À vue d'oeil...

C2.3 Déterminer et utiliser des relations d’équivalence comprenant des nombres naturels jusqu’à 50, dans divers contextes.

Activité 1 : exploration de propriétés

---

Explorer la propriété de commutativité

Demander aux élèves de fabriquer un collier en enfilant 5 perles rouges et 2 perles bleues, puis leur suggérer d’écrire la phrase mathématique correspondante.

5 + 2 = 7

Demander aux élèves de tourner le collier et d’écrire la phrase mathématique correspondante.

2 + 5 = 7

Proposer ensuite aux élèves de comparer les deux phrases mathématiques et de répondre aux questions suivantes :

• Que remarquez-vous au sujet de l’ordre des perles?
• Que remarquez-vous au sujet de la quantité de perles?
• Pourquoi la quantité est-elle la même dans les deux cas?
• Changez la quantité de perles sur le collier et écrivez deux phrases mathématiques. Comparez les phrases mathématiques. Que remarquez-vous?
• Si vous suivez la même démarche en utilisant une grande quantité de perles sur le collier, comme 10, 30 ou 50, que pouvez-vous affirmer au sujet des situations d’égalité que vous observez?

Note : Refaire l’activité en demandant aux élèves de se déplacer pour observer le collier dans l’autre direction au lieu de le tourner.

Explorer le rôle du nombre 0 dans l’addition

Présenter six jouets aux élèves et leur demander de les dénombrer. Recouvrir les jouets d’un tissu et préciser que vous allez ajouter un nombre mystère de jouets.

Faire semblant d’ajouter des jouets, mais ne rien ajouter. Retirer le tissu et poser les questions suivantes :

• Combien y a-t-il de jouets maintenant?
• Combien de jouets ai-je ajoutés?

Demander aux élèves d’écrire une phrase mathématique qui représente la situation \(6 + 0 = 6\).

Refaire l’activité en ajoutant 6 jouets à 0 jouet afin de représenter \(0 + 6 = 6\).

Faire remarquer aux élèves que, puisque \(6 + 0 = 6\) et que \(0 + 6 = 6\), on peut conclure que \(6 + 0 = 0 + 6\) et faire le lien avec la propriété de commutativité de l’addition.

Encourager les élèves à proposer une conjecture sur le rôle du nombre 0 dans une addition, puis poser des questions telles que :

• Pourriez-vous appliquer votre conjecture à d’autres nombres? Essayez-le.
• Pourriez-vous appliquer votre conjecture à tous les nombres? Pourquoi?

Explorer le rôle du nombre 0 dans la soustraction

Présenter 8 jouets aux élèves et leur demander de les dénombrer. Recouvrir les jouets d’un tissu et préciser aux élèves que vous allez enlever un nombre mystère de jouets.

Faire semblant d’enlever des jouets, mais ne rien enlever. Retirer le tissu et poser les questions suivantes :

• Combien y a-t-il de jouets maintenant?
• Combien de jouets ai-je enlevés?

Demander aux élèves d’écrire une phrase mathématique qui représente la situation \(8 \ – \ 0 = 8\).

Encourager les élèves à proposer une conjecture sur le rôle du nombre 0 dans une soustraction, puis poser des questions telles que :

• Pourriez-vous appliquer votre conjecture à d’autres nombres? Essayez-le.
• Pourriez-vous appliquer votre conjecture à tous les nombres? Pourquoi?

Note : Les parenthèses sont utilisées pour assurer l’exactitude mathématique du message. Cependant, avec les élèves du cycle primaire, il est préférable de s’en tenir à des façons moins abstraites de mettre en évidence les regroupements.

Exemple

Activité 2 : utilisation de stratégies visant à développer la pensée algébrique

---

Ajouter un nombre mystère

Demander aux élèves de construire, en équipes de deux, chacune ou chacun une tour avec six cubes emboîtables, puis leur poser la question suivante : Que remarquez-vous en observant les deux tours? (Les tours ont la même hauteur et le même nombre de cubes.)

Leur demander d’ajouter, au choix, un certain nombre de cubes aux tours tout en s’assurant de maintenir l’égalité.

Demander à chaque équipe d’expliquer la façon dont elle a maintenu l’égalité. Écrire ensuite leurs réponses dans un tableau.

Exemple 1

Demander aux élèves d’analyser les données et attirer leur attention sur le fait que la même quantité doit être ajoutée à chacune des tours pour que l’égalité soit maintenue. Leur faire remarquer que cette constatation est vraie pour toutes les quantités ajoutées.

Leur demander de vérifier s’il est possible d’ajouter une quantité à une seule tour et de maintenir l’égalité. Leur faire remarquer que l’égalité se maintient uniquement si rien n’est ajouté (0 cube).

