C1.2 Créer des suites à motif répété et des suites croissantes, à l’aide d’une variété de représentations, y compris des tables de valeurs et des représentations graphiques, et établir des liens entre les différentes représentations.
Habileté : Créer des suites à motif répété et des suites croissantes
Avant de créer des suites, les élèves doivent d’abord reconnaître, comparer, décrire, changer la représentation et prolonger une grande variété de suites.
Exemple
Les élèves montrent leur compréhension du concept de règle en créant une suite et en l’expliquant.
Au départ, l’utilisation du matériel de manipulation est indispensable pour représenter les suites, car au moment de la construction de suites, les élèves peuvent facilement changer un élément du motif et vérifier la règle. Cependant, en dessinant la suite sur du papier, les élèves se concentrent davantage sur le dessin à reproduire plutôt que d’examiner la suite au complet et de songer à la nature de la règle.
Il importe, au début, de faire travailler les élèves en petits groupes afin de favoriser l’échange d’idées. Au besoin, leur fournir les attributs et la structure de la suite ainsi que le matériel nécessaire pour la créer.
Au moment de l’échange mathématique, les présentations des suites permettent d’identifier les différentes représentations d’une même règle et de vérifier la façon dont les élèves communiquent leur compréhension.
Demander à chaque élève de créer une suite et de l’échanger avec une autre personne. Les élèves peuvent alors construire une différente représentation de la suite reçue, décrire sa structure, la prolonger ou en produire une complètement différente aux fins de comparaison. Il faut cependant limiter le nombre d’éléments dans le motif, car quelques élèves en utilisent trop, ce qui rend difficile l’identification de la structure de la suite.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 39-40.
Habileté : Représenter des suites et établir des liens entre les différentes représentations
Les élèves développent leur habileté à communiquer un raisonnement algébrique en exprimant leur compréhension d’une situation-problème ou d’un concept et en défendant leurs idées à l’aide de différents modes de représentation :
- concret, lié à l’exploration, à la manipulation et à la création à l’aide de matériel concret;
- semi-concret, lié à une illustration, à un dessin ou à toute autre représentation sur du papier;
- symbolique, lié à toute représentation faite à l’aide de chiffres ou de symboles;
- « en mots », lié à une explication ou à une description verbale ou écrite.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 18.
Afin d’acquérir une solide compréhension, les élèves doivent vivre des expériences en contexte en explorant des situations-problèmes. La mise en contexte permet aux élèves d’établir des liens entre diverses représentations et de développer une compréhension des concepts algébriques explorés. Il importe aussi d’utiliser diverses représentations afin d’aider les élèves à s’approprier les concepts mathématiques et à établir des liens entre les représentations.
Au cycle moyen, les élèves explorent les relations et les représentent de différentes façons. En 4e année, les élèves apprennent qu’une relation peut être représentée par une situation (suite non numérique), une règle en mots, une table de valeurs ou une représentation graphique. Les flèches, dans le schéma ci-dessous, montrent les liens entre les diverses représentations usuelles d’une relation.
Image
Infographie des représentations d’une relation. Les éléments suivants sont dans des encadrés et ils sont interreliés :
« table de valeurs », « règles en mots », « situation, suite non numérique », « représentation graphique ».
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 41.
L’utilisation de représentations multiples d’une même suite pour communiquer sa compréhension est une composante essentielle du développement de la pensée algébrique.
Description orale
Représenter une suite croissante à l’aide de mots
Lorsqu’une suite croissante est présentée aux élèves, il faut leur offrir différentes occasions de la représenter à l’aide de mots. Il s’agit d’une étape essentielle dans le cheminement des élèves pour les amener à déterminer l’expression algébrique de la suite.
La suite croissante peut être décrite comme suit :
Au 1er rang, la figure est composée de 3 carrés bleus et de 3 cercles rouges.
Au 2e rang, la figure est composée de 3 carrés bleus et de 4 cercles rouges.
Au 3e rang, la figure est composée de 3 carrés bleus et de 5 cercles rouges.
Les élèves peuvent aussi remarquer que le nombre de carrés bleus, soit trois, demeure constant, tandis que le nombre de cercles rouges augmente de un.
Représenter une situation-problème à l’aide de mots
Dans un contexte de résolution de problèmes, les élèves peuvent établir un lien entre une situation exprimée en mots et à l’aide d’une table de valeurs.
Présenter aux élèves la situation-problème suivante :
Un nouveau site Web de visionnement de vidéos, Film plus, est maintenant offert. Il faut payer un abonnement de 4 $ dès le visionnement de la première vidéo. Après avoir loué successivement 1 film, 2 films, 3 films et 4 films, en incluant le coût de l’abonnement, on aura déboursé 9 $, 14 $, 19 $ et 24 $.
Pour mieux comprendre cette relation, les élèves peuvent la modéliser en utilisant du matériel concret ou semi-concret et des mots.
