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B2.4 Représenter et résoudre des problèmes relatifs à l’addition et à la soustraction de nombres naturels et de nombres décimaux, à l’aide d’estimations et d’algorithmes.

Habileté : représenter et résoudre des problèmes d’addition et de soustraction à l’aide de stratégies y compris des algorithmes

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L’apprentissage des opérations mathématiques s’effectue progressivement. Le point de départ devrait être l’exploration des opérations en situation de résolution de problèmes. Les élèves apprennent à associer des situations à des opérations particulières, ce qui leur permet de commencer à donner un sens aux opérations. De plus, les élèves doivent utiliser des stratégies basées sur leur compréhension du contexte, du problème et des opérations. Elles et ils prennent conscience qu’il existe plusieurs façons de résoudre un problème et même plusieurs façons d’effectuer la même opération. Par la suite, les élèves sont invités à résoudre une variété de problèmes afin de progresser vers l’utilisation de stratégies efficaces.

Contrairement à la démarche traditionnelle où les élèves apprennent surtout à appliquer les algorithmes usuels, l’apprentissage des opérations doit davantage être orienté vers la compréhension des opérations, l’exploration du calcul mental et l’utilisation de diverses stratégies pour effectuer les opérations. C’est en ce sens que le programme-cadre de mathématiques stipule l’attente pour les élèves du cycle moyen, soit que l’élève doit pouvoir résoudre des problèmes reliés aux opérations étudiées en utilisant diverses stratégies ou des algorithmes personnels.

Afin de répondre à cette attente, les élèves doivent être mis en situation de résolution de problèmes. Cela leur permettra de développer et d’explorer diverses stratégies ou divers algorithmes personnels.

Pour développer des stratégies efficaces chez les élèves, il est important d’offrir aux élèves divers types de problèmes de manière à leur permettre de saisir les multiples sens des opérations. Un problème bien choisi et l’application d’une stratégie réfléchie sont plus profitables qu’une série d’exercices complétés mécaniquement. Il faut ainsi allouer le temps nécessaire qui permettra aux élèves de comprendre et de consolider les stratégies.

L’exploration de stratégies (incluant les algorithmes personnels) est essentielle puisque celles-ci sont des exemples tangibles du sens du nombre et du sens des opérations que les élèves ont acquis. Ces stratégies et ces algorithmes personnels indiquent comment elles et ils « jouent » avec les nombres et les opérations. Ces stratégies qui sont mises sur papier ont le potentiel de se transposer en stratégies de calcul mental. Par exemple, les élèves qui ont l’occasion d’écrire leur raisonnement sur papier ou qui utilisent une grille de nombres pour effectuer un calcul tel que \(36\; + \;52\) pourront ultérieurement suivre un raisonnement similaire mentalement.

Image Quatre images sont présentées. La première image est un rectangle qui représente l’algorithme personnel et qui contient deux opérations : 36 plus 52, et 80 plus huit égale 88. Le 36 et le 52 s’unissent au 80 ainsi qu’au huit. La deuxième image est un phylactère nuage qui représente le calcul mental, dans lequel il est écrit : « 30 plus 50 font 80. Six plus deux font huit. 80 plus huit égale 88. Donc, 36 plus 52 égale 88 ». La troisième image est une grille de nombres de 100 unités. Une ligne va verticalement de 36 à 86 puis horizontalement de 86 à 88. À côté de la grille, de 50 à 60, de 60 à 70, de 70 à 80, et de 80 à 90, il est écrit « plus dix ». Et sous la grille, entre 96 et 97, et entre 97 et 98, il est écrit « plus un ». La quatrième image est un phylactère nuage qui représente le calcul mental et qui contient la suite de nombres suivante : 36, 46, 56, 66, 76, 86, 87, 88.

De plus, il est essentiel d’animer des échanges mathématiques portant, par exemple, sur ces stratégies et sur les algorithmes personnels. Ces échanges favorisent le partage de stratégies et la reconnaissance de liens entre elles. Les stratégies personnelles de chaque élève se précisent, se perfectionnent et deviennent plus efficaces au fur et à mesure qu’il ou elle établit des liens entre elles. Ainsi, « le personnel enseignant oriente la discussion en ayant recours à des stratégies qu’ont utilisées des élèves pour amorcer la compréhension de concepts mathématiques précis et pour diriger la progression des élèves vers des méthodes efficaces » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2004 a, page 18).

Le rôle du personnel enseignant est alors d’aider les élèves à organiser leurs traces. Par exemple, on peut amener les élèves à utiliser des représentations semi-concrètes, en faisant ressortir qu’un ou une élève qui a regroupé des objets présente le même raisonnement que celui ou celle qui a écrit le nombre en guise de regroupement.

De même, lorsque l’élève prend physiquement 10 groupes de 10 unités et se rend compte qu’il s’agit d’un groupe de 100 unités qu’on appelle centaine, on peut mentionner que l’élève utilise le concept de regroupement et qu’il s’agit du même regroupement qui est symbolisé par l’écriture du chiffre « 1 » au-dessus de la position des centaines dans l’algorithme usuel.

Image L’image montre deux grilles de cent unités, une équation, et trois ensembles de réglettes. L’équation est : 31 plus 164 plus 47. La première grille de 100 unités se relie à elle avec une flèche courbe. Le premier ensemble de réglettes est constitué de trois tours de dix unités et d’une unité. Le deuxième ensemble est constitué de six tours de dix unités et de quatre unités. Et le troisième ensemble est constitué de quatre tours de dix unités et de sept unités. Un rectangle tracé à main levée encadre les deux premiers ensembles avec la première tour de dix unités du troisième ensemble. Une flèche courbe le relie à la première grille de 100 unités.

L’étayage par le personnel enseignant permet aux élèves de comprendre les concepts sous-jacents associés aux diverses opérations (par exemple, échange dans la soustraction). De plus, l’échange mathématique permet de présenter de nouvelles stratégies. Le personnel enseignant et les élèves peuvent aussi modeler des stratégies en s’assurant de verbaliser le raisonnement qui s’y rattache. Ultérieurement, l’algorithme usuel peut être présenté en s’assurant que les élèves comprennent les concepts sous-jacents et les raisons des gestes posés. Les algorithmes usuels doivent être perçus par les élèves comme étant seulement une autre façon d’effectuer les opérations.

Tout au long du cycle moyen, il est important de présenter une variété de situations de résolution de problèmes, même si les élèves ont maîtrisé plusieurs stratégies pour effectuer les diverses opérations. Cela leur permet de se construire un réseau de représentations, d’habiletés et de liens et de développer une souplesse et une flexibilité dans l’utilisation des opérations. Les élèves réfléchissent ainsi aux types de calculs à effectuer (par exemple, estimation, calcul exact), aux opérations à effectuer, ainsi qu’aux stratégies efficaces à utiliser selon la situation (par exemple, calcul mental, algorithme usuel, stratégie personnelle).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 75-78.

Problèmes écrits : Addition et soustraction

Dans l’addition ou la soustraction, des quantités sont ajoutées, retirées, unies ou comparées. Pour que les élèves comprennent les liens entre les quantités dans chacun de ces cas, il est important qu’elles et ils soient confrontés à divers types de problèmes.

L’addition et la soustraction ne sont que des opérations qui surviennent dans des problèmes. Il faut donc éviter de parler de « problèmes de soustraction » ou « problèmes d’addition », car c’est la compréhension de la situation, ainsi que la compréhension des opérations qui font choisir la stratégie de résolution de problèmes à adopter, en l’occurrence le choix de l’addition ou de la soustraction. Donc, les élèves doivent analyser le problème, choisir une stratégie et l’appliquer, tout comme le font les adultes. Dans ce contexte, le rôle du personnel enseignant est d’aider les élèves dans leur analyse et dans leur compréhension des opérations.

Il est important de noter que les problèmes présentés ci-dessous semblent similaires en raison de leur contexte. Or pour les élèves, chaque situation représente un problème particulier. C’est en maîtrisant ces divers types de problèmes que les élèves acquièrent une maîtrise de l’addition et de la soustraction.

Problèmes d’ajout

Le modèle partie-tout peut être utile pour représenter les valeurs connues et inconnues dans des problèmes d’ajout.

Le modèle d’ensemble est utile pour représenter l’ajout d’une quantité.

• Ajout : Valeur finale inconnue – Jamil a un sac de 600 bonbons. Il achète 500 bonbons de plus. Combien de bonbons Jamil a-t-il à présent?

Image Un rectangle est divisé en trois parties. Au-dessus, il y a l’expression « Valeur Finale » vers laquelle pointe une accolade qui englobe la première partie du rectangle. La première partie du rectangle, au-dessus, s’étend sur toute la longueur est prend un peu plus de largeur que les deux autres parties en dessous. Elle est bleue et marquée d’un point d’interrogation. En dessous, il y a une partie jaune, marquée du nombre 600, légèrement plus volumineuse que la troisième partie, qui est verte et marquée du nombre 500. Sous la partie jaune, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur Initiale ». Sous la partie verte, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur Ajoutée ». Sous ces expressions, il est écrit l’équation suivante : « 600 plus 500 égale point d’interrogation ». À côté du rectangle, il y a un ovale bleu. À gauche, il est écrit « Valeur Initiale ». En haut, il est écrit « Valeur Finale ». À droite, il est écrit « Valeur Ajoutée ». En bas, il est écrit « 600 plus 500 égale point d’interrogation ». Dans l’ovale bleu, il y a un point d’interrogation. Il y a aussi un ovale jaune contenant six jetons noirs. Et il y a un ovale vert contenant cinq jetons noirs. La légende indique qu’un jeton égale cent bonbons.

• Ajout : Valeur initiale inconnue – Jamil a plusieurs bonbons. Il en achète 500 de plus. Il en a 1 100 à présent. Combien de bonbons Jamil avait-il au début?

Image Un rectangle est divisé en trois parties. Au-dessus, il y a l’expression « Valeur Finale » vers laquelle pointe une accolade qui englobe la première partie du rectangle. La première partie du rectangle, au-dessus, s’étend sur toute la longueur est prend un peu plus de largeur que les deux autres parties en dessous. Elle est bleue et marquée du nombre 1 100. En dessous, il y a une partie jaune, marquée d’un point d’interrogation, légèrement plus volumineuse que la troisième partie, qui est verte et marquée du nombre 500. Sous la partie jaune, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur Initiale ». Sous la partie verte, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur Ajoutée ». Sous ces expressions, il est écrit l’équation suivante : « Point d'interrogation plus 500 égale 1 100 ».

