C1.3 Déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions, et trouver les termes manquants dans des suites.
Habileté : déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites
Analyse du changement
Les élèves vivent dans un monde en changement. Comprendre que le changement fait partie de la vie et que la majorité des choses changent avec le temps (par exemple, chaque année pendant la période de croissance, la taille croît, le poids augmente, les pieds allongent) est la dernière composante du développement de la pensée algébrique. Les changements observés peuvent être décrits de façon qualitative (par exemple, je suis plus grand que l’an dernier; mes cheveux sont plus longs; le seau s’est rempli d’eau rapidement pendant l’orage; il fait plus froid que ce matin) et de façon quantitative (par exemple, j’ai grandi de 2 cm cette année; le seau d’eau s’est rempli de 50 ml en 30 minutes; la température a chuté de 6 °C en 3 heures). Les élèves doivent apprendre à observer et à comprendre les changements dans les régularités.
Le changement et les régularités sont deux concepts qui ne peuvent être dissociés dans l’étude des suites. Les élèves se rendent compte que le changement d’un terme influe sur le terme suivant. Par la suite, l’observation de changements et de relations entre ces changements aide à prédire d’autres termes de la suite et, ainsi, à généraliser.
En examinant le changement d’une figure à l’autre, les élèves observent une règle de régularité qui les aide à prédire les figures aux prochains rangs.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 21-22.
L’essentiel est de développer le raisonnement algébrique chez les élèves en les rendant capables de justifier le prolongement d’une suite non numérique ou numérique et en explicitant les relations qui existent entre les termes de la suite.
Les relations entre les termes
En utilisant diverses représentations et du matériel varié, les élèves explorent le concept de régularité dans des suites non numériques et numériques, et communiquent, en leurs propres mots ou au moyen de représentations personnelles, leurs observations et leurs perceptions des relations entre les termes de la suite.
Au cycle primaire, les élèves apprennent à reconnaître des relations qui existent entre les termes dans une suite. En examinant des suites, elles et ils cernent la façon dont cette information peut être utilisée pour déterminer ce qui doit être ajouté à une suite pour la prolonger. En découvrant les relations, elles et ils se rendent compte que les prochains termes dans la suite ne sont pas choisis aléatoirement. La recherche de régularités est, en soi, une importante stratégie de résolution de problèmes.
Les élèves redéfinissent continuellement l’image mentale qu’elles et ils se font des régularités. Leur représentation est souvent limitée par les exemples qu’on leur présente ou par leurs expériences personnelles. Il importe donc qu’au cours des activités, le personnel enseignant présente une variété de représentations et de régularités pour faciliter l’intégration du concept. L’essentiel est de développer le raisonnement algébrique chez les élèves en les rendant capables de justifier le prolongement d’une suite non numérique ou numérique et en explicitant les relations qui existent entre les termes de la suite.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 27.
Suites non numériques
Afin de prolonger une suite, les élèves doivent reconnaître les éléments du motif et déterminer leur ordre. En prolongeant une suite tout en justifiant leur choix, les élèves communiquent leur compréhension de ce qu’est la règle; par exemple, une ou un élève peut dire : « Je vais être le voilier parce que, juste avant moi, c’est le ballon, et la suite, c’est toujours voilier, ballon, voilier, ballon… qui se répètent. »
Avec leur corps ou du matériel de manipulation, les élèves peuvent explorer le prolongement d’une suite et faire des changements plus facilement. Elles et ils peuvent aussi prolonger une suite que d’autres ont construite.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 38.
Suites numériques
Très tôt, les élèves prennent conscience des régularités dans leur environnement, dans la nature, dans les objets qui les entourent. C’est la raison pour laquelle il est possible de présenter les suites numériques dès la 1re année. Parallèlement, les élèves développent leur sens du nombre, peuvent compter par intervalles et à rebours et, par la suite, s’approprient le concept d’addition en tant que regroupement d’objets. Tous ces concepts ont un lien important avec l’apprentissage des régularités numériques.
« Puisque le système de numération est construit sur un système de régularités prévisibles, les élèves doivent non seulement être capables d’identifier les régularités qu’elles et ils voient, mais aussi de justifier leur raisonnement à l’aide de l’évidence qui explique la raison pour laquelle ces régularités existent. » [traduction libre] (Economopoulos, 1998)
Dès que les élèves commencent à explorer le système de numération à base 10, synonyme de système décimal, elles et ils découvrent qu’il y a répétition des chiffres de 0 à 9 lorsqu’elles et ils comptent au-delà de 9 (10, 11, 12, 13, 14, 15…). De voir et de justifier cette régularité dans le système décimal améliore la compréhension du sens du nombre et des regroupements (unités, dizaines, centaines, etc.). Par exemple, en comptant par bonds de 2, à partir de 16, les élèves observent une régularité prévisible dans les nombres 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32… C’est un premier pas vers l’exploration des multiples de 2. Cette compréhension mène aussi à une capacité de compter à partir de tout nombre par n’importe quel bond. De même, lorsque les élèves comptent par 5, elles et ils reconnaissent rapidement une régularité, c’est-à-dire que le chiffre des unités alterne entre le chiffre 0 et le chiffre 5 (5, 10, 15, 20…). Elles et ils peuvent généraliser cette découverte informellement en disant que tout nombre qui est un multiple de 5 va se terminer par le chiffre 5 ou 0.