Image Suite non numérique à motifs croissants. Figure un, 4
ronds rouges, 5 ronds bleus, Figure 2, 4 ronds rouges, dix ronds bleus, Figure 3, 4 ronds rouges, 15 ronds
bleus, Figure 4, 4 ronds rouges, 20 ronds bleus, |
Lorsqu’on loue 1 film, il faut payer 4 $ d’abonnement et 1 × 5 $, on débourse donc 9 $. |
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 51.
Matériel de manipulation
Le matériel de manipulation (par exemple, carreaux algébriques, cubes emboîtables, jetons, réglettes CuisenaireMC) est très varié. Son utilisation aide les élèves à explorer, à représenter et à faire des modifications facilement en cours d’essais. Voici un exemple d’utilisation de matériel de manipulation.
Représenter une suite numérique à l’aide de matériel de manipulation
Demander aux élèves de représenter la suite croissante 2, 6, 10, 14, … de façon concrète afin de rendre la règle de régularité plus visible, et ce, en construisant une suite croissante à l’aide du matériel de manipulation de leur choix. Les encourager à ajouter le matériel (cubes, jetons, etc.) toujours de la même façon d’une structure à l’autre et de le réorganiser, au besoin.
Questions pertinentes à poser aux élèves :
- Combien de cubes (jetons, blocs, etc.) utiliserez-vous pour représenter concrètement le terme de la suite au rang 1? au rang 2? au rang 3? etc.
- Quel changement remarquez-vous d’une structure à l’autre?
- Qu’est-ce qui ne change pas d’une structure à l’autre (la constante)?
- Est-ce que vos cubes sont ajoutés de la même façon d’une structure à l’autre?
- Comment décririez-vous l’apparence de la prochaine structure dans cette suite croissante?
- Combien de cubes la dixième structure contiendra-t-elle? Comment pouvez-vous le déterminer?
- Quelle est la règle de régularité? Comment le savez-vous?
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 212.
Illustration
L’illustration permet aux élèves de créer une représentation personnelle semi-concrète de leurs observations et de leur compréhension, ce qui les aide à clarifier leur pensée. Elle s’avère particulièrement avantageuse pour les élèves qui éprouvent de la difficulté à écrire ou à utiliser des symboles comme moyen de représentation, car les dessins tiennent lieu de justifications ou d’explications.
De nombreux types de problèmes incitent naturellement les élèves à faire un dessin pour les résoudre. Il arrive aussi que les élèves ont recours au matériel de manipulation en même temps. Or, en acquérant une pensée abstraite, les élèves délaisseront le matériel de manipulation pour des dessins. Voici un exemple d’utilisation d’une illustration.
Représenter une situation par l’illustration d’une suite croissante
Présenter aux élèves la situation suivante :
Simon veut se procurer un jouet, mais il n’a pas assez d’argent dans sa tirelire. Ses parents décident de lui remettre chaque semaine une même somme d’argent qu’il dépose dans sa tirelire. Afin de connaître la somme accumulée dans sa tirelire, Simon a créé la table de valeurs suivante :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | … | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Somme d’argent dans la tirelire | 5 | 10 | 15 | 20 | … | … |
Demander aux élèves d’illustrer la situation et de déterminer la somme d’argent que les parents donnent à Simon chaque semaine et la somme accumulée de semaine en semaine.
Questions pertinentes à poser aux élèves :
- De quelle façon l’illustration aide-t-elle à déterminer la règle de correspondance?
- Quelle somme d’argent Simon aura-t-il dans sa tirelire la 5e semaine? Comment le savez-vous?
- Comment pouvez-vous déterminer la somme d’argent dans la tirelire après un grand nombre de semaines, par exemple, la 10e semaine?
- Après combien de semaines Simon aura-t-il assez d’argent pour acheter un jeu vidéo au prix de 45 $ (taxes comprises)?
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 214-215.
Table de valeurs
La table de valeurs permet de représenter semi-concrètement la relation entre deux quantités changeantes (variables), dont l’une dépend de l’autre. Elle est souvent construite pour représenter la relation entre des valeurs numériques associées aux termes d’une suite non numérique croissante et le rang de ces termes.
La table de valeurs peut également être utilisée pour présenter les valeurs de variables d’une équation ou dans un contexte de résolution de problèmes. Voici un exemple d’utilisation d’une table de valeurs.
Représentation de la relation entre deux quantités changeantes à l’aide d’une table de valeurs
Présenter aux élèves la suite non numérique croissante suivante :
Demander aux élèves de créer une table de valeurs qui représente la relation entre le rang de la figure et le nombre de carrés qui la composent.
Questions pertinentes à poser aux élèves :
- Quelles sont les relations dans la table de valeurs?
- Quelle est la valeur des prochains termes?
- Quel lien y a-t-il entre la suite croissante et la table de valeurs?
- Quelle est la constante dans la suite? (Se référer à la suite non numérique croissante.)
Représentation graphique d’une relation
Un diagramme permet de représenter de façon schématique un ensemble de données. Au cycle moyen, dans le domaine d’étude Données, les élèves apprennent notamment à représenter des données en utilisant différents diagrammes. Ces connaissances peuvent leur servir dans le domaine d’étude Algèbre. L’allure de l’ensemble des données dans un diagramme (par exemple, bandes en ordre croissant ou décroissant) permet une analyse du changement et facilite l’interpolation et l’extrapolation. La table de valeurs est utilisée pour élaborer le diagramme. Voici un exemple d’utilisation d’un diagramme.