• Ajout : Valeur ajoutée inconnue – Jamil a un sac de 600 bonbons. Il en achète beaucoup d’autres. Il en a 1 100 à présent. Combien de bonbons Jamil a-t-il achetés?

Image Un rectangle est divisé en trois parties. Au-dessus, il y a l’expression « Valeur Finale » vers laquelle pointe une accolade qui englobe la première partie du rectangle. La première partie du rectangle, au-dessus, s’étend sur toute la longueur est prend un peu plus de largeur que les deux autres parties en dessous. Elle est bleue et marquée du nombre 1 100. En dessous, il y a une partie jaune, marquée du chiffre 600, légèrement plus volumineuse que la troisième partie, qui est verte et marquée d'un point d’interrogation. Sous la partie jaune, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur Initiale ». Sous la partie verte, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur Ajoutée ». Au bas apparaît l’équation suivante : 600 plus point d’interrogation égale 1 100.

Problèmes de retrait

Le modèle partie-tout peut être utile pour représenter les valeurs connues et inconnues dans des problèmes de retrait.

Le modèle d’ensemble est utile pour représenter le retrait d’une quantité.

• Retrait : Valeur finale inconnue – Nadia a 1 500 $. Elle donne 500 $ à son frère. Combien lui reste-t-il de dollars à présent?

Image Un rectangle est divisé en trois parties. Au-dessus, il y a l’expression « Valeur Initiale » vers laquelle pointe une accolade qui englobe la première partie du rectangle. La première partie du rectangle, au-dessus, s’étend sur toute la longueur est prend un peu plus de largeur que les deux autres parties en dessous. Elle est bleue et marquée du nombre 1 500. En dessous, il y a une partie jaune, marquée du nombre 500, moins volumineuse que la troisième partie, qui est verte et marquée d'un point d’interrogation. Sous la partie jaune, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur retirée ». Sous la partie verte, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur finale ». Sous ces expressions il y a l'équation suivante : « 1 500 moins 500 égale point d’interrogation. » À côté du rectangle, il y a un ovale bleu. À gauche, il est écrit « Valeur retirée ». En haut, il est écrit « Valeur initiale ». À droite, il est écrit « Valeur finale ». En bas, il est écrit « 1 500 moins 500 égale point d’interrogation ». Dans l’ovale bleu, il y a un ovale jaune contenant cinq jetons noirs qui correspondent à la valeur retirée. Il y a aussi dix jetons noirs hors de l’ovale jaune qui correspondent à la valeur finale. La légende indique qu’un jeton égale cent dollars.

• Retrait : Valeur retirée inconnue – Nadia a 1 500 $. Elle en donne à son frère. Il lui reste 1 000 $ à présent. Combien d’argent Nadia a-t-elle donné à son frère?

Image Un rectangle est divisé en trois parties. Au-dessus, il y a l’expression « Valeur Initiale » vers laquelle pointe une accolade qui englobe la première partie du rectangle. La première partie du rectangle, au-dessus, s’étend sur toute la longueur est prend un peu plus de largeur que les deux autres parties en dessous. Elle est bleue et marquée du chiffre 1 500. En dessous, il y a une partie jaune, marquée d'un point d'interrogation, moins volumineuse que la troisième partie, qui est verte, marquée du nombre 1 000. Sous la partie jaune, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur retirée ». Sous la partie verte, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur finale ». Sous ces expressions il est écrit : « 1 500 moins point d’interrogation égale 1 000 ».

• Retrait : Valeur initiale inconnue – Nadia avait un certain montant d’argent. Elle a donné 500 $ à son frère. Il lui reste 1 000 $ à présent. Combien Nadia avait-elle d’argent au début?

Image Un rectangle est divisé en trois parties. Au-dessus, il y a l’expression « Valeur Initiale » vers laquelle pointe une accolade qui englobe la première partie du rectangle. La première partie du rectangle, au-dessus, s’étend sur toute la longueur est prend un peu plus de largeur que les deux autres parties en dessous. Elle est bleue et marquée d'un point d’interrogation. En dessous, il y a une partie jaune, marquée du nombre 500, moins volumineuse que la troisième partie, qui est verte et marquée du nombre 1 000. Sous la partie jaune, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur retirée ». Sous la partie verte, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Valeur finale ». Sous ces expressions il est écrit : « point d’interrogation moins 500 égale 1 000 ».

Problèmes de réunion

Le modèle partie-tout peut être utile pour représenter les parties du tout connues et inconnues ou le tout connu ou inconnu dans des problèmes de réunion.

• Réunion : Partie du tout inconnue – La classe a 800 crayons de couleur. 300 de ces crayons sont rouges. Les crayons qui restent sont bleus. Combien la classe a-t-elle de crayons bleus?

Image Un rectangle est divisé en trois parties. Au-dessus, il est écrit le mot « Tout », vers lequel pointe une accolade qui englobe la première partie du rectangle. La première partie du rectangle, au-dessus, s’étend sur toute la longueur est prend un peu plus de largeur que les deux autres parties en dessous. Elle est bleue et marquée du nombre 800. En dessous, il y a une partie jaune, marquée du nombre 300, moins volumineuse que la troisième partie, qui est verte et marquée d’un point d’interrogation. Sous la partie jaune, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Partie du tout ». Sous la partie verte, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Partie d’un tout ». Sous ces expressions il est écrit : « 800 moins 300 égale point d’interrogation ».

• Réunion : Tout inconnu – La classe a beaucoup de crayons de couleur. Il y a 300 crayons rouges et 500 crayons bleus. Combien la classe a-t-elle de crayons de couleur?

Image Un rectangle est divisé en trois parties. Au-dessus, il est écrit le mot « Tout », vers lequel pointe une accolade qui englobe la première partie du rectangle. La première partie du rectangle, au-dessus, s’étend sur toute la longueur est prend un peu plus de largeur que les deux autres parties en dessous. Elle est bleue et marquée d'un point d'interrogation. En dessous, il y a une partie jaune, marquée du nombre 300, moins volumineuse que la troisième partie, qui est verte, marquée du nombre 500. Sous la partie jaune, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Partie du tout ». Sous la partie verte, il y a une accolade qui l’englobe et sous laquelle il est écrit « Partie d’un tout ». Sous ces expressions il est écrit : « point d'interrogation moins 300 égale 500 ».

Problèmes de comparaison

Le modèle linéaire peut être utile pour représenter la différence entre deux nombres dans des problèmes de comparaison. Dans cet exemple, on utilise les réglettes Cuisenaire et la droite numérique double.

• Comparaison : Différence inconnue – Judith a 600 $ et Jeanne a 300 $. Combien de dollars Judith a-t-elle de plus que Jeanne? OU Judith a 600 $ et Jeanne a 300 $. Combien de dollars Jeanne a-t-elle de moins que Judith?

Je sais que la réglette vert foncé représente 6 (centaines), alors je la place en haut de la droite numérique en partant du 0. Je sais que la réglette vert lime représente 3 (centaines), alors je la place sous la droite numérique en partant du 0. Je compare les deux réglettes et je vois que la réglette vert lime est 3 (centaines) de moins que la réglette vert foncé. Je trouve la différence ou l’écart entre les deux quantités. Il y a une différence de 300 $. Judith a 300 $ de plus que Jeanne ou Jeanne a 300 $ de moins que Judith.

Image Une ligne de dénombrement est graduée de zéro à 1 000. Le haut de la droite correspond à Judith, tandis que le bas correspond à Jeanne. En haut de la droite, il y a une barre vert foncé qui va de zéro à 600. Au-dessus de la barre vert foncé, il est écrit « Valeur comparée ». En bas de la droite, il y a une barre verte qui va de zéro à 300. Une accolade va de 300 à 600. Sous la barre verte, il est écrit « Valeur de référence ». Sous l’accolade, il est écrit « Différence inconnue. 600 moins 300égale point d’interrogation.

• Comparaison : Valeur comparée inconnue – Judith a 300 $ de plus que Jeanne. Jeanne a 300 $. Combien de dollars Judith a-t-elle? OU Jeanne a 300 $ de moins que Judith. Jeanne a 300 $. Combien de dollars Judith a-t-elle?

Je sais que la réglette vert lime représente 3 (centaines), alors je la place en haut de la droite numérique en partant du 0. Je prends une autre réglette vert lime et je la place sous la droite numérique en partant du 0 et j’ajoute une autre réglette vert lime puisque Judith a 300 $ de plus que Jeanne. Je remplace les deux réglettes vert lime avec la réglette vert foncé qui représente 6 (centaines). Judith a donc 600 $.

Image Une ligne de dénombrement est graduée de zéro à dix. À gauche du point zéro, au-dessus de la flèche qui pointe à gauche, est écrit le nom de Jeanne. Au-dessus de la droite, une barre verte va de zéro à trois. Au-dessus de la barre, il est écrit « Valeur de référence ». Des traits courbes faisant le bond de trois à quatre, de quatre à cinq et de cinq à six représentent la différence. Sous la droite, une accolade va de zéro à six. Sous celle-ci apparaît la mention « valeur comparée inconnue ». Sous cette mention, il y a une barre verte qui va de zéro à six, divisée en deux au centre, vis-à-vis le trois. Et sous cette barre, il y a une barre vert foncé de la même longueur. À gauche, l’on trouve le nom de Judith.

\(?\; - \;300\; = \;300\)

• Comparaison : Valeur de référence inconnue – Judith a 600 $ et Jeanne a 300 $ de moins que Judith. Combien de dollars Jeanne a-t-elle? OU Jeanne a 300 $ de moins que Judith. Judith a 600 $. Combien de dollars Jeanne a-t-elle?

Je sais que la réglette vert foncé représente 6 (centaines), alors je la place en haut de la droite numérique en partant du 0. Sur la droite numérique, je compte à rebours de trois bonds pour arriver à 300 pour représenter que Jeanne a 300 $ de moins que Judith. Je prends une réglette vert lime, qui représente 3 (centaines) et je la place sous la droite numérique en partant du 0. Jeanne a 300 $.

