B2.1 Utiliser les propriétés des opérations et les relations entre les opérations pour résoudre des problèmes comprenant des nombres naturels et des nombres décimaux, y compris des problèmes nécessitant plus d’une opération, et vérifier la vraisemblance des calculs.
Habileté : utiliser les propriétés des opérations
Comprendre les propriétés des opérations et les relations entre ces opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.
Un bon sens des opérations repose sur une bonne connaissance des relations entre les nombres et entre les opérations. Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en cause; à titre d’exemple, l’addition est commutative puisque \(3\; + \;5\; = \;5\; + \;3\); \(4\; + \;7\; = \;7\; + \;4\); \(1,22\; + \;3,51\; = \;3,51\; + \;1,22\).
La compréhension des propriétés des opérations permet de développer des stratégies efficaces de calcul; par exemple, puisque la multiplication est distributive, on peut calculer \(5\; \times \;12\) en effectuant \(\left( {5\; \times \;10} \right)\; + \;\left( {5\; \times \;2} \right)\).
Au cycle primaire, les élèves ont pu aborder certaines de ces propriétés de façon intuitive. Les élèves du cycle moyen doivent comprendre les propriétés des opérations présentées ci-après et apprendre à les utiliser en situation de résolution de problèmes.
Commutativité
L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, on peut démontrer la commutativité de l’addition comme suit : il y a 44 pommes dans un panier et 32 dans un autre. Le nombre total de pommes sera le même que l’on ajoute les pommes du 1er panier à celles du 2e ou qu’on fasse le contraire. Ainsi, \(44\; + \;32\; = \;76\) et \(32\; + \;44\; = \;76\). On reconnaît alors que si les termes d’une addition sont intervertis, le résultat demeure le même.
On peut aussi démontrer la commutativité de la multiplication. Par exemple, \(8\; \times \;3\;\;\;{\rm{et}}\;\;\;3\; \times \;8\).
Et \(8\; \times \;3,5\;\;\;{\rm{et}}\;\;\;3,5\; \times \;8\)
Les 2 dispositions précédentes représentent la même quantité totale, organisée de 2 façons différentes. De ce fait, elles illustrent 2 situations différentes. Ainsi, \(8\; \times \;3\) représente 8 rangées de 3 objets et \(8\; \times \;3,5\) représente 8 rangées de 3,5 objets, tandis que \(3\; \times \;8\) représente 3 rangées de 8 objets et \(3,5\; \times \;8\) représente 3,5 rangées de 8 objets. Il est important que les élèves reconnaissent les différentes représentations.
On peut aussi utiliser un exemple du quotidien. Par exemple, le personnel enseignant invite 3 élèves qui ont exactement un frère ou une sœur à venir représenter au tableau le nombre d’enfants dans leur famille. Le nombre total d’enfants est représenté par des enfants, pour un total de 6 enfants (Figure 1).
Ensuite, le personnel enseignant fait la même démarche avec 2 enfants qui ont exactement 2 frères ou sœurs. Le nombre total d’enfants est représenté par des enfants, pour un total de 6 enfants (Figure 2).
Figure 1
Figure 2
Les 2 phrases mathématiques, \(3\; \times \;2\; = \;6\) et \(2\; \times \;3\; = \;6\), indiquent un même résultat, même si l’ordre des facteurs est inversé. Les élèves peuvent alors comprendre que 3 familles de 2 enfants ou 2 familles de 3 enfants donnent un total de 6 enfants, sans que les situations soient identiques.
Lorsqu’on utilise la commutativité de la multiplication, on s’intéresse davantage à la réponse, sans égard à la situation.
Par exemple, même si on cherche \(12\; \times \;2\), on peut choisir de calculer \(2\; \times \;12\) si le résultat est plus facile à obtenir, même si les 2 expressions ne représentent pas la même situation.
Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves perçoivent souvent la multiplication comme une addition répétée. En tentant de résoudre une variété de problèmes, elles et ils peuvent utiliser la commutativité de la multiplication pour développer une stratégie plus efficace de calcul.
