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Fondements généraux du domaine Algèbre

Cycle primaire

L’algèbre est le domaine mathématique qui est né du besoin de comprendre et d’organiser le monde réel, par exemple, le mouvement des étoiles, ce qu’est la lumière, la forme de la Terre. Les spécialistes des mathématiques ont tenté de répondre à ces questions par l’observation et par l’invention de nouvelles techniques de calcul.

Plusieurs auteures et auteurs (Driscoll, 1999; Squalli, 2002) soulèvent l’importance d’établir des liens entre l’arithmétique et l’algèbre. L’arithmétique est généralement perçue comme un travail de calcul misant sur l’efficacité à trouver la bonne réponse. Cependant, le travail en algèbre vise à mieux comprendre la numération en permettant aux élèves d’analyser les relations entre les nombres. C’est pourquoi il est primordial de développer l’habileté analytique de la pensée (raisonnement) à l’élémentaire en jetant les bases de la pensée algébrique.

Prenons, par exemple, la phrase mathématique 2 + 3 = 3 + 2 pour laquelle les élèves n’ont pas à trouver de réponse. En arithmétique, les élèves pourraient effectuer l’addition de chaque côté du symbole de l’égalité pour confirmer que la phrase est vraie. En algèbre, l’objectif est plutôt de constater que lorsque les nombres sont inversés de l’autre côté du symbole de l’égalité dans une addition, le résultat ne change pas.

L’étude des suites fait aussi partie de l’étude de l’algèbre; c’est un moyen plus concret pour amener les élèves à observer à la fois les changements et l’ordre dans le monde qui les entoure. On initie ainsi les élèves à l’observation de changements et à l’analyse des relations dans ces changements, le changement étant une composante importante de la pensée algébrique.

La pensée algébrique

Dans la recherche d’une définition de ce qu’est la pensée algébrique, plusieurs priorisent une perspective jugée essentielle en algèbre.

En voici trois exemples qui reflètent trois perspectives différentes :

« L’algèbre est quelquefois définie comme la généralisation de l’arithmétique ou comme un langage pour généraliser l’arithmétique. Mais l’algèbre c’est plus qu’un ensemble de règles pour manipuler des symboles, c’est une manière de penser. » [traduction libre] (Vance, 1998, p. 282)

« L’algèbre est un langage. Ce langage comprend entre autres : les relations, les inconnues et les variables, et la généralisation des régularités. Chaque fois qu’une de ces idées est discutée, que ce soit à la maternelle ou à un autre niveau, c’est une occasion de travailler le langage de l’algèbre. » [traduction libre] (Usiskin, 1997, p. 346)

« L’algèbre peut être un outil puissant pour résoudre des problèmes. Elle permet d’accéder à des solutions beaucoup plus facilement. […] Elle peut devenir un outil indispensable pour représenter et résoudre des situations complexes du monde qui nous entoure. » [traduction libre] (Baroody et Coslick, 1998, p. 16-3)

Le développement de la pensée algébrique nécessite l’intervention de plusieurs facteurs interagissant entre eux, soit :

les processus fondamentaux pour accéder à des niveaux d’abstraction supérieurs (abstraire, généraliser et opérer sur l’inconnue);
des habiletés mathématiques développées selon une perspective algébrique (résoudre un problème, raisonner et communiquer);
les composantes du milieu d’apprentissage (comprendre des relations, représenter à l’aide de symboles, utiliser des modèles et analyser le changement);
les concepts algébriques regroupés selon les grandes idées (régularités et relations, et situations d’égalité).

L’affiche ci-dessous illustre l’interaction entre ces facteurs.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3e année, p. 13-14.

Concepts algébriques regroupés selon deux grandes idées

Le regroupement des divers concepts algébriques selon les grandes idées constitue un facteur important dans le développement de la pensée algébrique.

Afin d’aider le personnel enseignant à définir et à prioriser les concepts clés, et à mettre en œuvre des stratégies qui offrent un enseignement efficace et cohérent, deux grandes idées sont présentées, explorées et développées dans le domaine Algèbre. Tout en étant interreliées, ces deux grandes idées revêtent chacune une importance particulière. Elles permettent aux élèves d’explorer les relations dans les suites et de comprendre les relations dans les situations d’égalité.

GRANDE IDÉE 1 : Régularités et relations	GRANDE IDÉE 2 : Situations d’égalité
L’exploration des régularités permet de comprendre les relations qui existent entre divers objets et les nombres ainsi qu’entre les nombres eux-mêmes.	Le concept d’égalité est essentiel pour établir des relations représentées par des objets, des nombres ou des symboles.
Énoncé 1 L’exploration des suites non numériques permet de reconnaître et de justifier la régularité et les relations qui existent entre les termes qui les composent.	Énoncé 1 Le changement d’une représentation concrète ou semi-concrète à une représentation symbolique et vice versa permet de comprendre les relations d’égalité.
Énoncé 2 L’exploration des suites numériques permet de reconnaître et de justifier la régularité et les relations qui existent entre les termes qui les composent.	Énoncé 2 Les symboles permettent de représenter les relations qui existent entre des ensembles de nombres.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3^e année, p. 26.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3^e année, p. 27.

