquant une relation de proportionnalité. À partir de la 4^e année, l’étude des relations de proportionnalité porte sur la reconnaissance et sur la description de la relation multiplicative dans diverses situations de résolution de problèmes. Les élèves utilisent intuitivement le raisonnement proportionnel pour résoudre des problèmes impliquant 2 quantités qui sont dans un rapport de 1 à plusieurs (par exemple, 1 tablette pour 8 morceaux), de plusieurs à 1 (par exemple, 3 personnes par table) ou de plusieurs à plusieurs (par exemple, 2 litres de jus pour 5 personnes). Elles et ils utilisent aussi du matériel concret et divers modèles tels que des illustrations, des tables de valeurs ou des droites numériques.

Exemple 3 

Pour la journée d’athlétisme, les élèves de la classe de Mme Guérin préparent du jus pour les coureurs. Pour chaque contenant de jus concentré, il faut ajouter 3 contenants d’eau. Combien leur faudra-t-il ajouter de contenants d’eau à 4 contenants de jus concentré?

Solution à l’aide d’illustrations

Il faudra donc 12 contenants d’eau (\(4\; \times \;3\) contenants d’eau).

Solution à l’aide d’une table de valeurs

image Table de valeurs du nombre de contenants de jus et du nombre de contenants d’eau. Un contenant de jus pour 3 contenants d’eau. 2 contenants de jus pour 6 contenants d’eau. 3 contenants de jus pour 9 contenants d’eau. 4 contenants de jus pour 12 contenants d’eau. 5 contenants de jus pour 15 contenants d’eau. Le coefficient de proportionnalité est de « fois 3. »

Dans une table de valeurs qui représente une situation de proportionnalité, les rapports entre les quantités correspondantes sont équivalents. Dans l’exemple précédent, on reconnaît aisément la relation multiplicative par 3 (coefficient de proportionnalité) entre le nombre de contenants de jus et le nombre de contenants d’eau. De plus, cette table de valeurs permet d’établir des proportions (par exemple \(\frac{1}{3}\; = \;\frac{4}{{12}}\)).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 49-51.

Connaissance : rapports

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Relation entre 2 grandeurs exprimées sous la forme du quotient des nombres qui les caractérisent.

Par exemple, dans l’ensemble de 5 billes ci-dessus,

• il y a un rapport de 2 à 3 (\(\frac{2}{3}\;\;\;{\rm{ou}}\;\;\;{\rm{2}}\;\;{\rm{:}}\;\;{\rm{3}}\)) entre le nombre de billes blanches et le nombre de billes bleues. (rapport partie : partie)
• il y a un rapport de 2 à 5 (\(\frac{2}{5}\;\;\;{\rm{ou}}\;\;\;{\rm{2}}\;\;{\rm{:}}\;\;5\)) entre le nombre de billes blanches et le nombre total de billes. Ceci peut être interprété comme \(\frac{2}{5}\) des billes sont blanches. (rapport partie : tout)

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 49.

Connaissance : rapports équivalents

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Lorsque 2 rapports peuvent augmenter ou diminuer simultanément selon le même facteur.

Exemple 

Le rapport \(3:\;\;\;5\) ou est équivalent au rapport \(6:\;\;\;10\) ou en multipliant les termes par le même facteur de 2.

Note : Des rapports équivalents se déterminent de la même façon que des fractions équivalentes, c’est-à-dire en multipliant ou en divisant chaque terme (ou partie) du rapport par le même facteur ou diviseur. Si la valeur d’un terme (ou partie) d’un rapport est modifiée, il y aura un effet direct sur celui-ci.

Source : En avant, les maths!, 5^e année, CM, Nombres, p. 2.

Connaissance : coefficient de proportionnalité

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2 grandeurs sont proportionnelles si la valeur de l’une s’obtient en multipliant ou en divisant la valeur de l’autre par un même nombre.

image Table de valeurs du nombre d’élèves et du nombre de souliers.Pour 4 élèves il y a 8 souliers.Pour 6 élèves il y a 12 souliers.Pour 9 élèves il y a 18 souliers.Pour 15 élèves il y a 30 souliers.Le coefficient de proportionnalité est de « fois 2 ».

Source : En avant, les maths!, 5^e année, CM, Nombres, p. 2.

Connaissance : tableau de rapports

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Modèle pouvant être utilisé pour développer une compréhension de la multiplication, des fractions équivalentes, de la division et du raisonnement proportionnel.

 

Source : En avant, les maths!, 5^e année, CM, Nombres, p. 2.

Connaissance : taux

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Un taux décrit la relation entre 2 quantités exprimées avec des unités différentes (par exemple, des objets avec des dollars ou des kilomètres avec des heures).

Source : En avant, les maths!, 4^e année, CM, Nombres, p. 2.

Connaissance : taux équivalents

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Taux qui représente le même rapport entre 2 quantités ou mesures.

Exemple 

Si 12 biscuits ont été mangés par 4 personnes, le taux serait de 12 biscuits pour 4 personnes et un taux équivalent serait de 6 biscuits pour 2 personnes.

Note : Des taux équivalents se déterminent de la même façon que des fractions équivalentes, c’est-à-dire en multipliant ou en divisant chaque terme (ou partie) du taux par le même facteur ou diviseur. Si la valeur d’un terme (ou partie) d’un taux est modifiée, il y aura un effet direct sur celui-ci (par exemple, si le prix des bananes par kilogramme est modifié, alors cela entraînera une répercussion sur le coût total de l’achat).

Source : En avant, les maths!, 5^e année, CM, Nombres, p. 3.

Connaissance : taux unitaire

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Taux dont le 2^e terme du rapport est 1.

Exemple

3 biscuits pour 1 personne.

Source : En avant, les maths!, 5^e année, CM, Nombres, p. 3.