Représenter la relation entre deux quantités changeantes (dans une table de valeurs) à l’aide d’une représentation graphique
Présenter aux élèves la situation suivante :
Samedi dernier, pendant le marathon, Louis et Gaëlle ont vendu de la limonade. À chaque pichet vendu, ils comptaient l’argent reçu. La table de valeurs ci-dessous représente la relation entre le nombre de pichets vendus et la somme perçue.
| Nombre de pichets vendus | 1 | 2 | 3 | … | … |
|---|---|---|---|---|---|
| Somme perçue ($) | 4 | 8 | 12 | … | … |
Représenter les données dans un diagramme comme celui présenté ci-après.
Questions pertinentes à poser aux élèves :
- Quels changements y a-t-il d’une vente à l’autre de pichet? Ces changements sont-ils toujours les mêmes? Pourquoi?
- En examinant le diagramme, comment est-ce possible de déterminer la prochaine entrée d’argent?
- Quelle est la relation entre le nombre de pichets vendus et la somme perçue?
- Comment les trois premières valeurs représentées dans le diagramme peuvent-elles aider à déterminer la somme perçue après la vente de huit pichets?
- Combien de pichets devraient-ils vendre s’ils souhaitent obtenir une somme d’environ 50 $?
Représenter la relation entre deux quantités changeantes (avec une illustration) à l’aide d’une représentation graphique
Présenter aux élèves la situation suivante :
Édenville loue des jardinets aux personnes de sa communauté. Un jardinet de 1 espace carré a un périmètre de 4 mètres, un jardinet de 2 espaces carrés a un périmètre de 6 mètres, un jardinet de 3 espaces carrés a un périmètre de 8 mètres, et ainsi de suite.
Représenter avec les élèves les jardinets, à l’aide d’une illustration; par exemple :
Représenter, à l’aide d’une table de valeurs, la relation entre le périmètre d’un jardinet et le nombre d’espaces carrés qu’il occupe.
| Nombre d’espaces carrés | Périmètre (m) |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
| 3 | 8 |
Ensuite, représenter les données dans un diagramme tel que celui présenté ci-après.
Questions pertinentes à poser aux élèves :
- Quel changement y a-t-il entre les valeurs du nombre d’espaces carrés? entre les valeurs des périmètres? Pourquoi?
- Quelles seraient les prochaines entrées dans la table de valeurs?
- Quelle est la relation entre le nombre d’espaces carrés et le périmètre d’un jardinet?
- Comment pourriez-vous utiliser le diagramme pour déterminer le périmètre d’un jardinet de 8 espaces carrés?
- Combien d’espaces carrés un jardinet qui a un périmètre de 16 m occupe-t-il?
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 231-235.
Connaissance : Table de valeurs
La table de valeurs permet de représenter semi-concrètement la relation entre deux quantités changeantes (variables), dont l’une dépend de l’autre. À la fin du cycle primaire, les élèves ont appris à construire des tables de valeurs pour représenter des relations dans des situations-problèmes.
La table de valeurs est souvent construite pour représenter la relation entre des valeurs numériques associées aux termes d’une suite non numérique croissante et le rang de ces termes.
Exemple
Il est possible d’étudier la relation entre le rang d’une figure dans une suite croissante et le nombre d’objets qui la composent. Le rang de la figure est écrit dans la première colonne (ou rangée) et le nombre d’objets qui composent la figure (valeur du terme) est écrit dans la deuxième colonne (ou rangée). La règle de régularité des termes de la deuxième colonne (ou rangée) peut être utilisée pour prolonger la table de valeurs.
La table de valeurs peut être disposée verticalement ou horizontalement et séparée en colonnes ou en rangées. Il est bon de varier la présentation de la table de valeurs afin que les élèves s’habituent aux deux dispositions.
Table de valeurs à la verticale
| Rang | Nombre d’objets |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | … |
Table de valeurs à l’horizontale
| Rang | 1 | 2 | 3 | … |
|---|---|---|---|---|
| Nombre d’objets | 2 | 4 | 6 | … |
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 231.
Connaissance : Représentation graphique
Les suites croissantes peuvent servir d’introduction aux représentations graphiques. Le rang des figures, dans les suites croissantes, correspond aux valeurs sur l’axe horizontal. Le nombre total de termes de chaque figure est représenté par les valeurs sur l’axe vertical. L’axe vertical représente aussi le nombre de termes qu’il y a au rang 0 (la valeur de la constante), qui est l’ordonnée de la représentation graphique.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 63.
Exemple
Image Graphique représentant la relation entre le rang de la figure et
le nombre de cure-dents. Rang un,9 cubes rouges; Rang 2, 9 cubes rouges et 3 cubes verts; Rang 3, 9 cubes rouges et 6
cubes verts; Rang 4, 9 cubes rouges et 9 cubes verts; Rang 5, il est vide.