Dans une classe de mathématiques visant à développer la pensée algébrique chez les élèves, l’objectif traditionnel de l’enseignement, apprendre à calculer, n’est pas omis; il est largement dépassé. Développer la pensée algébrique est un cheminement complexe qui mise sur trois processus fondamentaux : abstraire, généraliser et opérer sur l’inconnue.

Abstraire

C’est se détacher de l’aspect sensoriel des choses pour raisonner à un niveau plus général (adapté de Raynal et Rieunier, 2003, p. 13), c’est se représenter mentalement une situation concrète. Piaget considère l’abstraction comme l’un des processus majeurs qui permet la construction des savoirs. Pour sa part, Roegiers (2000, p. 77) explique que l’appropriation d’un concept généralise la réalité (par exemple, une régularité qui n’existe pas dans la réalité, mais qui s’observe dans une suite non numérique). Le concept se situe donc sur un autre plan que la réalité. C’est là le domaine de l’abstraction.

Généraliser

C’est tirer des conclusions valables, vraies dans tous les cas, à partir de l’observation et de l’analyse de quelques exemples (adapté de Squalli, 2002, p. 9). La généralisation est au cœur de l’activité mathématique. Généraliser « [...] est particulièrement important, car chez l’homme, il est à la base de l’acquisition des concepts et des possibilités d’abstraction » (Raynal et Rieunier, 2003, p. 156).

Dans le cadre de situations d’égalité, les élèves peuvent formuler plus aisément une généralisation lorsque celle-ci se situe à la suite d’un processus de proposition et de vérification d’une conjecture.

« Une conjecture est l’expression d’une idée perçue comme étant vraie dans toute situation semblable. » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2008a, p. 10)

En algèbre, les élèves peuvent formuler plus aisément une généralisation au moment de faire des conjectures. Au cycle primaire, les propriétés des nombres et des opérations font notamment l’objet de conjectures. Par exemple, lorsque les élèves supposent que changer l’ordre des termes dans une multiplication n’a aucun effet sur le produit, il s’agit d’une conjecture.

Représentation de la phrase mathématique: 4, multiplié par 3, 4 rangées de 3 carrés. 3 multiplié par 4, 3 rangées de 4 carrés.

Lorsque les élèves constatent un phénomène récursif en explorant diverses situations d’égalité, il leur est possible de proposer une conjecture. Par exemple, les élèves pourraient dire que si on additionne le nombre 0 à un nombre quelconque, la quantité initiale ne change pas. Les élèves doivent ensuite vérifier si leur conjecture est valable dans d’autres situations semblables. Ainsi, dans la situation de l’exemple précédent, les élèves pourraient la vérifier avec divers nombres ainsi qu’avec du matériel concret. Lorsqu’une conjecture semble s’appliquer à toutes les situations semblables, les élèves formulent une généralisation avec des mots ou à l’aide de symboles.

Aux cycles primaire et moyen, les conjectures sont généralement exprimées en mots par les élèves. Elles peuvent aussi être représentées par du matériel concret ou semi-concret afin d’illustrer le plus clairement possible leur raisonnement mathématique.

Le personnel enseignant doit exposer les élèves à diverses situations-problèmes qui les incitent à exercer l’habileté à proposer et à vérifier une conjecture. Par exemple, en leur présentant la phrase mathématique 50 + 6 - 6 = 50, puis en leur proposant la conjecture suivante : « Lorsqu’on additionne et soustrait le même nombre dans une phrase mathématique, c’est identique à ajouter ou à soustraire zéro. » Les élèves discutent de cette conjecture et déterminent si elle est toujours vraie.

Les élèves vérifient cette conjecture avec d’autres phrases mathématiques. Elles et ils ne sont peut-être pas persuadés qu’elle s’applique à n’importe quelle phrase mathématique ou à tous les nombres, notamment aux grands nombres. Au cours des échanges, les élèves peuvent proposer leurs propres conjectures comme illustré ci-après.

Après une vérification de diverses phrases mathématiques, les élèves peuvent conclure que la conjecture est vraie et formuler une généralisation.

Une conjecture mathématique avec des formes : carré, plus losange, moins, losange, égales, carré.

