B1.5 Arrondir des nombres à virgule, dont la partie décimale est finie ou périodique, au dixième et au centième près, ainsi qu’au nombre naturel près, selon le cas, dans divers contextes.
Habileté : arrondir des nombres à virgule, dont la partie décimale est finie ou périodique, au dixième et au centième près, ainsi qu’au nombre naturel près
Dans la plupart des situations de la vie courante, il n’est pas nécessaire de travailler avec un nombre précis, puisqu’une approximation est tout aussi valable et souvent plus commode. Les élèves du cycle moyen doivent pouvoir arrondir en utilisant leur sens du nombre, ce qui nécessite une analyse et une réflexion.
Un nombre peut être arrondi selon une valeur de position préétablie. Par exemple, à l’achat d’un objet de 11,34 $, on calcule que la taxe de vente provinciale de 8 % est de 0,907 2 $. Or, on paiera 0,91 $, car le montant est toujours arrondi au centième de dollar près puisque les millièmes et les dix millièmes de dollars ne font pas partie de nos pièces de monnaie.
Des problèmes variés doivent être présentés aux élèves pour les inciter à réfléchir à l’effet de l’arrondissement sur la quantité et à choisir la façon d’arrondir. Doit-on arrondir à l’unité près, au dixième près ou au centième près? Le choix dépend du contexte, du sens du nombre et des raisons qui poussent à arrondir. Par exemple, une restauratrice qui possède des tables d’une longueur de 2,27 m peut, lors de l’achat de nappes, arrondir la longueur à 2,3 m ou même à 2,5 m pour être certaine que les nappes achetées seront assez longues. Cependant, lorsqu’elle en parle à ses employés, elle peut s’y référer en parlant des tables de 2 m. Bref, c’est seulement après une analyse du contexte qu’on peut déterminer comment effectuer l’arrondissement ou à quelle position l’arrondissement doit se faire.
La lecture des nombres sur une calculatrice est une habileté indispensable, d’autant plus que les divisions faites avec cet outil donnent souvent un quotient ayant une partie décimale très longue. Dans ce cas, pour mieux saisir la quantité affichée, il peut être utile d’arrondir un nombre (par exemple, arrondir 0,248 953 2 à 0,25) ou de le remplacer par une fraction repère (par exemple, 0,248 953 2, c’est environ \(\frac{1}{4}\)).
Malheureusement, l’arrondissement est trop souvent enseigné à l’aide de méthodes qui sont vides de sens, car elles traitent des chiffres et non pas de la quantité. Par exemple, pour arrondir un nombre décimal au dixième près, les élèves apprennent à identifier le chiffre dans la position à arrondir, puis à considérer le chiffre qui le suit. Si celui-ci est supérieur ou égal à 5, le chiffre identifié est augmenté de un et les chiffres qui suivent sont éliminés.
Exemple
Des résultats d’études révèlent que ces méthodes traditionnelles d’arrondissement ne développent pas le concept d’approximation chez l’élève.
Note : Puisque pour arrondir un nombre décimal, les élèves doivent utiliser leur sens du nombre décimal, il est important qu’au préalable, elles et ils aient eu l’occasion de le développer en représentant des nombres décimaux, en les situant sur une droite numérique et en les comparant.
Exemple
Pour arrondir \(0, \overline {6} \) à l’unité près, les élèves reconnaissent que le nombre \(0, \overline {6} \) représente une quantité équivalente à « un peu moins de 1 ». Elles et ils savent alors que le nombre se situe entre 0 et 1. Elles et ils utilisent ensuite leur sens du nombre pour déterminer si \(0, \overline {6} \) est plus près de 0 ou de 1. Elles et ils peuvent, par exemple, utiliser un nombre repère représentant le milieu de l’intervalle (0,5), « voir » que \(0, \overline {6} \) c’est près de 1 ou même visualiser l’emplacement de \(0, \overline {6} \) sur une droite numérique.
Image La
droite numérique est graduée de zéro à un, avec intervalle de zéro virgule cinq. Le chiffre zéro virgule six où le six
est surmonté d’un trait horizontal est situé à droite de zéro virgule cinq. Sous la droite, vis-à-vis zéro virgule
cinq, le chiffre zéro virgule six où le six est surmonté d’un trait horizontal pointe vers un zéro à sa gauche et vers
un « un » à sa droite.
Peu importe l’élément du sens du nombre choisi, les élèves sont alors en mesure d’arrondir \(0,\overline {6} \) à 1. Si elles et ils décident d’arrondir plutôt au dixième près, elles et ils doivent utiliser leur compréhension de la quantité infinie et périodique représentée par ce nombre et reconnaître que \(0, \overline {6} \) représente une quantité qui se situe entre 0,6 et 0,7.
Image La
droite numérique est graduée de zéro virgule six à zéro virgule sept. Les chiffres zéro virgule 65 et zéro virgule 666
sont situés sur la droite. Sous la droite, le chiffre zéro virgule 666 pointe vers zéro virgule six à sa gauche et
vers zéro virgule sept à sa droite.
En visualisant le nombre \(0, \overline {6}\)sur une droite, les élèves peuvent conclure que \(0, \overline {6}\)est plus près de 0,7 que de 0,6 et donc, arrondir \(0, \overline{6}\) à 0,7.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année,
p. 42-44.
Connaissance : nombre à virgule
Un nombre exprimé en notation décimale est composé de deux parties, à savoir la partie entière et la partie décimale.
D’autres nombres s’écrivent aussi en notation décimale. Par exemple, le nombre \(\pi \) s’écrit 3,141 592 65… et le nombre \(\frac{1}{3}\) s’écrit 0,333 3… ou \(0,\overline {3} \). Or, puisque ces nombres ne sont pas composés d’une partie décimale finie, ce ne sont pas des nombres décimaux. On les regroupe plutôt, avec les nombres décimaux, sous le vocable de nombres à virgule, puisque la virgule (,) est le symbole choisi pour séparer la partie entière de la partie décimale. Dans un nombre à virgule, la partie décimale peut être finie, infinie et périodique ou infinie et non périodique.
Note : En anglais, c’est le point (.) qui a été retenu pour séparer la partie entière de la partie décimale.
Partie décimale finie
La partie décimale contient un nombre fini de chiffres.
Note : Les nombres dont la partie décimale est finie peuvent être représentés par des fractions décimales.
Exemple
\(0,5\;\;\;\left( {\frac{5}{{10}}} \right)\)
\(1,458\;\;\;\left( {\frac{{1458}}{{1000}}} \right)\)
Partie décimale infinie et périodique
La partie décimale contient un nombre infini de chiffres dont une partie (la période) se répète indéfiniment.
La période est indiquée par un trait horizontal placé au-dessus du chiffre ou du groupe de chiffres répété.
Note : Les nombres dont la partie décimale est infinie et périodique peuvent tous être représentés par des fractions.
Exemple
\(0,353\;535...\) ou \(\mathop 0,\overline {35}\;\) \(( {\frac{{35}}{{99}}} )\)
\(0,666...\) ou \(0,\overline {6}\;\;\; \left( {\frac{2}{3}} \right)\)
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 29.