À vue d'oeil...

B2.1 Utiliser les propriétés et la priorité des opérations et les relations entre les opérations pour résoudre des problèmes comportant des nombres naturels, des nombres décimaux, des fractions, des rapports, des taux et des pourcentages, y compris des problèmes à plusieurs étapes ou à plusieurs opérations.

Habileté : utiliser les propriétés des opérations

---

La plupart des contenus mathématiques liés au domaine Nombres, de la 7^e à la 10^e année, peuvent être abordés en misant sur l’objectif de développer la pensée algébrique. Au lieu de demander aux élèves de mémoriser des règles pour effectuer des opérations sur différents nombres, il est plus efficace de « […] les amener à dépasser ces cas particuliers et arriver à penser à la généralisation mathématique sous-jacente (Beatty et Bruce, 2012; ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2005) » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2013, p. 6). L’objectif est d’amener les élèves à observer et à analyser une situation, ainsi qu’à établir diverses relations en vue de formuler une généralisation. La compréhension des propriétés telles que la commutativité, l’associativité et la distributivité dans le domaine Nombres est un préalable à la simplification d’expressions algébriques et à la résolution d’équations. Simplifier et résoudre des équations exigent aussi une bonne compréhension du sens d’une situation d’égalité et du sens du symbole égal.

Explorer les diverses propriétés des opérations, c’est examiner les relations entre les nombres, c’est-à-dire analyser des situations dans lesquelles le changement d’une quantité produit un effet sur une autre quantité.

Commutativité de l’addition et de la multiplication

Lorsque 2 nombres sont additionnés ou multipliés, l’égalité demeure vraie même si l’ordre des nombres est changé.

L’élève qui fait cette généralisation comprend la propriété de commutativité. Cette compréhension l’aide à simplifier des expressions algébriques et à résoudre des équations parce qu’elle ou il peut établir un lien avec une connaissance antérieure. Toutefois, l’élève qui ne comprend pas la propriété de commutativité effectuera l’addition ou la multiplication au lieu de comparer les termes de chaque côté du signe égal.

Associativité

Lorsque les nombres sont additionnés ou multipliés, il est possible de les regrouper de diverses façons sans changer le résultat de l’opération; l’égalité demeure vraie. L’élève qui fait cette généralisation comprend la propriété d’associativité soit, que l’ordre des nombres est respecté, mais que les parenthèses sont déplacées. Comprendre cette propriété lui permet de simplifier des expressions algébriques et de résoudre des équations.

Distributivité

La distributivité de la multiplication sur l’addition ou sur la soustraction est une propriété qui transforme un produit de sommes ou de différences à une somme ou à une différence de produits. L’élève qui fait cette généralisation comprend qu’il est possible de répartir les termes de différente façon, c’est-à-dire de décomposer les nombres et d’obtenir le même résultat.

Le problème ci-dessous est un exemple typique de ce qui peut être présenté à l’élève pour l’amener à comprendre la propriété de distributivité de la multiplication.

Exemple

Une salle de spectacle contient 16 rangées de 34 sièges. Combien de sièges y a-t-il dans la salle de spectacle?

L’utilisation du contexte d’une salle de spectacle n’est pas un hasard. C’est un contexte propice à l’exploration d’un modèle d’aire appelé disposition rectangulaire.

Une séquence d’enseignement bien orchestrée amène l’élève à utiliser une disposition rectangulaire réalisée :

• à l’aide de matériel concret (par exemple, matériel de base 10, carreaux algébriques);

Image Deux rangées de quatre ensembles d’unités sont présentées. Première rangée : trois grilles de cent unités mesurant dix par dix, et quatre bâtonnets de dix unités. Deuxième rangée : trois ensembles de six bâtonnets de dix unités et un ensemble contenant quatre colonnes de six unités.

• à l’aide de matériel semi-concret (par exemple, papier quadrillé)

Image Un ensemble d’unités est illustré comme suit : trois grilles de cent unités et quatre bâtonnets de dix unités sont placés côte à côte. Sous chaque grille il y a six rangées de dix unités supplémentaires, et sous chaque bâtonnet il y a six unités supplémentaires. Au-dessus de l’image est écrit le nombre 34 et à gauche de l’image est écrit le nombre 16.