Par exemple, les élèves qui utilisent l’addition répétée reconnaîtraient que \(2\; \times \;12\;(12\; + \;12)\) est plus simple et moins long à représenter et à calculer que \(12\; \times \;2\;(2\; + \;2\; + \;2\; + 2\; + \;2\; + \;2\; + 2\; + \;2\; + \;2\; + 2\; + \;2\; + \;2)\).
Une disposition rectangulaire est un excellent modèle visuel pour représenter la commutativité de la multiplication.
image
3 élèves observent une grille, chaque élève a une différente perspective de la grille.L’élève un dit : « Moi, je vois
plutôt 3 rangées de 5, donc 3 multipliés par 5. »L’élève 2 dit : « Je vois 5 rangées de 3, donc 5 multipliés par 3.
»L’élève 3 dit : « Je vois 5 colonnes de 3 rangées qui peuvent aussi être représentées par 5 multipliées par 3.
Associativité
Dans l’expression \(15\; + \;13\; + \;17\), il est possible d’associer 13 et 17 pour obtenir \(15\; + \;(13\; + \;17)\), ce qui donne \(15\; + \;30\), soit 45. On peut aussi associer 15 et 13 pour obtenir \((15\; + \;13)\; + \;17\), ce qui donne \(28\; + \;17\), soit 45. L’associativité s’applique aussi aux nombres décimaux, par exemple, dans l’expression \(5\; + \;0,75\; + \;0,25\), il est possible d’associer 0,75 et 0,25 pour obtenir \(5\; + \;(0,75\; + \;0,25)\), ce qui donne \(5\; + \;1\), soit 6. On peut aussi associer 5 et 0,75 pour obtenir \((5\; + \;0,75)\; + \;0,25\), ce qui donne \(5,75\; + \;0,25\), soit 6.
L’associativité de la multiplication [par exemple, \(3\; \times \;2\; \times \;5\; = \;3\; \times \;(2\; \times \;5)\;\;\;{\rm{ou}}\;\;\;3\; \times \;2\; \times \;5\; = \;(3\; \times \;2)\; \times \;5)\)] n’est pas facile à comprendre. Certes, on peut la constater en vérifiant les résultats des multiplications, mais cela ne constitue pas une compréhension. Pour comprendre, on peut utiliser un prolongement du modèle d’une disposition rectangulaire à l’aide de cubes.
Dans la figure 1, on voit qu’il y a 2 rangées de 5 cubes, soit \(2\; \times \;5\) cubes. Dans la figure 2, on voit 3 étages contenant chacun \(2\; \times \;5\) cubes. La figure représente donc \(3\; \times \;(2\; \times \;5)\) cubes.
image
Figure un :Figure de 2 rangées de 5 cubes.La phrase mathématique est : 2 multiplié par 5.Figure 2 : 3 étages, de 2
rangées de 5 cubes.La phrase mathématique est : 3 multiplié par (parenthèse ouvrante) 2 multiplié par 5 (parenthèse
fermante).
On peut aussi considérer la figure 3, qui illustre 3 étages de 2 cubes, soit \(3\; \times \;2\) cubes. La figure 4 peut alors représenter \((3\; \times \;2)\)cubes qui paraissent 5 fois, soit \((3\; \times \;2)\; \times \;5\).
On voit donc que \(3\; \times \;(2\; \times \;5)\) et \((3\; \times \;2)\; \times \;5\) représentent la même quantité de cubes (même si chaque expression représente un point de vue différent) et que chacune donne le même produit que \(3\; \times \;2\; \times \;5\).
Devant une expression numérique telle que \(3\; \times \;(2\; \times \;5)\; = \;?\), certains élèves tentent parfois d’appliquer la distributivité de manière à calculer \(\left( {3\; \times \;2} \right)\; \times \;\left( {3\; \times \;5} \right)\), ce qui a pour effet que \(2\; \times \;5\) est multiplié par 9, plutôt que par 3. Dans un tel cas, il faut rappeler que la distributivité de la multiplication s’effectue seulement sur l’addition ou la soustraction et expliquer la situation en utilisant un modèle concret ou semi-concret.