Comme le vocabulaire des élèves au cycle primaire n’est pas encore très développé et très précis, les premières conjectures doivent habituellement être reformulées ou clarifiées. L’idéal est donc que les élèves s’exercent à formuler une conjecture en groupe-classe comme le démontre l’exemple ci-dessous. Au cours des échanges, les élèves peuvent souligner les limites de la conjecture proposée par un pair et contribuer à la formulation d’une conjecture commune plus claire et plus pertinente. Il importe cependant que le personnel enseignant établisse un climat d’apprentissage dans lequel les élèves perçoivent les questions des autres comme des interactions positives susceptibles d’alimenter l’échange.

Exemple

Le personnel enseignant présente la phrase mathématique 564 + 0 = 564 aux élèves et leur demande si elle est vraie ou fausse.

Élève : « Elle est vraie. »
Personnel enseignant : « Comment peux-tu l’affirmer? »
Élève : « Lorsqu’un zéro est ajouté à un nombre, il n’ajoute rien en réalité, on obtient donc le nombre de départ. »

Le personnel enseignant présente d’autres phrases mathématiques semblables. Après plusieurs échanges de ce type, il demande alors aux élèves de formuler une conjecture.

Élève : « Tous les nombres additionnés d’un zéro restent les mêmes. »
Autre élève présente un contre-exemple : « Non, puisque 100 + 300 = 400. Les nombres 100 et 300 sont composés de zéros. Additionnés, ils ne restent pas les mêmes. »

Après d’autres échanges, un élève formule une autre conjecture :

Élève : « Lorsque tu joins un zéro à un autre nombre, tu obtiens l’autre nombre. »
Autre élève : « C’est faux. »
Personnel enseignant : « Alors, tu fais référence au nombre qui est juste à côté d’un zéro? »
Élève : « Non, additionné à un autre nombre. »

Après maints échanges, on retient la formulation suivante : « Zéro, additionné à un autre nombre, est égal à ce nombre. » En constatant que cette conjecture s’applique à tous les nombres, les élèves peuvent généraliser.

Opérer sur l’inconnue

C’est raisonner de manière analytique, c’est réfléchir sur les opérations, les généralisations et non sur les objets (adapté de Squalli et Theis, 2005). Selon la recherche, c’est ce qui distingue l’arithmétique de l’algèbre (Squalli, 2002; Driscoll, 1999). L’inconnue est généralement représentée par des lettres. Toutefois, dans bien des situations, elle peut être représentée par un symbole ou du matériel concret, ou elle peut être exprimée oralement.

L’algèbre commence avec la prise de conscience des opérations, opérations dans le sens large du mot, c’est-à-dire une série d’actes intellectuels supposant réflexion et combinaison de moyens en vue d’obtenir un résultat ou de résoudre un problème. Elle est « […] présentée comme une 'arithmétique généralisée', comme un outil de résolution de problèmes plus puissant que l’arithmétique. » (Squalli et Theis, 2005, p. 5)

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3^e année, p. 16-19.

« Raisonner à l’aide de concepts et de processus mathématiques ne peut logiquement se faire que si l’on communique avec le langage mathématique et le raisonnement mathématique s’exerce le plus généralement en situation de résolution de problèmes. » (Ministère de l’Éducation du Québec, 2001, p. 125)

Dans le domaine Algèbre, les processus de pensée des élèves évolueront dans la mesure où les habiletés à résoudre une situation-problème, à raisonner et à communiquer seront développées selon une perspective algébrique.

Habileté à résoudre une situation-problème de façon algébrique

Une situation-problème désigne un problème qui :

est ouvert;
est d’envergure;
se travaille en équipe;
est mis en contexte;
est un défi pour toutes et tous;
favorise l’utilisation de différentes stratégies.

De la 1^re à la 3^e année, la résolution d’une situation-problème vise à engager les élèves dans un processus où il faut utiliser différentes stratégies. Les élèves qui ont développé des stratégies ont plus de facilité à amorcer la résolution d’une situation-problème, à anticiper et à prédire des résultats, à raisonner et à trouver une solution.

Un des buts de la résolution d’une situation-problème en algèbre est de s’approprier des outils intellectuels pour raisonner (par exemple, rechercher des régularités, établir des relations, utiliser différentes représentations). Résoudre une situation-problème sous l’angle de l’algèbre implique de connaître des modèles pour tenter une solution.

Au cycle primaire, les élèves en possèdent peu. Le personnel enseignant doit en présenter et les utiliser de façon explicite pour aider les élèves à se les approprier. Les modèles peuvent sembler être davantage de nature numérique, mais leur utilisation sous une perspective algébrique permettra de développer la pensée algébrique.

Par exemple, le personnel enseignant initie les élèves à l’utilisation d’une droite numérique ouverte ou double pour les amener à réfléchir au calcul et non à faire le calcul. L’important ce n’est pas de calculer, par exemple la somme 9 + 6 ou 8 + 7, mais de bien saisir la relation d’égalité, soit 9 + 6 = 8 + 7.

