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Un remaniement des guides d'enseignement efficace en mathématiques

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B1.7 Effectuer des conversions entre des fractions, des nombres décimaux et des pourcentages, dans divers contextes.

Habileté : effectuer des conversions entre des fractions, des nombres décimaux et des pourcentages

Pour bien développer le sens du nombre, il est important que les élèves se forment des images des quantités représentées par les nombres. Dans le cas des nombres décimaux, les lire correctement permet de s’en faire une meilleure représentation mentale et de faire appel à leurs connaissances des fractions (par exemple, 0,75 se lit « 75 centièmes » et non pas « 0 virgule 75 »). Il faut inciter les élèves à utiliser plusieurs modèles pour favoriser la création de diverses représentations mentales et ainsi pour décrire les relations entre les fractions et les nombres décimaux.

Image L’équivalence un sur dix ou zéro virgule un s’accompagne de l’image d’une rangée de dix cubes, neuf sont verts et un est rouge. L’équivalence 75 sur cent ou zéro virgule 75 s’accompagne d’une grille de cent unités, où 75 sont rouges et 25 sont blancs.

Lors de la représentation de nombres décimaux à l’aide de modèles, il y a une adaptation à faire, car ces mêmes modèles étaient utilisés jusqu’alors pour représenter d’autres concepts (par exemple, la languette représentait une dizaine de cubes). Les élèves doivent comprendre que l’unité a changé. Dans le 1er des 2 exemples précédents, c’est l’objet au complet qui représente l’unité (le tout); dans le 2e, c’est le grand carré au complet qui représente l’unité (le tout).

Les élèves doivent aussi se former une représentation mentale de nombres décimaux supérieurs à un. À la lecture d’un tel nombre décimal, elles et ils doivent se représenter mentalement la quantité qu’il représente en interprétant les 2 parties qui le composent : la partie entière et la partie décimale. Par exemple, elles et ils doivent reconnaître que le nombre 8,24 représente 8 entiers et une partie d’un autre entier identique. Elles et ils peuvent alors visualiser une quantité entre 8 et 9.

Exemples

Image Une image montre deux ensembles de quatre cercles blancs et un quart de cercle blanc. À côté, il y a une ligne graduée d’un huit et d’un neuf; une flèche pointe légèrement à droite de huit.

Avec le temps, les élèves sont en mesure de se représenter mentalement la quantité en tenant compte du contexte. Par exemple, dans une situation où il est question d’un article qui coûte 197,98 $, l’élève qui reconnaît que 197,98 $ c’est un peu plus que 197 $ peut ensuite visualiser ou concevoir que, dans ce contexte, le montant de 197,98 $ peut être représenté approximativement par 10 billets de 20 $.

Les élèves doivent être capables de se créer une représentation mentale d’un pourcentage, comme elles et ils le font pour les nombres décimaux. La nature même du pourcentage leur permet de visualiser plus facilement une quantité, car il s’agit toujours d’un rapport avec 100. Il faut aussi bien comprendre qu’un pourcentage est une autre façon de représenter une quantité.

Exemple

Image Une grille de cent unités possède 12 unités rouges et le reste en blanc. Sous la grille il est écrit : douze pourcent égale zéro virgule douze égale douze sur cent.

Repères

Les représentations mentales utilisées par les élèves sont renforcées par l’utilisation de repères. De façon générale, un repère est un élément de référence. Les repères utilisés pour l’étude des nombres décimaux et des pourcentages ressemblent à ceux employés pour l’étude des fractions. En créant des liens entre les nombres décimaux, les pourcentages et les repères fractionnaires, les élèves approfondissent leur sens du nombre.

Le tableau ci-après présente quelques repères qui devraient faire partie du bagage des élèves.

Repères pour les fractions, les pourcentages et les nombres décimaux

≈ : symbole mathématique signifiant « est à peu près égal à »

Fraction Pourcentage Nombre décimal Exemple de représentation mentale
\(\frac{1}{{10}}\) 10 % 0,1 Dans une grille de 100 unités, dix carrés sont rouges tandis que tous les autres sont blancs.
\(\frac{1}{4}\) 25 % 0,25 Un quart d’un cercle est rouge tandis que le reste est blanc.
\(\frac{1}{3}\) \( \approx \;0,33\;\% \) \( \approx \;0,33\; \) Un rectangle est séparé en deux parties qui font respectivement un tiers, en rouge, et deux tiers, en blanc.
\(\frac{1}{2}\) 50 % 0,5 Sur douze jetons, six sont bleus et six sont blancs.
\(\frac{2}{3}\) \( \approx \;67\;\% \) \( \approx \;0,67 \) Trois rangées de trois cercles sont présentées. Les deux premières rangées ont des cercles rouges tandis que l’autre a des cercles blancs.
\(\frac{3}{4}\) 75 % 0,75 Un cercle est séparé en deux parties qui font respectivement trois quarts et un quart.
1 100 % 1,00

 Voici un rectangle complètement rouge.

