B2.6 Représenter et résoudre des problèmes relatifs à la multiplication d’un nombre naturel à deux chiffres par un nombre naturel à deux chiffres, et établir des liens entre la disposition rectangulaire et les algorithmes.
Habileté : résoudre des problèmes de multiplication d’un nombre naturel à 2 chiffres par un nombre naturel à 2 chiffres
Lors de la résolution de problèmes, on encourage les élèves à utiliser les connaissances déjà acquises et à établir des liens avec le nouvel apprentissage. Ces liens peuvent être rompus si on ne présente pas aux élèves un éventail diversifié de problèmes. Les élèves qui n’apprennent pas à calculer dans des contextes de résolution de problèmes pourraient avoir beaucoup de difficulté à faire ces liens plus tard. Leur compréhension de la notion abstraite du nombre et de son application risque d’être floue, et il est possible que certaines et certains n’arrivent pas à utiliser efficacement des stratégies de calcul pour résoudre des problèmes.
Le recours à des contextes de résolution de problèmes est tout aussi important pour les opérations sur les nombres à plusieurs chiffres. Lorsqu’on donne des problèmes aux élèves, lorsqu’on les encourage à trouver un algorithme et à l’utiliser de manière souple, on leur donne l’occasion d’approfondir leur compréhension des opérations. Par souci d’efficacité et croyant bien faire, on enseigne souvent aux élèves l’algorithme à utiliser pour effectuer les opérations sur les nombres à plusieurs chiffres. Cette méthode leur étant présentée comme la « bonne façon » de résoudre le problème, les élèves font des efforts ardus pour comprendre et mémoriser cette procédure. Cette méthode entraîne souvent une utilisation peu efficace de l’algorithme, un manque d’exactitude et une compréhension limitée. Si, au contraire, on encourage les élèves à dégager le sens du problème et à élaborer leurs propres stratégies pour le résoudre, elles et ils démontreront plus d’aisance et plus de précision dans leur travail sur les opérations.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 5.
Types de problèmes relatifs à la multiplication
Les élèves acquièrent une bonne compréhension de la multiplication et des relations entre les nombres en résolvant des problèmes de différents types.
Les types de problèmes présentés ci-après à l’aide d’exemples peuvent aider les élèves à percevoir les opérations relatives à la multiplication et division de diverses façons, selon qu’il s’agit de problèmes de groupes égaux ou de comparaison. Le recours à ces différents types de problèmes oblige les élèves à raisonner pour trouver des solutions et permet ainsi de développer un meilleur sens des opérations.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 10.
Les exemples de problèmes écrits ci-dessous contiennent des nombres à 2 ou 3 chiffres fois 1 nombre de 1 chiffre. Les structures des 2 types de problèmes écrits se prêtent aussi aux nombres à plusieurs chiffres.
Problème de groupes égaux
image Problèmes de groupes égaux.Un rectangle jaune représente le résultat. En dessous de lui il y a 5 espaces égaux, ils représentent le nombre de groupe. Ensemble ils ont la même grandeur que le rectangle jaune. 4 de ces espaces sont en rouge. Chaque espace rouge est la taille du groupe.
- Groupes égaux : tout inconnu (multiplication)
L’École a acheté 150 livres pour les classes. Chacun a coûté 5 $. Combien l’école a-t-elle dépensé pour tous ces livres?
image Un rectangle jaune représente une inconnue.Sous ce rectangle, 6 carrés rouges, annotés 5 dollars. Ils sont répartis en 2 groupes, 3 carrés à la gauche, et 3 carrés à la droite. La totalité des carrés rouges représente 150 livres.
Décomposition du 1er terme et la distributivité
\(\begin{align} 150 \times \;5\;\$ &= (100 \times 5 ) + (50 \times 5 ) \\ &= 500 + 250 \\ &= 750\;\$ \end{align}\)
L’école a dépensé 750 $ pour tous ces livres.
