B1.1 Représenter et comparer de très grands nombres et de très petits nombres, y compris à l’aide de la notation scientifique, et décrire de quelles façons ils sont utilisés dans la vie quotidienne.
Habileté : représenter des nombres
Les élèves doivent apprendre à représenter les nombres de diverses façons et à les reconnaître sous leurs multiples représentations. Ces habiletés les aident à établir des liens entre un nombre, sa représentation et la quantité qu’il représente. Il est donc essentiel que les élèves soient exposés à différentes représentations des nombres. Il importe aussi qu’elles et ils soient exposés à divers contextes qui les mènent à représenter un nombre ainsi qu’à passer d’un mode de représentation à un autre.
Représentations à l’aide de mots
Le nombre est une représentation abstraite d’un concept très complexe. C’est pourquoi le rapport entre la façon de nommer un nombre et la quantité qu’il représente n’est pas évident pour les élèves. Plusieurs adultes croient à tort que si les élèves savent compter, elles et ils comprennent de facto le sens de chacun de ces nombres. Pourtant, un ou une élève peut bien être en mesure de lire et de nommer un nombre, par exemple quarante-sept billions, sans vraiment avoir un sens de la quantité qu’il exprime.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 64-65.
Les grands nombres peuvent être exprimés sous forme de nombres décimaux en exprimant la valeur de position en mots. Par exemple, 36,24 billions, ce qui équivaut à \(36\;\;240\;\;000\;\;000\;\;000\) ou \( 36,24 \times 10^{12}\).
Lorsque les grands nombres sont écrits, ils sont parfois arrondis et peuvent être exprimés en utilisant une combinaison de nombres et de mots (par exemple, 37 020 005 205 devient 37 milliards).
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Représentations symboliques
Les nombres sont représentés symboliquement à l’aide des chiffres qui les composent. Ils s’écrivent de gauche à droite par tranches de trois chiffres qui constituent les billions, les milliards, les millions, les milliers et les unités. Chacune des tranches regroupe les centaines (c), les dizaines (d) et les unités (u).
Chaque tranche – milliers, millions, milliards, billions – est 1 000 fois plus grande que la précédente. Les tranches augmentent par des puissances de 1 000 (103).
Image Le tableau s’intitule Régularités des valeurs de position. Il présente les valeurs suivantes : billions,
milliards, millions, milliers, et une valeur inconnue. Chaque valeur possède les cases suivantes : cent, dix, un.
Pour les billions, la case cent présente les variables « n » exposant « x » et dix exposant 14. La case dix
présente les variables « n » exposant « x » et dix exposant 13. Et la case un présente les variables « n » exposant
« x » et dix exposant 12. our les milliards, la case cent présente les variables « n » exposant « x » et dix exposant
13. La case dix
présente les variables « n » exposant « x » et dix exposant dix. Et la case un présente les variables « n » exposant
« x » et dix exposant neuf. our les millions, la case cent présente les variables « n » exposant « x » et dix exposant
quatre. La case dix
présente les variables « n » exposant « x » et dix exposant point d’interrogation. Et la case un présente les
variables « n » exposant « x » et dix exposant cinq. our les milliers, la case cent présente les variables « n »
exposant « x » et dix exposant deux. La case dix
présente les variables « n » exposant « x » et dix exposant quatre. Et la case un présente les variables « n »
exposant « x » et dix exposant trois. our la valeur inconnue, la case cent présente les variables « n » exposant « x »
et dix exposant deux. La case dix
présente les variables « n » exposant « x » et dix exposant un. Et la case un présente les variables « n » exposant
« x » et dix exposant zéro.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Notes :
- En français, le terme « billion » n’a pas le même sens que le terme anglais billion. En français, un billion correspond à mille milliards (10 exposant 12) alors qu’en anglais il correspond à mille millions (10 exposant 9). En d’autres mots, le terme anglais billion correspond au terme français « milliard ».
- En français, l’écriture des nombres se fait en ajoutant un espace entre les tranches de trois chiffres (par exemple, 13 567 232). Quoique l’écriture des nombres à quatre chiffres sans utiliser d’espace est acceptée (par exemple, 3543), l’écriture avec un espace (par exemple, 3 543) est privilégiée.
Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 70.
