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C1.2 Créer des suites qui comprennent des éléments, des mouvements ou des opérations qui se répètent, à l’aide d’une variété de représentations, y compris des formes géométriques, des nombres et des tables de valeurs, et établir des liens entre les différentes représentations.

Habileté : représenter les suites de différentes façons

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Suites non numériques à motif répété

L’utilisation de représentations multiples d’une même suite pour communiquer sa compréhension est une composante essentielle du développement de la pensée algébrique. Les suites non numériques à motif répété peuvent être représentées à l’aide de matériel concret ou semi-concret, de symboles ou de descriptions orales.

Exemples de modes de représentation

Les élèves peuvent montrer leur compréhension des concepts de régularité et de relations et développer davantage leurs habiletés à reconnaître, à décrire et à prolonger une suite en changeant la représentation d’une suite sans en modifier la règle. Le changement peut se faire d’un mode à un autre. Par exemple, une suite non numérique telle que celle illustrée ci-dessous peut être représentée avec les mouvements « tape, saute, saute » ou avec des petits animaux en plastique « chat, chien, chien ».

Le changement peut aussi se faire à l’intérieur d’un même mode de représentation.

Exemple

En représentant une suite à l’aide de symboles, on peut déterminer clairement sa structure. Pour ce faire, des lettres sont utilisées selon l’ordre alphabétique. Chaque nouvelle lettre représente un élément différent dans le motif. Dans les suites présentées ci-dessus, la structure est AABB.

Souvent, plusieurs représentations d’une même suite constituent une bonne justification mathématique puisque chacune d’elles contribue à la compréhension des idées présentées. L’habileté à créer, à interpréter et à représenter de plusieurs façons ses idées est un outil puissant.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 34-36.

Suites non numériques à motif croissant

L’utilisation de représentations multiples d’une même suite pour communiquer sa compréhension est une composante essentielle du développement de la pensée algébrique. Les suites non numériques à motif croissant, tout comme les suites à motif répété, peuvent être représentées à l’aide de matériel concret ou semi-concret, de symboles ou de descriptions orales.

Dans ce qui suit, nous traiterons plus précisément des représentations des suites non numériques à motif croissant à l’aide de symboles et d’une table de valeurs.

Symboles

Les élèves utilisent des symboles pour laisser des traces qui démontrent leur compréhension de la régularité dans une suite non numérique à motif croissant. Ces symboles peuvent être des nombres comme illustré dans la photo A ou des symboles d’addition (par exemple, +3) comme dans la photo B.

Table de valeurs

Utilisée dès la 3^e année, la table de valeurs est une représentation numérique de la suite non numérique à motif croissant. Dans la table de valeurs, chaque figure est associée à un rang (figure 1 au rang 1, figure 2 au rang 2…). Cette table permet de repérer plus facilement la règle numérique et d’analyser le changement. Après avoir organisé les données dans une table de valeurs, les élèves observent deux représentations d’une même règle : celle créée avec du matériel ou un dessin et la règle numérique dans la table de valeurs.

Exemple

Table de valeurs à l’horizontale

La table de valeurs peut être disposée verticalement ou horizontalement et séparée en colonnes ou en rangées. Il est bon de varier la présentation de la table de valeurs afin que les élèves s’habituent aux deux dispositions.

En cherchant des relations, quelques élèves utiliseront du matériel concret ou semi-concret, d’autres la table de valeurs. Il importe que les élèves réalisent que les relations trouvées existent sous les deux modes de représentation.

Le personnel enseignant doit leur fournir l’occasion d’explorer et de créer diverses représentations d’une même suite. À titre d’exemple, il peut leur demander d’échanger leur table de valeurs avec un pair et de reproduire la suite à l’aide de matériel concret ou semi-concret, et vice versa. Il est important de s’attarder à la relation entre les deux représentations pour que l’accent soit mis sur le raisonnement et non sur le calcul numérique.

En 3^e année, les élèves utilisent une table de valeurs pour représenter une suite non numérique à motif croissant qu’elles et ils trouvent, prolongent ou créent. Le personnel enseignant modèle l’utilisation de plusieurs tables de valeurs pour que les élèves comprennent bien les éléments qui la composent. Ensuite, les élèves construisent leur propre table de valeurs à partir d’une suite non numérique à motif croissant, ce qui permet de vérifier leur compréhension.

Exemples

• Représentation concrète d’une suite non numérique à motif croissant à l’aide de mosaïques géométriques.

• Représentation de la même suite à l’aide d’une table de valeurs.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 41-44.

