E2.5 Utiliser les relations entre l'aire des rectangles, des parallélogrammes et des triangles afin de développer des formules pour l'aire d'un parallélogramme et d'un triangle, et résoudre des problèmes connexes.
ACTIVITÉ 1 : L'AIRE DU PARALLÉLOGRAMME
But : Cette activité permet de développer la formule pour calculer l'aire de la surface du parallélogramme.
Matériel
- parallélogrammes en carton de dimensions différentes (voir Annexe 2)
- grille quadrillée métrique photocopiée sur un transparent (voir Annexe 4)
- règles graduées en centimètres
- ciseaux et ruban gommé
- petits cubes du matériel de base 10 ou réglettes CuisenaireMC blanches
Marche à suivre
Grouper les élèves en équipes de deux.
Remettre à chaque équipe deux différents parallélogrammes en carton.
Demander aux élèves d'utiliser le matériel à leur disposition pour trouver l'aire de la surface du parallélogramme qu'elles et ils ont entre les mains.
Circuler pour voir les différentes stratégies utilisées.
Demander à quelques équipes de présenter leur stratégie au groupe-classe :
- la grille quadrillée;
- le découpage pour former un rectangle.
Poser aux élèves des questions comme :
- Quelle est l'unité de mesure que vous avez utilisée pour mesurer l'aire de la surface du parallélogramme?
- Combien d'unités de mesure recouvrent entièrement le parallélogramme?
- Combien de carrés (cubes) entrent sur la base du parallélogramme?
- Combien de carrés (cubes) entrent sur la hauteur du parallélogramme?
- Quelles sont les dimensions du parallélogramme?
- Quelle est la relation entre les dimensions du parallélogramme et l'aire de sa surface?
- Comment écririez-vous le calcul de l'aire de la surface du parallélogramme?
Note importante : À ce moment précis, mettre l'accent sur la façon de calculer l'aire de la surface d'un parallélogramme qui peut facilement être transformé, par découpage, en un rectangle de mêmes dimensions. Ce calcul se fait alors par itération de l'unité de mesure, soit la quantité d'unités de mesure sur la base multipliée par la quantité d'unités de mesure sur la hauteur, multipliées par l'unité de mesure choisie.
Exemple : 3 unités sur la base × 2 unités sur la hauteur × l'unité de mesure utilisée (1 cm2) ou 3 × 2 × 1 cm2 ou 6 cm2.
- Comment calcule-t-on l'aire de la surface d'un parallélogramme ayant une base de 7 cm et une hauteur de 3 cm?
- Quelle est la mesure de l'aire de la surface d'un parallélogramme ayant une base de 7 cm et une hauteur de 3 cm?
- Quelle est la mesure de l'aire de la surface d'un parallélogramme ayant une base de … cm et une hauteur de … cm?
- Complète la phrase ci-dessous pour un parallélogramme ayant une base de … cm et une hauteur de … cm.
Pour calculer l'aire de la surface d'un parallélogramme, il faut : _______________________________.
Concepts que l'élève doit comprendre au terme de cette activité :
Puisqu'un parallélogramme peut être transformé en un rectangle, alors la formule pour calculer l'aire de sa surface est la même que celle du rectangle.
La formule de l'aire de la surface d'un parallélogramme est exprimée par \(A = b \times h\), où b représente la longueur de la base et h, la hauteur du parallélogramme.
Source : L’@telier - Ressources pédagogiques en ligne (atelier.on.ca), p. 3-4.
ACTIVITÉ 2 : L'AIRE DU TRIANGLE
But : Cette activité permet à l'élève de développer la formule pour calculer l'aire de la surface du triangle.
Matériel
- triangles rectangles en carton de dimensions différentes (voir Annexe 3)
- grille quadrillée métrique photocopiée sur un transparent (voir Annexe 4)
- règles graduées en centimètres
- ciseaux et ruban gommé
- petits cubes du matériel de base 10 ou réglettes CuisenaireMC blanches
Marche à suivre
Grouper les élèves en équipes de deux.
Remettre à chaque élève deux triangles rectangles identiques.
Demander aux élèves d'utiliser le matériel à leur disposition pour trouver l'aire de la surface de l'un des triangles qu'elles et ils ont entre les mains.
Circuler pour voir les différentes stratégies utilisées.
Demander à quelques équipes de présenter leur stratégie au groupe-classe :
- la grille quadrillée;
- le collage pour former un rectangle.
Poser aux élèves des questions comme :
- Quelle est l'unité de mesure que vous avez utilisée pour mesurer l'aire de la surface du triangle?
- Combien d'unités de mesure recouvrent entièrement deux triangles formant un rectangle?
- Combien de carrés (cubes) entrent sur la base du triangle?
- Combien de carrés (cubes) entrent sur la hauteur du triangle?
- Quelles sont les dimensions du triangle?
- Quelle est la relation entre les dimensions du triangle et l'aire de sa surface?
- Comment écririez-vous le calcul de l'aire de la surface du triangle?
Note importante : À ce moment précis, mettre l'accent sur la façon de calculer l'aire de la surface d'un triangle qui peut facilement être transformé, par collage, en un rectangle de même dimension. Ce calcul se fait alors par itération de l'unité de mesure et par une division par deux, étant donné qu'il faut deux triangles pour former un rectangle, soit la quantité d'unités de mesure sur la base multipliée par la quantité d'unités de mesure sur la hauteur multipliée par l'unité de mesure choisie, le tout divisé par deux.
Exemple
ou
\(\frac{3 \times 2 \times 1 \ cm^{2}}{2} = \frac{6 \ cm^{2}}{2}\) ou \(3 \ cm^{2}\).
- Comment calcule-t-on l'aire de la surface d'un triangle ayant une base de 7 cm et une hauteur de 3 cm?
- Quelle est la mesure de l'aire de la surface d'un triangle ayant une base de 7 cm et une hauteur de 3 cm?
- Quelle est la mesure de l'aire de la surface d'un triangle ayant une base de … cm et une hauteur de … cm?
- Complète la phrase ci-dessous pour un triangle ayant une base de … cm et une hauteur de … cm.
Pour calculer l'aire de la surface d'un triangle, il faut : ________________________.
Concepts que l'élève doit comprendre au terme de cette activité :
Puisque deux triangles rectangles congruents peuvent être transformés en un rectangle, alors la formule pour calculer l'aire de la surface d'un seul triangle est la même que celle du rectangle, divisée par deux.
La formule de l'aire de la surface du triangle est exprimée par \(A = \frac{b \times h}{2}\) , où b représente la longueur de la base et h, la hauteur du triangle.
Activité d'enrichissement
Inviter les élèves à reprendre la même marche à suivre, mais cette fois en utilisant des triangles obtusangles. En se servant de deux triangles obtusangles congruents, les élèves peuvent former un parallélogramme, lequel peut être transformé en un rectangle. Elles et ils peuvent donc conclure que l'aire de la surface de tout triangle est calculée au moyen de la même formule.
Source : L’@telier - Ressources pédagogiques en ligne (atelier.on.ca), p. 5-6.