Demander à une ou à un élève de chaque équipe d’ajouter un cube à sa tour, puis poser aux élèves les questions suivantes :

• Que remarquez-vous maintenant en observant les deux tours? (Les tours ne contiennent pas le même nombre de cubes; un de plus ou un de moins selon la situation.)
• Que devez-vous faire pour rétablir l’égalité?

Note : Les élèves doivent être en mesure de constater l’inégalité et de l’expliquer avant de chercher à rétablir l’égalité.

Demander à une ou à un élève de chaque équipe d’ajouter, au choix, de deux à cinq cubes à sa tour.

Demander à l’autre élève de rétablir l’égalité entre les deux tours.

Demander à chaque équipe d’expliquer la façon dont elle a rétabli l’égalité. Faire remarquer aux élèves que chaque équipe a dû ajouter à la deuxième tour la même quantité de cubes que celle ajoutée à la première tour pour rétablir l’égalité. Attirer leur attention sur le fait que cette constatation s’applique à toutes les quantités ajoutées.

Décomposer les nombres selon les valeurs de position

Présenter aux élèves les phrases mathématiques ci-dessous et leur demander si elles sont vraies ou fausses :

\(\displaylines{\begin{align}47 &= 40 + 7 \\ 35 + 12 &= 35 + 10 + 2 \\ 17 + 21 &= 10 + 20 + 7 + 1 \end{align}}\)

Afin d’inciter les élèves à justifier leurs réponses, leur poser les questions suivantes :

• Comment pouvez-vous affirmer que cette phrase mathématique est vraie (ou fausse)?
• Est-ce possible de vérifier l’égalité en utilisant du matériel concret, comme les cadres à 10 cases, le matériel de base 10 et les cubes emboîtables?
• Comment ce matériel aide-t-il à déterminer si la phrase est vraie ou fausse?
• Est-ce possible de vérifier l’égalité sans matériel concret et sans effectuer de calcul? Comment? (En comparant les dizaines et les unités de chaque côté du signe =, il est possible de vérifier l’égalité sans devoir utiliser du matériel concret.)

Annuler des termes ou des expressions égales

Écrire la phrase mathématique suivante : \(3 + 14 + 32 = 32 + 14 + 3\).

Poser aux élèves les questions suivantes :

• Cette phrase mathématique est-elle vraie ou fausse? Comment le savez-vous? (Des élèves recourront à la commutativité.)
• Si j’enlève les nombres 32 de chaque côté du signe =, l’égalité demeure-t-elle vraie?
• Si j’enlève les nombres 14 de chaque côté du signe =, l’égalité demeure-t-elle vraie?

Exemple 2

Présenter aux élèves les phrases mathématiques ci-dessous et leur demander de vérifier si elles sont vraies ou fausses.

\(\displaylines{\begin{align}3 + 4 + 2 &= 3 + 3 + 2 \\ 5 + 6 + 8 &= 6 + 5 + 8 \\ 11 + 7 + 4 &= 5 + 6 + 7 + 4 \end{align}}\)

Pour chaque phrase mathématique, poser aux élèves les questions suivantes :

• Cette phrase est-elle vraie ou fausse? 
• Si vous annulez des termes qui sont pareils de chaque côté du signe =, l’égalité demeure-t-elle vraie? Comment le savez-vous? 

Comparer des termes

Présenter les phrases mathématiques suivantes :

\(\displaylines{\begin{align}9 + 8 &= 10 + 7 \\ 34 + 17 &= 35 + 16 \\ 13 + 28 &= 16 + 25 \end{align}}\)

Demander aux élèves de vérifier, à l’aide d’une droite numérique ouverte double, si ces phrases sont vraies.

Pour chaque phrase, poser aux élèves les questions suivantes :

• Comment pouvez-vous affirmer que cette phrase est vraie?
• Quels termes avez-vous comparés?
• Que remarquez-vous au sujet de ces termes?
• Pouvez-vous comparer les termes d’une autre façon?

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 101-108.

Activité 3 : représenter des quantités pour comprendre les relations d’équivalence

---

Lorsque les nombres sont décomposés, la somme des parties est équivalente au tout.

Les différentes activités ci-dessous amènent les élèves à comprendre que, même si la quantité est décomposée de différentes façons, elle reste la même. Les représentations concrètes et semi-concrètes peuvent par la suite être associées à une représentation symbolique.

Exemple

\(\displaylines{\begin{align}50 &= 25 + 25 \\ 49 + 1 &= 1 + 49 \\ 20 + 20 &= 10 + 10 + 10 + 10 \end{align}}\)

Représenter 40 en faisant différents bonds sur une droite numérique ou sur une droite perlée.

Nombre mystère – Grouper les élèves en équipes de deux et les inviter à représenter un nombre de différentes façons (matériel concret ou semi-concret, symboles). Faire une galerie où les élèves circulent et voient les différentes façons dont l’ont représenté les autres équipes.