Image Une ligne de dénombrement est graduée de zéro à dix. À gauche du point zéro, au-dessus de la flèche qui pointe à gauche, est écrit le nom de Judith. Au-dessus de la droite, une barre vert foncé va de zéro à six. Au-dessus de la barre, il est écrit « Valeur comparée ». Sous la droite, une accolade va de zéro à trois, sous laquelle il est écrit « Valeur de référence inconnue ». Des traits courbes faisant le bond de trois à quatre, de quatre à cinq et de cinq à six représentent la différence. En dessous, il y a une barre verte qui va de zéro à trois. À gauche de cette barre, on trouve le nom de Jeanne.

\(600\; - \;?\; = \;300\)

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6^e année, p. 8-10.

Les problèmes d’ajout et de retrait sont perçus par les élèves comme des situations actives, plus faciles à modéliser et à « voir », car la quantité initiale augmente ou diminue. Les problèmes de réunion, cependant, supposent une situation statique, car aucune action ou aucun changement ne se produit, ce qui les rend plus abstraits et plus difficiles à comprendre. Les problèmes de comparaison, quant à eux, traitent de la relation entre deux quantités en les opposant : il n’y a donc pas d’action, mais une comparaison d’une quantité à une autre.

Puisque les élèves sont exposés régulièrement à des problèmes dont la quantité finale est recherchée, ils les résolvent plus aisément. Cependant, ils ont plus de mal à résoudre les problèmes dont la variable est la quantité initiale, la quantité ajoutée ou la quantité retirée. Ces problèmes aident à développer une compréhension plus solide des opérations d’addition et de soustraction et des liens entre les opérations. Par exemple, dans le cas des problèmes d’ajout dont la variable est la quantité initiale, les élèves voient plus facilement les avantages de l’addition (par exemple, \(?\; + \;12\; = \;37\)) qui permet de respecter l’ordre dans lequel se déroule l’action dans le problème. Cela leur permet d’utiliser une stratégie (par exemple, dénombrement ou compte à rebours) afin de déterminer la quantité initiale. Ces élèves démontrent leur compréhension du problème et leur habileté à utiliser une stratégie pour le résoudre. Cependant, elles et ils ne démontrent pas une compréhension du sens de la différence (et de la soustraction). Si elles et ils avaient utilisé la soustraction, soit \(37\; - \;12\; = \;?\), elles et ils auraient démontré une compréhension plus élargie des liens entre les quantités par rapport à cette opération. Mais lorsque les élèves sont en apprentissage, il est inutile de leur imposer une stratégie.

L’obligation de soustraire n’aidera en rien les élèves qui ne voient pas la pertinence de cette stratégie. Toutefois, si elles ils sont régulièrement en contact avec une variété de problèmes et qu’elles et ils participent aux échanges mathématiques qui suivent, elles et ils arrivent à voir les liens entre diverses stratégies et à assimiler une variété de stratégies. Elles et Ils deviennent alors plus performants.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 83-84.

Relation entre les opérations

Les opérations fondamentales, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division sont intimement reliées malgré leurs différences apparentes. Plus les élèves ont l’occasion de manier les opérations, plus elle et ils peuvent remarquer et comprendre les liens entre elles.

L’addition et la soustraction sont des opérations inverses. Or, lorsqu’elles et ils sont en apprentissage, les élèves ont souvent de la difficulté à résoudre des équations telles que \(17\; + \;?\; = \;31\). Plusieurs membres du personnel enseignant incitent alors leurs élèves à utiliser l’opération inverse, soit la soustraction. Or, il peut s’agir d’apprendre un truc, à moins que les élèves comprennent pourquoi la soustraction est une stratégie possible. Elles et Ils doivent d’abord saisir la relation du tout et de ses parties ainsi que le sens d’une différence. Par exemple, un nombre peut être représenté comme suit :

Image L’image contient trois rectangles. Le premier, au-dessus des deux autres, contient le nombre 31. Collés ensemble, les deux rectangles en dessous égalisent la longueur de celui du dessus. Ils présentent respectivement les nombres 17 et 14.

Cette façon de représenter la relation entre un nombre et ses parties permet de voir que la soustraction est l’opération inverse de l’addition. Ainsi, puisque \(17+ 14\; = 31\) et \(14 + 17\; = 31\), donc \(31 - 17\; = 14\) et \(31 - 14\; = 17\).

De plus, les élèves peuvent voir pourquoi l’addition est commutative (\(14 + 17\; = 17 + 14\)) et pourquoi la soustraction ne l’est pas (\(31 - 17 \ne 17 - 31\)). Ceux qui ont acquis un bon sens du nombre et qui sont capables de décomposer et de regrouper des nombres peuvent mettre leurs connaissances à profit pour résoudre plus efficacement des équations telles que \(17\; + \;?\; = \;31\) en comprenant que l’on cherche la différence entre 17 et 31.

Principe/stratégie de compensation

En plus des opérations inverses, les élèves peuvent utiliser le principe de compensation qui découle de la relation d’égalité. Il s’agit de modifier les termes d’une opération sans pour autant en modifier le résultat. Le principe de compensation fait en quelque sorte appel à la conservation de l’égalité des quantités lors d’opérations entre les nombres.

Selon ce principe, on peut modifier les parties d’une addition sans en changer la somme. Par exemple, pour calculer \(143\; + \;218\), on peut intervenir sur le nombre 143 de manière à faciliter le calcul. Pour ce faire, on soustrait 3 du premier terme et on additionne 3 au deuxième terme. De façon concrète, si on considère qu’on a 143 objets dans une pile et 218 objets dans une deuxième pile, on déplace 3 objets de la première pile vers la deuxième pile. Le nombre total n’a pas changé. L’expression numérique devient donc \(140\; + \;221\). Voici la phrase mathématique qui illustre ce qui se produit : \(143\; + \;218\; = \;143\; - \;3\; + \;218\; + \;3\). Donc, \(143\; + \;218\; = \;140\; + \;221\), pour une somme de 361.

On utilise la compensation pour rendre une expression plus facile à évaluer. On peut s’en servir pour ajouter une quantité afin d’obtenir un nombre plus facile à manipuler, comme un multiple de 10 ou de 25, et soustraire la même quantité à la fin. Dans l’exemple suivant, on ajoute 10 au nombre 390 pour obtenir le nombre 400, qui est facile à additionner. On soustrait ensuite 10 de la réponse obtenue.

\(\begin{align}268\; + \;390 &= \;?\\268\; + \;400 &= \;668\\668\; - \;10 &= \;658\\\end{align}\)

Donc, \(268 + 390 = 658\)

On peut visualiser la situation en utilisant une droite numérique verticale. On voit que dans ce cas, un nombre supérieur à celui de l’expression (\( + \;400\)) a été ajouté. Le résultat recherché a ainsi été dépassé. Il faut donc retrancher l’excédent (\( - \;10\)).

La compensation s’applique aussi à la soustraction. Puisqu’on cherche la différence entre les termes, on modifie les deux termes de la même façon pour conserver la même différence. On peut ajouter une même quantité aux deux termes ou on peut soustraire une même quantité des deux termes. Par exemple, pour calculer \(72\; - \;37\), on peut ajouter 3 à 72 pour obtenir un nombre plus familier, soit 75, tout en additionnant 3 à 37 afin de maintenir le même écart.

\(\begin{align}72\; - \;37\; &= \;\left( {72\; + \;3} \right)\; - \;\left( {37\; + \;3} \right)\\ &= \;75\; - \;40\\ &= \;35\end{align}\)

Imagge Une droite numérique est graduée de 30 à 70 par intervalles de dix. Au-dessus, il est écrit 72 moins 37. Sur la droite, un arc noir part légèrement avant 40 et s’arrête légèrement après 70; un arc vert part de 40 et s’arrête entre 70 et 75; et un arc rouge part légèrement avant 40 et s’arrête à 40.

Pour cette même expression, on pourrait aussi compenser en soustrayant 2 de chaque terme.

\(\begin{align}72\; - \;37\; &= \;\left( {72\; - \;2} \right)\; - \;\left( {37\; - \;2} \right)\\ &= \;70\; - \;35\\ &= \;35\end{align}\)

On peut aussi utiliser la compensation pour soustraire un plus grand nombre que ce qui est demandé dans l’expression mathématique pour ensuite ajouter à la différence. Dans l’exemple suivant, on soustrait 53 (3 de plus qu’il ne faut) pour faciliter la soustraction. On ajoute ensuite 3 au résultat.

\(\begin{align}173\; - \;50\; &= \;?\\173\; - \;53\; &= \;120\\120\; + \;3\; &= \;123 \end{align}\)

Donc, \(173 - 50\; = 123\)

Image Une droite numérique verticale présente trois nombres : 120, 123 et 173. Un arc rouge relie 120 à 173 en mentionnant moins 53. Un arc vert relie 120 à 120 en mentionnant plus trois. Sous l’image, il est écrit 173 moins 50.

La compensation dans la soustraction fait appel au principe de la différence constante, à savoir que l’écart entre deux nombres est le même si on leur ajoute ou si on leur enlève une même quantité (par exemple, la différence entre 645 et 185 est la même que celle entre 650 et 190 ou que celle entre 640 et 180).

Le concept de différence constante peut servir pour effectuer des opérations telles que la soustraction avec des zéros (par exemple, \(1\;000\; - \;354\; = \;999\; - \;353\)).

Image Une droite numérique présente quatre nombres : 353, 354, 999 et 1 000. Un arc rouge relie 353 à 999, et un arc noir relie 354 et 1 000. Deux soustractions sont écrites à droite : 1 000 moins 354, et 999 moins 353.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 97-101.

Stratégies de calculs

Les stratégies personnelles ou inventées offrent plusieurs avantages par rapport à l’enseignement traditionnel des algorithmes usuels, à commencer par la fierté et la confiance en soi qu’elles procurent. Les élèves qui utilisent des algorithmes personnels font moins d’erreurs, car elles et ils comprennent ce qu’elles et ils font. De plus, elles et ils améliorent leur connaissance et leur compréhension du système numérique à base dix, sur lesquelles repose la plupart des stratégies de calcul.

Par ailleurs, Van de Walle et Lovin (2006, p. 40) précisent que des recherches démontrent que les élèves qui ont pu développer des stratégies personnelles réussissent aussi bien, sinon mieux, que les autres dans des tests standardisés.

