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Un remaniement des guides d'enseignement efficace en mathématiques

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D1.6 Examiner divers ensembles de données présentées de différentes façons, y compris dans des diagrammes à tiges et à feuilles et des diagrammes à bandes multiples, en se posant des questions au sujet des données, en y répondant et en tirant des conclusions, et ensuite formuler des arguments persuasifs et prendre des décisions éclairées.

ACTIVITÉ 1 : Analyse d’un diagramme à bandes doubles

Mener un sondage auprès d’un ensemble d’élèves de l’école, et ce, selon leur cycle. Présenter l’ensemble des résultats à l’aide d’un diagramme à bandes doubles.

Image Un diagramme à bandes doubles horizontales jaunes et violettes s’intitule « Animaux de compagnie des élèves de la première à la sixième année ». Les bandes jaunes correspondent aux élèves de la première à la troisième année tandis que les bandes violettes correspondent aux élèves de la quatrième à la sixième année. Nommé « Nombres d’élèves », l’axe horizontal est gradué de 0 à 50 tandis que l’axe vertical se nomme « Animaux de compagnie ». Pour le chien, la bande jaune s’arrête entre 40 et 45 tandis que la bande violette dépasse légèrement 45. Pour le chat, la bande jaune dépasse légèrement 35 tandis que la bande violette dépasse légèrement 30. Pour l’oiseau, la bande jaune atteint cinq tandis que la bande violette s’arrête avant cinq. Pour le poisson, la bande jaune s’arrête entre 15 et 20 tandis que la bande violette s’arrête entre cinq et dix. Pour « autre animal », la bande jaune s’arrête un peu avant dix et la bande violette dépasse légèrement dix. Et pour « aucun animal », la bande jaune atteint 40 tandis que la bande violette atteint 35.

Lire les données

Questions pertinentes

  • De quoi est-il question dans ce diagramme? (On répertorie les animaux de compagnie des élèves de la 1re à la 6e année.)
  • Combien d’élèves de la 1re à la 3e année ont un oiseau? Comment le sait-on? (Cinq élèves ont un oiseau. On le voit d’après la quatrième bande orange au-dessus de l’axe horizontal.)
  • Combien y a-t-il de catégories? (Il y a six catégories.)
  • Quelle est l’échelle sur l’axe horizontal? (L’axe horizontal est gradué de 0 à 50, par intervalles de 5.)
  • Que représente l’axe vertical dans ce diagramme à bandes? (L’axe vertical représente les catégories d’animaux de compagnie.)
  • Que représente la bande bleue la plus longue? (Elle représente le nombre d’élèves de la 4e à la 6e année qui ont un chien comme animal de compagnie.)
  • Quel est l’animal de compagnie le plus commun chez les élèves de la 1re à la 3e année? chez les élèves de la 4e à la 6e année? (Chez les élèves du cycle primaire, l’animal de compagnie le plus commun est le chien : 42 élèves. Chez les élèves du cycle moyen, c’est également le chien : 46 élèves.)

Lire entre les données

Questions pertinentes

  • Est-ce qu’on peut dire que l’oiseau est l’animal de compagnie le moins commun chez les élèves de la 1re à la 6e année? Comment peut-on le démontrer? (Oui, l’oiseau est l’animal de compagnie le moins commun chez les élèves. Pour chaque catégorie, on additionne la longueur de la bande orange et celle de la bande bleue, ce qui représente le total d’élèves dans cette catégorie. On obtient le total le moins élevé, soit 8, pour l’oiseau.)
  • Est-ce que le nombre d’élèves possédant un chat est plus élevé que le nombre total d’élèves qui possèdent un poisson ou un autre animal? (Oui, il y a plus d’élèves qui ont un chat que d’élèves qui ont un poisson ou un autre animal, car 67 élèves ont un chat, alors que 25 élèves ont un poisson et 20 élèves ont un autre animal, pour un total de 45 élèves.)
  • Selon une recherche canadienne, les chats suivis des chiens sont les deux animaux de compagnie les plus populaires au Canada. Est-ce le cas pour les animaux de compagnie des élèves dont il est question dans le diagramme? (Non, car si on additionne les données pour les élèves du cycle primaire et celles des élèves du cycle moyen dans chaque catégorie, on obtient, en ordre décroissant, 88 élèves qui ont un chien, 75 élèves qui n’ont aucun animal, 67 élèves qui ont un chat, 25 élèves qui ont un poisson, 20 élèves qui ont un autre animal et 8 élèves qui ont un oiseau.)