Tout comme lors de l’apprentissage des concepts relatifs aux suites non numériques, c’est en développant l’habileté à reconnaître, entre autres, des suites numériques avec une régularité d’addition et de soustraction que les élèves du cycle primaire construisent leur pensée algébrique. Les démarches décrites précédemment pour développer cette habileté s’appliquent aussi aux suites numériques.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 49-51.
Habileté : faire des prédictions et les justifier
L’utilisation de matériel concret et semi-concret, puis d’une variété de représentations et de règles aide les élèves à faire des prédictions proches et lointaines et à les justifier.
Faire une prédiction proche consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressembleront les prochains termes d’une suite donnée. La prédiction peut être vérifiée simplement en prolongeant la suite.
Faire une prédiction lointaine consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressemblera une suite bien au-delà d’une suite donnée. Des calculs sont souvent nécessaires pour faire une prédiction juste ou pour vérifier sa vraisemblance.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Les élèves peuvent mieux décrire une suite lorsqu’elles et ils comprennent la relation entre chaque terme de la suite et la position que chacun occupe dans la suite. Il leur suffit de numéroter successivement chaque terme de la suite.
Ainsi, les élèves peuvent se référer à certains termes spécifiques de la suite; par exemple, dans cette suite, les soleils se trouvent au 3e, au 6e et au 9e rang en partant de la gauche. En analysant la relation entre le rang et le terme, il est facile de prédire les prochains termes dans la suite, sans devoir la prolonger. Cette analyse aide les élèves à généraliser; par exemple, un soleil sera au 12e rang, puisqu’il est au 3e rang de chaque motif. Le rang du soleil est toujours un multiple de 3.
Dans la situation-problème « Combien de soleils sont requis pour compléter 10 motifs dans cette suite? », les élèves du cycle primaire peuvent discuter informellement, modeler, créer des représentations multiples, les décrire et conclure en trouvant le nombre de soleils et en justifiant leur démarche. Explorer ce genre de problème aide les élèves à développer leur pensée algébrique et sert de fondement à l’utilisation d’une règle et de variables dans les années d’études à venir.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 38-39.
Dans les suites à motif croissant, il existe aussi une relation entre le rang de chaque figure et le nombre d’éléments dans chacune. Cette relation est un concept mathématique très important, qui mène à une généralisation plus formelle, soit la formulation de la règle.
Par exemple, en analysant attentivement une suite, les élèves voient que la figure au 1er rang comprend une forme géométrique, que la figure au 2e rang en a deux, que la figure au 3e rang en a trois, etc. Les élèves constatent donc qu’il y a toujours le même nombre de formes géométriques que le rang de la figure. Cette constatation, soit la règle, permet de trouver n’importe quel terme de la suite sans devoir la prolonger.
Des discussions informelles traitant des relations entre le rang et le nombre d’éléments qui le composent peuvent se produire en déterminant la règle et en prolongeant la suite.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 45-46.
Habileté : trouver des termes manquants dans des suites
Dans les suites non numériques et numériques, les élèves doivent déterminer ce qui se trouve à une position prédéterminée (avant, après ou à l’intérieur de la suite). Elles et ils ont donc besoin de déterminer la règle pour ensuite cibler la figure ou le nombre manquant.
L’étude des régularités dans une suite numérique peut se poursuivre avec une grille de nombres ou une droite numérique ayant des nombres manquants. Les élèves doivent d’abord trouver la règle afin de découvrir les nombres manquants, puis expliquer la règle de régularité d’addition ou de soustraction. Les élèves peuvent utiliser une calculatrice pour résoudre ce genre de problèmes.
Exemples
Nombres manquants dans une grille partielle
Une
grille dont certaines cases sont ombrées. Le modèle montre les numéros onze et douze avec deux carrés ombrés. La
rangée suivante montre les numéros 21 et 22 et deux carrés ombrés. Dans la troisième rangée, les deux premiers carrés
sont ombrés et les deux derniers carrés représentent les numéros 33 et 34. Enfin, dans la dernière rangée, les deux
premiers chiffres sont révélés, il s'agit des numéros 41 et 42, et les derniers carrés sont ombragés.
Nombres manquants sur une droite numérique ouverte
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 67.
Connaissance : régularité
Une régularité est un phénomène uniforme qui définit une suite et qui aide à en déterminer les termes.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 16.
Connaissance : règles
Règle de régularité
Règle qui aide à prolonger une suite en respectant la différence entre les termes (aussi appelé bond constant).
Règle de correspondance
Règle qui aide à prolonger une suite en établissant la relation entre le rang et son terme.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année. glossaire, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.