Il existe des disparités de taille entre les algorithmes personnels et les algorithmes usuels. Les algorithmes personnels sont habituellement orientés sur le sens des chiffres, selon leur position (par exemple, dans l’addition \(323\; + \;20\), j’ajoute 2 dizaines à 323, ce qui donne 343) alors que les algorithmes usuels tendent à utiliser les chiffres sans tenir compte de leur position (par exemple, dans l’addition \(323\; + \;20\), on fait : \(3\; + \;0\), c’est 3; \(2\; + \;2\), c’est 4…).

Les algorithmes usuels commencent habituellement par la droite, alors que dans leurs algorithmes personnels, les élèves commencent souvent par la gauche, ce qui leur permet de maintenir un sens de la grandeur des quantités en cause. Puisqu’un algorithme personnel est le fruit de l’imagination et de la compréhension de chaque élève, il demeure très souple, de manière qu’il puisse servir dans diverses situations.

En salle de classe, il est suggéré d’examiner plusieurs algorithmes pour une même opération. Il est essentiel que les élèves comprennent le raisonnement derrière les gestes posés dans ces algorithmes. Avec le temps, cela leur permet de choisir une stratégie efficace selon le contexte. Le personnel enseignant qui a dans sa classe des élèves de cultures différentes peut les inviter à discuter, à la maison, de la méthode que les parents utilisent pour effectuer une addition, une soustraction, une multiplication ou une division. Ces élèves peuvent présenter ces méthodes à la classe, ce qui peut apporter de nouvelles stratégies.

On présente souvent les algorithmes usuels comme principale stratégie de calcul. Bien qu’ils soient efficaces, ils ne sont pas toujours appropriés. Lorsque l’enseignement est axé sur l’algorithme usuel, par exemple, pour calculer \(300\; - \;15\), les élèves ont tendance à sortir un crayon et à résoudre le problème par écrit, avec l’algorithme écrit et ses échanges, ce qui est une source commune d’erreurs. Il est pourtant plus efficace de calculer mentalement comme suit : \(300\; - \;10\; = \;290\), \(290\; - \;5\; = \;285\). De plus, l’algorithme usuel n’est pas la meilleure méthode à utiliser là où une estimation suffit. C’est pourquoi il est suggéré de considérer l’algorithme usuel comme une stratégie de calcul parmi tant d’autres.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 118-119.

Les élèves peuvent résoudre des problèmes écrits de différentes façons. Les tableaux qui suivent donnent quelques exemples d’algorithmes d’addition et de soustraction. Ce ne sont pas les seules façons de résoudre un problème, il en existe beaucoup d’autres, aussi faut-il donner aux élèves des occasions de raisonner pour découvrir d’autres façons de faire.

Image Voici des algorithmes que peuvent utiliser les élèves pour déterminer la somme 566 plus 379. Il en existe d'autres et ils varieront dans chaque groupe classe. Premier exemple : 566 plus quatre égale 570. 570 plus 30 égale 600. 600 plus 300 égale 900. 900 plus 40 égale 940. 940 plus cinq égale 945. Tout les deuxièmes termes sont regroupés en un ensemble, une flèche indique un total de 379. L'élève procède par étapes et décompose le dernier nombre seulement. Deuxième exemple : 566 plus 379 égale 500 plus 60 plus six plus 300 plus 70 plus neuf; égale 500 plus 300 plus 60 plus 70 plus six plus neuf; égale 800 plus 130 plus cinq plus dix; égale 930 plus 15; égale 945. L'élève décompose horizontalement les nombres. Troisième exemple : L'addition est écrite verticalement. 566 plus 379 égale 800, plus 130 plus 15 égale 945. L'élève regroupe les centaines, les dizaines et les unités. Quatrième exemple : L'opération suivante est écrite dans un phylactère nuage : « parenthèse ouvrante 566 plus quatre parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante 379 moins quatre parenthèse fermante. » La suite est écrite hors du phylactère : 566 plus 379 égale 570 plus 375, égale 500 plus 300 plus 70 + 75, égale 800 plus 145, égale 945.

L'élève utilise une technique de compensation.

Image Voici des algorithmes que peuvent utiliser les élèves pour déterminer la différence 631 moins 439. Il en existe d'autres et ils varieront dans chaque groupe classe. Premier exemple : 631 moins 400 égale 231. 231 moins 30 égale 201. 201 moins 9 égale 192. Tout les deuxièmes termes sont regroupés en un ensemble, une flèche indique un total de 439. Quatre grilles de cent unités sont marqués d'un gros « X » rouge. Ensuite, il y a une grille de cent unités pleine, puis une grille de cent unités où huit unités sont marquées d'un « X ». Ensuite, il y a trois tours de dix unités toutes marquées d'un « X », puis une unité marquée d'un « X ». L'élève décompose le second terme et soustrait par étapes. Deuxième exemple : Une droite numérique présente les nombres suivants : 439, 440, 450, 500, 600 et 631. Une flèche fait le bond entre 439 et 440 en indiquant plus un. Une flèche fait le bond entre 440 et 450 en indiquant plus 10. Une flèche fait le bond de 450 à 500 en indiquant plus 50. Une flèche fait le bond entre 500 et 600 en indiquant plus 100. Et une flèche fait le bond entre 600 et 631 en indiquant plus 31. Sous la droite sont écrites les opérations suivantes. 439 plus tiret égale 631. Un plus dix plus 50 plus 100 plus 31 égale 192. 439 plus un égale 440. 440 plus 10 égale 450. 450 plus 50 égale 500. 500 plus 100 égale 600. 600 plus 31 égale 631. Les termes un, dix, 50, 100 et 31 sont regroupés en un ensemble, une flèche indique un total de 192. L'élève additionne pour soustraire. Troisième exemple : 631 égale 500 plus 100 plus 30 plus un. 631 moins 439 égale 500 plus 100 plus 30 plus un égale 192. 500 est barré pour faire place à dix. 100 est barré pour faire place à 70. Et 30 est barré pour faire place à 21. L'élève décompose le premier terme et soustrait par étapes. Quatrième exemple : 439 plus 200 égale 639. 639 moins huit égale 631. Les termes 200 et huit sont regroupés en un seul ensemble et une flèche indique 192. Sous le calcul, il y a une droite numérique qui indique les nombres suivants : 439, 631 et 639. Un arc relie 439 à 639. Une flèche courbe à double sens relie 631 et 639 en indiquant moins huit. L'élève utilise la droite numérique et note ses déplacements. Cinquième exemple : Une droite numérique indique les nombres suivants : 191, 192, 201, 231, 631. Une flèche va de 191 à 192 en indiquant plus un. Une flèche va de 201 à 191 en indiquant moins dix. Une flèche va de 231 à 201 en indiquant moins trente. Et une flèche va de 631 à 231 en indiquant moins 400. Sous la droite sont écrites les opérations suivantes. 631 moins 400 égale 31. 231 moins 30 égale 201. 201 moins dix égale 191. 191 plus un égale 192. Tous les deuxièmes termes sont regroupés en un ensemble. Une flèche indique un total de 439. L'élève utilise la droite numérique et compte à rebours à partir du plus grand nombre.

Stratégies pour faciliter la compréhension des algorithmes usuels

Il est important de proposer aux élèves plusieurs activités d’exploration des algorithmes usuels en utilisant du matériel de manipulation tel que le tapis de valeur de position, les cubes emboîtables, les cadres à dix cases, le matériel de base dix, la droite numérique, etc.

Le personnel enseignant doit leur fournir plusieurs occasions de créer leurs propres algorithmes, d’expliquer leurs stratégies ainsi que les raisons qui motivent leurs choix. Il est primordial de donner aux élèves la chance et le temps d’explorer plus en profondeur les algorithmes et de favoriser les échanges. Il est important de les encourager à travailler à deux (un ou une élève prend en note les étapes de la démarche alors que l’autre travaille avec la représentation concrète). La compréhension du sens des étapes d’un algorithme usuel se développe lorsque le personnel enseignant permet aux élèves de le comparer à leur propre algorithme afin d’établir des liens entre les deux démarches comme « additionner de gauche à droite et combiner ».

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6^e année, p. 56.

Addition sur les nombres à plusieurs chiffres sans regroupement

Une addition de grands nombres peut être représentée sur une droite numérique. Par exemple, les élèves pourraient effectuer \(435\; + \;223\) en décomposant \( 223\;\; (200\; + \;15\; + \;8\)) et en représentant l’opération comme suit :

Image Une droite numérique indique les nombres suivants : 400, 435, 500, 600, 635, 650. 658, 700, 800. Une flèche fait le bond de 435 à 635 en indiquant plus 200. Une flèche fait le bond de 635 à 500 en indiquant plus 15. Et une flèche fait le bond de 650 à 658 en indiquant plus huit.

Au fil du temps, les élèves développent progressivement leur sens de l’abstraction et peuvent utiliser la même stratégie sans avoir recours à une droite numérique, mais en effectuant le calcul mentalement.

Addition sur les nombres à plusieurs chiffres avec regroupement

(Van de Walle et Folk, 2005, p. 191)

Il est important que les élèves puissent s’exercer à échanger des groupes de 10 unités en dizaines, des groupes de 10 dizaines en centaines, etc. Elles et Ils ont besoin de l’appui de représentations visuelles de regroupements afin de développer une compréhension conceptuelle de l’algorithme.

Le matériel de base dix aide certains élèves à visualiser l’opération plus clairement. Voici comment le matériel de base dix peut servir pour représenter les additions.