Suites numériques

L’acquisition des concepts relatifs aux suites numériques est un préalable à l’étude des concepts algébriques plus abstraits. L’exploration de diverses représentations de suites numériques facilite l’entrée dans le monde algébrique.

Au cycle primaire, certaines représentations facilitent le développement des habiletés en résolution de problèmes, en raisonnement et en communication. Les représentations des suites numériques explorées au cycle primaire sont réalisées à l’aide de matériel concret ou semi-concret (table de valeurs, droite numérique, grille de nombres), de symboles et de descriptions orales.

Exemples de modes de représentation

Les représentations de suites numériques se font à l’aide de divers matériels concrets et semi-concrets. Les matériels de manipulation énumérés ci-dessous seront utilisés comme modèles pour approfondir la compréhension des suites numériques :

• le tableau de nombres;
• la grille de nombres;
• la droite numérique;
• la table de valeurs;
• la calculatrice.

Tableau de nombres

Les régularités dans un tableau de nombres sont multiples de même que la disposition des suites. Par exemple, dans un tableau de 100 comme celui illustré ci-dessous, une suite avec la régularité +2 sera disposée en rangée (par exemple, 61, 63, 65…); si la régularité est +10, la suite sera disposée en colonne (par exemple, 7, 17, 27…); si la régularité est +11, elle sera disposée en droite oblique (par exemple, 1, 12, 23…). Dans un tableau de nombres, les cartes de nombre peuvent facilement être déplacées, tournées ou enlevées pour créer des suites.

Grille de nombres

Voici quelques stratégies possibles pour explorer les suites numériques avec une grille de nombres de 100 :

• Utiliser des jetons de bingo pour relever une suite sur une grille de 100. L’utilisation de jetons permet aux élèves de faire des modifications sans avoir à effacer.

Exemple

• Utiliser un pochoir et le déplacer sur la grille pour repérer une suite numérique. Indiquer la règle de régularité dans cette suite et prolonger la suite.

Exemple

Suite : 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93

Règle de régularité : +10

• Présenter des sections de la grille et repérer une suite numérique. Indiquer la règle de régularité dans cette suite.

Exemple

Suite : 18, 27, 36, 45

Règle de régularité : +9

Lors de l’exploration de suites numériques avec une grille de 100, poser des questions afin de développer l’habileté à les représenter. Par exemple :

• Que remarquez-vous au sujet des nombres relevés dans la suite?
• Quel changement y a-t-il d’un nombre à l’autre dans chaque rangée ou chaque colonne? (Ils augmentent ou diminuent de 1 ou de 10.)
• Si les nombres n’étaient inscrits que dans les trois premières rangées, que feriez-vous pour déterminer la case dans laquelle se trouve le nombre 65?
• Où serait le nombre 105 si on agrandissait la grille? Comment le savez-vous?
• Si on déplace le pochoir et que le premier nombre est 5, le nombre 46 apparaîtra-t-il? Expliquez.

Droite numérique

Utilisée comme modèle pour faire découvrir les régularités dans des suites, la droite numérique permet de représenter une variété de règles. La représentation de la droite numérique peut être concrète ou semi-concrète.

Voici quelques stratégies possibles pour explorer les suites numériques avec la droite numérique :

Au départ, utiliser une droite numérique plastifiée sur laquelle les élèves peuvent effectuer des bonds sur les nombres, à intervalles réguliers, en sautant ou avec un objet quelconque.

À l’aide d’une droite numérique tracée sur une grande feuille de papier, les élèves encerclent les termes de la suite et indiquent la règle dans la suite au moyen d’une flèche.

Lors de l’exploration de suites numériques à l’aide d’une droite numérique, poser des questions telles que :

• Est-ce que le nombre 58 ferait partie de la suite si on prolongeait la droite?
• Que remarquez-vous en ce qui a trait aux nombres encerclés sur la droite numérique?
• Quelle est la règle de régularité dans la suite? Comment est-elle indiquée?
• Si la suite commençait par le nombre 1, qu’est-ce qui serait pareil? différent?
• Si la suite commençait par le nombre 2, qu’est-ce qui serait pareil? différent?

Table de valeurs

C’est un modèle qui permet d’établir une relation entre une représentation concrète et une représentation abstraite. Au cycle moyen, elle permettra d’accéder à une représentation graphique et d’étudier la régularité. C’est en examinant la relation entre le rang et le terme que les élèves du cycle moyen détermineront la règle de correspondance.

Lorsque les élèves créent une suite non numérique à motif croissant et la convertissent en suite numérique dans une table de valeurs, il leur est plus facile d’analyser les relations et de les justifier.

