B1.5 Générer des fractions et des nombres décimaux entre deux nombres.
Habileté : générer des fractions et des nombres décimaux entre deux nombres
Relation d’égalité entre un nombre décimal et une fraction correspondante
Les élèves doivent comprendre que puisque la notation décimale n’est qu’une autre façon de représenter une fraction décimale, il est alors possible d’établir une relation d’égalité entre les 2 notations (par exemple, 0,3 = \(\frac{3}{{10}}\)). En reconnaissant cette égalité, elles et ils sont en mesure d’associer une valeur de position à chacune des décimales qui composent un nombre décimal, soit successivement les dixièmes, les centièmes, les millièmes et ainsi de suite.
Exemple
Image Trois équations sont présentées. Première équation : trois sur dix égale zéro virgule trois. En dessous, le mot
« dixièmes » pointe avec des flèches
vers le dénominateur et vers le trois de zéro virgule trois. Deuxième équation : sept sur cent égale zéro virgule zéro
sept. En dessous, le mot « centièmes » pointe avec des
flèches vers le dénominateur et vers le sept de zéro virgule zéro sept. Troisième équation : cinq sur mille égale zéro
virgule zéro zéro cinq. En dessous, le mot « millièmes » pointe avec
des flèches vers le dénominateur et vers le cinq de zéro virgule zéro zéro cinq.
Pour établir la relation d’égalité entre une fraction dont le dénominateur n’est pas une puissance de 10 (par exemple, \(\frac{1}{4}\)) et le nombre décimal correspondant, il est nécessaire de recourir au concept de fractions équivalentes. Par exemple, les élèves peuvent utiliser des bandes d’égales longueurs telles qu’illustrées ci-dessous pour constater que \(\frac{1}{4}\) se situe entre \(\frac{2}{{10}}\) et \(\frac{3}{{10}}\).
Image Deux
longs rectangles minces de longueur égale sont placés l’un sous l’autre en étant vis-à-vis. Le premier rectangle est
divisé en quatre parties égales. La première partie est rouge tandis que les trois autres sont blanches. Le deuxième
rectangle est divisé en dix parties égales, toutes blanches.
Elles et ils peuvent ensuite subdiviser les dixièmes en 10 parties égales, créant ainsi 100 parties égales, soit des centièmes du tout et reconnaître que \(\frac{{25}}{{100}}\) est une fraction équivalente à \(\frac{1}{4}\).
Image
Deux longs rectangles minces de longueur égale sont placés l’un sous l’autre en étant vis-à-vis. Le premier rectangle
est divisé en quatre parties égales. La première partie est rouge tandis que les trois autres sont blanches. Le
deuxième rectangle est divisé en cent parties égales. Des lignes plus foncées séparent les groupes de dix. Une ligne
rouge se trace à la vingt-cinquième part, vis-à-vis la fin de la partie rouge du rectangle du haut.
Puisque \(\frac{{25}}{{100}}\) = 0,25, elles et ils peuvent conclure que la fraction \(\frac{1}{4}\) peut aussi être représentée en notation décimale par 0,25 (\(\frac{1}{4}\; = \;\frac{{25}}{{100}}\; = \;0,25\)). Ce genre d’exemple permet aux élèves de reconnaître que toutes les fractions qui peuvent être exprimées par une fraction décimale équivalente peuvent être représentées par un nombre décimal.
Note : Certaines fractions (par exemple, \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{5}{{11}}\)) ne peuvent être représentées par une fraction décimale équivalente. Ces fractions ne sont donc pas des nombres décimaux. Elles peuvent cependant être exprimées par des nombres à virgule ayant une partie décimale périodique (par exemple, \(\frac{2}{3}\; = \mathop 0, \overline {6} \); \(\frac{3}{7}\; = \mathop 0, {\overline {428\;571} } \) ; \(\frac{5}{{11}}\; = \mathop 0, {\overline {45} } \); ) en divisant le numérateur par le dénominateur.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 46-48.
Relations d’ordre
La relation d’ordre est basée sur la comparaison de nombres. Une des grandes forces de la notation décimale, c’est la rapidité avec laquelle il est possible, grâce au concept de valeur de position, de comparer et d’ordonner des quantités. Par exemple, il est beaucoup plus facile de comparer les nombres \(\frac{{16}}{{25}}\) et \(\frac{{13}}{{20}}\) lorsqu’ils sont exprimés en notation décimale, soit 0,64 et 0,65.
En général, les élèves ont peu de mal à comparer des nombres décimaux ayant le même nombre de décimales (par exemple, \(0,34\; < \;0,46\)). Elles et ils ont plus de difficulté à comparer des nombres ayant un nombre différent de décimales (par exemple, 1,34 et 1,275). Certaines et certains ont tendance à comparer ces nombres sans la virgule (par exemple, \(134\; < \;1\;275\)) et conclure que \(1,34\; < \;1,275\). D’autres arrivent à la même conclusion erronée en comparant seulement les nombres à droite de la virgule (par exemple, \(34\; < \;275\)).
La relation d’ordre doit être abordée en comparant des nombres décimaux dans des situations contextualisées. Par exemple : « Rémi a fait un saut de 3,55 m et Samantha en a effectué un de 3,7 m. Lequel des 2 a réussi le plus long saut? » Les élèves peuvent répondre et justifier leur choix si elles ou s’ils comprennent la valeur de position. La droite numérique est un modèle visuel puissant pour comparer des nombres décimaux. Pour placer 3,7 sur une droite numérique, les élèves peuvent représenter les dixièmes de 3,0 à 4,0. Pour situer 3,55, elles et ils doivent diviser l’intervalle entre 3,5 et 3,6 en 10 parties égales, chaque espace représentant un centième. Ils peuvent alors conclure que \(3,55\; < \;3,7\), donc que Samantha a effectué un plus long saut que Rémi.