Exemple

Image Schéma illustré représentant 186 plus 156. Chacun de ces termes sont illustrées par des cubes unités. Pour 186, il y a une grille de cent unités, trois tours de dix unités et un ensemble de six unités traversé par une ligne diagonale. Ce dernier pointe avec une flèche vers une tour de dix unités sous le schéma, qui lui pointe vers les dizaines de l'algorithme usuel : 186 plus 156 égale 342. Sous la grille de cent unités, il y a un ensemble de cinq tours de dix unités placées vis-à-vis; une ligne horizontale traverse toutes les cinquièmes unités. Une flèche part de l'ensemble et pointe vers une autre grille de cent unités. Celle-ci pointe vers les centaines de l'algorithme usuel : 186 plus 156 égale 342. Pour 156, il y a une grille de cent unités, sous laquelle on trouve un ensemble de cinq tours de dix unités où une ligne horizontale traverse toutes les sixièmes unités; on trouve également deux unités; puis un ensemble de quatre unités traversé par une ligne diagonale. L'ensemble de cinq tours de dix unités pointe vers la grille de cent unités qui se lie à l'algorithme usuel. L'ensemble de quatre unités barré d'une ligne pointe vers la tour de dix unités qui se lie à l'algorithme usuel. Au bas du schéma, il est écrit : 186 plus 156 égale 342. Les élèves peuvent aussi avoir recours à un tapis de valeur de position qui permet d’organiser le matériel selon la position du chiffre dans le nombre.

Image Pour le nombre 186, il y a une grille de cent unités, huit tours de dix unités, et six unités. Pour le nombre 156, il y a une grille de cent unités, cinq tours de dix unités, et six unités. Pour le nombre 342, il y a trois grilles de cent unités, quatre tours de dix unités, et deux unités. Sous l’illustration, il y a une flèche qui pointe vers la droite.

La même expression numérique (\(186\; + \;156\)) peut être représentée à l’aide d’illustrations. Ainsi, les élèves démontrent un certain niveau d’abstraction puisqu’un dessin quelconque représente 100, 10 ou 1.

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 122-124.

Soustraction sans échange

Comme pour l’addition, les élèves utilisent souvent du matériel de manipulation pour effectuer des soustractions. Cette stratégie les aide à saisir le concept de retrait, même si elle n’est pas très efficace lorsqu’il s’agit de grands nombres.

Le matériel de base dix permet aux élèves d’effectuer la soustraction au moyen d’un retrait. Par exemple :

Image En dessous de la soustraction 439 moins 127 égale 312, il y a quatre grilles de cent unités, trois tours de dix unités, et neuf unités. Un ensemble est formé à partir d’une grille de cent unités, de deux tours de dix unités et de sept unités. Une flèche part de cet ensemble et pointe vers la droite.

Si elles et ils utilisent le tapis de valeur de position pour la soustraction, certains élèves sont portés à représenter les deux termes. La soustraction est alors effectuée par comparaison. Par exemple :

Image La soustraction 439 moins 127 égale 312 s’accompagne d’une représentation à l’aide de cubes unités. Un grand rectangle est divisé en six sections. Dans la première section, il y a quatre grilles de cent unités. La quatrième grille se relie à une grille identique dans la section du dessous. Dans la deuxième section, il y a trois tours de dix unités. La première et la troisième se relient respectivement à deux tours de dix unités dans la section d’en dessous. Dans la troisième section, il y a neuf unités. Sept d’entre elles se relient respectivement aux sept unités de la section d’en dessous.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 127-128.

Soustraction avec échange

L’exploration de la soustraction avec échange en favorise la compréhension conceptuelle. Le personnel enseignant devrait encourager les élèves à utiliser le tapis de valeur de position et du matériel de base dix pour modéliser la soustraction avec échange. Les élèves peuvent travailler à deux. Elles et ils peuvent passer à la forme écrite de l’algorithme une fois qu’elles et ils en ont développé une solide compréhension par l’entremise de modèles.

Dans le cas du problème \(325\; - \;118\), les élèves représentent le premier nombre (325) avec du matériel de base dix sur la portion supérieure du tapis de valeur de position. Ne pouvant pas retirer 8 unités puisqu’il n’y en a que 5, les élèves échangent une dizaine pour 10 unités.

Image Un tableau est divisé en trois colonnes : centaines, dizaines, unités. Dans la colonne des centaines, il y a trois grilles de cent unités. Dans la colonne des dizaines, il y a deux réglettes longues. Et dans la colonne des unités, il y a un tableau de dix cases dans lequel il y a cinq unités, et un tableau de dix cases vides. À côté du grand tableau, il est écrit : 325 moins 118. On ne peut pas retirer huit unités, puisqu'il n'y en a que cinq.

Image Un tableau est divisé en trois colonnes : centaines, dizaines, unités. Dans la colonne des centaines, il y a trois grilles de cent unités. Dans la colonne des dizaines, il y a deux réglettes longues, dont une est encerclée. Une flèche part de celle-ci et pointe vers un des deux tableaux à dix cases de la colonne des unités. Celui-ci contient dix unités, tandis que l’autre tableau contient cinq unités. À côté du grand tableau, il est écrit : Échanger une dizaine pour dix unités. Avec 15 unités, il est maintenant possible d’en retirer huit. 325 moins 118. Le deux dans 325 est rayé et remplacé par un « un », et le cinq dans 325 est rayé et remplacé par un 15.

Elles et ils obtiennent ainsi un groupe de 15 unités à partir duquel il leur est maintenant possible d’en retirer 8 de sorte qu’il en reste 7. Il faut encourager les élèves à regrouper les unités sur le tapis afin de mieux organiser leur travail.

Image Un tableau est divisé en trois colonnes : centaines, dizaines, unités. Dans la colonne des centaines, il y a trois grilles de cent unités. Dans la colonne des dizaines, il y a une réglette longue. Dans la colonne des unités, il y a deux tableaux à dix cases; le premier contient cinq unités et le deuxième contient deux unités. Ces dernières pointent vers deux cases vides du tableau au-dessus au moyen de flèches. À côté du grand tableau, il est écrit : « Retirer huit unités. » L’image de huit unités se trouve sous la phrase. Ensuite, il est écrit : « Il reste sept unités. ». Sous la phrase est écrite la soustraction suivante : 325 moins 118 égale sept. Le deux de 325 est rayé et remplacé par un « un », tandis que le cinq de 325 est rayé et remplacé par un 15.

Les élèves retirent maintenant une dizaine et une centaine et les placent à l’extérieur du tapis.

Image Un tableau est divisé en trois colonnes : centaines, dizaines, unités. Dans la colonne des centaines, il y a deux grilles de cent unités. Dans la colonne des dizaines, il n’y a rien. Dans la colonne des unités, il y a deux tableaux à dix cases; le premier contient sept unités et le deuxième est vide. À côté du grand tableau, il est écrit : « Retirer une dizaine et la placer à l’extérieur du tapis. Retirer une centaine et la placer à l’extérieur du tapis. » Sous ces phrases, il y a huit unités, une réglette longue et une grille de cent unités. Sous celles-ci, il est écrit : « Il reste deux centaines et deux unités. » Sous cette phrase se trouve la soustraction suivante : 325 moins 118 égale sept. Le deux de 325 est rayé et remplacé par un « un », tandis que le cinq de 325 est rayé et remplacé par un 15.

Donc, \(325\; - \;118\; = \;207\).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6^e année, p. 58-59.

Les élèves peuvent aussi utiliser la droite numérique pour effectuer une soustraction. Par exemple, pour calculer \(263\; - \;45\), elles et ils peuvent utiliser la compensation afin de travailler avec des nombres plus familiers. Puisque \(263 + 2 = 265\), on peut donc effectuer \(265 - 45 = 220\) et ensuite, soustraire 2 pour compenser (\(263\; + \;2\; - \;45\; - \;2\)).

Les élèves n’ont pas à transcrire leur réflexion sous forme d’expression numérique, mais peuvent néanmoins utiliser la droite numérique pour illustrer leur démarche :

Image Une droite numérique est graduée de 220 à 260 par intervalles de dix avec des marques de graduations par intervalles de cinq. Les nombres suivants sont ajoutés à la droite : 218, 263, 265. Une flèche va de 265 à 220 en indiquant moins 45. Une flèche va de 220 à 218 en indiquant moins deux. Et une flèche va de 263 à 265 en indiquant plus deux.

La droite numérique peut également être employée avec la décomposition selon les valeurs de position des chiffres du nombre (\(263\; - \;40\; = \;223\), \(223\; - \;5\; = \;218\)) :

Image Une droite numérique est graduée de 220 à 260 par intervalles de dix avec des marques de graduations par intervalles de cinq. Les nombres suivants sont ajoutés à la droite : 218, 223, 263. Une flèche va de 263 à 223 en indiquant moins 40. Une flèche va de 223 à 218 en indiquant moins cinq.

La droite numérique ouverte permet aux élèves de procéder par bonds significatifs (\(263\; - \;3\; = \;260\), \(260\; - \;40\; = \;220\), \(220\; - \;2\; = \;218\)) :

Image Une droite numérique présente les nombres suivants : 218, 220, 260. 263. Une flèche va de 220 à 218 en indiquant moins deux. Une flèche va de 260 à 220 en indiquant moins 40. Et une flèche va de 263 à 260 en indiquant moins trois.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 127.

Les élèves peuvent utiliser des dessins pour illustrer rapidement une expression numérique comme \(1\;369 - 821\). Les nombres peuvent être représentés par des lignes, des cercles, des points, etc. Un retrait peut être exprimé par des barres sur le dessin. Pour \(1\;369 - 821\), il faut enlever 8 centaines, 2 dizaines et 1 unité des 13 centaines, 6 dizaines et 9 unités.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 129.

Lien entre un algorithme personnel et un algorithme usuel

Donner l’occasion aux élèves de modéliser des additions et des soustractions avec regroupement sur des nombres à plusieurs chiffres leur permet de visualiser les étapes de l’algorithme usuel correspondant. Les étapes d’un algorithme ne sont pas hors contexte lorsqu’il y a présence d’une compréhension conceptuelle. Les élèves qui ont oublié une étape de l’algorithme usuel peuvent toujours arriver à trouver une solution au problème puisqu’ils possèdent l’habileté à recourir à un algorithme personnel.

Avec de la pratique à modéliser, les élèves peuvent passer à l’enregistrement écrit de l’algorithme usuel en utilisant des tableaux vierges pour garder une trace des étapes modélisées sur le tapis de valeur de position.