Exemple

Droite numérique ouverte, qui représente la phrase mathématique : 9 plus 6 égal 8 plus 7. Des flèches représentent les bonds de chacun des éléments, 9, 6, 8, un, 6 et 7.

Peu à peu, les élèves s’approprient des modèles, les intègrent dans leur banque de stratégies et y ont recours spontanément pour résoudre un problème. Une situation-problème qui est contextualisée et qui présente un défi suscite l’intérêt et motive les élèves à élaborer une solution. Elle implique un processus qui exige anticipations, retours en arrière et objectivation, ce qui favorise le développement de la pensée algébrique.

Habileté à raisonner de façon algébrique

L’habileté à raisonner de façon algébrique permet aux élèves d’organiser leur pensée.

« En mathématique, organiser signifie effectuer des activités mentales telles qu’abstraire, coordonner, différencier, intégrer, construire et structurer. » (Ministère de l’Éducation du Québec, 2001, p. 128)

Le raisonnement algébrique vise à observer et à agir de façon différente en fonction de ce que l’on fait en arithmétique, et à utiliser un ensemble de processus de pensée analytique, comme généraliser, opérer sur des inconnues et exprimer des relations.

Le tableau ci-dessous présente la principale distinction entre raisonner de façon arithmétique et raisonner de façon algébrique.

Source : L’@telier - Ressources pédagogiques en ligne (atelier.on.ca).

En raisonnant algébriquement, les élèves analysent les nombres, les symboles, les quantités, les opérations, puis elles et ils généralisent.

La démarche intellectuelle qu’exige le raisonnement algébrique ne se fait pas de façon simple et naturelle. Le personnel enseignant doit amener les élèves à effectuer cette démarche :

en les aidant à rendre leur démarche explicite;
en les incitant à travailler à rebours, c’est-à-dire à inverser le processus, à partir de la réponse pour se rendre au point de départ;
en les incitant à trouver des régularités et à organiser l’information pour représenter la situation d’une autre façon et en arriver à une généralisation;
en leur faisant observer les relations entre les nombres ou les opérations; en leur permettant d’objectiver leur démarche.

Afin d’apprendre aux élèves à objectiver leur démarche, le personnel enseignant doit poser des questions qui mettent l’accent sur des concepts algébriques et qui les amènent à réfléchir.

En voici quelques exemples :

Est-ce que ça fonctionne si je fais la même chose avec d’autres nombres?
Qu’est-ce qui change?
Qu’est-ce qui ne change pas?
Est-ce que l’information recueillie me permet de prédire le résultat?
Est-ce que la règle fonctionne dans tous les cas?
Est-ce que je suis toujours les mêmes étapes? Quelles sont-elles?

Habileté à communiquer de façon algébrique

« La communication profite à tous ceux qui participent à l’échange […]. L’obligation de faire part de sa compréhension d’une situation ou d’un concept contribue souvent à l’amélioration ou à l’approfondissement de cette compréhension. » (Ministère de l’Éducation du Québec, 2001, p. 132)

L’habileté à communiquer de façon algébrique, oralement et par écrit, se développe par l’échange. Lorsque les élèves discutent de leur compréhension d’une situation ou d’un concept, cela se fait à l’aide de deux éléments distincts, soit les modes de représentation et l’utilisation d’arguments mathématiques.

L’échange mathématique est le moment privilégié pour actualiser les arguments mathématiques.

Modes de représentation

Pour communiquer efficacement, les élèves peuvent utiliser différents modes de représentation. Les relations mathématiques peuvent être représentées à l’aide de matériel concret ou semi-concret, de symboles ou de descriptions orales.

Au moment de représenter une situation algébrique à l’aide d’un ou de deux modes de représentation, les élèves utilisent une variété de modèles tels que des tableaux, des grilles de nombres ou des droites numériques.

Ces modèles les aident à organiser, à enregistrer et à communiquer leur réflexion au moment de l’exploration de relations. La représentation d’une situation-problème à l’aide de modèles concrets, semi-concrets ou symboliques, de pair avec une description orale, facilite l’observation de relations et contribue au développement de la pensée algébrique. Les différentes représentations permettent aux élèves de s’approprier les concepts algébriques.

Une étape mathématique significative dans le développement de la pensée algébrique est de comprendre que deux suites peuvent être construites avec du matériel différent, mais avoir la même règle ou qu’une situation d’égalité peut être représentée à l’aide de différents modèles.

Infographie des modes de représentation. Dans une bulle contexte, on peut lire ces mots qui sont tous interreliés : « symbolique », « en mots », « concret », « semi-concret ».