Lire au-delà des données

Questions pertinentes

  • Pensez-vous que le chien est l’animal de compagnie le plus commun dans les classes de la maternelle et du jardin d’enfants? Pourquoi? (C’est possible, car selon le tableau, il y a beaucoup plus d’élèves de la 1re à la 6e année qui ont un chien que n’importe quel autre animal et ça doit être la situation chez les élèves de la maternelle et du jardin d’enfants.) ou (L’enquête ne permet pas de le savoir, car elle a seulement été menée auprès des élèves de la 1re à la 6e année et on sait que les goûts des élèves peuvent être différents selon leur âge.)
  • Si on reprend le sondage avec d’autres choix de réponse, pensez-vous que les résultats seront semblables? (Oui, si on conserve le chien parmi les choix, puisque ce choix risque tout de même d’obtenir la plus grande fréquence. Par contre, si le chien ne fait pas partie des animaux présentés, il se peut que la catégorie « autre animal » soit celle qui obtienne la plus grande fréquence.)
  • Comment pourrait-on organiser les données pour obtenir d’autres renseignements? (En regroupant les données des élèves de la 1re à la 6e année comme dans le tableau ci-dessous, on peut analyser la préférence des élèves en général.)

Animaux de compagnie des élèves de la 1re à la 6e année

Animaux de compagnie Nombre d'élèves
chien 88
chat 67
oiseau 8
poisson 25
autre animal 20
aucun animal 75
Total 283
  • Quelle information nouvelle le tableau fournit-il? (La très grande majorité des élèves dont il est question ont un animal de compagnie et préfèrent les quadrupèdes, puisque 155 élèves ont un ou des chiens et un ou des chats à la maison.)
  • Quelles autres questions pouvez-vous poser à partir du diagramme? (En comparant les élèves du cycle primaire et celles et ceux du cycle moyen, dans quelle catégorie y a-t-il la plus grande différence? la plus petite différence? Quels pourraient être les animaux dans la catégorie « autre animal »?)

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 91-97.

ACTIVITÉ 2 : Analyse et comparaison de diagrammes à bandes doubles

Dans le cadre d’une activité en études sociales, le personnel enseignant présente les deux diagrammes ci-dessous, qui ont été construits à partir de données secondaires recueillies dans divers tableaux sur le site Web de Ressources naturelles Canada.

Image La figure un est un diagramme à bandes doubles violettes et rouges qui s’intitule « Production de métaux en Ontario et au Canada en 2004 ». Les bandes violettes correspondent à l’Ontario, tandis que les bandes rouges correspondent au Canada. L’axe horizontal représente les métaux tandis que l’axe vertical représente la quantité en milliers de tonnes. Pour le cuivre, la bande violette s’arrête peu avant 200, tandis que la bande rouge s’arrête entre 500 et 600. Pour le nickel, la bande violette dépasse très légèrement 100, tandis que la bande rouge s’arrête très légèrement sous 200. Et pour le zinc, la bande violette s’arrête légèrement sous le nombre 100 tandis que la bande rouge s’arrête entre 700 et 800. Image La figure deux est un diagramme à double bandes violettes et rouges qui s’intitule « Production de métaux en Ontario et au Canada en 2004 ». Les bandes violettes correspondent à l’Ontario, tandis que les bandes rouges correspondent au Canada. L’axe horizontal représente les métaux tandis que l’axe vertical représente la quantité en tonnes, de zéro à 2500. Pour le cadmium, la bande violette s’arrête entre zéro et 500, et la bande rouge s’arrête au-dessus de 500. Pour le cobalt, la bande violette s’arrête avant 1500, et la barre rouge dépasse 2000. Pour l’or, la bande violette dépasse à peine zéro, de même que la bande rouge, légèrement plus longue. Pour le platine, les bandes violette et rouge ne forment qu’un mince trait au-dessus de zéro. Pour l’argent, la bande violette s’arrête plus près de zéro que de 500, et la bande rouge s’arrête entre 1000 et 1500.