• à l’aide d’une représentation plus abstraite (par exemple, disposition rectangulaire ouverte).

Image Un rectangle est divisé en deux rangées de deux rectangles. De gauche à droite et de haut en bas, premier rectangle : à l’intérieur, il est écrit : parenthèse ouvrante dix fois trente parenthèse fermante. 300 sièges. Deuxième rectangle : à l’intérieur, il est écrit : parenthèse ouvrante dix fois quatre parenthèse fermante. Quarante sièges. Troisième rectangle : parenthèse ouvrante six fois trente parenthèse fermante. 180 sièges. Quatrième rectangle : parenthèse ouvrante six fois quatre parenthèse fermante. Vingt-quatre sièges. Au-dessus du premier rectangle il est écrit 30, et à gauche, dix. Au-dessus du deuxième rectangle, il est écrit quatre. Et à gauche du troisième rectangle, il est écrit six.

La stratégie liée au concept d’aire qui consiste à faire des sommes de produits partiels aide l’élève à généraliser et à découvrir la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition.

Cet apprentissage a son utilité à différents cycles, car la disposition rectangulaire peut s’appliquer à la multiplication dans d’autres systèmes de nombres (par exemple, fractions, nombres décimaux), ainsi qu’à des situations algébriques.

Il est important que l’élève explore parallèlement si les propriétés de commutativité, d’associativité et de distributivité s’appliquent à la soustraction et à la division. L’associativité et la commutativité ne s’appliquent pas à la soustraction ni à la division. La distributivité ne s’applique pas à la division.

Généralisations algébriques

L’élève devrait maîtriser les généralisations algébriques ci-dessous relatives aux propriétés des nombres réels.

Commutativité :

Pour tous les a et b éléments de ℝ (nombres réels), \(\ a + b = b + a\)

Pour tous les a et b éléments de ℝ (nombres réels), \(\ a \times b = b \times a\)

Associativité :

Pour tous les a, b et c éléments de ℝ (nombres réels), \(\ (a \;+\; b\;) + c = a + (b \;+\; c\;)\)

Pour tous les a, b et c éléments de ℝ (nombres réels), \(\left( {a\; \times \;b \;} \right)\; \times \;c\; = \;a\; \times \;\left( {b\; \times \;c\;} \right)\).

Distributivité :

Pour tous les a, b et c éléments de ℝ (nombres réels), \(a \; \left( {b\; \;+ \;c\;} \right)\; = \;ab\; + \;ac\).

Élément neutre :

Pour tous les a éléments de ℝ (nombres réels), \(a\; + \;0\; = \;0\; + \;a\; = \;a\).

Pour tous les a éléments de ℝ (nombres réels), \(a\; \times \;1\; = \;1\; \times \;a\; = \;a\).

Élément absorbant :

Pour tous les a éléments de ℝ (nombres réels), \(a\; \times \;0\; = \;0\; \times \;a\; = \;0\).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7^e à la 10^e année, p. 18-25.

Habileté : utiliser la priorité des opérations

---

La priorité des opérations peut survenir dans un contexte de résolution de problèmes ou dans des opérations présentées sous forme d’expressions numériques sans contexte.

En classe, il est plus important de miser sur le sens des expressions en contexte de résolution de problèmes que sur l’habileté à évaluer des expressions comportant de multiples opérations.

Les opérations en contexte de résolution de problèmes

Pour résoudre un problème comportant une série d’opérations, l’ordre à suivre est dicté par le sens du problème.

Exemple 1

Simon a 3 enveloppes contenant 5 timbres chacune et sa sœur Annabelle a 7 enveloppes contenant 4 timbres chacune. Ils décident de regrouper tous leurs timbres pour former une plus grosse collection. Combien de timbres compte leur collection commune?

Pour résoudre ce problème logiquement, les élèves doivent d’abord déterminer le nombre de timbres dans la collection de Simon (\(3\; \times \;5\; = \;15\)), puis le nombre de timbres dans celle d’Annabelle (\(7\; \times \;4\; = \;28\)). Ensuite, ils doivent trouver le nombre total de timbres dans les 2 collections (\(15\; + \;28\; = \;43\)). Ici, la multiplication a donc priorité sur l’addition.

