C1.4 Créer et décrire des suites numériques comprenant des nombres naturels et des nombres décimaux, et représenter des relations entre ces nombres.
Habileté : créer et décrire des suites numériques afin de représenter des relations entre les nombres naturels et les nombres décimaux
Le système de base 10 comprend de multiples régularités et des suites qui aident à approfondir la compréhension des relations entre les nombres.
Les suites et les régularités peuvent être utilisées pour comprendre les relations entre les nombres naturels et les nombres décimaux.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
La compréhension des relations entre la valeur des chiffres et leur position dans un nombre est essentielle au développement du sens du nombre. Au cycle primaire, les élèves développent une compréhension des relations entre les valeurs de position des unités, des dizaines et des centaines. Toutefois, au cycle moyen, ils ne transposent pas automatiquement cette compréhension aux plus grands nombres. C’est la raison pour laquelle le personnel enseignant doit s’assurer de leur faire comprendre que la valeur de n’importe quelle position dans un nombre est toujours 10 fois plus grande que la valeur de la position immédiatement à droite, et 10 fois plus petite que la valeur de la position immédiatement à gauche. Il est aussi important d’examiner les relations de 100 fois ou de 1 000 fois plus grand ou plus petit entre les valeurs de position afin de développer chez les élèves un sens du nombre approfondi, notamment le sens des grands nombres.
Les élèves doivent aussi reconnaître, par exemple, qu’une (1) dizaine de mille représente un regroupement de 100 centaines, un regroupement de 1 000 dizaines ou même un regroupement de 10 000 unités. Ces regroupements aident à reconnaître des représentations équivalentes de nombres; par exemple, 2 534 est égal à 25 centaines et 34 unités.
Exemple
Le nombre d’unités augmente de 10 lorsque le nombre de dizaines diminue de 1.
| Nombre | Dizaines | Unités |
|---|---|---|
| 56 | 5 | 6 |
| 56 | 4 | 16 |
| 56 | 3 | 26 |
| 56 | 2 | 36 |
| 56 | 1 | 46 |
| 56 | 0 | 56 |
Les relations de valeur de position jouent un rôle important lorsque vient le temps de faire des estimations, des arrondissements ou des décompositions. De plus, elles sont à la base de la multiplication et de la division par un multiple de 10.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 44-45.
Exemple
Lorsque le facteur qui est multiplié par 10 augmente de 1, le produit augmente de 10.
Lorsque le dividende diminue de 10, le quotient diminue de 1.
| × 10 | ÷ 10 |
|---|---|
| 1 × 10 = 10 | 100 ÷ 10 = 10 |
| 2 × 10 = 20 | 90 ÷ 10 = 9 |
| 3 × 10 = 30 | 80 ÷ 10 = 8 |
| 4 × 10 = 40 | 70 ÷ 10 = 7 |
| 5 × 10 = 50 | 60 ÷ 10 = 6 |
| 6 × 10 = 60 | 50 ÷ 10 = 5 |
| 7 × 10 = 70 | 40 ÷ 10 = 4 |
| 8 × 10 = 80 | 30 ÷ 10 = 3 |
| 9 × 10 = 90 | 20 ÷ 10 = 2 |
| 10 × 10 = 100 | 10 ÷ 10 = 1 |
Relations de valeur de position dans les nombres décimaux
C’est au début du cycle moyen que les élèves étudient pour la première fois la partie décimale d’un nombre. Elles et ils doivent alors approfondir leur compréhension de la valeur de position des chiffres et de la relation entre les valeurs de position. Les nombres décimaux font partie du quotidien, et la compréhension des valeurs de position à la droite et à la gauche de la virgule est essentielle.
Il est important que les élèves saisissent aussi la relation multiplicative par 10 qui existe entre les valeurs de position adjacentes. Elles et ils ont préalablement développé une compréhension de cette relation dans le cadre de l’étude des nombres naturels, soit que chaque position a une valeur 10 fois plus grande que celle à sa droite et 10 fois plus petite que celle à sa gauche.
Image Sur une ligne on peut lire : milliers, centaines, dizaines, unités.
Des flèches passent d’un mot à un autre, de la gauche vers la droite, elles représentent le bond multiplié par dix.
Des flèches passent d’un mot à un autres de la droite vers la gauche et représentent le bond divisé par dix.