Exemple

Poser des questions afin que les élèves justifient le sens des nombres inscrits dans la table de valeurs. Par exemple :

• Que représentent les nombres dans la 2^e rangée de la table de valeurs?
• Pouvez-vous me montrer sur la suite non numérique ce que représente le nombre 7 dans la table de valeurs?
• Quel changement remarquez-vous d’un rang à l’autre?
• Pourquoi est-il important d’indiquer l’âge de l’arbre dans la table de valeurs?
• Que serait le prochain nombre dans la 2^e rangée?
• Que représentent les mots figures et âge de l’arbre?
• Que peut-on dire de la suite de nombres dans la 2^e rangée?
• Est-ce une régularité?
• Pouvez-vous expliquer la raison pour laquelle on a inscrit quatre formes sous le nombre 1? Quelle est la relation?

Calculatrice

Cet outil électronique permet d’explorer des régularités numériques et de prolonger facilement des suites en utilisant la fonction Facteur constant. Au préalable, il est important de modeler l’entrée des données à l’aide d’une calculatrice virtuelle.

Exemple

Choisir un nombre de départ entre 0 et 9. Ensuite, ajouter un nombre à ce nombre de façon continue. Par exemple :

• Appuyer sur la touche numérique [7].
• Ajouter un intervalle de 4 en appuyant sur la touche [+], puis sur la touche numérique [4].
• Appuyer sur la touche [=] à plusieurs reprises.
• Écrire au fur et à mesure la suite numérique correspondante sur une feuille de papier (dans ce cas : 7, 11, 15, 19, 23…).
• Indiquer la règle de régularité dans la suite (+4).

Poser des questions qui incitent à la réflexion telles que :

• Quels chiffres apparaissent toujours dans la position des unités? Qu’est-ce qui change lorsqu’on modifie le nombre de départ ou l’intervalle choisi?
• Combien de termes contient la suite avant qu’un chiffre des unités se répète?
• Pensez-vous que si on compte par 4, le nombre 37 va s’afficher? Comment le savez-vous?

Exemple

Créer, comme dans l’exemple 1, une suite dont le nombre de départ est 23 et la règle de régularité est +12 (23, 35, 47, 59, 71…).

Poser des questions telles que :

• Y a-t-il une règle de régularité dans cette suite? Laquelle?
• Si on prolongeait la suite indéfiniment, est-ce que le nombre 155 ferait partie de cette suite? Que devez-vous faire pour le savoir?

Exemple

Créer, comme dans les exemples précédents, une suite dont le nombre de départ est 11 et la règle de régularité est +11 (11, 22, 33, 44, 55…).

Poser des questions telles que :

• Si on prolonge la suite, quel sera le terme au 7^e rang? Le terme au 18^e rang?
• Le nombre 222 fera-t-il partie de cette suite?

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 51-59.

Habileté : créer diverses suites

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Avant de créer des suites, les élèves doivent d’abord reconnaître, comparer, décrire, changer la représentation et prolonger une grande variété de suites.

Les élèves montrent leur compréhension du concept de régularité en créant une suite et en l’expliquant.

Au départ, l’utilisation du matériel de manipulation est indispensable pour représenter les suites, car lors de la construction de suites, les élèves peuvent facilement changer un élément du motif et vérifier la règle, tandis qu’en la dessinant sur du papier, elles et ils se concentrent sur le dessin à reproduire plutôt que d’examiner la suite au complet et de réfléchir à la nature de la régularité.

Le personnel enseignant fait travailler les élèves en petits groupes afin de favoriser l’échange d’idées et peut fournir les attributs et la structure de la suite ainsi que le matériel nécessaire pour la créer.

Lors d’un échange mathématique, les présentations des suites permettent de relever les différentes représentations d’une même règle et de vérifier la façon dont les élèves communiquent leur compréhension.

Ensuite, il peut demander aux élèves de créer une suite et de l’échanger avec un pair. Elles et ils peuvent alors construire une représentation différente de la suite reçue, décrire sa structure, la prolonger ou en produire une totalement différente aux fins de comparaison. Il faut cependant limiter le nombre d’éléments dans le motif, car quelques élèves en utilisent trop, ce qui rend difficile la compréhension de la structure de la suite.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 39-40.

Voici quelques exemples d’activités pour créer des suites numériques.

Exemple

Donner une règle de régularité d’addition ou de soustraction (par exemple, +3 ou -3). Demander aux élèves de créer différentes suites ayant cette règle de régularité et de les comparer.

Exemple

Sur une grille de 100, demander aux élèves de créer deux suites dans lesquelles on trouve les nombres 6, 12, 24, 42 et 54 et dont la règle de régularité d’addition est autre que +1.