Addition

Image 1 700 plus 2 535 égale 1 000 plus 700 plus 2 000 plus 500 plus 35, égale 1 000 plus 2 000 plus 700 plus 500 plus 35, égale 3 000 plus 1 200 plus 35, égale 4 235. Dans cette équation, 3 000 plus 1 200 est encadré de rouge. Le 3 000 pointe vers 1 000 et 2 000, tandis que 1 200 pointe vers 700 et 500 par des traits rouges. À côté de cette équation, il y a l'addition 1 700 plus 2 535 égale 4 235. Le 42 de 4 235 pointe vers l'encadré de 3 000 plus 1 200 au moyen d'une flèche. Et le 35 de 4 235 pointe vers le plus 35 à côté de 3 000 plus 1 200. Ensuite, il y a la mention « ou », et l'on présente deux autres additions. La première : 1 7000 plus 2 535 égale 3 000 plus 1 200 plus 35 égale 4 235. 3 000 et 1 200 sont encadrés en rouge. La deuxième : 1 700 plus 2 535 égale 4 235. Le 42 de 4 235 pointe vers l'encadré de 3 000 plus 1 200 au moyen d'une flèche. Et le 35 de 4 235 pointe vers le plus 35 en dessous de 3 000 plus 1 200.

Soustraction

Image Quatre soustractions sont présentées et illustrées au moyen de cubes unités.Première soustraction : 2 263 moins 754. Il y a deux cubes de mille unités, deux grilles de cent unités, six tours de dix unités, et trois unités. Deuxième soustraction : 2 263 moins 754 égale neuf. Le six dans 2 263 et barré et remplacé par un cinq et un « un ». Il y a deux cubes de mille unités, deux grilles de cent unités, cinq tours de dix unités, deux rangées de cinq unités et trois unités. Une tour de dix unités de la soustraction précédente pointe vers une unité marquée d'un « x ». Trois autres unités sont marquées d'un « x » pour un total de quatre unités marquées d'un « x ». Troisième soustraction: 2 263 moins 754 égale zéro neuf. Le six dans 2 263 et barré et remplacé par un cinq et un « un ». Il y a deux cubes de mille unités, deux grilles de cent unités, cinq tours de dix unités lesquelles sont toutes marquées d'un grand « x », et neuf unités. À côté de l'illustration, il est écrit « ou », suivi d'autres opérations. 2 263 moins 754. 754 plus 46 égale 800. 800 plus 200 égale 1 000. 1 000 plus 1 000 égale 2 000. 2 000 plus 263 égale 2 263. Tous les deuxièmes termes sont regroupés en un ensemble par un cercle, et une flèche indique 1 509. Quatrième soustraction : 2 263 moins 754 égale 1 509. Le 22 dans 2 263 est barré et remplacé par un, un, cinq, un. Il y a un cube de mille unités, deux paquets de cinq grilles de cent unités; l'un des paquets est barré d'un « x ». L'un des cubes de la soustraction précédente pointe avec deux flèches vers les paquets de grilles de la quatrième soustraction. Ensuite, il y a deux grilles de cent unités barrées de « x », puis il y a neuf unités. Le résultat, 1 509, est représenté par un cube de mille unités, un paquet de cinq grilles de cent unités, et neuf unités.

Source : Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Édition révisée, Numération et sens du nombre, 4^e année, Module 1, Série 3, p. 235-238.

Habileté : estimer le résultat d’une opération

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Estimer le résultat d’une opération, c’est en déterminer la valeur approximative par écrit ou mentalement. Les élèves éprouvent souvent de la difficulté avec l’estimation, car elles et ils ont du mal à reconnaître que plusieurs réponses peuvent être acceptables pour une situation donnée. Ainsi, il peut leur arriver, pour une estimation, de calculer la réponse exacte et de l’arrondir.

L’estimation est extrêmement utile dans les situations quotidiennes. Il peut même arriver qu’elle soit la seule réponse possible ou la réponse recherchée. Par exemple, en faisant des emplettes, on veut connaître le coût total de ses achats pour être en mesure de respecter son budget. Dans ce cas, on veut une idée approximative du résultat et non le coût total exact.

L’estimation sert souvent à donner un aperçu du résultat escompté ou à vérifier la vraisemblance de la solution. Les élèves doivent développer le réflexe d’effectuer mentalement une estimation rapide aussitôt qu’un calcul doit être effectué de manière à obtenir une idée générale du résultat. Malheureusement, plusieurs ne font pas le lien entre l’estimation et le résultat exact; l’estimation est alors perçue comme un autre calcul qu’il faut effectuer et non pas comme une stratégie réalisée informellement qui vient confirmer la vraisemblance du résultat du calcul.

Le personnel enseignant doit utiliser diverses stratégies d’enseignement pour faire prendre conscience aux élèves de la raison d’être de l’estimation. Par exemple, les élèves ne voient pas la pertinence de l’estimation si le résultat exact accompagne toujours l’estimation. Le personnel enseignant doit présenter des situations dont la solution du problème est une estimation ou des problèmes qui n’exigent pas une réponse précise (par exemple, déterminer la part de la dette nationale pour chaque citoyen ou faire les achats du matériel scolaire en prévision de l’an prochain).

Puisqu’au quotidien, les estimations sont souvent le fruit d’un calcul mental informel, il est donc normal que les élèves puissent s’y exercer et apprennent à estimer dans ce contexte. Le personnel enseignant devrait donc leur demander d’estimer le résultat d’une opération (sans utiliser papier et crayon) et de communiquer ce résultat approximatif (par exemple, \(346\; + \;516\), c’est près de \(850\) ).

Image Un phylactère nuage pointe vers la tête d’un garçon; c’est le raisonnement de l’élève. Il y est écrit : Si 346, c’est presque 350, et 516, c’est un peu plus que 500, donc, la réponse devrait être près de 850.

On peut aussi présenter une série d’opérations et demander aux élèves d’effectuer seulement celles qui répondent à une certaine condition (par exemple, effectuer celles dont le résultat est supérieur à 300). Cette stratégie d’enseignement peut être intégrée à la résolution de problèmes. Dans le problème suivant, les élèves utilisent leur habileté d’estimation afin de déterminer quels calculs doivent être effectués avec précision :

Dans un entrepôt, il y a plusieurs sacs de balles qui contiennent soit 1 256, 542, 368, 1 856, 325, 1 379 ou 730 balles. Afin de faciliter le transport, les sacs sont mis dans des boîtes pouvant contenir entre 2 000 et 3 000 balles. Sur chaque boîte, il faut indiquer clairement le nombre exact de balles qu’elle contient. Détermine 10 combinaisons différentes de sacs qu’une boîte peut contenir.

Image Sous une série de dix boîtes, il est écrit : L’élève pourrait par exemple, après plusieurs estimations, décider d’effectuer : 1 856 plus 542 égale 2 398 ou 542 plus 368 plus 1 379 égale 2 289.

Puisque le résultat d’une estimation représente une quantité approximative plutôt que précise, il ne devrait pas être communiqué exclusivement à l’aide d’un nombre (par exemple, au lieu d’affirmer que c’est 350, on peut dire que c’est environ 350). De plus, le résultat d’une estimation peut aider à indiquer l’ordre de grandeur ou l’envergure de la réponse (par exemple, ce sera au moins…, ce sera plus que…, la réponse doit être entre… et…, ou la réponse sera plus grande que…).

L’aptitude à estimer le résultat d’une opération est une caractéristique du sens des opérations. Elle manifeste une habileté à utiliser les nombres et les opérations de façon polyvalente. Pour estimer, les élèves utilisent une variété de stratégies basées sur leur sens du nombre et leur sens des opérations comme l’arrondissement, l’utilisation de repères, l’application des propriétés des opérations, la décomposition ou la compensation.

Le degré de précision de l’estimation du résultat d’une opération dépend de la situation et du sens du nombre. Il serait important, en fin de cycle, de discuter des intervalles d’estimation acceptables dans divers contextes. Par exemple, l’estimation de la différence entre 315 et 185 pourrait être un nombre entre 100 et 200.

L’estimation de la différence entre 10 853 et 9 445 serait plutôt un nombre entre 1 000 et 2 000. L’estimation du résultat d’une opération exige une bonne compréhension de l’effet des opérations. L’arrondissement est souvent utilisé pour estimer un résultat et il est important de prendre conscience de ses répercussions sur le résultat de l’estimation. Par exemple, un arrondissement à la centaine près crée généralement un écart plus grand entre le nombre réel et la valeur arrondie qu’un arrondissement à la dizaine près.

Exemple

\(353\; + \;129\)

Résultat exact : 482

Estimation en arrondissant les nombres à la centaine près : \(400\; + \;100\; = \;500\)

Estimation en arrondissant les nombres à la dizaine près : \(350\; + \;130\; = \;480\)

L’arrondissement des nombres a peu d’influence sur le résultat d’une addition ou d’une soustraction puisque ces opérations produisent peu d’effets sur les nombres. L’arrondissement peut tout de même aider à préciser l’estimation. Par exemple, le résultat de \(387\; + \;295\) est d’environ 700. On peut cependant affirmer que le résultat est moins que 700, étant donné que les deux nombres ont été arrondis à la hausse (\(400\; + \;300\)). De même, \(1\;300 - 1\;170\) est environ égal à 100. Or, l’arrondissement à la hausse de 1 170 à 1 200 nous permet de préciser que la différence est plus que 100.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 92-95.

Habileté : représenter et résoudre des problèmes relatifs à l’addition de nombres décimaux jusqu’aux centièmes, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés, et d’algorithmes

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Pour additionner efficacement des nombres décimaux, les élèves doivent comprendre la valeur de position des chiffres qui composent chacun des nombres et en tenir compte dans leurs calculs. Elles et ils doivent aussi reconnaître que la virgule est un repère qui permet d’identifier la valeur de position des chiffres. Lors d’une addition, pour assurer la correspondance des valeurs de position, on peut aligner les virgules. Pour les élèves qui ont un bon sens de l’addition et de la valeur de position, l’alignement de la virgule n’est pas une règle à mémoriser, mais une façon de tenir compte des valeurs de position.

Lorsqu’on additionne des nombres décimaux, le concept de regroupement est utilisé tout comme lors de l’addition de nombres naturels. Par exemple, tout comme l’on peut ajouter 3 centaines à 8 centaines pour former 11 centaines, on peut ajouter 3 dixièmes à 8 dixièmes pour former 11 dixièmes. Or, puisque le système décimal ne permet pas d’inscrire deux chiffres dans une même position, les élèves doivent comprendre le concept de regroupement.

Exemple

\(8\;{\rm{dixièmes}}\; + \;3\;{\rm{dixièmes}}\; = \;11\;{\rm{dixièmes}}\)

(La languette représente l’unité.)