Utilisation d’arguments mathématiques

« Pour communiquer efficacement, les élèves doivent aussi parvenir à justifier leur raisonnement à l’aide d’arguments mathématiques en utilisant un vocabulaire de relations causales (par exemple, si… donc, parce que, puisque). La maîtrise de l’argumentation mathématique est un processus très long dans le développement conceptuel de l’élève. » (Radford et Demers, 2004, p. 32)

Un argument mathématique est une justification orale ou écrite d’un raisonnement dans le but de démontrer ou de réfuter une idée mathématique.

L’échange mathématique est le moment privilégié pour actualiser les représentations et les arguments mathématiques et ainsi favoriser le développement de la pensée algébrique.

En s’appropriant un problème en algèbre, les élèves proposent des conjectures, présentent leurs pistes de solution, confrontent leurs idées ou justifient leurs résultats à l’aide de différentes représentations.

Note : Au cycle primaire, les élèves peuvent avoir de la difficulté à élaborer une conjecture claire. Le personnel enseignant doit, par la pertinence de son questionnement, profiter des échanges mathématiques avec toute la classe pour favoriser la formulation de conjectures.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3^e année, p. 10-15.

Un milieu d’apprentissage favorable au développement de la pensée algébrique devrait intégrer les quatre composantes suivantes : la compréhension des régularités et des relations, la représentation de situations-problèmes en utilisant des symboles, l’utilisation de modèles mathématiques pour représenter des relations entre des quantités ainsi que l’analyse du changement. Chacune de ces composantes est abordée ci-après.

Compréhension des régularités et des relations

Reconnaître des régularités est une habileté importante en résolution de problèmes; cette habileté permet l’appropriation d’autres concepts et la formulation de conjectures menant à des généralisations. Le concept de régularité est la pierre angulaire du raisonnement algébrique.

En observant et en analysant les relations entre les nombres à l’intérieur d’une suite ou dans une phrase mathématique, les élèves découvrent des régularités et peuvent ainsi approfondir leur compréhension des concepts algébriques.

Dès leur jeune âge, les enfants prennent conscience de régularités dans le monde qui les entoure (par exemple, disposition des tuiles de céramique dans la salle de bain, cycle du jour et de la nuit, routines de la journée).

Au cours des premières années scolaires, le raisonnement algébrique peut être développé par l’exploration de suites non numériques, présentées sous formes variées en utilisant divers attributs tels que des mouvements, des sons, des couleurs, des figures géométriques et des nombres.

À titre d’exemple, le conte Boucle d’or et les trois ours est un outil intéressant pour initier les élèves aux concepts de suite et de régularité, et les amener à établir des relations entre les termes d’une suite. Tout au long du conte, les élèves découvrent que le motif est toujours composé de trois éléments « grand, moyen, petit » qui se répètent, et ce, dans le même ordre. C’est donc une bonne occasion de leur présenter ce qu’est une suite, une régularité et les relations qui en découlent.

Reconnaître, comparer, représenter, décrire, prolonger et créer des suites dans le contexte de résolution de problèmes amène les élèves à établir des relations entre les termes d’une suite.

Représentation de situations-problèmes en utilisant des symboles

Représenter et analyser des situations-problèmes est une composante fondamentale de la pensée algébrique. Pour réussir en algèbre, il faut être capable d’utiliser des représentations symboliques de situations réelles ou contextualisées. Les situations réelles représentées au départ à l’aide de matériel concret ou semi-concret seront graduellement représentées par des symboles. Afin de construire une base solide pour bien comprendre les concepts en algèbre, il est important de faire cheminer les élèves de façon progressive vers une représentation symbolique plus formelle. L’utilisation de symboles facilite l’atteinte d’un niveau d’abstraction plus élevé, tout particulièrement lorsqu’on veut représenter des régularités ou des nombres dans des situations d’égalité.

En Algèbre, les élèves doivent développer le sens du symbole. Le sens du symbole, c’est l’habileté :

à comprendre la valeur des symboles;
à savoir en faire un usage judicieux et pertinent;
à représenter un contexte par des symboles.

Certaines personnes établissent un parallèle entre le sens du nombre et le sens du symbole. Entre autres, Arcavi (1994) conçoit le sens du symbole comme une appréciation spontanée et juste ou une compréhension instinctive du symbole.

Il précise que le sens du symbole se manifeste par les actions suivantes :

démontrer des relations, des généralisations et même des justifications qui, autrement, seraient difficiles à saisir;
choisir une représentation symbolique possible afin de représenter et de résoudre une situation-problème;
déterminer si la situation nécessite une représentation symbolique ou une autre représentation;
manipuler les symboles, les lire et visualiser les résultats et les régularités possibles.