Ces repères, ainsi que les liens entre les fractions, les pourcentages et les nombres décimaux favorisent l’approfondissement du sens du nombre et s’avèrent fort utiles en situation de résolution de problèmes. L’habileté à passer d’une notation à une autre est avantageuse, car elle permet d’utiliser celle qui répond le mieux aux besoins du moment. Par exemple, un client qui veut calculer un rabais de 50 % sur le prix d’un article peut aisément le faire s’il reconnaît que 50 % équivalent à la moitié (\(\frac{1}{2}\)).

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 36-40.

Relation d’égalité

Il est important de reconnaître l’égalité entre les diverses représentations des nombres ou des expressions numériques. Dans le cadre des nombres décimaux, les élèves doivent reconnaître l’égalité entre un nombre décimal, la fraction décimale correspondante et le pourcentage.

Les élèves doivent comprendre que puisque la notation décimale n’est qu’une autre façon de représenter une fraction décimale, il est alors possible d’établir une relation d’égalité entre les 2 notations (par exemple, \(0,3\; = \;\frac{3}{{10}}\)). En reconnaissant cette égalité, elles et ils sont en mesure d’associer une valeur de position à chacune des décimales qui composent un nombre décimal, par exemple, les dixièmes, les centièmes et les millièmes.

Exemple

Image Première équation : trois sur dix égale zéro virgule trois. En dessous, le mot « dixièmes » pointe avec des flèches vers le dénominateur et vers le trois de zéro virgule trois. Deuxième équation : sept sur cent égale zéro virgule zéro sept. En dessous, le mot « centièmes » pointe avec des flèches vers le dénominateur et vers le sept de zéro virgule zéro sept.


Les élèves qui n’ont pas compris cette association sont parfois portés à représenter une fraction telle que \(\frac{2}{5}\) par 0,2 ou 0,25. La description ci-après décrit des comportements observables d’élèves ayant acquis une compréhension conceptuelle des nombres et du lien entre leurs différentes représentations.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 46.

Compréhension conceptuelle des nombres

Nombre : 0,3

Comportements observables :

  • L’élève peut en faire la lecture (3 dixièmes).
  • L’élève peut écrire le nombre en notation fractionnaire, soit \(\frac{3}{{10}}\).
  • L’élève peut représenter le nombre à l’aide de matériel concret ou semi-concret.

Exemple

Un long rectangle mince est divisé en dix parties égales. Les trois premières sont rouges tandis que les sept autres sont blanches.

Nombre : \(\frac{{16}}{{100}}\)

Comportements observables :

  • L’élève peut en faire la lecture (16 centièmes).
  • L’élève peut écrire le nombre en notation décimale, soit 0,16.
  • L’élève peut représenter le nombre à l’aide de matériel concret ou semi-concret.

Exemple

Une grille de cent unités de points montre 16 points violets et les autres en noir.


Nombre : \(\frac{2}{7}\)

Comportements observables :

  • L’élève peut en faire la lecture (2 septièmes).
  • L’élève sait que la fraction \(\frac{2}{7}\) n’est pas représentée par 0,2 puisqu’elle ou il sait que \(0,2\; = \;\frac{2}{{10}}\).

Pour établir la relation d’égalité entre une fraction dont le dénominateur n’est pas une puissance de 10 (par exemple, \(\frac{1}{4}\)) et le nombre décimal correspondant, il est nécessaire de recourir au concept de fractions équivalentes. Par exemple, les élèves peuvent utiliser des bandes d’égales longueurs telles qu’illustrées ci-dessous pour constater que \(\frac{1}{4}\) se situe entre \(\frac{2}{{10}}\) et \(\frac{3}{{10}}\).

Image Deux longs rectangles minces de longueur égale sont placés l’un sous l’autre en étant vis-à-vis. Le premier rectangle est divisé en quatre parties égales. La première partie est rouge tandis que les trois autres sont blanches. Le deuxième rectangle est divisé en dix parties égales, toutes blanches.

Elles et ils peuvent ensuite subdiviser les dixièmes en 10 parties égales, créant ainsi 100 parties égales, soit des centièmes du tout et reconnaître que \(\frac{{25}}{{100}}\) est une fraction équivalente à \(\frac{1}{4}\).

Image Deux longs rectangles minces de longueur égale sont placés l’un sous l’autre en étant vis-à-vis. Le premier rectangle est divisé en quatre parties égales. La première partie est rouge tandis que les trois autres sont blanches. Le deuxième rectangle est divisé en cent parties égales. Des lignes plus foncées séparent les groupes de dix. Une ligne rouge se trace à la vingt-cinquième part, vis-à-vis la fin de la partie rouge du rectangle du haut.

Puisque \(\frac{{25}}{{100}}\; = \;0,25\), elles et ils peuvent conclure que la fraction \(\frac{1}{4}\) peut aussi être représentée en notation décimale par 0,25 (\(\frac{1}{4}\; = \;\frac{{25}}{{100}}\; = \;0,25\)). Ce genre d’exemple permet aux élèves de reconnaître que toutes les fractions qui peuvent être exprimées par une fraction décimale équivalente peuvent être représentées par un nombre décimal. C’est le cas notamment des fractions exprimées en demis, en quarts, en cinquièmes et en vingtièmes comme le démontre le tableau suivant.