Pour représenter toutes ces opérations en une seule expression numérique, on pourrait écrire \(3\; \times \;5\; + \;7\; \times \;4\). Or, cette expression peut porter à confusion. C’est pourquoi il est préférable de recourir à des parenthèses pour préciser l’ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées, soit \((3\; \times \;5)\; + \;(7\; \times \;4)\). La solution peut alors être présentée comme suit :

\(\begin{align} (3\; \times \;5)\; + \;(7\; \times \;4)\; &= \;15\; + \;28\\ &= \;43\end{align}\)

Donc, la collection commune contient 43 timbres.

Dans l’exemple suivant, il est possible de résoudre le problème en donnant la priorité à l’addition sur la multiplication.

Exemple 2

Alphonse commande 12 recueils de bandes dessinées vendus au prix de 7 $ chacun. Il y a des frais de livraison de 2 $ par recueil. Combien lui coûtent les 12 recueils?

Les élèves peuvent d’abord déterminer le prix de chaque recueil (\( 7\;\$ + 2 \;\$ = 9 \;\$ \)), puis le coût total (\(12\; \times \;9\;\$ \; = \;108\;\$ \)). Comme dans l’exemple précédent, il est possible de présenter les 2 opérations avec des parenthèses dans la même expression numérique : \((7\; + \;2)\; \times \;12\) ou \(12\; \times \;(7\; + \;2)\).

Ainsi, les parenthèses permettent de regrouper certains éléments d’une expression numérique et de préciser que ces éléments doivent être traités en priorité.

Les opérations sous forme d’expressions numériques

Idéalement, les expressions numériques devraient être présentées dans un contexte qui permet d’établir la priorité des opérations. Il arrive cependant qu’on doive évaluer une expression numérique hors contexte. Telles que présentées précédemment, les parenthèses aident à prioriser les opérations à effectuer, comme dans les expressions numériques \((3\; \times \;5)\; + \;(7\; \times \;4)\) et \(12\; \times \;(7\; + \;2)\). Cependant, une expression numérique présentée sans parenthèses et sans contexte pourrait générer une multitude de réponses. Par exemple, on pourrait décider de traiter les opérations dans l’ordre dans lequel elles paraissent :

\(\begin{align} 3\; \times \;5\; + \;7\; \times \;4\; &= \;15\; + \;7\; \times \;4\\ &= \;22\; \times \;4\\ &= \;88\end{align}\)

On pourrait aussi décider de donner la priorité à l’addition sur la multiplication :

\(\begin{align} 3\; \times \;5\; + \;7\; \times \;4\; &= \;3\; \times \;12\; \times \;4\\ &= \;36\; \times \;4\\ &= \;144\end{align}\)

Devant une expression numérique de ce genre, certaines règles ont été établies afin de lever toute ambiguïté et d’uniformiser son traitement. Une de ces règles stipule que les multiplications et les divisions s’effectuent avant les additions et les soustractions. Dans ce contexte, la façon convenue d’évaluer l’expression précédente est :

\(\begin{align} 3\; \times \;5\; + \;7\; \times \;4\; &= \;15\; + \;28\\ &= \;43\end{align}\)

L’acronyme PEDMAS est souvent présenté aux élèves pour les aider à retenir l’ensemble des règles qui définissent la priorité des opérations. Le « P » représente les parenthèses qu’il faut traiter en premier. Le « E » désigne les exposants qui sont évalués ensuite. Le « D » et le « M » représentent la division et la multiplication, opérations à effectuer selon l’ordre dans lequel elles paraissent. Enfin, l’addition et la soustraction correspondent aux lettres « A » et « S ». Ces 2 opérations sont effectuées en dernier lieu selon l’ordre dans lequel elles paraissent. La priorité des opérations est au programme de 6^e année, mais il peut arriver que les élèves des autres années abordent ces règles de façon informelle. Ce n’est qu’au cycle intermédiaire qu’interviennent les exposants. En classe, il est plus important de miser sur le sens des expressions en contexte de résolution de problèmes que sur l’habileté à évaluer des expressions comportant de multiples opérations.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 108-110.