Activité 4 : une poignée de cubes

---

Sommaire

Le but de cette activité est d’amener les élèves à comparer deux ensembles d’objets, c’est-à-dire à déterminer l’ensemble qui compte le plus grand nombre d’objets, celui qui en a le moins, ou si la quantité d’objets dans les deux ensembles est égale. Elles et ils devront aussi rétablir l’égalité entre les quantités dans les ensembles inégaux.

Matériel

• annexe MJ.1 (une roulette par équipe)
• cubes emboîtables de deux couleurs différentes (de 30 à 40 par équipe)
• feuilles de papier (une par équipe)

Déroulement

Grouper les élèves en équipes de deux et modeler l’activité avec une équipe. Remettre à chaque équipe une feuille sur laquelle enregistrer le pointage et de 30 à 40 cubes emboîtables de deux couleurs différentes.

Voici les règles du jeu :

• Chaque élève prend une poignée de cubes d’une couleur.
• Une ou un élève fait tourner la flèche sur la roulette et lit l’expression sur laquelle s’est arrêtée la flèche :
  • Si la flèche s’est arrêtée dans la section « plus que », l’enfant ayant la plus grande quantité de cubes gagne un point.
  • Si la flèche s’est arrêtée dans la section « moins que », l’enfant ayant la moins grande quantité de cubes gagne un point.
  • Si la flèche s’est arrêtée dans la section « est égal à », les deux élèves travaillent ensemble pour égaliser les quantités de cubes et chacune ou chacun gagne un point. L’élève doit alors déterminer l’équivalence.
  • Le jeu se poursuit jusqu’à ce qu’une ou un enfant accumule 10 points.

Au cours de l’échange mathématique, demander à des élèves d’expliquer la ou les stratégies utilisées pour égaliser les quantités.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 122.

Activité 5 : feufino, le dragon

---

Sommaire

Dans cette activité, les élèves représentent, au moyen de phrases mathématiques, toutes les décompositions possibles du nombre 4.

Matériel

• annexe 1.5 et annexe 1.6 (une copie par élève)
• ensemble de quatre cubes emboîtables ou de gommettes d’une couleur et de quatre d’une autre couleur (un ensemble par élève)

Déroulement

Après avoir lu des contes de dragons aux élèves, leur présenter la situation imaginaire suivante :

Un dragon nommé Feufino habite à flanc de montagne près de Coloriville. Tour à tour, tous les dragons de cette ville font peindre les quatre belles pointes sur leur queue de deux couleurs différentes. Lorsque vient le tour de Feufino, il n’arrive pas à se décider quant au nombre de pointes à faire peindre de chaque couleur.

Présenter aux élèves l’illustration de Feufino, le dragon triste (annexe 1.5), en leur disant :

« Feufino a besoin de notre aide. Pour l’aider à prendre une décision, il faut trouver ensemble le plus de répartitions possibles de deux couleurs qu’il peut choisir pour faire peindre les quatre pointes sur sa queue. »

Modeler une répartition de couleurs possible à l’aide d’un des ensembles de cubes emboîtables; par exemple, un cube bleu et trois cubes rouges représentent une des combinaisons de couleurs des quatre pointes. Demander ensuite aux élèves de trouver autant de répartitions qu’elles et ils peuvent trouver et d’écrire, au fur et à mesure, sur une feuille, une phrase mathématique qui correspond à la répartition de couleurs trouvée (concernant l’exemple du modelage, il s’agit de \(1 + 3 = 4\) ou de \(4 = 1 + 3\)).

Demander aux élèves d’expliquer la façon dont elles et ils peuvent savoir si elles et ils ont toutes les répartitions possibles de deux couleurs. Certains pourraient fonder leur explication sur la régularité suivante :

\(4 = 3 + 1\)

\(4 = 2 + 2\)

\(4 = 1 + 3\)

\((− 1)\) \((+ 1)\) (régularité dans chaque colonne)

La relation de changement

Dans une situation d’égalité, le changement d’un des termes de l’expression entraîne nécessairement un changement dans l’autre terme.

Faire une mise en commun de toutes les décompositions possibles du nombre 4. Poser aux élèves des questions telles que :

• Est-ce que toutes les répartitions de deux couleurs sont égales à 4? Comment le savez-vous?
• La phrase mathématique \(4 = 1 + 3\) a-t-elle la même répartition de couleurs que la phrase \(4 = 3 +1\)?

Remettre à chaque élève une copie de l’annexe 1.6 et leur proposer de colorier les pointes sur la queue de Feufino selon leur répartition de couleurs préférée.

Note : Cette activité peut être reprise en utilisant un nombre différent de couleurs ou de pointes.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 143-144.