Fraction Fraction décimale équivalente Nombre décimal
\(\frac{1}{2}\) \(\frac{5}{10}\) \(0,5\)
\(\frac{3}{4}\) \(\frac{{75}}{{100}}\) \(0,75\)
\(\frac{2}{5}\) \(\frac{4}{{10}}\) \(0,4\)
\(\frac{7}{{20}}\) \(\frac{35}{{100}}\) \(0,35\)

Note : Certaines fractions (par exemple, \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{5}{{11}}\)) ne peuvent être représentées par une fraction décimale équivalente. Ces fractions ne sont donc pas des nombres décimaux. Elles peuvent cependant être exprimées par des nombres à virgule ayant une partie décimale périodique (par exemple, \(\frac{2}{3}\; = \mathop 0,{\overline {6} } \); \(\frac{3}{7}\; = \mathop 0,{\overline {428\;571} } \); \(\frac{5}{{11}}\; = \; \mathop 0,{\overline {45} } \)) en divisant le numérateur par le dénominateur.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 46-48.

On sait qu’un nombre décimal représente une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (par exemple, \(0,3\; = \frac{3}{{10}}\); \(0,47\; = \frac{{47}}{{100}}\)). Le concept de pourcentage étant intimement lié au concept de fraction, il n’y a qu’un pas à faire pour relier le pourcentage, le nombre décimal et la fraction décimale. À la fin du cycle moyen, les élèves qui ont acquis un bon sens du nombre peuvent passer d’une notation à une autre sans difficulté.

Exemple

Image Nombres disposés en forme de triangle. En haut, 15 pourcent, en bas à gauche, zéro virgule 15, et en bas à droite, 15 sur cent. Ils sont tous reliés entre eux par des flèches à double sens.

Pour aider les élèves à développer cette habileté, il faut régulièrement les inviter à exprimer leurs réponses en utilisant une autre notation. Par exemple, le personnel enseignant peut inciter l’élève qui a répondu que \(\frac{3}{4}\) des jeunes de la classe ont les cheveux noirs à exprimer aussi cette réponse en notation décimale (0,75) et en pourcentage (75 %).

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 50-51.

Connaissance : pourcentage

Le pourcentage est une façon particulière de présenter une fraction. Il est souvent employé dans la vie courante. Une expression numérique comme 30 % (qui se lit « 30 pour cent ») est en réalité une autre notation du nombre 30 centièmes, soit \(\frac{{30}}{{100}}\) ou 0,30. Afin de faciliter la compréhension du concept de pourcentage, il faut d’abord amener les élèves à établir le lien entre le pourcentage et la fraction dont le dénominateur est 100, et ce, à l’aide de matériel concret ou semi-concret.

Exemple

À côté de l’équation trente pourcent égale trente sur cent, il y a une grille de cent unités où les trois premières rangées de dix carrés sont rouges, et le reste est blanc.

Les élèves doivent aussi réaliser qu’un pourcentage représente un rapport à 100 (par exemple, 30 % représentent le rapport 30 : 100). Il est important de souligner qu’un résultat exprimé en pourcentage ne signifie pas que la quantité en question est nécessairement composée de 100 parties, comme expliqué dans le tableau suivant.

Lien entre le pourcentage et la quantité 100

Représentation Pourcentage Notes pédagogiques
Quatre jetons placés deux par deux. Les trois premiers sont verts tandis que le dernier est blanc. Voici une grille de vingt jetons par dix jetons. Les 15 premières colonnes de dix jetons sont vertes tandis que le reste est blanc.

75 % des cercles sont verts. Même si 75 % des cercles sont verts, cela ne veut pas dire qu’il y a 100 cercles dans l’ensemble. Cependant, s’il y avait 100 cercles, il y aurait 75 cercles verts. De plus, la fraction des cercles qui sont verts est équivalente à \(\frac{{75}}{{100}}\)(par exemple, \(\frac{3}{4}\; = \;\frac{{75}}{{100}}\) et \(\frac{{150}}{{200}}\; = \;\frac{{75}}{{100}}\)).

Image Un rectangle de 50 mètres par 80 mètres est découpé en deux parties égales sur la largeur : une partie verte et une partie blanche. Ces deux dernières mesurent respectivement 2 000 mètres carrés ainsi que 50 mètres par 40 mètres.

50 % du terrain est recouvert de pelouse. Même si 50 % du terrain est recouvert de pelouse, on ne peut pas affirmer que le terrain a une aire de 100 m2. Mais on peut affirmer que pour chaque 100 m2 de terrain, 50 m2 sont recouverts de pelouse. Ainsi, \(\frac{{2\;000}}{{4\;000}}\; = \;\frac{1}{2}\; = \;\frac{{50}}{{100}}\; = \;50\;\% \).

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 34-35.