Questions pertinentes

  • Parmi les métaux produits au Canada en 2004, y en a-t-il dont plus de la moitié de la production provient de l’Ontario? (Oui, il y a le nickel, le cobalt, l’or et le platine.)
  • L’Ontario produit-il plus de cobalt ou plus de zinc? (L’Ontario produit plus de zinc que de cobalt.)
  • Lequel des métaux présentés est le plus produit au Canada? en Ontario? (Le zinc est le métal le plus produit au Canada. Le cuivre est le métal le plus produit en Ontario.)
  • Quelle est la principale différence entre les deux diagrammes? (Les axes verticaux n’ont pas la même échelle. Dans le premier diagramme, les quantités sont présentées en milliers de tonnes, alors que dans le second diagramme, elles sont présentées en tonnes.)
  • Un élève dit que l’Ontario produit à peu près la même quantité de cuivre que d’argent, soit 200. Un autre élève affirme que l’Ontario produit près de 1 000 fois plus de cuivre que d’argent. Qui a raison? Pourquoi? (Le second élève a raison. L’Ontario produit près de 200 000 tonnes de cuivre et 200 tonnes d’argent.)  
  • Pourquoi a-t-on présenté ces données dans deux diagrammes plutôt qu’un? (On a présenté les données dans deux diagrammes, avec des échelles différentes, en raison de la très grande étendue des valeurs. Pour bien voir les petites valeurs et les grandes valeurs, il faudrait que l’échelle verticale soit très grande et qu’elle dépasse une page normale.)

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 94-95.

Activité 3 : Analyse et comparaison de diagrammes à bandes

À la suite d’un sondage, le personnel enseignant propose deux représentations des résultats.

Image Un diagramme à bandes violettes s’intitule « Nombre de poissons dans l’aquarium des élèves ». L’axe horizontal se nomme « Nombre de poissons » est gradué de zéro à 9, tandis que l’axe vertical se nomme « Nombre d’élèves » et est gradué de zéro à 18. La bande située au chiffre deux s’élève jusqu’à 6. La bande située au chiffre trois s’élève jusqu’à trois. La bande située au chiffre 4 s’élève jusqu’à cinq. La bande située au chiffre cinq s’élève jusqu’à 8. La bande située au chiffre 6 s’élève jusqu’à 4. La bande située au chiffre 7 s’élève jusqu’à cinq. La bande située au chiffre 8 s’élève jusqu’à deux. Et la bande située au chiffre 9 s’élève jusqu’à 6.

Questions pertinentes

  • Quelles conclusions pouvez-vous tirer à partir de chaque diagramme à bandes? (Le premier diagramme indique le nombre d’aquariums qui contiennent respectivement 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 poissons. Le second diagramme indique que huit aquariums contiennent cinq poissons, 14 aquariums contiennent moins de cinq poissons et 17 aquariums contiennent plus de cinq poissons.)
  • Le second diagramme vous donne-t-il tous les renseignements nécessaires au sujet du nombre de poissons dans les aquariums? (Non, car il ne révèle pas le nombre de poissons dans chaque aquarium.)
  • Pensez-vous que les résultats seraient les mêmes si vous posiez cette question à d’autres classes? Pourquoi? (C’est possible. Par contre, l’intérêt des élèves des autres classes pour les poissons pourrait être très différent.)
  • Si je veux convaincre la direction de l’école que les élèves ont l’expérience pour prendre soin de plusieurs poissons, quel diagramme devrais-je lui montrer? Pourquoi? (Je lui montrerais le second diagramme, car la bande correspondant à la catégorie « plus de 5 » est la plus longue et la direction constaterait que plusieurs élèves ont de l’expérience quant aux soins à donner à plusieurs poissons.)

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 98.

ACTIVITÉ 4 : Analyse des données (trois niveaux de lecture)

Une classe a mené un sondage auprès des élèves de la 4e, de la 5e et de la 6e année de l’école. Le personnel enseignant leur présente ensuite l’ensemble des résultats à l’aide d’un tableau et d’un diagramme à bandes multiples.

