C2.2 Résoudre des équations qui comprennent des nombres naturels jusqu’à 50, dans divers contextes, et vérifier les solutions.
Habileté : Résoudre des équations
Les élèves prennent connaissance d’équations à résoudre au cycle primaire, généralement dans le domaine d’étude Algèbre, ainsi que dans le domaine d’étude Nombres. Ces équations proviennent de situations-problèmes, et leur résolution se fait souvent à l’aide de représentations concrètes et d’illustrations.
Au cycle moyen, les élèves résolvent davantage des équations. Il est essentiel qu’elles et ils maîtrisent la notion d’égalité, comme expression d’équilibre, avant de commencer à résoudre des équations. De plus, il importe que ces équations proviennent de situations-problèmes afin que les élèves puissent leur donner un sens ainsi qu’à leur solution.
Résoudre de telles équations signifie déterminer la valeur inconnue qui maintient l’égalité. La résolution d’équations doit s’effectuer dans un contexte de compréhension et d’analyse de l’égalité. Il est alors important d’inviter régulièrement les élèves à expliquer leur démarche de résolution d’équations, à justifier les gestes qu’elles et ils font et à montrer leur compréhension des concepts présents afin d’éviter que la résolution d’équations ne devienne qu’une application aveugle de procédures.
Résolution d’équations par essais systématiques
Selon cette stratégie élémentaire, les élèves choisissent, de façon systématique, des valeurs potentielles de la valeur inconnue, jusqu’à ce qu’une de ces valeurs rende l’égalité vraie. Pour résoudre, par exemple, l’équation 2 × p + 6 = 22, elles et ils choisissent successivement p = 1, 2, 3… et constatent que l’égalité est vraie lorsque p = 8.
Pour résoudre certaines équations, comme 125 – b = 32, les élèves peuvent utiliser des stratégies qui font appel à leur sens du nombre de manière à diminuer le nombre d’essais. Ainsi, pour résoudre cette équation, il ne serait pas sage de procéder en utilisant b = 1, b = 2, b = 3, et ainsi de suite, car cela prendrait beaucoup trop de temps. Elles et ils pourraient penser comme suit : Je sais que 125 – 100 = 25, et 25, c’est près de 32. Si je soustrais 105, j’obtiens 20. Je m’éloigne de la quantité cherchée. Donc, je vais soustraire un peu moins que 100. Je vais essayer b = 99, b = 98, et ainsi de suite.
Avantages de la résolution d’équations par essais systématiques :
- Les élèves mettent en évidence ce que signifie résoudre une équation, c’est-à-dire déterminer la valeur inconnue qui maintient l’égalité.
- Les élèves travaillent de façon systématique et non de façon aléatoire. Elles et ils peuvent aussi faire appel à leur sens du nombre.
Inconvénient de la résolution d’équations par essais systématiques :
- La communication du travail effectué peut être désorganisée, car il peut être difficile de laisser des traces des essais. Il est possible de garder de telles traces en créant une table de valeurs. Voici un exemple de table de valeurs utilisée pour résoudre l’équation 125 – b = 32 :
| b | 100 | 105 | 99 | 98 | 95 | 93 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 125-b | 25 | 20 | 26 | 27 | 30 | 32 |
Note : Certaines notations doivent être évitées. Pour résoudre, par exemple, l’équation 2 × p + 6 = 22, l’élève qui essaie p = 1 ne doit pas écrire « 2 × 1 + 6 = 22 », puisque cette égalité est fausse. Elle ou il peut évaluer le membre de gauche pour obtenir 2 × 1 + 6 = 8 ou utiliser l’équation sous la forme interrogative (par exemple, \(2 \times 1 + 6 \stackrel{?}{=} 22\)) ou écrire 2 × 1 + 6 ≠ 22.
Résolution d’équations par inspection
Selon cette stratégie, les élèves reconnaissent la relation d’égalité représentée par l’équation. Elles et ils comparent les quantités et font appel à leur sens du nombre pour déterminer la valeur inconnue. Voici trois exemples de la résolution de l’équation c + 45 = 98 par inspection.
Exemple 1
Un élève reconnaît qu’il doit trouver le nombre qui, additionné à 45, donne une somme de 98. Pour ce faire, il utilise son sens du nombre. Puisqu’il sait que 45 + 45 = 90, il conclut que le nombre qu’il cherche est 8 de plus que 45, soit 53.
Exemple 2
Une élève reconnaît qu’en enlevant une même quantité de chaque côté de l’égalité, l’équation est modifiée, mais l’égalité est maintenue.
c + 45 = 98
c + 45 – 45 = 98 – 45
c = 98 – 45
c = 53
Note : Il est important que les élèves effectuent ce raisonnement par étapes, sinon elles et ils risquent de simplement appliquer mécaniquement une procédure incomprise. De plus, ce raisonnement peut être utilisé pour mieux saisir le concept d’opération inverse, c’est-à-dire que la soustraction est l’opération inverse de l’addition.
Exemple 3
Un élève décompose un nombre, puis compare ou annule les nombres
Image « c » plus 45 égal 98 « c » plus 45 égal 90 plus 8 « décompose ». « c » plus 45 égal 45 plus 45 plus 8 « décompose et compare ». « c » égal 53 Un trait fait un lien entre le « c » et le 45 plus 8. « c » plus 45 égal 98 « c » plus 45 égal 90 plus 8 « décompose ». « c » plus 45 égal 45 plus 45 plus 8 « décompose et annule ». « c » égal 53 Un 45 de chaque côté de l’égal est barré à la troisième ligne.
Avantages de la résolution d’équations par inspection :
- Les élèves s’exercent à décoder l’équation, c’est-à-dire à donner un sens au symbolisme de l’équation. Elles et ils développent ainsi leur sens du symbole, de l’équation et de l’égalité.
- Les élèves réfléchissent aux opérations et aux nombres au lieu de chercher à utiliser une procédure vide de sens.
Dans les exemples ci-dessus, on constate que les élèves peuvent résoudre une même équation par inspection en utilisant diverses stratégies. Les stratégies comparer des termes, décomposer des termes et modifier l’équation qui ont été explorées dans le cadre de l’analyse d’une égalité s’appliquent très bien dans les situations de résolution d’équations par inspection, puisque l’équation représente une égalité. Il importe d’aider les élèves à établir ce lien en faisant ressortir la similitude entre une égalité et une équation à résoudre.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 90-92.
La vidéo suivante démontre la résolution d’équations par inspection et à l’aide du modèle de la balance.
Description de la vidéo
Description à venir
Connaissance : Équation
Relation d’égalité qui comporte une ou plusieurs variables.
Exemple
20 + 44 = ____ + 20
a + b = 10
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Connaissance : Variable
Terme indéterminé (symbole ou lettre), dans une équation, qui peut être remplacé par une ou plusieurs valeurs.
Exemple
Dans l’équation, 10 = Δ + 9, le triangle est une variable, car la valeur est inconnue. Il est possible de remplacer le symbole par une seule valeur, soit par 1, pour rendre l’équation vraie.
Dans l’équation 10 = Δ + * ou 10 = x + y, les symboles ou les lettres sont des variables, car ils peuvent être remplacés par différentes valeurs.
Source : En avant, les maths!, 3e année, CM, Algèbre, p. 2.