Certaines calculatrices respectent la priorité des opérations, alors que d’autres ne le font pas (par exemple, si on appuie sur les touches \(3\; + \;4\; \times \;5\; = \), une calculatrice qui respecte la priorité des opérations afficherait 23, tandis qu’une calculatrice qui ne la respecte pas afficherait 35). Les élèves doivent alors connaître les caractéristiques de leur calculatrice, ainsi que la priorité des opérations, de manière à changer l’ordre des opérations au besoin (par exemple, il faudrait appuyer sur les touches \(3\;\;(4\; \times \;5)\; = \) ou \(4\; \times \;5\; + \;3\; = \) pour obtenir la bonne réponse sur une calculatrice qui ne respecte pas la priorité des opérations).

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 120.

Habileté : utiliser les relations entre les opérations

---

Comprendre les propriétés des opérations et les relations entre ces opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.

Au cycle primaire, les élèves ont établi des liens entre les opérations à travers diverses activités. Par exemple, elles et ils savent que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses et que l’addition est commutative. Avec le temps, elles et ils développent leur sens du nombre et leur sens des opérations et s’en servent graduellement avant d’effectuer des opérations. Cette pratique, quoique souvent informelle et mentale, demeure toutefois essentielle à la compréhension des relations entre les nombres et entre les opérations.

• L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
• La multiplication et la division sont des opérations inverses.
• La multiplication peut être associée à une addition répétée.
• La division peut être associée à une soustraction répétée.

Les opérations fondamentales, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division sont intimement reliées malgré leurs différences apparentes. Plus les élèves ont l’occasion de manier les opérations, plus elles et ils peuvent remarquer et comprendre les liens entre elles.

L’addition et la soustraction

Dans l’addition ou la soustraction, des quantités sont ajoutées, retirées, unies ou comparées. Pour que les élèves comprennent les liens entre les quantités dans chacun de ces cas, il est important qu’elles et ils soient confrontés à divers types de problèmes. Le tableau ci-après présente une variété de problèmes relatifs à l’addition et à la soustraction.

L’addition et la soustraction ne sont que des opérations qui surviennent dans des problèmes. Il faut donc éviter de parler de « problèmes de soustraction » ou « problèmes d’addition », car c’est la compréhension de la situation, ainsi que la compréhension des opérations qui font choisir la stratégie de résolution de problèmes à adopter, en l’occurrence le choix de l’addition ou de la soustraction. Donc, les élèves doivent analyser le problème, choisir une stratégie et l’appliquer, tout comme le font les adultes. Dans ce contexte, le rôle du personnel enseignant est d’aider les élèves dans leur analyse et dans leur compréhension des opérations.

Il est important de noter que les problèmes présentés dans le tableau semblent similaires en raison de leur contexte. Or pour les élèves, chaque situation représente un problème particulier. C’est en maîtrisant ces divers types de problèmes que les élèves acquièrent une maîtrise de l’addition et de la soustraction.

