B2.2 Se rappeler les faits d’addition de nombres jusqu’à 10 et les faits de soustraction associés, et démontrer sa compréhension de ces faits.
Habileté : se rappeler des faits d’addition de nombres jusqu’à 10 et des faits de soustraction associés
Il existe de nombreuses stratégies pouvant aider les élèves à développer leur sens des opérations arithmétiques. Elles et ils n’utilisent pas tous l’éventail complet des stratégies; quelques élèves en utilisent une, par exemple, la stratégie des doubles. Les élèves abandonnent les stratégies moins efficaces à mesure qu’elles et ils en découvrent et en créent d’autres encore plus efficaces.
Aux cycles préparatoire et primaire, les élèves utilisent d’abord des objets ou leurs doigts pour se représenter les problèmes puis, tirant avantage de ces expériences, commencent à utiliser des stratégies de dénombrement plus avancées.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 11-12.
Représentation des faits numériques de base
Utiliser des modèles pour représenter les faits numériques de base peut aider les élèves à comprendre le sens des opérations fondamentales et à en amoindrir le caractère abstrait. De nombreux modèles peuvent être élaborés à l’aide du matériel ci-dessous pour amener les élèves à comprendre l’addition et la soustraction :
- des objets, comme les jetons ou les carreaux;
- du matériel visuel, comme des illustrations;
- le cadre à cinq cases;
- le cadre à dix cases;
- les tapis de réunion;
- les carreaux de deux couleurs;
- la droite numérique;
- les grilles de nombres.
Les modèles aident les élèves à établir des liens entre les dessins ou les images, les symboles et les mots. On trouvera ci-dessous différents modèles pouvant représenter pour des élèves le fait de base 6 + 3. Chacune des quatre représentations est appropriée. Notons seulement que les élèves éprouveront moins souvent le besoin de recourir aux représentations visuelles à mesure qu’elles et ils développent certains automatismes pour résoudre les faits numériques de base.
image À côté du mot « Images », il y a trois ensembles de trois cœurs noirs.À côté de l’expression « Droite numérique », il y a une droite numérotée d’un à neuf. Une flèche courbe part du chiffre six et pointe vers le neuf.À côté du terme « Mots », il y a la phrase suivante : Six biscuits et trois biscuits font neuf biscuits en tout.À côté du mot « Symboles », on trouve l’équation suivante : six plus trois égale neuf.
Le personnel enseignant peut aider les élèves à élaborer des stratégies efficaces pour dégager les faits numériques de base en faisant appel à leur raisonnement et en les encourageant à chercher des régularités et des relations entre les nombres. Les stratégies relatives aux faits numériques de base décrites ci-dessous s’appuient sur des connaissances que les élèves ont déjà acquises pour déterminer des faits inconnus. Par exemple, savoir ce que font 2 + 2 aide les élèves à trouver ce que font 2 + 3 (puisque 3 est 1 de plus que 2, la réponse doit aussi être 1 de plus), ce qui dénote une importante habileté de raisonnement. Les stratégies devraient être enseignées dans un contexte de résolution de problèmes. À cet égard, il faut :
- choisir des problèmes se prêtant à l’utilisation des stratégies enseignées;
- donner aux élèves des occasions de modéliser elles-mêmes et eux-mêmes la stratégie à l’étude;
- faire en sorte que les élèves s’exercent à appliquer la stratégie dans un contexte signifiant.
Les élèves ont besoin de nombreuses expériences pour se familiariser avec le regroupement par dizaines et pour établir des relations entre le nombre 10 et les autres nombres avant de pouvoir élaborer des stratégies relatives aux faits numériques de base. Reconnaître le nombre 10 comme point d’ancrage et définir les relations entre ce repère et les nombres de 0 à 10 est un concept de base pour l’ensemble des élèves. Une solide compréhension de la façon dont les nombres sont reliés à 10 (par exemple, 8 est 2 de moins que 10) leur permettra de découvrir les régularités et les relations entre les nombres lorsqu’on leur présentera les stratégies axées sur les faits numériques de base. Connaître les façons dont les nombres sont reliés les uns aux autres facilitera l’apprentissage des stratégies fondées sur la décomposition des nombres.