Problème de comparaison en multiplication
La représentation de la situation avec les réglettes Cuisenaire ou la droite numérique aide à déterminer le résultat.
- Comparaison : produit inconnu
Mustapha a épargné 20$ au cours du dernier mois. Pour sa part, Michel en a épargné 4 fois plus. Combien d’argent Michel a-t-il épargné?
\(4\; \times \;20\;\$ \; = \;?\)
Réglettes Cuisenaire
\(\begin{align} 4 \times 20\;\$ &= 20 + 20 + 20 + 20 \\ &= 80\;\$ \end{align}\)
Michel a épargné 80$.
Source : adapté du Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 10-11.
Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves reconnaissent que la situation présente « plusieurs fois » une même quantité et elles et ils utilisent des groupes égaux pour représenter la situation et l’addition répétée pour obtenir la réponse. À mesure que les élèves progressent, il est important qu’elles et ils y voient le concept de multiplication plutôt que celui d’addition et apprennent d’autres représentations.
La disposition rectangulaire, un agencement de rangées et de colonnes, s’avère un modèle puissant dans l’apprentissage de la multiplication et permet de voir cette opération sous un angle différent.
En résolvant une variété de problèmes et en discutant de stratégies, les élèves en viennent à établir et à saisir le lien entre le mot « fois » et le signe « × », étape cruciale dans le développement de la compréhension de la multiplication. Les élèves doivent comprendre que le signe « × » signifie « groupes de ».
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 85-86.
Le modèle de la disposition rectangulaire peut être présenté aux élèves de différentes façons. Dans le cadre d’un échange mathématique, par exemple, le personnel enseignant peut partir du travail d’un élève et proposer une nouvelle organisation des objets en disposition rectangulaire.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 134.
Lorsqu’il s’agit d’une multiplication, on connaît le nombre de rangées et le nombre de colonnes. Pour la division, on connaît le nombre total ainsi que le nombre de rangées ou le nombre de colonnes. Pour organiser les objets dans une disposition rectangulaire, les objets sont placés dans des rangées ou des colonnes connues jusqu’à ce que tous les objets soient distribués de manière égale.
Source : adapté du Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Exemple
Dans le gymnase, on place pour un spectacle 12 rangées de 15 chaises chacune. Combien y a-t-il de chaises en tout?
image Une disposition rectangulaire de 12 rangées de 15 chaises. Au bout des 4 premières rangées, le total des chaises est inscrit, soit, 15, 30, 45, 80.Le total des chaises à la dernière rangée est de 180.Des flèches passent d’une rangée à une autre, du haut vers le bas pour indiquer que le décompte des chaises est une addition de plus 15.
La disposition rectangulaire permet de visualiser la situation en représentant chacune des chaises. Les élèves peuvent alors utiliser l’addition répétée et compter par intervalles de 15 (15, 30, 45…) afin de déterminer qu’il y a 180 chaises en tout.
Certaines et certains élèves pourront choisir de décomposer 15 (10 et 5) et 12 (10 et 2) de façon à faire un lien avec le matériel de base 10 (languettes et cubes d’unité). La disposition rectangulaire correspondante est alors plus abstraite puisqu’on y représente des regroupements de chaises plutôt que chacune des chaises.
image Une disposition rectangulaire. Le rectangle a dix chaises plus 5 chaises de longueur. Le rectangle a dix rangées plus 2 rangées.Le rectangle est donc divisé en 4 parties. La première a 100 chaises (parenthèse ouvrante) dix fois dix (parenthèse fermante).La deuxième, 50 chaises (parenthèse ouvrante) dix fois 5 (parenthèse fermante).Le troisième, 20 chaises (parenthèse ouvrante) 2 fois dix (parenthèse fermante). Le quatrième, dix chaises (parenthèse ouvrante) 2 fois 5 (parenthèse fermante).