Dès le cycle primaire, les élèves démontrent leur compréhension des propriétés des opérations mathématiques telles que la commutativité de l’addition avec des objets ou des nombres spécifiques. Les élèves utilisent du matériel concret, des dessins, des mots ou des symboles pour représenter des idées mathématiques et des relations, entre autres la relation d’égalité. Les élèves décrivent et représentent des quantités de différentes façons, et améliorent leur habileté à utiliser des symboles pour communiquer leurs idées.

Par la suite, les élèves prennent conscience de la signification des symboles (par exemple, carrés, cercles, lettres) pour exprimer des valeurs inconnues, puis apprennent aussi à les utiliser pour exprimer des relations en écrivant des équations.

Une équation avec des chiffres et des symboles. Dix, égal, carré, plus cercle, plus cercle, plus triangle.

La présentation de situations-problèmes authentiques favorise la compréhension du concept de la variable tout en contribuant à démystifier l’emploi de symboles.

Exemple

Un fermier a trois enclos : un enclos pour les chevaux, un pour les vaches et un pour les moutons. Les trois enclos sont reliés par des chemins, comme illustré ci-dessous. Les nombres inscrits indiquent le nombre total d’animaux dans deux enclos reliés par un chemin. Combien d’animaux peut-il y avoir dans chaque enclos?

Représentation de 3 sections : « M », « C », « V ». Le chiffre 12 est entre le « M » et le « C ». Le chiffre 8 est entre le « C » et le « V ».

Avec des petits animaux en plastique, les élèves déterminent les quantités possibles d’animaux dans chaque pâturage. Par exemple, une ou un élève peut placer quatre vaches (4v), quatre chevaux (4c) et huit moutons (8m) dans les pâturages respectifs. Par la suite pour justifier son raisonnement, l’élève écrit une phrase mathématique correspondant à sa représentation.

4 c + 4 v = 8 animaux

4 c + 8 m = 12 animaux

L’utilisation du matériel de manipulation permet de voir concrètement les relations possibles entre les variables. Au cycle primaire, cette stratégie mise sur la compréhension plutôt que sur l’utilisation abstraite de symboles. Elle développe le raisonnement et la pensée algébrique.

L’habileté à manipuler des symboles permet aux élèves d’analyser une situation-problème, de choisir une représentation appropriée, de sélectionner une stratégie efficace pour la résoudre et d’évaluer si leur solution est plausible.

Utilisation de modèles mathématiques pour représenter des relations entre des quantités

« L’utilisation de modèles pour organiser, enregistrer et communiquer des idées mathématiques facilite les représentations. À l’aide du matériel de manipulation, de diagrammes, de dessins et de symboles, les modèles servent à 'faire voir les mathématiques'. Le recours à ces modèles aide aussi à s’approprier les idées mathématiques et à les comprendre. » [traduction libre] (Fennell, 2006, p. 3)

Les modèles mathématiques permettent d’étudier des relations. Au fil du temps, les spécialistes des mathématiques ont créé, utilisé et généralisé certaines idées, stratégies et représentations pour faciliter l’appropriation de concepts. À l’usage, certaines représentations sont devenues des modèles reconnus, par exemple la droite numérique et le cadre à dix cases. Il est important que les élèves utilisent des modèles mathématiques dans une variété d’activités pour comprendre des relations entre les quantités.

Devant une situation-problème à résoudre, plusieurs représentations sont possibles; un certain nombre d’élèves utilisent leur corps, du matériel de manipulation ou des dessins, d’autres représentent les données plus schématiquement. La façon de s’approprier les données et de les organiser reflète le niveau de développement de la pensée algébrique. Les modèles explorés au cycle primaire et au cycle moyen seront différents selon le niveau d’abstraction des élèves. La résolution d’un problème peut donner lieu à l’utilisation de divers modèles. Dans ce document, le mot modèle désigne les différentes représentations concrètes, semi-concrètes et symboliques du problème, mais il désigne aussi la façon dont chaque élève utilise des symboles personnels pour représenter son raisonnement.

Exemples de modèles

Problème 1 : Un épicier a acheté 4 caisses de citrons. Dans chaque caisse, il y a 9 citrons. Combien de citrons a-t-il achetés en tout?

Le cadre à 10 cases

Problème 2 : S’il en vend 6, combien de citrons restera-t-il?

La disposition rectangulaire

Un rectangle indique les nombres de citrons achetés dans 4 caisses. Caisses 1 : 9 citrons. Caisses 2 : 9 citrons. Caisses 3 : 9 citrons. Caisses 4 : 3 citrons et 6 citrons sont barrés. 36, moins, 6, égal, 30.