Légumes préférés des élèves

Légume Nombre d'élèves de 4e année Nombre d'élèves de 5e année Nombre d'élèves de 6e année
carotte 9 7 5
haricot 3 4 6
brocoli 4 4 6
asperge 5 2 4
céleri 2 3 3
concombre 5 5 4
poivron 1 2 1
navet 0 0 1
Image Un diagramme à bandes multiples colorées s’intitule « Légumes préférés des élèves ». L’axe horizontal se nomme « légumes », tandis que l’axe vertical, gradué de zéro à dix, est nommé « Nombre d’élèves ». Les bandes violettes correspondent aux élèves de la quatrième année, les bandes jaunes correspondent aux élèves de la cinquième année, et les bandes rouges correspondent aux élèves de la sixième année. Pour la carotte, la bande violette s’élève à 9, la bande jaune s’élève à 7 et la bande rouge s’élève à cinq. Pour le haricot, la bande violette s’élève à trois, la bande jaune s’élève à 4 et la bande rouge s’élève à 6. Pour le brocoli, la bande violette et la bande jaune s’élèvent à 4, et la bande rouge s’élève à 6. Pour l’asperge, la bande violette s’élève à cinq, la bande jaune s’élève à deux et la bande rouge s’élève à 4. Pour le céleri, la bande violette s’élève à deux et les bandes jaune et rouge s’élèvent à trois. Pour le concombre, les bandes violette et jaune s’élèvent à cinq, et la bande rouge s’élève à 4. Pour le poivron, les bandes violette et rouge s’élèvent à un, et la bande jaune s’élève à deux. Pour le navet, les bandes violette et jaune demeurent à zéro tandis que la bande rouge s’élève à un.

Afin d’amener les élèves à lire les données, le personnel enseignant pose des questions telles que :

  • Quel est le titre de ce diagramme? (Légumes préférés des élèves)
  • Que représente ce diagramme? (Les légumes préférés des élèves de la 4e, de la 5e et de la 6e année.)
  • Que trouve-t-on sur l’axe horizontal? (Le choix de légumes.)
  • Combien y a-t-il de catégories de légumes? Nomme-les. (Il y a huit catégories de légumes, soit carotte, haricot, brocoli, asperge, céleri, concombre, poivron et navet.)
  • Y a-t-il des légumes, parmi ceux proposés, qui n’ont pas été choisis? (Oui, les élèves de la 4e et de la 5e année n’ont pas choisi le navet.)
  • Quel légume est le légume préféré de cinq élèves de la 4e année? (Il y a deux légumes que cinq élèves de la 4e année disent préférer, soit l’asperge et le concombre.)

Afin d’amener les élèves à établir des liens entre les données, le personnel enseignant pose des questions telles que :

  • Combien d’élèves préfèrent le brocoli? (Il y a 14 élèves qui préfèrent le brocoli, soit quatre élèves de la 4e année, quatre élèves de la 5e année et six élèves de la 6e année [4 + 4 + 6 = 14].)
  • Quel est le légume le plus populaire? (Le légume le plus populaire est la carotte [9 + 7 + 5 = 21].)
  • Y a-t-il plus d’élèves qui préfèrent le concombre au haricot? Comment le savez-vous? (Oui, il y a plus d’élèves qui préfèrent le concombre (14 élèves au total) au haricot (13 élèves au total). On peut le voir en comparant les fréquences dans le tableau et en comparant la hauteur des bandes correspondant à ces légumes dans le diagramme.)
  • Y a-t-il plus d’élèves qui préfèrent la carotte que d’élèves qui ne la préfèrent pas? (On doit d’abord additionner les nombres d’élèves dont le légume préféré est un autre légume que la carotte, ce qui nous donne 65 élèves. Comme seulement 21 élèves préfèrent la carotte, il y a donc plus d’élèves dont le légume préféré n’est pas la carotte.)

Afin d’amener les élèves à lire au-delà des données, le personnel enseignant pose des questions telles que :

  • Quelles conclusions pouvez-vous tirer à partir du tableau ou du diagramme à bandes multiples pour répondre à la question de départ, à savoir quel est le légume préféré des élèves de la 4e, de la 5e et de la 6e année? (On peut conclure que la carotte est le légume préféré des élèves de la 4e à la 6e année.)
  • Est-ce que vous croyez qu’il y a une différence entre les élèves du cycle primaire et celles et ceux du cycle moyen? (À partir des deux représentations que l’on a, on ne peut pas répondre à cette question. Il faudrait poser la même question aux élèves du cycle primaire afin de pouvoir émettre des conclusions.)
  • Pensez-vous que les résultats seraient identiques si vous posiez la même question à d’autres classes de l’école? Pourquoi? (Les résultats pourraient être semblables ou complètement différents à cause de la variabilité des préférences et du fait que l’échantillon utilisé lors de ce sondage ne comprenait que les élèves du cycle moyen.)

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 99-100.