Cette disposition rectangulaire est cependant plus facile à tracer et elle met en évidence la possibilité de déterminer le nombre total de chaises à partir d’une somme de 4 produits partiels (par exemple, 10 rangées de 10 chaises donnent 100 chaises, 10 rangées de 5 chaises donnent 50 chaises…). Au total, il y a donc \(100\; + \;50\; + \;20\; + \;10\; = \;180\) chaises. On peut aussi voir dans cette disposition rectangulaire la représentation d’une planchette (100), de 7 languettes (70) et de 10 cubes d’unité (10). Les élèves peuvent également faire le lien avec le concept d’aire (par exemple, on obtient 4 rectangles d’aire 100, 50, 20 et 10 unités carrées).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 61-62.
On peut faire des calculs à l’aide de la disposition rectangulaire sur du papier quadrillé. Par exemple, pour calculer \(16\; \times \;34\):
Pour mieux calculer le nombre de carrés, on trace des lignes épaisses afin de délimiter les regroupements de 10 de chaque facteur.
image Une disposition rectangulaire, tracée sur du papier quadrillé, de, 34 carreaux par 16 carreaux.Des traits en caractère gras ont délimité des carrés de dix carreaux par dix carreaux.On obtient 3 carrés de dix par dix, 3 rectangles de 6 par dix, un rectangle de dix par 4 et un rectangle de 6 par 4.
Ainsi, on voit bien les 3 centaines. Pour mieux voir les dizaines et les unités, on peut aussi noircir certaines lignes.
image Une disposition rectangulaire, tracée sur du papier quadrillé, de, 34 carreaux par 16 carreaux.Des traits en caractère gras ont délimité des carrés de dix carreaux par dix carreaux.On obtient 3 carrés de dix par dix, 3 rectangles de 6 par dix, un rectangle de dix par 4 et un rectangle de 6 par 4. Les lignes des rectangles sont noircies.
On voit bien les 18 dizaines en position horizontale et les 4 dizaines en position verticale, ainsi que les 24 unités en bas à droite. 20 dizaines peuvent être regroupées pour faire 2 centaines et vingt unités peuvent être regroupées pour faire 2 dizaines. À la fin, on a 5 centaines, 4 dizaines et 4 unités, soit 544. Cette représentation s’apparente à une disposition rectangulaire créée avec du matériel de base 10.
image La disposition rectangulaire de 16 carreaux par 34 carreaux est transformée. Les planchettes de dix par dix sont séparées, il y en a 3. Elles sont à côté de 4 réglettes de dix carreaux.En dessous de chaque planchette, il y a un groupe de 6 réglettes de dix. Un ensemble de 28 unités est à côté des réglettes.
Dans les exemples précédents, toutes les rangées et toutes les colonnes sont délimitées. Donc, chaque unité est identifiable. Avec le temps, les élèves peuvent représenter la même situation autrement en créant des dispositions rectangulaires variées où chaque unité n’est pas représentée. Voici 4 autres dispositions rectangulaires qui représentent \(16\; \times \;34\).
image Une disposition rectangulaire. La longueur est de 30 plus 4, la largeur est de dix plus 6. Il y a 4 rectangles dans la disposition rectangulaire.Le premier représente 3 centaines, 300.Le deuxième, 18 dizaines, 180.Le troisième représente, 4 dizaines, 40.Le quatrième représente, 24 unités, 24.Une disposition rectangulaire a 34 en longueur et dix plus 6 en largeur. Il y a 2 rectangles dans la disposition rectangulaire, le premier représente 340, le deuxième 180 plus 24.Une disposition rectangulaire, la longueur est, dix plus, dix plus, dix plus 4. La largeur est de dix plus 6. Dans la disposition rectangulaire, il y a, 3 rectangles qui représentent 100, 3 rectangles qui représentent 60, un rectangle qui représente 40 et un rectangle qui représente 24.Une disposition rectangulaire dont la longueur est 30 plus 4, et la largeur 16. La disposition rectangulaire a 2 rectangles qui représentent 480 et 64.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 135-136.