La droite numérique

Droite numérique qui représente 3 bonds de 3. Une caisse, 9 citrons, 3 multiplié par 3 égal 9. Une droite numérique qui représente 4 bonds de 9 et un bond de moins 6. 4 caisses, 36 citrons. 4 multiplié par 9 égal 36. 36 moins 6 égal 30.

Problème 3 : Combien de citrons aura-t-il, s’il achète 5 caisses? 6 caisses? 7 caisses?...

La table de valeurs

Nombre de caisses	Nombre de citrons
1	9
2	18
3	27
4	36
5	45
6	54
7	63

Problème 4 : Lundi, l’épicier a vendu 9 citrons à un client et 5 à un autre. Mardi, il en a vendu 8 à M. Lauzon et 6 à M^me Qureshi. Il dit qu’il a vendu le même nombre de citrons lundi et mardi. Est-ce vrai ou faux?

Pour résoudre ce problème, les élèves peuvent utiliser la droite numérique ouverte double, la balance à plateaux ou la balance mathématique.

La droite numérique ouverte double

Droite numérique qui représente un bond de plus 9, et plus 6. Il est également représenté, un bond de plus 8, plus un, plus 6 ou plus 8 et plus 7.

C’est vrai puisque

Equation : 9, plus, 5, égale, 8, plus, un, plus, 5. Une flèche allant de la valeur 8 à la valeur un indique la valeur 9.

La balance à plateaux

La balance mathématique

Une balance mathématique a deux côtés, lundi à gauche et mardi à droite. Chaque côté a 9 valeurs. Sur le côté gauche, les valeurs 9 et 5 sont marquées. Sur le côté droit, les valeurs 6 et 8 sont marquées.

Le personnel enseignant devrait utiliser une variété de modèles et initier les élèves à les utiliser afin de les aider à raisonner. En représentant une situation-problème, les élèves analysent les relations à l’aide de modèles, tirent des conclusions et les expliquent oralement.

Les modèles sont des outils qui aident les élèves à formaliser leur pensée algébrique. Les modèles sont avant tout des représentations permettant d’explorer des changements, d’illustrer des relations et de proposer des conjectures dans divers contextes, et ce, dans le but de s’approprier les concepts. Fosnot et Dolk (2001, p. 77) les décrivent comme des cartes mentales utilisées par des spécialistes des mathématiques pour organiser et résoudre des situations-problèmes et pour explorer des relations.

De la même façon qu’elles et ils le font pour les symboles, les élèves recourent aux modèles pour donner un sens aux relations entre les nombres et les opérations. Les modèles, en permettant d’analyser les situations-problèmes de façon plus abstraite, en facilitent la compréhension. Et au cœur même de ces modèles, les élèves ont accès au sens du nombre, au concept de relations entre les nombres et ultimement, au développement des processus fondamentaux.

Selon Fosnot et Dolk (2001), les modèles, à l’instar des grandes idées et des stratégies, ne peuvent être transmis par automatisme; les élèves doivent les construire elles-mêmes et eux-mêmes pour se les approprier. Il importe donc de leur soumettre des situations-problèmes favorables à la modélisation, de sorte que les élèves créent leurs propres symboles et modèles pour représenter les situations, au lieu de leur proposer systématiquement les algorithmes usuels ou les stratégies apprises.

Ainsi, au cours de leur cheminement scolaire, les élèves devraient en arriver à concevoir comme une stratégie le modèle qu’elles et ils utilisaient d’abord comme un outil; par ce transfert, les relations mathématiques courantes et familières serviront d’appui à des situations moins courantes, présentées dans des contextes nouveaux.

Note : Plusieurs activités d’algèbre peuvent être perçues comme des activités du domaine Nombres; en fait, c’est surtout l’orientation algébrique donnée par le personnel enseignant qui permettra aux élèves d’accéder au monde de l’algèbre.

Analyse du changement

Les élèves vivent dans un monde en changement. Comprendre que le changement fait partie de la vie et que la majorité des choses changent avec le temps (par exemple, chaque année pendant la période de croissance, la taille croît, le poids augmente, les pieds allongent) est une dernière composante du développement de la pensée algébrique. Les changements observés peuvent être décrits de façon qualitative (par exemple, je suis plus grande ou plus grand que l’an dernier, mes cheveux sont plus longs, le seau s’est rempli d’eau rapidement pendant l’orage, il fait plus froid que ce matin) ou de façon quantitative (par exemple, j’ai grandi de 2 cm cette année, le seau d’eau s’est rempli de 50 ml en 30 minutes, la température a chuté de 6 °C en 3 heures). Au cycle primaire, les élèves apprennent à observer et à comprendre les changements dans les régularités et dans les situations d’égalité.

