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B2.6 Multiplier et diviser des fractions par des fractions, des nombres naturels et des nombres fractionnaires, dans divers contextes.

Activité 1 : les olympiades scolaires

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Dans cette situation d’apprentissage, les élèves explorent, dans le cadre de la planification d’olympiades scolaires, la multiplication d’une fraction par un nombre naturel.

Durée totale : environ 75 minutes

Matériel

• annexe 6.1 (Circuit des olympiades)
• annexe 6.2 (Questions de planification) ( 1 copie par équipe)
• annexe 6.3 (Objectivation) (1 copie par équipe)
• grandes feuilles de papier (2 par équipe)
• stylos-feutres

Avant l’apprentissage (Mise en train)

Durée : environ 15 minutes

Revoir d’abord l’addition de fractions en présentant la situation suivante aux élèves :

Nous voulons organiser des olympiades pour les élèves de l’école. L’une des épreuves, la course d’endurance, nécessite que vous vous entraîniez à courir au cours des prochaines semaines. Comme vous devez développer progressivement votre endurance, vous ne parcourrez pas toute la distance dès la première semaine.

Pendant la première semaine, vous parcourrez seulement \(\frac{3}{{12}}\) de la distance. Puis, d’une semaine à l’autre, vous parcourrez \(\frac{2}{{12}}\) de la distance de plus. Quelle partie du trajet parcourrez-vous pendant la deuxième semaine d’entraînement? Au cours de quelle semaine parcourrez-vous le trajet complet?

Inviter les élèves à réfléchir à la situation. Écrire des équations au tableau (par exemple,\(\frac{3}{{12}}\; + \;\frac{2}{{12}}\; = \;?\)) et discuter des stratégies qui permettent d’additionner des fractions ayant des dénominateurs communs. En groupe, déterminer après combien de semaines elles et ils parcourront le trajet complet. Profiter de l’occasion pour revoir les concepts de fraction propre, de fraction impropre et de nombre fractionnaire.

Faire remarquer que lorsqu’on additionne des fractions, on additionne le nombre de parties équivalentes telles que définies par le dénominateur (par exemple, des demis, des tiers, des douzièmes). Dans la présente situation, il s’agit de douzièmes du trajet : 3 douzièmes + 2 douzièmes = 5 douzièmes.

Présenter ensuite la situation suivante :

J’ai déjà mentionné la possibilité qu’il y ait des olympiades cette année à l’école. Évidemment, pour que cette activité ait lieu, nous devons la planifier. Selon vous, quels éléments devons-nous prendre en considération pour bien organiser cette journée?

Noter certaines des suggestions des élèves (par exemples, date, emplacement, nombre d’équipes, participants, épreuves, fonctionnement, surveillants et équipement).

Note : Cette étape a pour but de susciter l’intérêt des élèves afin de les inciter à participer activement à la situation d’apprentissage. La prochaine étape leur permet de se familiariser avec le schéma d’un circuit.

Poursuivre en disant :

Vous avez identifié plusieurs éléments importants et il y en a bien d’autres. Nous n’en sommes qu’à l’étape de la planification des olympiades. Il n’est pas certain qu’elles auront lieu. Toutefois, si la planification est solide, le projet pourrait être mené à terme sous une forme quelconque. Nous avons besoin de votre aide pour l’organisation des olympiades. Aujourd’hui, nous considérerons certains des éléments pour lesquels des décisions ont été prises. Lors des olympiades, les épreuves seront réparties dans différentes stations. Les équipes, préalablement formées, circuleront d’une station à l’autre. Chaque station comportera de une à trois épreuves auxquelles chaque élève pourra participer.

Projeter l’annexe 6.1 et poser les questions suivantes :

• Quelles pourraient être les épreuves lors des olympiades? 
• Quelles épreuves pourraient avoir lieu à la même station? 

Noter quelques-unes des suggestions des élèves (par exemple, la course de relais et la course de vitesse pourraient avoir lieu à la station 1; le saut en hauteur, le saut en longueur et les sauts à la perche pourraient avoir lieu à la station 7).

Finalement, expliquer aux élèves la tâche qu’elles et ils devront accomplir :

Je vous soumets d’abord quelques questions (annexe 6.2) auxquelles vous devez répondre afin de faire progresser la planification des olympiades. Attention, si vous effectuez simplement des calculs sans réfléchir au sens des nombres, vous risquez d’obtenir des réponses erronées. Pensez à ce que représentent les nombres. Ensuite, je vous soumettrai des questions (annexe 6.3) qui vous aideront à objectiver la tâche accomplie.