Un cadre à dix cases est un outil important qui permet aux élèves de représenter concrètement des nombres de 0 à 10 et leur donne la possibilité d’établir la relation entre 10 et les autres nombres. Lorsque certaines cases du cadre sont remplies, il est possible de voir les cases vides et de reconnaître globalement le nombre représenté. Les élèves peuvent travailler avec un cadre à dix cases et des jetons pour illustrer des nombres de 0 à 10 (un cadre à dix cases rempli). En utilisant des jetons de différentes couleurs, les élèves peuvent définir des relations de réunion et voir comment elles se rapportent au nombre 10 et différentes façons de décomposer le nombre 10. Par exemple, s’il y a 8 jetons bleus sur un cadre à dix cases et 2 jetons rouges sur un autre cadre à dix cases, les élèves peuvent saisir que 8 jetons bleus plus 2 jetons rouges donnent 10 jetons. Les élèves peuvent ensuite voir concrètement la décomposition du nombre 10 en modifiant le nombre de jetons de chaque couleur en ayant un cadre à dix cases rempli.
Les stratégies ci-dessous ne sont pas présentées selon un ordre particulier. Il arrive que des élèves trouvent certaines stratégies plus utiles que d’autres ou ignorent certaines stratégies au profit de leurs stratégies personnelles. D’autres trouvent plus facile de mémoriser les faits plutôt que de s’appuyer sur une stratégie. Quel que soit le cas, l’objectif premier du personnel enseignant est d’amener les élèves à bien comprendre l’addition et la soustraction.
« 1 de plus » et « 2 de plus »
Dans les faits numériques de base 5 + 1 = 6, 5 + 2 = 7, 7 + 1 = 8, 7 + 2 = 9, l’un des termes de chaque addition est 1 ou 2. La stratégie repose sur l’hypothèse que les élèves se rappellent facilement le nombre qui suit et celui qui vient après.
image Au-dessus de la grille onze par onze, il est écrit « un de plus, deux de plus ». Dans le coin en haut à gauche, il y a le symbole plus. Les colonnes et les rangées se chiffrent respectivement de zéro à neuf. La rangée et la colonne zéro se chiffrent de zéro à neuf. La rangée et la colonne un se chiffrent d’un à dix. La rangée et la colonne deux se chiffrent de deux à onze. La rangée et la colonne trois se chiffrent de trois à douze. La rangée et la colonne quatre se chiffrent de quatre à treize. La rangée et la colonne cinq se chiffrent de cinq à 14. La rangée et la colonne six se chiffrent de six à 15. La rangée et la colonne sept se chiffrent de sept à 16. La rangée et la colonne huit se chiffrent de huit à 17. Et la rangée et la colonne neuf se chiffrent de neuf à 18.Les chiffres des colonnes et des rangées de zéro à deux inclusivement sont en caractères gras.
Faits numériques avec 0 (1 + 0 = 1, 1 – 0 = 1)
Dans ces faits numériques de base, 0 est l’un des termes de chaque addition et de chaque soustraction. Les élèves généralisent souvent trop en pensant que la réponse à une addition est nécessairement plus grande et que la réponse à une soustraction est nécessairement plus petite. On peut renforcer la compréhension du concept de neutralité du zéro dans l’addition et dans la soustraction à l’aide de jeux où l’on fait usage de cartes-éclairs et de cubes numérotés.
image La grille chiffrée s’intitule Faits numériques de base avec zéro.Dans le coin en haut à gauche, il y a le symbole plus. Les colonnes et les rangées se chiffrent respectivement de zéro à neuf. La rangée et la colonne zéro se chiffrent de zéro à neuf. La rangée et la colonne un se chiffrent d’un à dix. La rangée et la colonne deux se chiffrent de deux à onze. La rangée et la colonne trois se chiffrent de trois à douze. La rangée et la colonne quatre se chiffrent de quatre à treize. La rangée et la colonne cinq se chiffrent de cinq à 14. La rangée et la colonne six se chiffrent de six à 15. La rangée et la colonne sept se chiffrent de sept à 16. La rangée et la colonne huit se chiffrent de huit à 17. Et la rangée et la colonne neuf se chiffrent de neuf à 18.Les chiffres de la colonne et de la rangée zéro sont en caractères gras.