Types de problèmes relatifs à l’addition et la soustraction

Le tableau s'intitule « Types de problèmes relatifs à l'addition et à la soustraction ». Il présente deux colonnes : « Types de problèmes », qui possède toujours une seule case, et « Quantités inconnues », qui possède deux ou trois cases. Premier type de problème : problèmes d'ajout. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Quantité finale inconnue. Tiret plus tiret égale point d'interrogation. Paul a 25 cartes. Il en achète 12 autres au dépanneur. Combien de cartes a-t-il à présent? 25 plus 12 égale point d'interrogation. Deuxième case : Quantité initiale inconnue. Point d'interrogation plus tiret égale tiret. Paul a une collection de cartes. Il en achète 12 autres au dépanneur. Il a maintenant 37 cartes dans sa collection. Combien de cartes Paul avait-il au départ? Point d'interrogation plus douze égale 37. Troisième case : Quantité ajoutée inconnue. Tiret plus point d'interrogation égale tiret. Paul a 25 cartes. Il en achète d'autres au dépanneur. Il a maintenant 37 cartes. Combien de cartes Paul a-t-il achetées? 25 plus point d'interrogation égale 37. Deuxième type de problème : problèmes de retrait. Sous « quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Quantité finale inconnue. Tiret moins tiret égale point d'interrogation. Ahmed a 97 billes. Il en perd 75 dans un tournoi. Combien de billes a-t-il? 97 moins 75 égale point d'interrogation. Deuxième case : Quantité initiale inconnue. Point d'interrogation moins tiret égale tiret. Après un tournoi de billes, Ahmed compte ses billes. Il en a 22. Il sait qu'il a perdu 75 billes. Combien de billes avait-il au début du tournoi? Point d'interrogation moins 75 égale 22. Troisième case : Quantité retirée inconnue. Tiret moins point d'interrogation égale tiret. Ahmed a 97 billes au début d'un tournoi. À la fin du tournoi, il lui en reste 22. Combien de billes a-t-il perdues? 97 moins point d'interrogation égale 22. Troisième type de problème : Problèmes de réunion. Sous « quantités inconnues », il y a deux cases. Première case : Tout inconnu. Tiret plus tiret égale point d'interrogation. Pierre et Misha préparent un sac de billes qu'ils veulent offrir à leur ami. Pierre dépose 40 billes dans le sac et Misha, 36. Combien de billes le sac contient-il? 40 plus 36 égale point d'interrogation. Deuxième case : Partie du tout inconnue. Tiret plus point d'interrogation égale tiret. Pierre et Misha préparent un sac de billes qu'ils veulent offrir à leur ami. Pierre dépose 40 billes dans le sac. Misha en dépose aussi. Il y a maintenant 76 billes dans le sac. Combien de billes Misha a-t-il déposées dans le sac? 40 plus point d'interrogation égale 76. Quatrième type de problème : Problèmes de comparaison. Sous « quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Différence inconnue. Tiret moins tiret égale point d'interrogation. Rihad a 41 petites autos et Pedro en a 28. Combien en a-t-elle de plus que Pedro? 41 moins 28 égale point d'interrogation. Deuxième case : Quantité de référence inconnue. Point d'interrogation moins tiret égale tiret. Pedro a 28 petites autos. Rihad en a 13 de plus. Combien de petites autos a-t-elle? Point d'interrogation moins 28 égale 13. Troisième case : Quantité comparée inconnue. Tiret moins point d'interrogation égale tiret. Rihad a 41 petites autos. Elle en a 13 de plus que Pedro. Combien d'autos Pedro a-t-il? 41 moins point d'interrogation égale 13.

Les problèmes d’ajout et de retrait sont perçus par les élèves comme des situations actives, plus faciles à modéliser et à « voir », car la quantité initiale augmente ou diminue. Les problèmes de réunion, cependant, supposent une situation statique, car aucune action ou aucun changement ne se produit, ce qui les rend plus abstraits et plus difficiles à comprendre. Les problèmes de comparaison, quant à eux, traitent de la relation entre 2 quantités en les opposant : il n’y a donc pas d’action, mais une comparaison d’une quantité à une autre.

Puisque les élèves sont exposés régulièrement à des problèmes dont la quantité finale est recherchée, elles et ils les résolvent plus aisément. Cependant, elles et ils ont plus de mal à résoudre les problèmes dont la valeur inconnue est la quantité initiale, la quantité ajoutée ou la quantité retirée. Ces problèmes aident à développer une compréhension plus solide des opérations d’addition et de soustraction et des liens entre les opérations. Par exemple, dans le cas des problèmes d’ajout dont la valeur inconnue est la quantité initiale, les élèves voient plus facilement les avantages de l’addition (par exemple, \(?\; + \;12\; = \;37\)) qui permet de respecter l’ordre dans lequel se déroule l’action dans le problème. Cela leur permet d’utiliser une stratégie (par exemple, dénombrement ou compte à rebours) afin de déterminer la quantité initiale. Ces élèves démontrent leur compréhension du problème et leur habileté à utiliser une stratégie pour le résoudre. Cependant, elles et ils ne démontrent pas une compréhension du sens de la différence (et de la soustraction). Si elles ou s’ils avaient utilisé la soustraction, soit \(37\; - \;12\; = \;?\), elles et ils auraient démontré une compréhension plus élargie des liens entre les quantités par rapport à cette opération. Toutefois, lorsque les élèves sont en apprentissage, il est inutile de leur imposer une stratégie. L’obligation de soustraire n’aidera en rien les élèves qui ne voient pas la pertinence de cette stratégie. Toutefois, si elles ou s’ils sont régulièrement en contact avec une variété de problèmes et qu’elles et ils participent aux échanges mathématiques qui suivent, elles et ils arrivent à voir les liens entre diverses stratégies et à assimiler une variété de stratégies.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 81-84.