Note : Les suites possibles pour respecter les deux critères énoncés sont les suites dont la règle de régularité est +2, +3 ou +6.

Exemple

Demander aux élèves de créer deux suites numériques différentes dans lesquelles on trouve les nombres 33 et 57 et dont la règle de régularité d’addition est autre que +1.

Solution : Les règles de régularité possibles pour créer des suites qui respectent les critères énoncés sont +2, +3, +4, +6, +8, +12 et +24.

Note : Il est important que les élèves laissent des traces de leur démarche pour y référer lors de l’échange mathématique. Par exemple, elles et ils peuvent :

• encercler les termes de chaque suite pour les repérer;
• dessiner une flèche au-dessus de chaque bond pour indiquer l’intervalle;
• représenter symboliquement la règle de régularité à l’aide du signe +, comme dans l’exemple ci-dessous.

Solution possible

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 63-64.

Habileté : établir des liens entre les différentes représentations

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Une relation mathématique est un lien qui existe dans un contexte particulier entre des objets, des idées ou des nombres.

Les modèles mathématiques permettent d’étudier des relations. Au fil du temps, les mathématiciennes et les mathématiciens ont créé, utilisé et généralisé certaines idées, stratégies et représentations pour faciliter l’appropriation de concepts. Par l’usage, certaines représentations sont devenues des modèles reconnus, par exemple, la droite numérique et le cadre à dix cases. Il est important que les élèves utilisent des modèles mathématiques dans une variété d’activités pour comprendre des relations entre les quantités.

Pour résoudre une situation-problème, plusieurs représentations sont possibles. Des élèves utilisent leurs corps, du matériel de manipulation ou des dessins et d’autres représentent les données plus schématiquement. La façon de s’approprier les données et de les organiser à l’aide de modèles reflète le niveau de développement de la pensée algébrique. Les modèles explorés au cycle primaire et au cycle moyen seront différents selon le niveau d’abstraction des élèves. Le cadre à dix cases, la disposition rectangulaire, la table de valeurs, la droite numérique ouverte ainsi que la droite numérique ouverte double sont des modèles à favoriser au cycle primaire.

Le personnel enseignant devrait utiliser ces modèles et initier les élèves à les utiliser afin de les aider à raisonner. En représentant une situation-problème, les élèves analysent les relations à l’aide de modèles, tirent des conclusions et les expliquent à l’aide de descriptions orales. Les modèles sont des outils qui aident les élèves à formaliser leur pensée algébrique.

Les modèles appliqués à plusieurs contextes favorisent l’analyse et initient les élèves à un niveau d’abstraction qui facilite les prédictions et les généralisations. Le dialogue, l’échange mathématique sur les données du problème représentées avec différents modèles, ainsi que les questions du personnel enseignant suscitent la réflexion chez les élèves.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 18-21.

La comparaison des suites permet une meilleure compréhension de leurs caractéristiques, favorise la réflexion, facilite la communication et permet aux élèves de développer leur raisonnement algébrique.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 59.

Suites non numériques à motif répété

L’observation de similitudes et de différences entre certaines suites consolide l’apprentissage des élèves et développe leur habileté à communiquer. Indiquer deux suites qui sont semblables exige un niveau de raisonnement plus élevé et aide les élèves à miser sur les relations qui existent entre les suites. La compréhension des relations est de toute première importance, car savoir reconnaître des relations deviendra ultérieurement une stratégie de résolution de problèmes.

Lors des échanges mathématiques, le personnel enseignant doit amener les élèves à comparer les caractéristiques particulières des suites telles que :

• les attributs utilisés;
• le choix et la quantité d’éléments dans chaque motif;
• la structure de chaque suite;
• la règle dans chaque suite.

Exemples

L’habileté à comparer des suites facilite l’acquisition de l’habileté à les prolonger et, par la suite, à en créer de nouvelles.

Pour amener les élèves à se créer une image mentale d’une régularité, le personnel enseignant peut aussi faire comparer les suites en utilisant des exemples et des non-exemples de suites. Cette stratégie permet aux élèves de reconnaître une suite, de trouver la règle, de la décrire et de justifier leur raisonnement tout en utilisant un vocabulaire mathématique approprié.

Exemple d’une suite à motif répété (régularité respectée)

Non-exemple d’une suite (aucune régularité)

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 33-34.

Suites non numériques à motif croissant

Les démarches décrites précédemment pour comparer les suites non numériques à motif répété s’appliquent aussi aux suites non numériques à motif croissant.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 40.

Suites numériques

Comparer deux suites sur une grille de nombres

Comparer des suites sur une même grille de nombres permet d’établir des relations entre les nombres.

Exemple

Présenter aux élèves les deux suites numériques suivantes.