Image Deux rectangles sont placés l’un sous l’autre. Le
rectangle « A » est plus long que le rectangle « B ». Il est divisé en deux parties égales, la première est
violette et l’autre est blanche. La première partie du rectangle « B » est violette et de la même longueur que
celle du rectangle « A ». Sa deuxième partie, blanche, est plus courte et fait environ la moitié de celle du
rectangle « A ».
Les élèves qui ont acquis un bon sens du nombre peuvent aussi comparer 3,55 m et 3,7 m en remarquant d’abord qu’ils représentent 2 sauts supérieurs à 3 m. Ensuite, elles et ils peuvent comparer les dixièmes pour remarquer que le 1er nombre compte 5 dixièmes, soit 5 décimètres, tandis que le 2e en compte 7.
Image Deux chiffres sont écrits l’un sous l’autre : trois virgule 55 et 3 virgule sept. Une
flèche double sens de haut en bas relie les trois, et une flèche double sens de haut en bas relie les
décimales.
Le 2e saut est donc plus long que le 1er. Les élèves peuvent aussi, après avoir comparé les unités, penser à 3,7 comme étant 3,70, soit 3 mètres et 70 centimètres. Le nombre 3,55 représente 3 mètres et 55 centimètres. Le saut de 3,7 m est donc plus long que le saut de 3,55 m.
Traditionnellement, on enseignait une procédure où il fallait ajouter un 0 à la fin de 3,7 pour donner 2 nombres ayant un même nombre de décimales. Il fallait ensuite comparer les parties décimales, soit 55 et 70, pour conclure que 3,70 était plus grand que 3,55. Certes, l’enseignement de la méthode était accompagné d’une explication, mais on mettait tellement l’accent sur la procédure que l’explication et le concept étaient vite perdus. Il n’est pas surprenant que les jeunes répondent souvent de façon erronée à ce genre de questions. Par exemple, lors d’un test international réalisé auprès d’élèves de 6e année, 87 % ont indiqué que 6 987 est plus grand que 6 879, alors que seulement 52 % ont conclu que 1,05 est plus grand que 1,015 (Brissiaud, 1998). Les élèves qui comprennent le concept de valeur de position n’ont pas besoin d’appliquer une procédure pour comparer des nombres décimaux.
Les problèmes ouverts, qui offrent plus d’une réponse et qui suscitent la réflexion, permettent aux élèves d’approfondir leur compréhension des relations d’ordre. Par exemple :
- Déterminer 3 nombres décimaux situés entre \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{2}\).
- Déterminer 3 nombres décimaux situés entre 0,5 et 0,6.
- Déterminer 3 nombres situés à moins de 1 dixième de 2,8.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 54-55.
Connaissance : ensemble des nombres décimaux (ⅅ)
L’ensemble des nombres décimaux est formé des nombres qui peuvent être exprimés sous forme décimale avec une partie décimale finie (par exemple, 3,72; (–5,1); 0; (–7,0); 12,135 64). Cet ensemble inclut tous les entiers, car ils peuvent être exprimés avec une partie décimale (par exemple, \(3\; = \;3,0\)). Il inclut aussi certaines fractions, comme \(\frac{2}{5}\) et \(\frac{3}{{16}}\), puisque \(\frac{2}{5}\; = \;0,4\) et \(\frac{3}{{16}}\; = \;0,187\;5\). Cependant, un grand nombre de fractions sont exclues, comme \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{7}{{11}}\), car leur développement décimal nécessite un nombre infini de décimales (\(\frac{1}{3}\; = \;0,333\;33...\) et \(\frac{7}{{11}}\; = \;0,636\;363...\)).
Il est intéressant de constater que tous les nombres décimaux peuvent être exprimés sous forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
Exemples
\(3,72\; = \;3\frac{{72}}{{100}}\; = \;\frac{{372}}{{100}}\)
\( - 5,1\; = \; - 5\frac{1}{{10}}\; = \; - \frac{{51}}{{10}}\)
\(5\; =\; 5,0 = \frac{5}{1}\)
Puisque les nombres naturels sont tous des nombres entiers et que les nombres entiers sont tous des nombres décimaux, on peut représenter la relation entre les ensembles de nombres par le diagramme de Venn ci-dessous.
Note : Il n’existe pas d’ensemble de nombres à virgule. L’appellation nombre à virgule signifie simplement que l’expression du nombre contient une virgule. Ainsi, un nombre à virgule peut être un nombre décimal (par exemple, 0,45), un nombre périodique (par exemple, 0,333…) ou un nombre irrationnel (par exemple, 3,141 5…).
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 42.
Connaissance : ensemble des nombres rationnels (ℚ)
L’ensemble des nombres rationnels inclut tous les nombres qui peuvent être exprimés sous forme fractionnaire \(\frac{a}{b}\). Il inclut les nombres naturels, les nombres entiers et les nombres décimaux, ainsi que les nombres dont l’expression décimale est infinie et périodique (par exemple, \(\frac{1}{3}\; = \;0,333\;33...\; = \;0,\overline {3} \); \(\frac{5}{{11}}\; = \;0,454\;545...\) = \( 0, \overline {45} \); \( -\frac{{421}}{{198}}\; = \; - 2,126\;262...\) = \( - 2,\overline {126} \)). On peut représenter la relation entre les ensembles de nombres par le diagramme de Venn ci-dessous.
Image Dans un cercle vert, on trouve la lettre Q, ainsi qu’un plus petit cercle bleu contenant
la lettre D, et lequel contient également un plus petit cercle bleu contenant la lettre Z, lequel contient un
plus petit cercle bleu contenant la lettre N.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 43.