Utilisation des doubles
Dans ces faits numériques de base, le premier terme et le deuxième terme (ou les deux termes) sont les mêmes. Il est avantageux pour les élèves de reconnaître et d’apprendre les doubles. Il n’y a que dix faits numériques liés aux doubles. On peut faire appel à des trucs simples de mémorisation pour apprendre plusieurs doubles :
Double de 3 : un insecte a 3 pattes d’un côté et 3 pattes de l’autre (6).
Double de 4 : une araignée a 4 pattes d’un côté et 4 pattes de l’autre (8).
Double de 5 : les 5 doigts d’une main et les 5 doigts de l’autre (10).
Double de 6 : une boîte d’une douzaine d’œufs coupée en deux, 6 d’un côté et 6 de l’autre (12).
Double de 7 : sur le calendrier, il y a 7 jours dans une semaine et 14 jours dans deux semaines.
Double de 8 : il y a 8 crayons de couleur dans une rangée d’une boîte de crayons de couleur et 16 crayons dans deux rangées.
image La grille chiffrée s’intitule Utilisation des doubles. Dans le coin en haut à gauche, il y a le symbole plus. Les colonnes et les rangées se chiffrent respectivement de zéro à neuf. La rangée et la colonne zéro se chiffrent de zéro à neuf. La rangée et la colonne un se chiffrent d’un à dix. La rangée et la colonne deux se chiffrent de deux à onze. La rangée et la colonne trois se chiffrent de trois à douze. La rangée et la colonne quatre se chiffrent de quatre à treize. La rangée et la colonne cinq se chiffrent de cinq à 14. La rangée et la colonne six se chiffrent de six à 15. La rangée et la colonne sept se chiffrent de sept à 16. La rangée et la colonne huit se chiffrent de huit à 17. Et la rangée et la colonne neuf se chiffrent de neuf à 18.Tous les chiffres suivant la diagonale à partir de zéro sont en caractères gras.
Les voisins des doubles ou les doubles plus 1 (5 + 4 peut être perçu comme 4 + 4, et 1 de plus)
Dans ces faits numériques de base, un des termes de l’addition est 1 de plus que l’autre terme. Les élèves peuvent apprendre à reconnaître que dans ces additions, la réponse est la même que le double du nombre le moins élevé plus \(\ 1 \ (5 + 4 = 4 + 4 + 1\)). Les élèves doivent bien maîtriser les doubles avant de pouvoir utiliser cette stratégie de manière efficace.
Commutativité (\(\ 1 + 2 = 2 + 1\))
Les élèves qui reconnaissent la propriété de commutativité de l’addition peuvent réduire de moitié la quantité de faits numériques qu’il leur faut apprendre. La représentation visuelle de faits comme \(\ 3 + 2\) et \(\ 2 + 3\) aide les élèves à saisir cette relation.
La soustraction comme opération inverse de l’addition pour les faits numériques de base ayant une somme allant jusqu’à 10
Les élèves, qui connaissent bien leurs additions et qui comprennent que la soustraction est l’opération inverse de l’addition, peuvent utiliser ces connaissances pour maîtriser les soustractions correspondantes (si \(\ 5 + 2 = 7\), il s’ensuit que \(\ 7 - 5 = 2\)). Prenons par exemple le problème suivant : « Julien a 6 billes dans son sac. Georges lui en donne d’autres. Julien a maintenant 10 billes. Combien de billes Georges a-t-il données à Julien? ». Placé devant ce problème, l’élève pense : « Quel nombre additionné à 6 donne 10? ». Ainsi, les faits d’addition qui lui sont familiers l’aident à trouver le terme inconnu dans la phrase mathématique.
« 1 de moins » et « 2 de moins »
Ces faits de soustraction ont un terme de 1 ou de 2 de moins que l’autre terme. Les élèves peuvent habituellement compter à rebours pour les faits numériques les plus faciles, comme n’importe quel nombre auquel on soustrait 0, 1 ou 2.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 15-20.