La multiplication et la division

Pour comprendre la multiplication et la division, il faut reconnaître les 3 types de quantités qui entrent en jeu, soit la quantité totale (par exemple, 8 fleurs), le nombre de groupes égaux (par exemple, 4 pots) et la taille de chaque groupe (par exemple, 2 fleurs par pot).

Dans les problèmes présentés aux élèves, on associe trop souvent la division à un seul sens, soit le partage. Le sens de groupement est habituellement négligé. La division a un sens de partage lorsque la quantité totale et le nombre de groupes sont connus (par exemple, 3 élèves veulent se partager équitablement 15 pommes et on cherche le nombre de pommes que chacun recevra).

Image Dans l’équation 15 divisé par trois égale point d’interrogation, 15 est la quantité totale, trois est le nombre de groupes et point d’interrogation est la taille des groupes.

La division a un sens de groupement lorsque la quantité totale et le nombre d’éléments dans chaque groupe (taille des groupes) sont connus (par exemple, on a 15 pommes et on veut les placer dans des sacs, 3 pommes par sac; on cherche le nombre de sacs qu’il faut).

Image Dans l’équation 15 divisé par trois égale point d’interrogation, 15 est la quantité totale, trois est la taille des groupes et point d’interrogation est le nombre de groupes.

Il est essentiel de traiter des 2 types de problèmes, puisqu’ils sont la base de l’intégration d’autres concepts mathématiques. Il n’est pas nécessaire que les élèves sachent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’elles et ils aient l’occasion d’en résoudre de divers types, tout en employant une variété de stratégies.

Image Le tableau s'intitule « Types de problèmes relatifs à la multiplication et à la division ». Il présente deux colonnes : « Types de problèmes », qui possède toujours une seule case, et « Quantités inconnues », qui possède deux ou trois cases. Premier type de problème : Problèmes de groupes égaux. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Julie a acheté cinq livres pour ses camarades. Chaque livre a coûté deux dollars. Combien a-t-elle dépensé pour tous ces livres? Cinq fois deux égale point d'interrogation. Deuxième case : Tailles des groupes inconnue, sens de partage. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Julie a dix livres. Elle veut les donner à cinq de ses camarades de manière que chacun en reçoive le même nombre. Combien de livres recevra chaque camarade? Dix divisé par cinq égale point d'interrogation. Troisième case : Nombre de groupes inconnu, sens de regroupement. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Julie a acheté dix livres pour ses camarades et prépare des sacs-cadeaux. Elle met deux livres dans chaque sac. Combien de sacs-cadeaux Julie a-t-elle utilisés? Dix divisé par deux égale point d'interrogation. Deuxième type de problème : Problèmes de comparaison. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Mustapha a deux dollars. Michel a quatre fois plus de dollars que lui. Combien d'argent Michel a-t-il? Quatre fois deux égale point d'interrogation. Deuxième case : Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation ou tiret fois point d'interrogation égale tiret. Michel a huit dollars. Il a quatre fois plus d'argent que Mustapha. Combien d'argent Mustapha a-t-il? Huit divisé par quatre égale point d'interrogation ou quatre fois point d'interrogation égale huit. Troisième case : Multiplicateur inconnu. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation ou point d'interrogation fois tiret égale tiret. Michel a huit dollars et Mustapha a deux dollars. Michel a combien de fois plus d'argent que Mustapha? Huit divisé par deux égale point d'interrogation ou point d'interrogation fois deux égale huit. Troisième type de problème : Problèmes de combinaison. Sous « Quantités inconnues », il y a deux cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Ahmed a trois pantalons et cinq chemises. Combien de tenues différentes Ahmed a-t-il? Trois fois cinq égale point d'interrogation. Deuxième case : Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Ahmed a des chemises et des pantalons neufs. Il a 15 tenues différentes en tout. S'il a trois pantalons, combien de chemises Ahmed a-t-il? 15 divisé par trois égale point d'interrogation.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 84-86.