L’associativité ne change pas l’ordre des nombres d’une expression numérique. On peut cependant jumeler l’associativité et la commutativité pour faciliter l’évaluation d’une expression numérique.
Par exemple, pour déterminer la valeur de l’expression \(2\; \times \;3\; \times \;5\), on peut déterminer celle de l’expression \((2\; \times \;5)\; \times \;3\). En effet, il est habituellement plus facile de calculer \(10\; \times \;3\) que de calculer \(6\; \times \;5\). De même, pour déterminer la valeur de l’expression \(19\; + \;27\; + \;11\), on peut déterminer celle de \((19\; + \;11)\; + \;27\), car le 9 et le 1 sont complémentaires et donnent 1 dizaine, ce qui permet d’obtenir la réponse mentalement, soit \(30\; + \;27\; = \;57\). C’est en exposant les élèves à un grand nombre d’activités que le personnel enseignant les amène à comprendre et à utiliser les différentes propriétés avec efficacité.
La décomposition d’un nombre en produit de facteurs, de pair avec l’associativité, peut aussi s’avérer utile. Par exemple, le nombre 24 peut être représenté par \(24\; \times \;1\), \(12\; \times \;2\), \(8\; \times \;3\), \(6\; \times \;4\) ou même par \(2\; \times \;4\; \times \;3\) ou \(2\; \times \;2\; \times \;2\; \times \;3\). Pour déterminer la valeur d’une expression numérique telle que \(24\; \times \;5\), les élèves qui possèdent un bon sens du nombre et un bon sens des opérations peuvent choisir de transformer 24 en \(12\; \times \;2\) et utiliser les propriétés des opérations ainsi :
Distributivité
La multiplication est distributive sur l’addition. Par exemple, on peut multiplier \(3\; \times \;\left( {5\; + \;6} \right)\) et arriver au même résultat que si on avait effectué \(\left( {3\; \times \;5} \right)\; + \;\left( {3\; \times \;6} \right)\). La multiplication est aussi distributive sur la soustraction. Par exemple, on peut multiplier \(3\; \times \;\left( {20\; - \;2} \right)\) en faisant \(\left( {3\; \times \;20} \right)\; - \;\left( {3\; \times \;2} \right)\).
L’exemple suivant illustre comment on peut utiliser la distributivité pour calculer \(6\; \times \;8\). Dans un cas, on décompose le facteur 8 pour obtenir \(5\; + \;3\). On a alors \(6\; \times \;\left( {5\; + \;3} \right)\; = \left( {6\; \times \;5} \right)\; + \;\left( {6\; \times \;3} \right)\). Dans l’autre cas, on décompose le facteur 6 pour obtenir \(3\; + \;3\). On a alors \(\left( {3\; + \;3} \right)\; \times \;8\; = \left( {3\; \times \;8} \right)\; + \;\left( {3\; \times \;8} \right)\).
image Disposition rectangulaire qui représente la phrase mathématique : 6 multiplié par 8.6 rangées de
8 triangles.Disposition rectangulaire qui représente la phrase mathématique : (parenthèse ouvrante) 6 multiplié par 5
(parenthèse fermante) plus (parenthèse ouvrante) 6 multiplié par 3 (parenthèse fermante).6 rangées de 5 triangles. Et
6 rangées de 3 triangles. Disposition rectangulaire qui représente la phrase mathématique : (parenthèse ouvrante) 3
multiplié par 8 (parenthèse fermante) plus (parenthèse ouvrante) 3 multiplié par 8 (parenthèse fermante).3 rangées de
8 triangles, et 3 rangées de 8 triangles.
Voici un exemple de l’utilisation de la distributivité pour effectuer des opérations avec des nombres décimaux, par exemple \(6,5\; \times \;4\).