Image Le système décimal ne permet pas d’inscrire deux chiffres dans une même position. Unités, flèche qui pointe vers tiret virgule. Dixièmes, flèche qui pointe vers onze.

Puisque 10 dixièmes peuvent être regroupés en 1 unité, on a une unité et 1 dixième.

La quantité « 11 dixièmes » s’écrit 1,1.

Le matériel de base dix et le tapis de valeur de position sont une aide précieuse. Avec ce matériel, les quantités de même valeur sont réunies de façon explicite, par exemple, les centièmes sont additionnés avec les centièmes. Lorsque les élèves travaillent avec du matériel de base dix, elles et ils utilisent leurs connaissances de la valeur de position et, de ce fait, elles et ils approfondissent le concept de regroupement, en transférant ce concept qu’elles et ils appliquaient aux nombres naturels à des situations impliquant des nombres décimaux. Les élèves reconnaissent alors que peu importe la valeur de position, chaque fois que 10 éléments se retrouvent dans une position, ils sont remplacés par 1 groupe de 10 qui est placé dans la position à sa gauche. L’utilisation de ce type de matériel accroît la compréhension des élèves et leur fait découvrir des algorithmes pour l’addition de nombres décimaux.

À partir de leur connaissance des stratégies d’addition des nombres naturels et de leur compréhension des nombres décimaux, les élèves peuvent les additionner à l’aide de matériel de base dix, d’une droite numérique, d’un algorithme personnel ou de l’algorithme usuel. Il est important que le personnel enseignant amène les élèves à établir des liens entre ces stratégies afin de consolider l’addition de nombres décimaux.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 98-100.

Il est aussi important que l’élève estime la réponse au problème avant de le résoudre. L’estimation sert souvent à donner un aperçu du résultat escompté ou à vérifier la vraisemblance de la solution. Les élèves doivent développer le réflexe d’effectuer mentalement une estimation rapide aussitôt qu’un calcul doit être effectué de manière à obtenir une idée générale du résultat. Malheureusement, plusieurs ne font pas le lien entre l’estimation et le résultat exact; l’estimation est alors perçue comme un autre calcul qu’il faut effectuer et non pas comme une stratégie réalisée informellement qui vient confirmer la vraisemblance du résultat du calcul.

Le personnel enseignant doit utiliser diverses stratégies d’enseignement pour faire prendre conscience aux élèves de la raison d’être de l’estimation. Par exemple, les élèves ne voient pas la pertinence de l’estimation si le résultat exact accompagne toujours l’estimation. Le personnel enseignant doit présenter des situations dont la solution du problème est une estimation ou des problèmes qui n’exigent pas une réponse précise.

Exemple

Déterminer la part de la dette nationale pour chaque citoyenne et citoyen ou faire les achats du matériel scolaire en prévision de l’an prochain.

Puisqu’au quotidien, les estimations sont souvent le fruit d’un calcul mental informel, il est donc normal que les élèves puissent s’y exercer et apprennent à estimer dans ce contexte.

Le personnel enseignant devrait donc leur demander d’estimer le résultat d’une opération (sans utiliser papier et crayon) et de communiquer ce résultat approximatif

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 92-93.

Exemple

\(1,572\; + \;2,724\)

Afin d’estimer la somme, il est possible de raisonner comme suit : \(1,572\; + \;2,724\), c’est à peu près \(2\; + \;3\), donc environ 5.

Les élèves peuvent ensuite confirmer leur estimation à l’aide d’algorithmes. Voici différentes stratégies d’addition de deux nombres décimaux.

Addition à l’aide de matériel de base dix

Pour additionner les deux quantités, on représente chacun des deux nombres à l’aide de matériel de base dix sur un tapis de valeur de position. En réunissant le matériel, on obtient 3 unités, 12 dixièmes, 9 centièmes et 6 millièmes. On regroupe 10 dixièmes qu’on échange contre 1 unité. On a alors 4 unités, 2 dixièmes, 9 centièmes et 6 millièmes, soit 4,296.

Image Le tableau possède trois colonnes : unités, virgule, centièmes et millièmes, ainsi que deux rangées. La première rangée correspond au chiffre un virgule 572. Dans la colonne unités, il y a un cube de mille unités. La colonne virgule indique une virgule. Dans la colonne dixièmes, il y a six grilles de cent unités. Dans la colonne centièmes, il y a sept rangées de dix unités. Et dans la colonne millièmes, il y a deux unités. La deuxième rangée correspond au chiffre deux virgule 724. Dans la colonne unités, il y a deux cubes de mille unités. La colonne virgule indique une virgule. Dans la colonne dixièmes, il y a sept grilles de cent unités. Dans la colonne dixièmes, il y a deux rangées de dix unités. Et dans la colonne millièmes, il y a quatre unités. Un ensemble regroupe trois grilles de cent unités appartenant à un virgule 572 ainsi que les sept grilles de cent unités appartenant à deux virgule 724. Une flèche rouge pointe vers les deux cubes de mille unités. Une flèche bleue relie le tableau à un deuxième tableau représentant le nombre quatre virgule 296. Dans la colonne unités, il y a quatre cubes de mille unités. La colonne virgule indique une virgule. Dans la colonne des dixièmes, il y a deux grilles de cent unités. Dans la colonne centièmes, il y a neuf rangées de dix unités. Et dans la colonne millièmes, il y a six unités.

Addition à l’aide d’une droite numérique

Image Une droite numérique présente les chiffres suivants : un virgule 572, trois virgule 572, quatre virgule 272, quatre virgule 292, et quatre virgule 296. Une flèche relie un virgule 572 à trois virgule 572 en indiquant plus deux. Une flèche relie trois virgule 572 à quatre virgule 272 en indiquant plus zéro virgule sept. Une flèche relie quatre virgule 272 à quatre virgule 292 en indiquant plus zéro virgule zéro deux. Une flèche relie quatre virgule 292 à quatre virgule 296 en indiquant plus zéro virgule zéro zéro quatre. Sous la droite, il est écrit : un virgule 572 plus deux virgule 724 égale un virgule 572 plus deux plus zéro virgule sept plus zéro virgule zéro deux plus zéro virgule zéro zéro quatre égale quatre virgule 296.

Addition à l’aide d’un algorithme personnel

Les nombres sont décomposés selon les valeurs de position.

Exemple

Image Deux rectangles; le premier contient des additions, et le deuxième des énoncés. Premier rectangle : un virgule 572 plus deux virgule 724. Zéro virgule zéro zéro deux plus zéro virgule zéro zéro quatre égale zéro virgule zéro zéro six. Zéro virgule zéro sept plus zéro virgule zéro deux égale zéro virgule zéro neuf. Un plus deux égale trois. Deuxième rectangle. Premier énoncé. Deux millièmes plus quatre millièmes, ça donne six millièmes ou zéro virgule zéro zéro six. Deuxième énoncé. Sept centièmes plus deux centièmes, ça donne neuf centièmes ou zéro virgule zéro neuf. Troisième énoncé. Cinq dixièmes plus sept dixièmes, ça donne douze dixièmes, ce qui est équivalent à une unité et deux dixièmes ou un virgule deux. Quatrième énoncé. Une unité plus deux unités, ça donne trois unités. Cinquième énoncé. Alors, un virgule 572 plus deux virgule 724, c’est zéro virgule zéro zéro six plus zéro virgule zéro neuf plus un virgule deux plus trois, soit quatre virgule 296.

Addition à l’aide de l’algorithme usuel

Exemple

Image Une addition avoisine un rectangle qui contient des énoncés. Un virgule 572 plus deux virgule 724 égale quatre virgule 296. Premier énoncé du rectangle : Deux millièmes plus quatre millièmes, ça donne six millièmes. J’écris un six en bas dans la colonne des millièmes. Deuxième énoncé : Sept centièmes plus deux centièmes, ça donne neuf centièmes ou zéro virgule zéro neuf. J’écris un neuf en bas dans la colonne des centièmes. Troisième énoncé : Cinq dixièmes plus sept dixièmes, ça donne douze dixièmes. J’échange dix dixièmes contre une unité. J’ai donc une unité et deux dixièmes. J’écris un deux en bas dans la colonne des dixièmes et un petit un en haut dans la colonne des unités. Quatrième énoncé : Une unité plus une unité plus deux unités, ça donne quatre unités. J’écris un quatre en bas dans la colonne des unités. Cinquième énoncé : En tout, il y a quatre unités et 296 millièmes.

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 100-101.

Habileté : représenter et résoudre des problèmes relatifs à la soustraction de nombre décimaux jusqu’aux dixièmes, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés, et d’algorithmes

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Au cours de la soustraction, il est important, comme il l’était dans le cas de l’addition, de tenir compte de la valeur de position des chiffres qui composent les nombres. Les stratégies pour estimer la soustraction des nombres décimaux et pour soustraire les nombres décimaux sont essentiellement les mêmes que celles utilisées pour soustraire les nombres naturels.

Exemple

\(2,724\; - \;1,572\)

Afin d’estimer la différence, il est possible de raisonner comme suit : \(2,724\; - \;1,572\) c’est à peu près \(3\; - \;2\), donc environ 1.

Les élèves peuvent ensuite confirmer leur estimation à l’aide d’algorithmes. Voici différentes stratégies de soustraction de deux nombres décimaux.

Soustraction à l’aide de matériel de base dix

Lorsqu’elles et ils utilisent du matériel concret pour représenter une soustraction, les élèves peuvent réellement manipuler les quantités. Pour déterminer une différence, elles et ils peuvent comparer une quantité à une autre ou retirer une quantité d’une autre. En outre, les élèves découvrent, en utilisant ce matériel, qu’il est parfois nécessaire d’effectuer des échanges pour pouvoir déterminer plus facilement la différence entre les quantités.

Exemple de comparaison

\(3,465\; - \;1,214\)

On représente chaque nombre à l’aide de matériel de base dix et on apparie les quantités semblables (en rouge) dans chaque position. La différence est représentée par les quantités qui restent dans le nombre 3,465 (en bleu). Ainsi, on obtient \(3,465\; - \;1,214\; = \;2,251\).

