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C1.4 Créer et décrire des suites numériques comprenant des nombres naturels et des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes, et représenter des relations entre les nombres.

Habileté : Créer et décrire des suites numériques afin de représenter des relations entre les nombres naturels et les nombres décimaux

Le système de base dix comprend de multiples régularités et des suites qui permettent d’approfondir la compréhension des relations entre les nombres.

Depuis un jeune âge, les élèves comptent, soit par bonds de 1, de 2, de 5, de 10, de 25, etc. Le fait de compter par bonds et d’écrire la suite numérique qui en découle, aide les élèves à voir les relations entre les nombres. Il est important de continuer à faire compter les élèves, au cycle moyen, en utilisant différents types de nombres, tels que de grands nombres naturels (par exemple, compter par bonds de 500, de 1 500, etc.), des fractions (par exemple, compter par bonds de un tiers en disant : un un tiers (\(\frac{1}{3}\)), deux un tiers (\(\frac{2}{3}\)), trois un tiers (\(\frac{3}{3}\) ; un tout), etc., jusqu’à au moins cinq) et des nombres décimaux. La façon d’écrire les nombres, lorsque les élèves les récitent, est intentionnelle et doit être planifiée afin de faire ressortir les relations.

Les suites et les règles de régularité peuvent être utilisées pour comprendre les relations entre les nombres naturels et les nombres décimaux.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

La compréhension des relations entre la valeur des chiffres et leur position dans un nombre est essentielle au développement du sens du nombre. Au cycle primaire, les élèves développent une compréhension des relations entre les valeurs de position des unités, des dizaines et des centaines. Cependant, au cycle moyen, cette compréhension n’est pas automatiquement transposée aux plus grands nombres. C’est pourquoi il importe de s’assurer de faire comprendre aux élèves que la valeur de n’importe quelle position dans un nombre est toujours 10 fois plus grande que la valeur de la position immédiatement à droite, et 10 fois plus petite que la valeur de la position immédiatement à gauche. Il est aussi important d’examiner les relations de 100 fois ou de 1 000 fois plus grand ou plus petit entre les valeurs de position afin de développer chez les élèves un sens du nombre approfondi, notamment le sens des grands nombres.

Les élèves doivent aussi reconnaître, par exemple, qu’une dizaine de mille représente un regroupement de 100 centaines, un regroupement de 1 000 dizaines ou un regroupement de 10 000 unités. Ces regroupements permettent de reconnaître des représentations équivalentes de nombres (par exemple, 2 534 est égal à 25 centaines et 34 unités).

Il est possible d’observer des régularités et des relations en décomposant un nombre à l’aide de la valeur de position.

Exemple

Le nombre d’unités augmente de 10 lorsque le nombre de dizaines diminue de 1.

Les relations de valeur de position jouent un rôle important lorsque vient le temps de faire des estimations, des arrondissements ou des décompositions. De plus, elles sont à la base de la multiplication et de la division par un multiple de 10.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 44-45.

Exemple

Lorsque le facteur qui est multiplié par 10 augmente de 1, le produit augmente de 10.

Lorsque le dividende diminue de 10, le quotient diminue de 1.

Relations de valeur de position dans les nombres décimaux

C’est au début du cycle moyen que les élèves étudient, pour la première fois, la partie décimale d’un nombre. Leur compréhension de la valeur de position des chiffres et de la relation entre les valeurs de position doit être approndie. Les nombres décimaux font partie du quotidien, et la compréhension des valeurs de position à la droite et à la gauche de la virgule est essentielle.

Il est important que les élèves saisissent aussi la relation multiplicative par 10 qui existe entre les valeurs de position adjacentes. Leur compréhension de cette relation a préalablement été développée dans le cadre de l’étude des nombres naturels, soit que chaque position a une valeur 10 fois plus grande que celle à sa droite et 10 fois plus petite que celle à sa gauche.

Cette relation multiplicative est aussi vraie pour les positions décimales.

Les élèves peuvent développer une compréhension de cette relation en effectuant des regroupements à l’aide du matériel de base dix. Il s’agit de montrer que, tout comme 10 unités donnent 1 dizaine, 10 dixièmes donnent 1 unité et 10 centièmes donnent 1 dixième, et ainsi de suite.

Exemple

Le nombre de dixièmes augmente de 10 lorsque le nombre d’unités diminue de 1.