Dans un cas, on décompose le facteur 4 pour obtenir \(2 + 2\). On a alors \(6,5 \times (2 + 2) = (6,5 \times 2) + (6,5 \times 2)\). Dans l’autre cas, on décompose le facteur 6,5 pour obtenir \(6 + 0,5\). On a alors \((6 + 0,5) \times 4 = (6 \times 4) + (0,5 \times 4)\).
image Disposition rectangulaire qui représente :6 virgule 5 fois 4.6 rangées et une demie de 4
carrés.Disposition rectangulaire qui représente :(parenthèse ouvrante) 6 virgule 5 multiplié par 2 (parenthèse
fermante) plus (parenthèse ouvrante) 6 virgule 5 multiplié par 2 (parenthèse fermante).6 rangées et une demie rangées
de 2 carrés, représentée 2 fois.Disposition rectangulaire qui représente :(parenthèse ouvrante) multiplié par 4
(parenthèse fermante) plus (parenthèse ouvrante) zéro virgule 5 multiplié par 4 (parenthèse fermante).6 rangées de 4
carrés et une rangée d’un demi-carré.
Il existe un lien important entre la distributivité et l’algorithme usuel de multiplication. Par exemple, pour calculer \(3\; \times \;15\), le 15 est décomposé pour obtenir \(\left( {10\; + \;5} \right)\) :
image
3 multiplié par (parenthèse ouvrante) dix plus 5 (parenthèse fermante), soit (parenthèse ouvrante) 3 multiplié par dix
(parenthèse fermante) plus (parenthèse ouvrante) 3 multiplié par 5 (parenthèse fermante).Multiplications posées à la
verticale.15 multiplié par 3 égal 45.Cela peut être décomposé en 2 multiplications :Dix multiplié par 3 égal 30, et, 5
multiplié par 5 égal 15.
Pour calculer \(13\; \times \;24\), les 2 facteurs sont décomposés :
image
Multiplication posée à la verticale.24 multiplié par 13 égal 72, plus 240 égal 312.La multiplication peut être
décomposée comme suit :(parenthèse ouvrante) 3 multiplié par 4 (parenthèse fermante), plus (parenthèse ouvrante) 3
multiplié par 20 (parenthèse fermante), plus(parenthèse ouvrante) dix multiplié par 4 (parenthèse fermante), plus
(parenthèse ouvrante) dix multiplié par 20 (parenthèse fermante).Les 2 premières parenthèses correspondent à 72.Les
deux dernières parenthèses correspondent à 240.
Seule la multiplication est distributive. On pourrait reconnaître que la division est partiellement distributive. Par exemple, pour calculer \(32\; \div \;8\), il est possible de décomposer le dividende 32 pour obtenir \(16\; + \;16\). On a alors \((16\; + \;16)\; \div \;8\) et la division par 8 est distribuée sur l’addition. On obtient \((16\; \div \;8)\; + \;(16\; \div \;8)\; = \;2\; + \;2\), soit 4. Cependant si le diviseur est décomposé, la distributivité ne fonctionne pas. Par exemple, \(32\; \div \;8\; \ne \;\left( {32\; \div \;4} \right)\; + \;\left( {32\; \div \;4} \right)\). C’est la raison pour laquelle la distributivité n’est pas une propriété de la division.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102-105.
Une propriété peut être utilisée pour vérifier une réponse. Par exemple, \(4\; \times \;9\) peut d’abord être déterminé en utilisant la distributivité, \(2\; \times \;9\; + \;2\; \times \;9\) ou en décomposant \(4\; \times \;9\) en \(2\; \times \;2\; \times \;9\) et en utilisant l’associativité, \(2\; \times \;(2\; \times \;9)\).
Source : adapté du Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année , 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Habileté : utiliser les relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division
Comprendre les relations entre les opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.
Plus les élèves ont l’occasion de manier les opérations, plus elles et ils peuvent remarquer et comprendre les liens entre elles. Les élèves peuvent même utiliser des stratégies d’addition ou de soustraction pour résoudre des multiplications et des divisions.
Au cycle primaire, les élèves ont établi des liens entre les opérations à travers diverses activités. Par exemple, elles et ils savent que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses et que l’addition est commutative. Avec le temps, elles et ils développent leur sens du nombre et leur sens des opérations et s’en servent graduellement avant d’effectuer des opérations. Cette pratique, quoique souvent informelle et mentale, demeure toutefois essentielle à la compréhension des relations entre les nombres et entre les opérations.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 97.