Suite A : 3, 6, 9, 12, 15…

Suite B : 6, 12, 18, 24, 30…

Utiliser des jetons transparents pour représenter la suite A et ombrer les cases appropriées pour représenter la suite B dans une grille de 100.

Ensuite, amener les élèves à réfléchir et à comparer les suites en posant des questions telles que :

• Qu’observez-vous une fois les deux suites représentées dans la grille?
• Observations possibles : certains nombres sont recouverts d’un jeton transparent; certains nombres recouverts d’un jeton transparent sont aussi ombrés; les suites forment des droites obliques; il y a toujours une différence de 3 entre les nombres recouverts d’un jeton; il y a toujours une différence de 6 entre les nombres ombrés.
• Y a-t-il des nombres qui font partie des deux suites?
• Quelle est la relation entre ces nombres?
• Quelle est la règle de régularité dans chaque suite?
• Quelle ressemblance et quelle différence y a-t-il entre la suite A : 3, 6, 9, 12, 15… et la suite C : 5, 8, 11, 14, 17...?

Comparer des suites dans des grilles de nombres de largeurs différentes

On peut ainsi approfondir le concept de relation entre les nombres.

Exemple

Présenter aux élèves deux suites numériques inscrites dans des grilles de largeurs différentes comme celles illustrées ci-dessous :

Suite A : 4, 8, 12, 16… représentée dans la grille 1;

Suite B : 3, 6, 9, 12… représentée dans la grille 2.

Afin de susciter la réflexion, poser des questions telles que :

• Qu’observez-vous par rapport aux deux suites représentées dans les grilles? (Les suites forment des droites obliques; certains nombres sont recouverts dans les deux grilles.)
• Quelle est la largeur de la grille 1? de la grille 2?
• Quelle est la règle de régularité dans la suite A? dans la suite B? (Règle de régularité dans la suite A : +4 ou -4. Règle de régularité dans la suite B : +3 ou -3.)

Note : La règle de régularité de soustraction peut être trouvée, si on lit la suite de bas en haut dans la grille. Par exemple, dans la grille 1, la suite peut se lire comme suit : 52, 48, 44, 40, 36, 32, 28…

• Pourquoi les deux suites n’ayant pas la même règle de régularité sont-elles disposées en droites obliques dans les grilles?
• Si on modifie la largeur de la grille 1 (grille 2), est-ce que la suite sera toujours disposée en droite oblique?
• Quelle règle de régularité permettrait d’obtenir une suite disposée en colonne dans la grille 1? dans la grille 2?
• Qu’arriverait-il si on représentait une même suite dans deux grilles de largeurs différentes?

Note : Cette activité est une activité d’exploration et d’observation des relations entre les nombres sur des grilles de largeurs différentes. Par exemple, la suite 4, 8, 12, 16… placée sur une grille de largeur 5 ou une grille de largeur 9 permettra d’observer des droites obliques semblables.

Comparer des suites à partir de différentes représentations

Comparer différentes représentations d’une même suite favorise l’analyse de relations.

Exemple

Suite : 2, 4, 6, 8…

Représenter cette suite sur une grille de 100 et sur une droite numérique.

Faire le lien entre les deux et comparer les représentations en posant des questions telles que :

• Quel changement y a-t-il d’une case à l’autre sur la grille? d’un nombre à l’autre sur la droite numérique?
• Combien y a-t-il de nombres entre deux nombres ombrés consécutifs sur la grille de nombres?
• Combien y a-t-il de nombres entre deux nombres encerclés consécutifs sur la droite numérique?
• Quel sera le prochain nombre ombré sur la grille? encerclé sur la droite numérique?
• Quelle régularité est représentée?
• Quelle représentation permet de trouver la règle plus rapidement? Explique ta réponse.
• Est-ce qu’on peut toujours utiliser une grille ou une droite pour représenter une suite numérique?
• Si on voulait représenter un plus grand nombre de termes dans la suite sur la droite numérique, comment devrait-on la modifier?

Une calculatrice peut aussi être utilisée pour représenter la suite.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 59-63.

Connaissance : table de valeurs

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La table de valeurs est une représentation numérique de la suite à motif croissant. Dans la table de valeurs, chaque figure est associée à un rang (figure 1 au rang 1, figure 2 au rang 2…). Cette table permet de repérer plus facilement la régularité numérique et d’analyser le changement. Après avoir organisé les données dans une table de valeurs, les élèves observent deux représentations d’une même règle : celle créée avec du matériel ou un dessin et la régularité numérique dans la table de valeurs.

La table de valeurs peut être verticale ou horizontale.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 42-43.