Effet des opérations

Chaque opération produit un effet sur les quantités en cause. Selon l’opération, certaines quantités augmentent ou diminuent. Elles peuvent augmenter ou diminuer de beaucoup ou de peu. Suivre l’effet des opérations sur les nombres permet aux élèves d’établir les liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération. Par exemple, si on soustrait 8 de 160, on remarquera peu d’effet, car la différence entre 160 et 152 est relativement petite. Cependant, si on divise 160 par 8, l’effet produit est grand, car le quotient obtenu, soit 20, est beaucoup plus petit que 160. On peut aussi comparer l’effet produit par une addition à celui produit par une multiplication. Comparativement à la multiplication, l’addition fait augmenter un nombre de peu. Par exemple, lorsque le nombre 160 est multiplié par 8, on obtient 1 280, alors que si on lui ajoute 8, on n’obtient que 168. Les gens qui possèdent un bon sens des opérations reconnaissent l’effet des opérations sur les nombres naturels, mais les élèves en apprentissage sont souvent impressionnés par l’effet, par exemple, de la multiplication. Une mise en garde s’impose : il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou les fractions peuvent avoir des effets différents que ceux sur les nombres naturels. Dans certains cas, l’effet peut même être l’inverse. En effet, si on multiplie un nombre naturel par un autre nombre naturel, le produit est plus grand que les 2 facteurs (par exemple, si on multiplie 3 par 6, le produit 18 est plus grand que 6 et 3), alors que si on multiplie une fraction propre par un nombre naturel, le produit est plus petit qu’un des 2 facteurs (par exemple, si on multiplie \(\frac{1}{2}\) par 6, le produit 3 est plus petit que 6).

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 90-91.

Habileté : résoudre des problèmes nécessitant plus d’une opération

---

Que ce soit un problème comportant une opération ou plus d’une opération, les élèves doivent prendre des décisions et faire des choix en fonction du contexte. Une approche axée sur la résolution de problèmes les initiera à cette réflexion. Devant un problème, il faut d’abord l’analyser afin d’en déterminer les données et de comprendre qu’un calcul doit être effectué. Ensuite, il faut savoir si, selon le contexte, on cherche une réponse approximative ou une réponse exacte. Dans les 2 cas, selon le contexte et les nombres en cause, il faut ensuite déterminer si le calcul sera effectué mentalement, par écrit ou à l’aide d’une calculatrice. Enfin, le calcul désiré est effectué.

Schéma de la réflexion faite par les élèves devant un problème

Image Schéma de la réflexion faite par les élèves devant un problème. Le schéma est constitué d'expressions dans des bulles qui se relient à d'autres par des flèches. Bulle de départ : Situation de résolution de problèmes. La bulle se relie à « Calcul à effectuer ». Cette dernière se relie à deux expressions. Première expression : « Nécessité d'une réponse approximative, estimation ». Deuxième expression : « Nécessité d'une réponse exacte ». Toutes deux se lient à ces trois bulles : « Utilisation du calcul mental », « Utilisation d'une méthode papier-crayon » et « Utilisation de la calculatrice ».

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 117.

Connaissance : propriétés des opérations

---

Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en cause.

Les propriétés des opérations sont :

• La commutativité : (\(3\; + \;5\; = \;5\; + \;3\))
• L’associativité : \((2\; + \;9)\; + \;11\; = \;2\; + \;(9\; + \;11)\)
• La distributivité : \(8\; \times \;7\; = \;(8\; \times \;5)\; + \;(8\; \times \;2)\)
• L’élément neutre : \(13\; + \;0\; = \;13\), \(0\; + \;13\; = \;13\); \(25\; \times \;1\; = \;25\), \(1\; \times \;25\; = \;25\);
• L’élément absorbant : \(8\; \times \;0\; = \;0\), \(0\; \times \;8\; = \;8\).

Connaissance : la commutativité

---

Une opération est commutative si son résultat demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, \(27\; + \;63\; = \;63\; + \;27\) et \(8\; \times \;6\; = \;6\; \times \;8\).

Généralisation :

\(\begin{align} a\; + \;b \; &= \; b\; + \;a\\ a\; \times \;b \; &= \; b \; \times \;a \end{align}\)

Connaissance : l’associativité

---

L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur.