L’addition et la soustraction
L’addition et la soustraction sont des opérations inverses. Toute situation de soustraction peut être considérée comme une situation d’addition (par exemple, 154 - 48 = ? équivaut à 48 + ? = 154) et vice versa.
Or, lorsqu’elles et ils sont en apprentissage, les élèves ont souvent de la difficulté à résoudre des équations telles que 17 + Δ= 31. Plusieurs membres du personnel enseignant incitent alors leurs élèves à utiliser l’opération inverse, soit la soustraction. Or, il peut s’agir d’apprendre un truc, à moins que les élèves comprennent pourquoi la soustraction est une stratégie possible. Elles et ils doivent d’abord saisir la relation du tout et de ses parties ainsi que le sens d’une différence.
Par exemple, un nombre peut être représenté comme suit :
Cette façon de représenter la relation entre un nombre et ses parties permet de voir que la soustraction est l’opération inverse de l’addition.
Ainsi, puisque \(17\; + \;14\; = \;31\) et \(14\; + \;17\; = \;31\), donc \(31\; - \;17\; = \;14\) et \(31\; - \;14\; = \;17\). De plus, les élèves peuvent voir pourquoi l’addition est commutative \((14\; + \;17\; = \;17\; + \;14\; = \;31)\) et pourquoi la soustraction ne l’est pas \(\left( {31\; - \;17\; \ne \;17\; - \;31} \right)\). Celles et ceux qui ont acquis un bon sens du nombre et qui sont capables de décomposer et de regrouper des nombres peuvent mettre leurs connaissances à profit pour résoudre plus efficacement des équations telles que \(17\; + \;\Delta \; = \;31\) en comprenant que l’on cherche la différence entre 17 et 31.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 97-98.
Il est aussi possible de représenter les nombres décimaux ainsi :
Nous pouvons également utiliser l’addition pour résoudre une soustraction; on appelle cette stratégie « additionner pour soustraire ». Par exemple, pour résoudre \(31\; - \;17\; = \;?\), l’élève peut additionner à partir de 17 pour se rendre à 31, soit \(17\; + \;?\; = \;31\).
Cette relation inverse peut être utilisée pour effectuer et vérifier des calculs.
La multiplication et la division
La multiplication et la division sont aussi des opérations inverses. On peut également les relier au concept de tout et de ses parties. Dans la multiplication, on regroupe les parties qui sont des groupes égaux, alors que dans la division, on décompose un tout en groupes égaux. À partir de cette relation entre la multiplication et la division, les élèves peuvent utiliser les faits numériques relatifs à la multiplication pour effectuer une division. Il arrive souvent que les élèves saisissent mal la relation d’opération inverse entre la multiplication et la division (par exemple, reconnaître que \(39 \times 6\; = \;234\) peut se résoudre en faisant \(234\; \div \;6\; = 39\)), même après avoir effectué des divisions et vérifié leurs calculs. Il est donc essentiel de revenir régulièrement sur le sens de chacune des opérations en contexte de résolution de problèmes.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 98.
La multiplication représente le résultat du rassemblement d’objets à partir de groupes égaux alors que la division représente la répartition d’objets en groupes égaux. Pour comprendre la multiplication et la division, il faut reconnaître les 3 types de quantités qui entrent en jeu, soit la quantité totale (par exemple, 8 fleurs), le nombre de groupes égaux (par exemple, 4 pots) et la taille de chaque groupe (par exemple, 2 fleurs par pot).
Dans les problèmes présentés aux élèves, on associe trop souvent la division à un seul sens, soit le partage. Le sens de groupement est habituellement négligé. La division a un sens de partage lorsque la quantité totale et le nombre de groupes sont connus (par exemple, 3 élèves veulent se partager équitablement 15 pommes et on cherche le nombre de pommes que chacun recevra).
La division a un sens de groupement lorsque la quantité totale et le nombre d’éléments dans chaque groupe (taille des groupes) sont connus (par exemple, on a 15 pommes et on veut les placer dans des sacs, 3 pommes par sac; on cherche le nombre de sacs qu’il faut).