Or, cette relation multiplicative est aussi vraie pour les positions décimales.
Image Sur une
ligne on peut lire : milliers, centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes, millièmes. Des flèches passent d’un
mot à un autre, de la gauche vers la droite, elles représentent le bond multiplié par dix. Des flèches passent d’un
mot à un autre de la droite vers la gauche et représentent le bond divisé par dix.
Les élèves peuvent en développer une compréhension en effectuant des regroupements à l’aide du matériel de base 10. Il s’agit de montrer que, tout comme 10 unités donnent 1 dizaine, 10 dixièmes donnent 1 unité et 10 centièmes donnent 1 dixième, et ainsi de suite.
Exemple
Le nombre de millièmes augmente de 10 lorsque le nombre de centièmes diminue de 1.
| Nombre décimal | Dizaines | Unités | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|---|---|---|---|---|
| 56,472 | 5 | 6 | 4 | 7 | 2 |
| 56,472 | 5 | 6 | 4 | 6 | 12 |
| 56,472 | 5 | 6 | 4 | 5 | 22 |
| 56,472 | 5 | 6 | 4 | 4 | 32 |
| 56,472 | 5 | 6 | 4 | 3 | 42 |
| 56,472 | 5 | 6 | 4 | 2 | 52 |
| 56,472 | 5 | 6 | 4 | 1 | 62 |
| 56,472 | 5 | 6 | 4 | 0 | 72 |
L’élève peut créer des suites d’opérations apparentées afin d’illustrer la relation entre les faits d’addition et de soustraction.
Exemple
Lorsque le premier terme dans l’addition augmente de 0,001 et que le deuxième terme diminue de 0,001, la somme est toujours la même tout le long de la série d’opérations apparentées.
Lorsque le second terme dans la soustraction diminue de 0,001, la différence augmente de 0,001 tout le long de la série d’opérations apparentées.
| \(\ 74,000 + 0,008 = 74,008 \) |
\(\ 74,008 – 0,008 = 74,000 \) |
| \(\ 74,001 + 0,007 = 74,008 \)
|
\(\ 74,008 – 0,007 = 74,001 \)
|
| \(\ 74,002 + 0,006 = 74,008\)
|
\(\ 74,008 – 0,006 = 74,002\)
|
| \(\ 74,003 + 0,005 = 74,008\)
|
\(\ 74,008 – 0,005 = 74,003 \)
|
| \(\ 74,004 + 0,004 = 74,008\)
|
\(\ 74,008 – 0,004 = 74,004\)
|
| \(\ 74,005 + 0,003 = 74,008\)
|
\(\ 74,008 – 0,003 = 74,005 \)
|
| \(\ 74,006 + 0,002 = 74,008\)
|
\(\ 74,008 – 0,002 = 74,006\)
|
| \(\ 74,007 + 0,001 = 74,008\)
|
\(\ 74,008 – 0,001 = 74,007 \)
|
| \(\ 74,008 + 0,000 = 74,008\)
|
\(\ 74,008 – 0,000 = 74,008\)
|
La relation multiplicative par 10 entre les valeurs de position peut aussi être explorée avec des unités de mesure métriques, puisque celles-ci sont conçues en fonction de la base 10; par exemple, 10 cm donnent 1 dm, 10 mm donnent 1 cm. Il est préférable d’éviter les unités monétaires au cours des premiers apprentissages conceptuels, car, même s’il y a effectivement une relation multiplicative par 10 entre la valeur de certaines pièces, comme entre les pièces de 10 ¢ et de 1 $, elle est tout autre entre d’autres pièces, comme entre les pièces de 5 ¢ et de 1 $.
La calculatrice offre des façons intéressantes d’explorer la relation multiplicative par 10; par exemple, les élèves peuvent effectuer l’opération 0,1 + 0,1, prédire la réponse et poursuivre la série jusqu’à ce qu’elles et ils arrivent à 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1. Avant d’ajouter 0,1 une dernière fois, une discussion s’impose afin d’explorer les hypothèses et le raisonnement des élèves et s’assurer qu’elles et ils reconnaissent que 10 dixièmes donnent 1 unité. Elles et ils peuvent reprendre l’activité avec la série 0,01 + 0,01 +… ou 0,001 + 0,001 +… ou avec d’autres nombres décimaux.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 51-53.