E2.3 Résoudre des problèmes associés au périmètre, à la circonférence, à l’aire, au volume et à l’aire totale de figures planes composées et de solides, en utilisant des formules appropriées.
HABILETÉ : RÉSOUDRE DES PROBLÈMES ASSOCIÉS À DIFFÉRENTS ATTRIBUTS DE FIGURES PLANES COMPOSÉES ET DE SOLIDES, EN UTILISANT DES FORMULES APPROPRIÉES
Les figures planes et les solides peuvent être composés et décomposés en parties mesurables.
La propriété d’additivité s’applique aux attributs de la longueur (y compris la distance, le périmètre et la circonférence), de l’aire (y compris l’aire totale) et du volume (y compris la capacité). Les mesures des parties d’un ensemble peuvent être combinées pour trouver la mesure de l’ensemble.
Les relations de certains attributs et de certaines figures peuvent être exprimées en formules. Pour appliquer ces formules à des figures et à des solides composés, les figures et les solides doivent être décomposés en parties « familières » dont les formules sont connues. Ainsi, une aire en forme de « L » peut être décomposée en deux rectangles, et ces deux aires plus petites peuvent être additionnées pour calculer l’aire totale.
Il faut faire preuve de jugement et de réflexion pour appliquer des formules dans le cadre de la vie de tous les jours. Par exemple, pour appliquer la formule de l’aire d’un rectangle à un jardin, il faut :
- déterminer d’abord si le jardin est de forme rectangulaire;
- si ce n’est pas le cas, déterminer si le jardin peut être divisé en de plus petits rectangles et s’il est possible d’en combiner les aires.
Source : Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.
La mesure et la géométrie
« Pour assurer un apprentissage en mesure, il est primordial d’établir des liens avec les concepts géométriques. La géométrie décrit des formes à deux et à trois dimensions, des êtres vivants et des objets inanimés que l’on peut mesurer. Puisqu’il existe de nombreuses relations entre le domaine de la géométrie et celui de la mesure, une bonne compréhension en géométrie influence la compréhension en mesure, et vice-versa. » [traduction libre]
(Florida Department of Education, 2011. © Florida Department of Education, 2019. Relating Geometry to Measurement – Tous droits réservés.).
La mesure et la géométrie sont au cœur de nos activités journalières et, par le fait même, elles nous aident à comprendre le monde qui nous entoure. L’observation et la description d’un objet nécessitent de maîtriser des concepts liés à ces deux domaines. Les applications de la mesure en géométrie sont nombreuses et variées, que ce soit pour expliquer la forme d’une bulle de savon, déterminer la popularité d’une page Web ou estimer la population dans certaines circonscriptions. Mesurer implique de rendre explicite les conjectures formulées au moment de la résolution de problèmes; par exemple, pour déterminer l’importance d’une page Web, il suffit de se fier au nombre de liens associés à d’autres pages Web. L’utilisation de mesures en géométrie aide à déterminer une longueur, une aire ou un volume inconnu en se servant de mesures connues de représentations de figures à deux et à trois dimensions. Les mesures peuvent être calculées à partir d’attributs tels que la longueur des côtés, l’aire des faces ou les coordonnées d’une figure dans un plan cartésien.
- Pour construire et mesurer le périmètre ou l’aire de figures planes complexes (composées), les élèves doivent avoir l’occasion de décomposer des figures ou de réorganiser les parties de figures en d’autres figures simples telles que des cercles ou des polygones.
- Pour calculer le périmètre, l’aire ou le volume de solides, les élèves doivent réaliser des activités leur permettant de décomposer des solides et de les réorganiser en construisant des sphères, des cônes, des pyramides ou des prismes et même en assemblant autrement des parties de solides. Des activités d’estimation de mesures de solides fournissent aux élèves une stratégie utile pour calculer les dimensions de solides irréguliers.
Exemple
« Le volume du prisme A est le même que celui du prisme B, car si on décompose le prisme A en deux prismes identiques et qu’on les superpose, on obtient le prisme B »
(ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2010c, p. 136).
Image Les prismes « A » et « B » sont à base rectangulaire, ils sont faits en papier, puis ils sont
représentés avec des cubes emboitables de grosseurs semblables.Une version de chaque prisme semblable est placée l’une
à côté de l’autre.
En somme, certains concepts essentiels appuient l’apprentissage de la mesure intégrée à la géométrie.
- Calculer l’aire et le volume d’une forme géométrique en la décomposant en formes géométriques plus simples ou en réorganisant ses parties.
- Estimer des mesures à l’aide de différents outils, y compris la technologie, appuie le développement du sens de la mesure.
- Calculer le périmètre, l’aire ou le volume de l’image d’une figure connue à la suite d’une transformation, en utilisant des rapports et des proportions.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 54 à 55.
CONNAISSANCE : PÉRIMÈTRE, CIRCONFÉRENCE, AIRE, VOLUME
À ce niveau d’étude, les formules de longueur connues incluent, notamment :
- Périmètre = côté + côté + côté +…
- Diamètre = 2 × rayon (2r)
- Circonférence = π × diamètre (πd)
À ce niveau d’étude, les formules d’aire connues incluent, notamment :
- Aire d’un rectangle = base × hauteur
- Aire d’un parallélogramme = base × hauteur
- Aire d’un triangle = \(\frac{1}{2}\) base × hauteur
- Aire d’un trapèze = \(\frac{1}{2}\) (base 1 + base 2) × hauteur (ou son équivalent)
- Aire d’un cercle = π × rayon × rayon (πr2)
À ce niveau d’étude, les formules de volume connues incluent, notamment :
- Volume d’un prisme = (aire de la base) × hauteur
- Volume d’un cylindre = (aire de la base) × hauteur
Source : Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.