Il est essentiel de traiter des 2 types de problèmes, puisqu’ils sont la base de l’intégration d’autres concepts mathématiques. Il n’est pas nécessaire que les élèves sachent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’elles et ils aient l’occasion d’en résoudre de divers types, tout en employant une variété de stratégies.
image
Tableau de types de problème et de quantités inconnues.Problème de groupes égal :Produit inconnu :Nombre multiplié par
nombre égal inconnu.Exemple : « Julie a acheté 5 livres pour ses camarades. Chaque livre a couté 2 dollars. Combien
a-t-elle dépensé pour tous ces livres?5 multiplié par 2 égal une inconnue.Taille des groupes, inconnue, (parenthèse
ouvrante) sens de partage (parenthèse fermante)Nombre divisé par nombre égal une inconnue.Exemple : « Julie a dix
livres. Elle veut les donner à 5 de ses camarades de manière que chacun en reçoive le même nombre. Combien de livres
recevra chaque camarade?Dix divisé par 5 égal une inconnue.Nombre de groupe inconnu. (Parenthèse ouvrante) sens de
groupement (parenthèse fermante).Nombre divisé par nombre égal inconnu.Exemple : « Julie a acheté dix livres pour ses
camarades et prépare ses sacs cadeaux. Elle met 2 livres dans chaque sac. Combien de sacs-cadeaux Julie a-t-elle
utilisés?Dix divisé par 2 égal inconnu.Problèmes de comparaison.Produit inconnu :Nombre multiplié par nombre égal une
inconnue.Exemple:« Mustapha 2 dollars. Michel a 4 fois plus de dollars que lui. Combien d’argent Michel a-t-il? »4
multiplié par 2 égal une inconnue.Taille des groupes, inconnue,Nombre divisé par nombre égal une inconnue ou nombre
multiplié par inconnue égal nombre.Exemple: « Michel a 8 dollars. Il a quatre fois plus d’argent que Mustapha. Combien
d’argent Mustapha a-t-il? »8 divisé par 4 égal une inconnue.Ou4 multiplié par inconnue égal 8.Multiplicateur
inconnu.Nombre divisé par nombre égale inconnue.Ou Inconnue multipliée par nombre égalNombre.Exemple :« Michel a 8
dollars et Mustapha a 2 dollars. Michel a combine de fois plus d’argent que Mustapha? »8 divisé par 2 égal une
inconnue.OuInconnue multipliée par 2 égal 8.Problèmes de combinaison.Produit inconnu.Nombre multiplié par nombre égal
une inconnue.Exemple : Ahmed a 3 pantalons et 5 chemises. Combien de tenues différentes Ahmed a-t-il?3 multiplié par 5
égal une inconnue.Taille d’un ensemble inconnue.Nombre divisé par nombre égal une inconnue.Exemple : Ahmed a des
chemises et des pantalons neufs. Il a 15 tenues différentes en tout. S’il a 3 pantalons, combien de chemises Ahmed
a-t-il?15 divisé par 3 égal une inconnue.
La multiplication et l’addition
Le lien entre la multiplication et l’addition est souvent le point de départ pour présenter le concept de multiplication.
Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves reconnaissent que la situation présente « plusieurs fois » une même quantité et elles et ils utilisent des groupes égaux pour représenter la situation et l’addition répétée pour obtenir la réponse. À mesure que les élèves progressent, il est important qu’elles et ils y voient le concept de multiplication plutôt que celui d’addition et qu’elles et ils apprennent d’autres représentations. La disposition rectangulaire, un agencement de rangées et de colonnes, s’avère un modèle puissant dans l’apprentissage de la multiplication et permet de voir cette opération sous un angle différent.
image
Image un: 3 fois 4. L’opération 3 fois 4 écrite en chiffres et symbole.Image 2: Addition répétée. 4 plus 4 plus
4.Image 3: Groupes égal. 3 cercles identiques contenant chacun 4 points.Image 4: Disposition rectangulaire.Une
planchette de 4 colonnes et de 3 lignes. Le chiffre 4 est inscrit au-dessus de la planchette et le chiffre 3 est
inscrit sur la côté gauche du rectangle.