En résolvant les problèmes, vous devez tenir compte des exigences que voici :

• Il ne faut travailler qu’avec des fractions, c’est-à-dire que vous ne pouvez transformer aucune fraction en nombre décimal.
• Le quotient de la division ne peut contenir de reste; il vous faudra donc l’exprimer en fraction.
• La réponse doit être exprimée en nombre fractionnaire (par exemple, \(2\frac{1}{4}\) km) ou en nombre entier (par exemple, 2 km) et non en fraction impropre (par exemple, \(\frac{9}{4}\) km) ou en nombre décimal (par exemple, 2,25 km).

S’assurer que les élèves ont bien compris la tâche à accomplir en posant des questions telles que :

• Qui peut expliquer la tâche à effectuer dans ses propres mots? 
• Qui peut résumer les trois exigences? 
• Qu’est-ce qu’un nombre fractionnaire? 
• Qu’est-ce qu’une fraction impropre? 

Pendant l’apprentissage (Exploration)

Durée : environ 40 minutes

Grouper les élèves par deux et leur distribuer une copie de l’annexe 6.2. Les inviter à accomplir la tâche en utilisant des stratégies de leur choix.

Allouer suffisamment de temps pour permettre aux élèves de résoudre les problèmes et d’en discuter. Leur rappeler d’examiner la vraisemblance de leur solution avant de la confirmer.

Note : Afin de résoudre les problèmes A, B et C, les élèves reconnaîtront peut-être que la fraction est multipliée un certain nombre de fois puisque le contexte suggère l’utilisation répétée de la fraction. Pour déterminer le produit, les élèves utiliseront leur sens de la fraction ainsi que des représentations variées (par exemple, illustrations, suite d’additions, regroupements).

Voici les réponses aux problèmes :

• Le temps des activités : \(8\; \times \;\frac{3}{4}\) d’une période = 6 périodes
• La course de relais (1^re, 2^e, 3^e année) : \(12\; \times \;\frac{2}{5}\;\;{\rm{de \;\;\; km = }}\;\;\frac{{24}}{5}\;\;{\rm{de }\;\;\;{ km = }}\;4\frac{4}{5}\;\;{\rm{de \;\;\; km}}\)
• La course de relais (4^e, 5^e, 6^e année) \(10\; \times \;\;\frac{4}{3}\;\;{\rm{de \;\;\; km = }}\;\;\frac{{40}}{3}\;\;{\rm{de \;\;\; km = }}\;\;13\frac{1}{3}\;\;\;{\rm{de \;\;\; km}}\)

Circuler et observer les stratégies utilisées. Intervenir au besoin afin d’aider certaines équipes à cheminer, sans toutefois leur expliquer comment effectuer les calculs.

Lorsque les élèves ont fini de résoudre les trois problèmes, leur donner une copie de l’annexe 6.3 et leur demander de répondre aux questions.

Note : Le but des questions est de favoriser l’objectivation et de susciter des idées qui seront partagées lors de l’échange mathématique. Il n’est pas nécessaire que les élèves écrivent tout en détail, elles et ils doivent surtout être en mesure de discuter. L’échange mathématique les amènera à consolider leurs idées mathématiques et à les verbaliser.

Assigner ensuite, à chacune des équipes, une des questions de planification. Leur distribuer de grandes feuilles de papier et des marqueurs afin que chacune puisse consigner la démarche suivie pour résoudre le problème. Préciser aux élèves qu’elles et ils doivent aussi être en mesure de présenter et d’expliquer leur démarche au cours de l’échange mathématique. Leur allouer suffisamment de temps pour se préparer.

Afficher dans la classe les démarches des différentes équipes en les regroupant par question. Permettre aux élèves de circuler et d’observer celles de leurs camarades afin de voir la variété de stratégies utilisées.

Après l’apprentissage (Objectivation/Transfert de connaissances)

Durée : environ 20 minutes

Inviter, en suivant l’ordre des questions, une ou deux équipes à présenter leur démarche pour résoudre le problème assigné. Inciter les autres élèves à commenter la présentation et à alimenter la discussion en proposant d’autres stratégies pour résoudre le problème. Animer l’échange en posant des questions telles que :

• Qui peut expliquer la démarche de cette équipe? 
• Est-ce que d’autres équipes ont utilisé cette stratégie ou une stratégie similaire? 
• En quoi cette stratégie est-elle similaire à celle d’une autre équipe? 
• Qui peut expliquer la multiplication dans ce problème? 
• On entend souvent que lorsqu’on multiplie, le produit obtenu est plus grand que les termes de départ. En examinant nos problèmes, est-ce vrai? Qui peut me l’expliquer? 
• Une multiplication peut être représentée par une disposition rectangulaire. Comment pourrait-on l’utiliser pour représenter les multiplications de la situation d’apprentissage? 

La multiplication du problème A peut être représentée par la disposition rectangulaire suivante.

Image Un rectangle est divisé en huit rangées de quatre rectangles égaux. Les trois premiers petits rectangles de chaque rangée sont rouges tandis que les autres sont blancs. Au-dessus du grand rectangle il est écrit trois quarts.