Généralisation :

\(\begin{align} (a\; + \;b\;)\; + \;c\; &= \;a\; + \;(b\; + \; c\;)\\ (a\; \times \;b\;)\; \times \;c\; &= \;a\; \times \;(b\; \times \;c\;)\end{align}\)

Connaissance : la distributivité

---

La multiplication est distributive sur l’addition et sur la soustraction.

La propriété de distributivité permet d’effectuer une opération sur une somme ou une différence de termes et d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme. Par exemple,

• on peut multiplier \(3\; \times \;(5\; + \;6)\) et arriver au même résultat que si on avait effectué \((3\; \times \;5)\; + \;(3\; \times \;6)\);
• on peut multiplier \(3\; \times \;(20\; - \;2)\) en faisant \((3\; \times \;20)\; - \;(3\; \times \;2)\).

Généralisation : \(a\; \times \;(b\; + \;c\;)\; = \;(a\; \times \;b\;)\; + \;(a\; \times \;c\;)\)

Connaissance : élément absorbant

---

Dans une multiplication, le 0 a pour effet d’« absorber » l’autre facteur. Ainsi, peu importe le nombre multiplié par 0, le produit sera toujours 0 (par exemple, \(684\; \times \;0\; = \;0\;\); \(\;16,67\; \times \;0\; = \;0\;\); \(\;{14^{14}}\; \times \;0\; = \;0\;\)) et si 0 est multiplié par un autre nombre, le produit sera aussi 0 (par exemple, \(0\; \times 684\; = \;0\;\) ; \(\;0\; \times \;16,67\; = \;0\;\); \(\;0\; \times \;{14^{14}}\; = \;0\;\)). On qualifie alors le nombre 0 d’élément absorbant pour la multiplication.

Généralisation : \(a\; \times \;0\; = \;0\), \(0\; \times \;a\; = 0\)

Connaissance : élément neutre

---

Comme son nom l’indique, un élément neutre est un nombre qui n’a aucun effet pour une opération donnée. Ainsi, le nombre 0 est l’élément neutre de l’addition (par exemple, \(287\; + \;0\; = \;287\;\) et \(0\; + \;287\; = \;287\;\); \(\;4,5\; + \;0\; = \;4,5\) et \(0\; + \;4,5\; = \;4,5\;\); \(\;\frac{1}{8}\; + \;0\; = \;\frac{1}{8}\;\) et \(0\; + \frac{1}{8}\; = \;\frac{1}{8}\;\)) et le nombre 1 est l’élément neutre de la multiplication (par exemple, \(133\; \times \;1\; = \;133\;\) et \(\;1\; \times \;133\; = \;133\;\); \(\;432,1\; \times \;1\; = \;432,1\) et \(1\; \times \;432,1\; = \;432,1\;\); \(\;5\% \; \times \;1\; = \;5\% \; \)et \(\;1\; \times \;5\% \; = \;5\% \;\)). La soustraction et la division n’ont pas d’élément neutre. Dans une soustraction, le nombre 0 ne produit aucun effet lorsqu’il est le 2^e terme (par exemple, \(3\; - \;0\; = \;0\;\)), mais ce n’est pas le cas s’il paraît comme 1^er terme (par exemple, \(0\; - \;3\; \ne \;3\;\)). Ainsi, le nombre 0 n’est pas neutre pour la soustraction. De même, dans une division, le nombre 1 ne produit aucun effet lorsqu’il est le diviseur (par exemple, \(3\; \div \;1\; = \;3\;\)), mais ce n’est pas le cas s’il paraît comme dividende (par exemple, \(1\; \div \;3\; \ne \;3\)). Ainsi, le nombre 1 n’est pas neutre pour la division.

Généralisation : \(a\; + \;0\; = \;a\), \(a\; - \;0\; = \;a\), \(a\; \times \;1\; = \;a\), \(a\; \div \;1\; = \;a\)

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 102-107.

Connaissance : relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division

---

Le sens des opérations fait appel à la capacité de représenter des situations avec des symboles et des nombres. Comprendre la signification des opérations, et les relations entre elles, permet de choisir l’opération qui représente le mieux une situation et permet de résoudre le plus efficacement le problème, compte tenu des outils disponibles.

• L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
• La multiplication et la division sont des opérations inverses.
• La multiplication peut être associée à une addition répétée.
• La division peut être associée à une soustraction répétée.