En résolvant une variété de problèmes et en discutant de stratégies, les élèves en viennent à établir et à saisir le lien entre le mot « fois » et le signe « × », étape cruciale dans le développement de la compréhension de la multiplication. Une fois leur sens de la multiplication bien ancré, ils ont recours plus régulièrement à l’opération de multiplication pour obtenir les réponses.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 84-86.
La division et la soustraction
Dans le même ordre d’idées, la division peut être associée à une soustraction répétée, mais pas de la même façon. Le produit d’une multiplication est égal à la somme résultant de l’addition répétée, alors que le quotient d’une division est égal au nombre de soustractions répétées (par exemple, pour calculer \(20\; \div \;5\), on fait \(20\; - \;5\; = \;15,\;\;15\; - \;5\; = \;10,\;\;10\; - \;5\; = \;5,\;\;5\; - \;5\; = \;0\); on a soustrait 4 fois; donc \(20\; \div \;5\; = \;4\)).
Il faut du temps pour que les élèves assimilent ces relations. Pour y parvenir, le personnel scolaire peut avoir recours à des activités concrètes, à la résolution de problèmes et à des échanges mathématiques orientés vers les liens entre les opérations.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 98-99.
Effet des opérations
Chaque opération produit un effet sur les quantités en cause. Selon l’opération, certaines quantités augmentent ou diminuent. Elles peuvent augmenter ou diminuer de beaucoup ou de peu.
Suivre l’effet des opérations sur les nombres permet aux élèves d’établir les liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération. Par exemple, si on soustrait 8 de 160, on remarquera peu d’effet, car la différence entre 160 et 152 est relativement petite. Cependant, si on divise 160 par 8, l’effet produit est grand, car le quotient obtenu, soit 20, est beaucoup plus petit que 160. On peut aussi comparer l’effet produit par une addition à celui produit par une multiplication.
Comparativement à la multiplication, l’addition fait augmenter un nombre de peu. Par exemple, lorsque le nombre 160 est multiplié par 8, on obtient 1 280, alors que si on lui ajoute 8, on n’obtient que 168. Les gens qui possèdent un bon sens des opérations reconnaissent l’effet des opérations sur les nombres naturels, mais les élèves en apprentissage sont souvent impressionnés par l’effet, par exemple, de la multiplication.
Une mise en garde s’impose : il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou les fractions peuvent avoir des effets différents que ceux sur les nombres naturels.
Dans certains cas, l’effet peut même être l’inverse. En effet, si on multiplie un nombre naturel par un autre nombre naturel, le produit est plus grand que les 2 facteurs (par exemple, si on multiplie 3 par 6, le produit 18 est plus grand que 6 et 3), alors que si on multiplie une fraction propre par un nombre naturel, le produit est plus petit qu’un des 2 facteurs (par exemple, si on multiplie \(\frac{1}{2}\) par 6, le produit 3 est plus petit que 6).
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 90 à 91.
Avec les élèves, explorer ces idées en leur faisant découvrir l’effet des opérations. En dyades, leur proposer ces opérations et par la suite d’observer les effets des opérations sur les nombres.
\(\begin{array}{l}160\; + \;8\\160\; - \;8\\160\; \times \;8\\160\; \div \;8\end{array}\)
Les élèves peuvent utiliser des modèles, tels que la droite numérique pour montrer les opérations.
Animer un échange mathématique afin de faire ressortir l'effet des diverses opérations.
Connaissance : propriétés des opérations
Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en cause.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102.