Image L'image présente deux tableaux qui contiennent chacun les colonnes unités, virgule, dixièmes, centièmes et millièmes. Premier tableau. Le matériel qui représente le chiffre trois virgule 465 est placé dans les colonnes : deux cubes bleus et un cube rouge pour les unités, une virgule, deux carré bleus et deux carrés rouges pour les dixièmes, 5 languettes bleues et une languette rouge pour les centièmes, puis un petit carré bleu un ensemble de quatre petits carrés rouges pour les millièmes. Des flèches partent des objets rouges et pointent vers le bas où se trouve le matérier correspondant au chiffre un virgule 214. Il y a un cube rouge pour les unités, une virgule, deux carrés rouges pour les dixièmes, une languette rouge pour les centièmes, et quatre petits carrés rouges pour les millièmes. Une flèche bleue pointe vers le tableau suivant, qui correspond au chiffre deux virgule 251. Il y a deux cubes bleus pour les unités, une virgule, deux carrés bleus pour les dixièmes, cinq languettes bleues pour les centièmes et un petit carré bleu pour les millièmes.

Exemple de retrait

\(3,405\; - \;2,1\)

On représente le nombre 3,405 à l’aide de matériel de base dix. Ensuite, on retire l’équivalent du nombre 2,1. Il reste alors sur le tapis la différence entre les deux nombres, soit 1,305.

Image Un tableau contient cinq colonnes : unités, virgule, dixièmes, centièmes, millièmes. Dans la colonne unités, il y a trois cubes bleus, dont deux sont barrés avec un trait rouge. Dans la colonne virgule, il y a deux virgules. Dans la colonne dixièmes, il y a quatre carrés bleus dont un est barré avec un trait rouge. Il n’y a rien dans la colonne centièmes. Et dans la colonne millièmes, il y a cinq petits carrés bleus. À partir de chaque objet barré d’un trait rouge, il y a une flèche qui les relie à l’extérieur du tableau où ils réapparaissent sans trait rouge.

Exemple d’échange

\(2,423\; - \;1,26\)

On représente le nombre 2,423 à l’aide de matériel de base dix. En voulant utiliser la stratégie de retrait pour effectuer la soustraction, on se rend compte qu’il n’y a que 2 centièmes sur le tapis alors qu’on doit retirer 6 centièmes. Dans ce cas, on échange 1 dixième contre 10 centièmes. On retire ensuite l’équivalent du nombre 1,26.

Image Un tableau contient cinq colonnes : unités, virgule, dixièmes, centièmes, millièmes. Dans la colonne unités, il y a deux cubes bleus, dont l’un est barré d’un trait rouge. La colonne virgule contient deux virgules. Dans la colonne des dixièmes, il y a trois carrés bleus dont trois sont barrés d’un trait rouge. Une flèche en pointillé mène à la case des centièmes, où il y a un ensemble de dix languettes bleues dont quatre sont barrées d’un trait rouge, ainsi que deux languettes bleues toutes deux barrées d’un trait rouge. Dans la colonne des millièmes, il y a trois petits carrés bleus. Il reste alors sur le tapis, la différence entre les deux nombres, soit 1,163.

Soustraction à l’aide d’une droite numérique

Image Une droite numérique porte les chiffres un virgule 163, un virgule 223, un virgule 423 et deux virgule 423. Une flèche rouge relie un virgule 223 à un virgule 163 en indiquant moins zéro virgule zéro six. Une flèche rouge relie un virgule 423 à un virgule 223 en indiquant moins zéro virgule deux. Et une flèche rouge relie deux virgule 423 à un virgule 423 en indiquant moins un. Sous la droite, il est écrit : deux virgule 423 moins un virgule 26 égale deux virgule 423 moins un moins zéro virgule deux moins zéro virgule zéro six. Deux virgule 423 moins un virgule 26 égale un virgule 163.

Soustraction à l’aide d’un algorithme personnel

Image Deux virgule 423 moins un virgule 26. Deux virgule 423 moins un égale 1 virgule 423. Un virgule 423 moins zéro virgule deux égale un virgule 223. Un virgule 223 moins zéro virgule zéro six égale un virgule 163. Raisonnement de l’élève : J’ai décomposé le deuxième nombre et j’ai enlevé les quantités selon les valeurs de position.

Soustraction à l’aide de l’algorithme usuel

L’algorithme usuel permet aussi d’effectuer une soustraction avec des nombres décimaux. Cependant, il faut s’assurer de faire correspondre les valeurs de position.

Image La soustraction suivante est présentée verticalement : deux virgule 423 moins un virgule 260 égale un virgule 1. Raisonnement de l’élève : Premièrement, trois centièmes moins zéro centième, c’est trois centièmes. Deuxièmement, il est impossible de retirer six centièmes de deux centièmes, alors j’échange un dixième contre dix centièmes. Il me reste alors trois dixièmes et j’ai maintenant douze centièmes. Douze centièmes moins six centièmes, c’est six centièmes. Troisièmement, trois dixièmes moins deux dixièmes, c’est un dixième. Quatrièmement, deux unités moins une unité, c’est une unité. Cinquièmement, la différence entre les deux nombres est alors d’un virgule 163.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 101-104.

Connaissance : algorithme

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Les algorithmes sont des ensembles de règles et d’actions ordonnées nécessaires à la résolution d’une addition, d’une soustraction, d’une multiplication ou d’une division. En termes simples, un algorithme est la « recette » d’une opération. (Kilpatrick, Swafford et Findell, 2001, p. 103)

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 75.

Traditionnellement, les algorithmes (étapes de calcul standardisées) ont été conçus à une époque où une élite de « calculateurs humains » ne disposait pas de calculatrices (Ma, 2004). Les algorithmes n’étaient pas conçus pour favoriser le niveau de compréhension que nous attendons aujourd’hui des élèves. (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2004 a, p. 13)

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 118.

Connaissance : algorithme usuel

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Méthode standardisée pour effectuer une opération, par exemple :

Image Deux équations sont présentées verticalement. 456 moins 163 égale 293. Un « un » est retenu au-dessus des dizaines, et un trois est retenu au-dessus des centaines en remplacement du quatre de 456. 45 multiplié par trois égale 135. Un « un » est retenu au-dessus des dizaines.

Connaissance : algorithme personnel

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Stratégie, généralement développée par l’élève, pour effectuer une opération, par exemple :

Image Deux additions sont écrites l’une au-dessus de l’autre. Première addition : 378 plus 123. Deuxième addition : 400 plus 90 plus 11 égale 591. 378 se relie à 400, 90 et 11, et chacun d’eux se relient à 123.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 76.

Connaissance : estimation

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L’estimation est un processus par lequel des informations visuelles et mentales servent à évaluer l’ordre de grandeur d’une quantité. Estimer le résultat d’une opération, c’est en déterminer la valeur approximative par écrit ou mentalement. Les estimations tiennent une place importante dans nos communications quotidiennes en nous donnant des quantités approximatives. Il peut même arriver qu’elle soit la seule réponse possible ou la réponse recherchée (par exemple, près de 10 000 personnes étaient au rassemblement) ou dans nos propres échanges (par exemple, les achats à l’épicerie coûtent environ 200 $ par semaine).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 36.

L’estimation est une habileté importante associée aux opérations sur les nombres à plusieurs chiffres. Cette habileté aide les élèves à développer le sens du nombre et à l’utiliser pour comprendre chacune des étapes des algorithmes usuels.

Le but de l’estimation n’est pas d’arriver à une réponse exacte, mais à une approximation logique. Des questions comme « La réponse est-elle moins que 25? plus que 10? » aident les élèves à reconnaître les possibilités et à évaluer la vraisemblance de leurs réponses. Le tableau ci-dessous présente quelques-unes des stratégies que le personnel enseignant peut utiliser pour aider les élèves à développer l’habileté à estimer. Il faut éviter d’enseigner ces stratégies comme des termes et des démarches à mémoriser ou à utiliser constamment. Le personnel enseignant peut s’en servir pour aider les élèves à mieux comprendre ce qu’elles et ils font et pourquoi elles et ils le font; elles peuvent être présentées aux élèves seulement lorsque l’occasion se présente. Il ne faut donc pas s’attendre à ce que les élèves utilisent toutes ces stratégies, du moins pas avant les dernières années d’études du cycle primaire.

En 6^e année, les élèves peuvent utiliser les stratégies d’estimation suivantes :

Regroupement : le regroupement est utile lorsque les nombres sont plus faciles à calculer. Le regroupement permet d’effectuer une addition répétée.

Image Une addition est écrite verticalement : 81 plus 37 plus 12 plus 62. 81 se relie à 12 en indiquant cent. 37 se relie à 62 en indiquant cent. À côté de l’addition, il est écrit : Chaque regroupement est près de cent. La réponse est près de 200.

Les nombres pratiques : la stratégie des nombres pratiques consiste à utiliser les nombres qui sont faciles à manier. Dans l’addition et la soustraction, les élèves cherchent les nombres dont la somme ou la différence est près de 10.

Estimation par la gauche : Dans ce type d’estimation, on effectue l’opération en se servant du chiffre de gauche. On peut ensuite obtenir une estimation plus précise en regardant le reste des nombres et en ajustant la réponse au besoin.

Arrondissement : l’arrondissement est une méthode d’estimation plus complexe que l’estimation par la gauche. Elle exige deux étapes : d’abord arrondir chaque nombre, puis calculer l’estimation.

Image Deux additions verticales sont placées côte à côte, et trois flèches relient les nombres correspondants, de gauche à droite. Première addition : 621 plus 485 plus 252. Deuxième addition : 600 plus 500 plus 300 égale 1 400.

Bien des élèves ne saisissent pas l’importance et la pertinence de l’estimation. Elles et ils croient que l’estimation est une façon d’arriver à la réponse exacte, de sorte qu’il leur semble nécessaire de changer leur estimation après avoir effectué un calcul précis. En offrant chaque jour aux élèves de nombreuses occasions de s’exercer à estimer, on peut les aider à améliorer cette habileté et ainsi à développer le sens de l’estimation et son utilité dans le quotidien.

Une estimation fournit aux élèves un guide leur permettant de déterminer si leur solution est vraisemblable.

Les élèves qui ont de multiples occasions de faire des estimations ont de meilleures chances de comprendre l’importance d’estimer et de raisonner de façon logique lorsqu’elles et ils travaillent avec de grands nombres.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6^e année, p. 68-70.