Les élèves peuvent créer des suites d’opérations apparentées afin d’illustrer la relation entre les faits d’addition et de soustraction.

Exemple

Lorsque le premier terme, dans l’addition, augmente de 0,1 et que le deuxième terme diminue de 0,1, la somme est toujours la même tout le long de la série d’opérations apparentées.

Lorsque le deuxième terme, dans la soustraction, diminue de 0,1, la différence augmente de 0,1 tout le long de la série d’opérations apparentées.

La relation multiplicative par 10 entre les valeurs de position peut aussi être explorée à l’aide des unités de mesure métriques, puisque celles-ci sont conçues en fonction de la base dix (par exemple, 10 cm donnent 1 dm, 10 mm donnent 1 cm). Il est préférable d’éviter les unités monétaires pendant les premiers apprentissages conceptuels, car même s’il y a effectivement une relation multiplicative par 10 entre la valeur de certaines pièces (par exemple, entre les pièces de 10 ¢ et de 1 $), elle est tout autre entre d’autres pièces (par exemple, entre les pièces de 5 ¢ et de 1 $).

La calculatrice offre des façons intéressantes d’explorer la relation multiplicative par 10. Les élèves, par exemple, peuvent effectuer l’opération 0,1 + 0,1, prédire la réponse et continuer la série jusqu’à 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1. Avant d’ajouter 0,1 une dernière fois, une discussion s’impose afin d’explorer les hypothèses et le raisonnement des élèves et de s’assurer qu’elles et ils reconnaissent que 10 dixièmes donnent 1 unité. Les élèves peuvent reprendre l’activité en utilisant la série 0,01 + 0,01 + … ou 0,001 + 0,001 + … ou en utilisant d’autres nombres décimaux.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 51-53.

Connaissance : Nombres naturels

Les nombres naturels sont tous les nombres entiers positifs, y compris le zéro (par exemple, 0, 2, 17, 36, 134). Il y a une infinité de nombres naturels.

Notre système de base 10 est axé sur le regroupement (groupes de 10).

• Les unités sont regroupées en groupes de 10 pour former les dizaines.
• Les dizaines sont regroupées en groupes de 10 pour former les centaines, et ainsi de suite.

Source : L’@telier - Ressources pédagogiques en ligne (atelier.on.ca).

Connaissance : Nombre décimal

Ensemble des nombres décimaux (D)

L’ensemble des nombres décimaux est formé des nombres qui peuvent être exprimés sous la forme décimale avec une partie décimale finie (par exemple, 3,72; –5,1; 0; –7,0; 12,135 64). Cet ensemble comprend tous les entiers, car ils peuvent être exprimés avec une partie décimale (par exemple, 3 = 3,0). Il comprend aussi certaines fractions, comme \(\frac{2}{5}\) et \(\frac{3}{16}\), puisque \(\frac{2}{5}\) = 0,4 et \(\frac{3}{16}\) = 0,187 5. Cependant, un grand nombre de fractions sont exclues, comme \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{7}{11}\), car leur développement décimal nécessite un nombre infini de décimales \(\frac{1}{3}\) = 0,333 333… et \(\frac{7}{11}\) = 0,636 363…).

Il est intéressant de constater que tous les nombres décimaux peuvent être exprimés sous la forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. (Les puissances de 10 sont 1, 10, 100, 1 000… Le nombre 1 est inclus comme puissance de 10, car, par définition, 10⁰ = 1.)

Exemples

\(3,72 = 3 \ \frac{72}{100} \ = \ \frac{372}{100}\)

\(- 5,1 \ = -5 \ \frac{1}{10} \ = \ - \frac{51}{10}\)

\(5 \ = \ 5,0 \ = \ \frac{5}{1} \)

Puisque les nombres naturels sont tous des nombres entiers et que les nombres entiers sont tous des nombres décimaux, la relation entre les ensembles de nombres peut être représentée par le diagramme de Venn suivant.

Note : Il n’existe pas d’ensemble de nombres à virgule. L’appellation nombre à virgule signifie simplement que l’expression du nombre contient une virgule. Ainsi, un nombre à virgule peut être un nombre décimal (par exemple, 0,45), un nombre périodique (par exemple, 0,333…) ou un nombre irrationnel (par exemple, 3,141 5…).

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 42.