Les propriétés des opérations sont :
- La commutativité : \(\left( {3\; + \;5\; = \;5\; + \;3} \right)\);
- L’associativité : \(\left( {2\; + \;9)\; + \;11\; = \;2\; + \;(9\; + \;11} \right)\);
- La distributivité : \(8\; \times \;7\; = \;\left( {8\; \times \;5} \right)\; + \;\left( {8\; \times \;2} \right)\);
- L’élément neutre : \(13\; + \;0\; = \;13,\;0\; + \;13\; = \;13;\;\;25\; \times \;1\; = \;25,\;1\; \times \;25\; = \;25.\)
- L’élément absorbant : \(8\; \times \;0\; = \;0,\;\;0\; \times \;8\; = \;8\)
Connaissance : la commutativité
Une opération est commutative si son résultat demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, \(27\; + \;63\; = \;63\; + \;27\) et \(8\; \times \;6\; = \;6\; \times \;8\).
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102.
Connaissance : l’associativité
L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur. Par exemple, \(3\; \times \;2\; \times \;5\; = \;3\; \times \;\left( {2\; \times \;5} \right)\).
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 105.
Connaissance : la distributivité
La multiplication est distributive sur l’addition et sur la soustraction.
La propriété de distributivité permet d’effectuer une opération sur une somme ou une différence de termes et d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme. Par exemple,
- on peut multiplier \(3\; \times \;\left( {5\; + \;6} \right)\) et arriver au même résultat que si on avait effectué \(\left( {3\; \times \;5} \right)\; + \;\left( {3\; \times \;6} \right)\);
- on peut multiplier \(3\; \times \;\left( {20\; - \;2} \right)\) en faisant \(\left( {3\; \times \;20} \right)\; - \;\left( {3\; \times \;2} \right)\).
Source: inspiré de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 104.
Connaissance : élément absorbant
Dans une multiplication, le 0 a pour effet d’« absorber » l’autre facteur. Ainsi, peu importe le nombre multiplié par 0, le produit sera toujours 0 (par exemple, \(684\; \times \;0\; = \;0;\;\;\;16,67\; \times \;0\; = \;0\)) et si 0 est multiplié par un autre nombre, le produit sera aussi 0 (par exemple, \(0\; \times \;684\; = \;0;\;\;\;0\; \times \;16,67\; = \;0\)). On qualifie alors le nombre 0 d’élément absorbant pour la multiplication.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 107.
Connaissance : élément neutre
Comme son nom l’indique, un élément neutre est un nombre qui n’a aucun effet pour une opération donnée. Ainsi, le nombre 0 est l’élément neutre de l’addition (par exemple, \(287\; + \;0\; = \;287\;\;\;{\rm{et}}\;\;\;{\rm{0}}\;\;{\rm{ + }}\;{\rm{287}}\;\;\;{\rm{ = }}\;{\rm{287}}\), \(4,5\; + \;0\; = \;4,5\;\;\;{\rm{et}}\;\;\;0\; + \;4,5\; = \;4,5\)) et le nombre 1 est l’élément neutre de la multiplication (par exemple, \(133\; \times \;1\; = 133\;\;\;{\rm{et}}\;\;\;{\rm{1}}\; \times \;{\rm{133}}\;{\rm{ = }}\;\;{\rm{133}}\), \(432,1\; \times \;1\; = \;432,1\;\;\;{\rm{et}}\;\;\;{\rm{1}}\;\times \;432,1\;{\rm{ = }}\;432,1\)).
La soustraction et la division n’ont pas d’élément neutre. Dans une soustraction, le nombre 0 ne produit aucun effet lorsqu’il est le 2e terme (par exemple, \(3\; - \;0\; = \;3\)), mais ce n’est pas le cas s’il paraît comme 1er terme (par exemple, \(0\; - \;3\; \ne \;3\)). Ainsi, le nombre 0 n’est pas neutre pour la soustraction. De même, dans une division, le nombre 1 ne produit aucun effet lorsqu’il est le diviseur (par exemple, \(3\; \div \;1\; = \;3\)), mais ce n’est pas le cas s’il paraît comme dividende (par exemple, \(1\; \div \;3\; \ne \;3\)). Ainsi, le nombre 1 n’est pas neutre pour la division.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 107.
Connaissance : relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division
Les opérations fondamentales, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division sont intimement reliées malgré leurs différences apparentes.
- L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.
- La multiplication peut être associée à une addition répétée.
- La division peut être associée à une soustraction répétée.