Une multiplication peut être représentée par un ensemble de groupes. Par exemple, \(5\; \times \;6\) peut être interprété comme étant 5 groupes de 6 objets. Comment peut-on appliquer cette interprétation aux problèmes de la situation d’apprentissage? 

Dans le problème B, il s’agit de 12 sections de \(\frac{2}{5}\) du trajet. Alors, \(12\; \times \;\frac{2}{5}\) peut être interprété comme 12 groupes de \(\frac{2}{5}\) du trajet.

Amener les élèves à remarquer que chaque problème fait appel à la multiplication d’une fraction par un nombre naturel, opération que l’on peut effectuer à l’aide d’une addition répétée. Établir le lien entre les représentations semi-concrètes et les gestes posés de façon à faire ressortir l’émergence d’un algorithme. Par exemple, pour effectuer \(8\; \times \;\frac{3}{4}\):

• multiplier le numérateur (3) par le nombre naturel (8), soit \(8\; \times \;3\;{\rm{quarts}}\;{\rm{ = }}\;{\rm{24}}\;{\rm{quarts}}\) qui correspond à la fraction impropre \(\frac{{24}}{4}\);
• convertir la fraction impropre (\(\frac{{24}}{4}\)) en divisant le numérateur (24) par le dénominateur (4) pour déterminer la solution (6).

Encourager l’utilisation d’arguments clairs et précis ainsi que l’emploi d’un vocabulaire juste et de termes de causalité. Voici des exemples de raisonnement :

• Si dans un problème, on remarque qu’une fraction est présente un certain nombre de fois, on peut alors dire que la fraction est multipliée par ce nombre.
• Quand on multiplie une fraction par un nombre naturel, le dénominateur du produit sera le même que celui de la fraction. En effet, on a tant de fois un certain nombre de morceaux; par exemple, si on effectue \(3\; \times \;\frac{3}{4}\), la réponse se lira en quarts, car 3 fois 3 morceaux égalent 9 morceaux et dans cette situation, les morceaux correspondent à des quarts, donc \(\frac{9}{4}\).
• En effectuant le calcul \(8\; \times \;\frac{3}{4}\) d’une période, nous avons déterminé qu’il faudra \(\frac{{24}}{4}\) de période. Puisque \(\frac{4}{4}\) représente 1 période, il faudra alors 6 périodes (\(24\; \div \;4\)).

Terminer l’échange en présentant un problème tel que :

• Si le problème A mentionnait qu’il y a 15 stations et que le temps alloué à chacune correspond aux \(\frac{3}{5}\) d’une période, combien de périodes seraient requises? (9 périodes.) Comment avez-vous pu déterminer la solution? 

Différenciation pédagogique

L’activité peut être modifiée pour répondre aux différents besoins des élèves.

Suivi à la maison

À la maison, les élèves résolvent un ou deux problèmes de multiplication d’une fraction par un nombre naturel en utilisant deux représentations différentes, par exemple, un modèle de surface (cercle, rectangle), un modèle de longueur (droite numérique, segment de droite), une disposition rectangulaire ou un calcul. Par la suite, elles et ils présentent leurs représentations à un membre de la famille.

Exemples

• Serena veut créer un gâteau de noce qui nécessite l’équivalent de 7 gâteaux. Si la recette requiert \(\frac{3}{4}\) de tasse de sucre pour un gâteau, combien de tasses de sucre Serena aura-t-elle besoin pour confectionner le gâteau de noce?

(\(7\; \times \;\frac{3}{4}\;\;\;\;{\rm{de \;\;\; tasse}}\;\; = \;\frac{{21}}{4}\;\;\;{\rm{de \;\;\; tasse \;\;\; ou \;\; 5}}\frac{1}{4}\;\;{\rm{tasses}}\))

• Jean aime bien marcher en exagérant la grandeur de ses pas. En marchant de la sorte, chaque pas lui permet de parcourir une distance de \(\frac{2}{3}\) de mètre. Combien de mètres parcourt-il en effectuant 10 pas?

(\(10\; \times \;\frac{2}{3}\;\;{\rm{de \;\;\; mètre}}\;\;\; = \frac{{20}}{3}\;\;\;{\rm{de \;\;\; mètre \;\;\; ou }}\;\;\;6\frac{{2}}{3}\;\;\;{\rm{m}}\))

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 171-180 .

Activité 2 : la planification des olympiades – la suite (multiplier un nombre naturel par une fraction)

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Matériel

• annexe 6.4 (Autres questions de planification)

Faire un rappel de la situation d’apprentissage vécue au préalable. Préciser aux élèves qu’elles et ils devront répondre à d’autres questions ayant trait à d’autres éléments de la planification des olympiades.