Par exemple, pour maintenir l’égalité dans une situation donnée, les élèves doivent comprendre et démontrer comment le changement d’une variable influe sur le changement de l’autre variable. Par exemple, dans une situation d’exploration où les élèves doivent trouver toutes les combinaisons possibles de deux réglettes qui, placées bout à bout, ont la même longueur que la réglette repère, elles et ils se rendent compte rapidement que le changement d’une réglette nécessite le changement d’une autre réglette.

Lorsque les élèves comprennent cette relation, les réglettes ne sont plus changées au hasard, mais sont choisies de façon plus systématique, ce qui démontre l’émergence de la pensée algébrique. Comprendre ainsi que la plupart des choses subissent des changements, que ces changements peuvent être décrits mathématiquement et que certains d’entre eux peuvent être prédits, est une composante importante du développement de la pensée algébrique.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3^e année, p. 18-23.

Le personnel enseignant demeure le pivot de l’actualisation du développement de la pensée algébrique en salle de classe au cycle primaire. Son rôle ne se définit pas uniquement dans le choix des tâches, mais bien dans ses interventions qui visent à encourager les élèves à dépasser le raisonnement arithmétique et à accéder à un mode de pensée symbolique. Faire des mathématiques prend ainsi tout son sens.

Certains auteurs et auteures (par exemple, Blanton et Kaput, 2003, p. 70-77) croient que le personnel enseignant doit se munir « d’yeux et d’oreilles algébriques » afin de déterminer et de maximiser, dans les activités mathématiques, les liens avec les concepts algébriques et de saisir des occasions pour développer la pensée algébrique des élèves.

Pour ce faire, il peut :

Varier les paramètres d’un problème

Utiliser un problème existant et lui donner une perspective algébrique favorise la recherche de relations, de régularités, de conjectures et de généralisations.

Exemple de problème du domaine Nombres :

Dans une équipe de quatre personnes, combien de poignées de main y aura-t-il si chaque personne donne la main à toutes les autres personnes une seule fois?

À partir d’un problème de numération, le personnel enseignant pose des questions qui permettent de faire ressortir les liens avec les concepts algébriques, telles que :

Combien y aura-t-il de poignées de main si une, deux ou trois autres personnes s’ajoutent à l’équipe?
Organiser les données dans une table de valeurs. Est-ce que vous voyez une régularité?
Combien de poignées de main y aura-t-il si dix personnes s’ajoutent à l’équipe?

Poser des questions pour aider les élèves à généraliser

Que peut-on dire au sujet de la relation entre le nombre de personnes dans l’équipe et le nombre total de poignées de main?
Y a-t-il une régularité? Expliquez votre réponse.

Poser des questions en mettant l’accent sur les concepts algébriques

Pouvez-vous expliquer le problème dans vos mots?
Pouvez-vous résoudre le problème à l’aide d’une autre représentation?
Comment fait-on pour s’assurer que cette solution est vraie?
Est-ce que cette démarche fonctionnerait avec d’autres nombres? Toujours?
Qu’est-ce qui change?
Qu’est-ce qui ne change pas?

Ces questions incitent les élèves à faire des conjectures et à les expliquer à l’aide d’arguments mathématiques.

Développer et renforcer une littératie des symboles

Le personnel enseignant doit initier les élèves à la littératie des symboles et les soutenir dans le développement de celle-ci. Trop souvent, l’application de plusieurs des symboles mathématiques se fait par automatisme, ces symboles étant perçus par des élèves simplement comme une commande d’exécution d’une opération mathématique. Ces élèves éprouvent alors des difficultés à résoudre un problème correctement et à expliquer ce que représente la phrase mathématique qu’elles et ils ont écrite, faute de compréhension des symboles qui la composent. Le travail du personnel enseignant consiste à mettre en place les stratégies qui permettent aux élèves :

de lire les symboles et de réfléchir à ce qu’ils représentent avant d’agir;
de comprendre la juste signification des symboles mathématiques (par exemple, le signe « = » représente une relation entre les expressions numériques de chaque côté du signe et n’est pas précurseur de la réponse);
de reconnaître et d’utiliser les symboles comme outils de communication pour interpréter une phrase mathématique et pour exprimer son raisonnement.

Créer un milieu d’apprentissage « algébrique » : Un milieu d’apprentissage « algébrique » est un environnement où l’on mise sur le développement de la pensée analytique. Le personnel enseignant, de façon consciente, détermine et cerne des moments où le raisonnement fait partie intégrante de son enseignement. Argumenter, abstraire et généraliser devient pratique courante pendant des leçons quotidiennes en mathématiques et même dans les autres matières, et non un enrichissement occasionnel.

Créer un milieu d’apprentissage « algébrique », c’est donner la chance aux élèves de découvrir le monde qui les entoure avec des yeux et des oreilles « algébriques », c’est-à-dire d’être capables de généraliser de façon explicite.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3^e année, p. 23-24.