Lien entre la disposition rectangulaire et les algorithmes
Au fur et à mesure que les élèves développent l’habileté à utiliser les dispositions rectangulaires et qu’elles et ils comprennent la stratégie de faire la somme de produits partiels liés au concept d’aire, ils sont en mesure de résoudre des problèmes de multiplication sur des nombres plus grands. Il suffit de décomposer chacun des 2 facteurs en fonction des dizaines et des unités. La disposition rectangulaire est encore utile pour représenter la décomposition et les produits partiels comme l’illustre l’exemple suivant :
Il y a 35 manèges à la foire. Chaque manège accommode 27 personnes. Combien peut-il y avoir de personnes dans tous les manèges?
image Une disposition rectangulaire de 30 manèges plus 5 manèges sur la longueur et de 20 personnes plus 7 personnes sur la largeur.La disposition rectangulaire est divisée en 4 rectangles :Le premier représente, 20 fois 30 égal 600.Le deuxième représente, 20 fois 5 égal 100.Le troisième, 7 fois 30 égal 210.Le quatrième, 7 fois 35 égal 35.
Lorsque le nombre 35 est décomposé en 30 et 5, et que le nombre 27 est décomposé en 20 et 7, on se trouve à réduire le produit \(35\; \times \;27\) à la somme de 4 produits partiels faciles à calculer, soit \(\left( {20\; \times \;30} \right)\; + \;\left( {20\; \times \;5} \right)\; + \;\left( {7\; \times \;30} \right)\; + \;\left( {7\; \times \;5} \right)\), pour un total de 945 personnes.
Le personnel enseignant peut à ce moment proposer aux élèves de noter ces produits partiels dans un tableau de valeur de position comme ci-dessous :
image Tableau de valeur de position.3 dizaines et 5 unités multiplié par 2 dizaines et 7 unités.& fois 5, égal 3 dizaines et 5 unités.7 fois 30 égal 2 centaines, une dizaine et zéro unité.20 fois 5, une centaine, zéro dizaine et zéro unité.20 fois 30, 6 centaines, zéro dizaine, zéro unité.Le total est 9 centaines, 4 dizaines, 5 unités.Les résultats de chaque multiplication se retrouvent dans la disposition rectangulaire, de 30 plus 5 et 20 plus 7, dont les 4 parties ont un total de 600, 100, 210 et 35.
L’ordre dans lequel les élèves inscrivent leurs produits partiels dans le tableau n’a pas d’importance. Lorsque les élèves auront maîtrisé l’utilisation d’un tableau de valeur de position pour noter les produits partiels associés à une multiplication quelconque, le personnel enseignant pourra leur présenter l’algorithme usuel de la multiplication. Il importe de mettre en évidence le lien entre les étapes de l’algorithme et celles dans le tableau de valeur de position. Les élèves comprendront alors que l’algorithme usuel de la multiplication n’est qu’une façon rapide de réduire la multiplication à une somme de produits partiels.
image Tableau de valeur de position.3 dizaines et 5 unités multiplié par 2 dizaines et 7 unités.& fois 5, égal 3 dizaines et 5 unités.7 fois 30 égal 2 centaines, une dizaine et zéro unité.20 fois 5, une centaines zéro dizaine et zéro unité.20 fois 30, 6 centaines, zéro dizaine, zéro unité.Le total est 9 centaines, 4 dizaines, 5 unités.La multiplication est posée verticalement :35 fois 27 égal 245 plus 700 égal 945.Il y a 3 et un en retenue au-dessus de l’unité.245 est obtenue avec la multiplication 7 fois 35.700 est obtenue avec la multiplication 20 fois 35.
En apprenant et en pratiquant plusieurs façons de représenter les opérations, les élèves acquièrent un meilleur sens de la multiplication et réussissent plus facilement à déterminer le produit.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 63-64.