Grouper les élèves par deux et leur distribuer une copie de l’annexe 6.4. Les inviter à accomplir la tâche en utilisant des stratégies de leur choix.

Voici les réponses aux problèmes :

• La grande course des élèves de 6^e année : \(\frac{3}{4}\) de 12 tours = 9 tours
• La grande course du cycle primaire : \(\frac{2}{5}\) de 12 tours = \(\frac{{24}}{5}\) de tour = \(4\frac{{4}}{5}\) tours
• La course des enseignants et des enseignantes : \(\frac{4}{3}\) de 12 tours = \(\frac{{48}}{3}\) de tour = 16 tours

Par la suite, entreprendre un échange mathématique. Faire ressortir que ces problèmes portent sur le concept de fraction d’un ensemble. Animer l’échange en posant des questions telles que :

• Qui peut expliquer la démarche de cette équipe? 
• Est-ce que d’autres équipes ont utilisé cette stratégie ou une stratégie similaire? 
• En quoi cette stratégie est-elle similaire à celle d’une autre équipe? 
• Ce groupe mentionne qu’il a divisé et ensuite qu’il a multiplié. D’où viennent cette division et cette multiplication?  (Pour déterminer la fraction d’un ensemble, on sépare l’ensemble selon le dénominateur (division) et on identifie le nombre de groupes selon le numérateur (multiplication). Le contenu de cette partie représente alors la fraction recherchée de l’ensemble.)

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 180-181.

Activité 3 : partageons! (opérations sur les fractions)

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Grouper les élèves par deux. Expliquer qu’il faut souvent partager également une quantité qui n’est qu’une partie de l’entier, c’est-à-dire une fraction du tout.

Remettre deux énoncés à chaque équipe et inviter les élèves à déterminer quelle part (exprimée en fraction du tout) recevra chaque personne, selon la situation. Mettre des modèles fractionnaires (par exemple, ensemble de cercles de fractions, ensemble de languettes fractionnées) à la disposition des élèves.

Note : Certains élèves illustreront la situation, d’autres recourront à des équations, d’autres encore représenteront les fractions à leur plus simple expression par des fractions équivalentes. Les élèves ont souvent de la difficulté à nommer la part en fonction du tout; par exemple, en ce qui a trait à l’énoncé \(\frac{3}{4}\) d’une pizza pour 2 personnes, elles et ils reconnaissent que chaque personne reçoit 1 morceau et un demi-morceau (\(3\; \div \;2\)), mais elles et ils doivent apprendre à mettre la quantité en relation avec le tout afin de reconnaître que chacune reçoit \(\frac{3}{8}\) (fraction) d’une pizza (tout).

Choisir les équipes en fonction de leurs stratégies et les inviter à présenter leurs solutions. Comparer les diverses stratégies utilisées. Faire remarquer que les énoncés représentent la division d’une fraction par un nombre naturel, s’apparentant ici au sens de partage.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 182-183.

Activité 4 : les marmitons

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Cette activité permet aux élèves de se rendre compte qu’en modifiant le rendement d’une recette, on doit multiplier ou diviser des quantités qui sont parfois exprimées en fraction.

Le personnel enseignant présente d’abord à la classe la situation suivante en ces termes :

Afin d’amasser les fonds nécessaires pour leur sortie de fin d’année, les élèves de 5^e année de l’école À tire-d’aile ont décidé de vendre des pâtisseries. Florence et ses amies ont choisi de préparer des muffins santé aux carottes, aux pommes et aux raisins. En lisant la recette, elles se rendent compte qu’une recette ne donne que 8 muffins. Or, elles veulent en préparer 2 douzaines.

Le personnel enseignant remet une copie de la recette aux élèves et en profite pour attirer leur attention sur le fait que les quantités sont exprimées en utilisant des mesures impériales.

Le personnel enseignant groupe les élèves par 2 et leur demande d’ajuster les quantités pour que l’équipe de Florence puisse préparer 2 douzaines de muffins. Il anime ensuite un échange afin de faire ressortir les difficultés encourues, les stratégies mises en œuvre, leurs différences et leurs ressemblances. Il est important de faire remarquer que la température et le temps de cuisson ne doivent jamais être modifiés dans une cuisson au four puisque la grosseur des muffins n’a pas été modifiée.

Le personnel enseignant propose ensuite de réduire la recette et alloue du temps pour permettre aux élèves de tenter de remanier la liste d’ingrédients afin qu’elle donne le nombre de muffins désiré. Tout comme pour la préparation précédente, cet exercice est suivi d’un bref échange pour faire ressortir les stratégies utilisées.

Comme il s’agit ici d’une véritable recette, on peut inviter les élèves à préparer, en classe ou à la maison, ces muffins santé, en modifiant la quantité d’ingrédients afin de répondre à un besoin précis.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 103-104.