Les nombres décimaux sont utilisés pour donner plus de précision à un nombre arrondi. Ainsi, le nombre 37 020 005 205 pourrait s’écrire 37,02 milliards.
Parfois, dans les diagrammes et les tableaux, l’unité représente des milliers. Ainsi, le nombre 7,238 milliards pourrait être représenté par 7 238 millions.
La notation scientifique utilise la multiplication et les puissances de dix pour représenter de très grands nombres de façon succincte. Un seul chiffre, autre que zéro, est placé à la gauche de la virgule, et des puissances de dix sont utilisées pour maintenir l’équivalence de la valeur.
- 57 000 s’écrit \(5,7\; \times \;{10^4}\) et signifie \(5,7\; \times \;10\; \times \;10\; \times \;10\; \times \;10\);
- 37 milliards s’écrit \(3,7\; \times \;{10^{10}}\);
- 21 465 billions s’écrit \(2,146\;5\; \times \;{10^{13}}\).
La notation scientifique permet également de représenter de très petits nombres, en utilisant des exposants négatifs.
- Si un exposant positif indique combien de fois il faut multiplier une base par 10, un exposant négatif indique combien de fois il faut diviser une base par 10.
- Par exemple, la lumière se déplace d’un kilomètre chaque 0,000 003 seconde, ou chaque 3 millionièmes de seconde. En notation scientifique, ce nombre s’écrit \(3\; \times \;{10^{{}^ - 6}}\) et signifie \(3\; \div \;10\; \div \;10\; \div \;10\; \div \;10\; \div \;10\; \div \;10\;\).
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Habileté : comparer des nombres
L’ordre de grandeur d’un grand nombre peut être compris en le comparant à d’autres nombres et quantités. Par exemple :
- 1 billion de secondes correspond à environ 32 000 ans;
- 1 million de secondes correspond à environ 11,5 jours;
- 1 milliard de secondes correspond à environ 32 ans.
Les nombres exprimés en notation scientifique peuvent être comparés en considérant le nombre de fois que le nombre décimal est multiplié ou divisé par dix. Plus il est multiplié par dix, plus le nombre est élevé. Plus il est divisé par dix, plus le nombre est petit.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Par exemple, en astronomie, la distance entre Saturne et le Soleil est de 837 000 000 km et celle entre Neptune et le Soleil est de 4,48 milliards de kilomètres. Afin de comparer ces distances, l’élève devra être capable, dans un premier temps, de lire les nombres présentés et par la suite, choisir la représentation qui facilitera cette comparaison. Ici, l’élève pourrait écrire ces nombres en notation scientifique pour ensuite les comparer.
Distance entre Saturne et le Soleil \( = \;8,37\; \times \;{10^8}\;\;{\rm{km}}\)
Distance entre Neptune et le Soleil \( = \;4,48\; \times \;{10^9}\;\;{\rm{km}}\)
Ainsi, les élèves pourront plus facilement comparer les nombres en remarquant que la distance entre Neptune et le Soleil est plus grande, puisque la puissance de 10 est élevée à l’exposant 9 contrairement à l’exposant 8 pour la distance entre Saturne et le Soleil.
Comparer des quantités et décrire leurs différences ou similitudes aident à comprendre l’ordre de grandeur d’un nombre, ou « combien » il représente.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Habileté : décrire de quelles façons les très grands nombres et les très petits nombres sont utilisés dans la vie quotidienne
Les contextes de la vie quotidienne peuvent fournir des occasions de développer une compréhension de l’ordre de grandeur des grands et petits nombres.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Le contexte est l’ensemble des informations entourant une situation donnée. Ces informations aident à cerner la situation dans laquelle les quantités sont utilisées et facilitent l’exercice d’un regard critique sur les nombres en question. En outre, le contexte facilite l’établissement de liens entre les nombres, les concepts mathématiques et le monde mathématisé. Pour toutes ces raisons, on préconise l’exploration des mathématiques en situation de résolution de problèmes.
Que veut dire 2 000 000 000 (deux milliards) au juste? On parle de 2 000 000 000 « quoi »? Bref, un nombre sans contexte a peu de sens. C’est pourquoi on doit lui adjoindre des unités (2 000 000 000 de personnes, de dollars, de km2…) si on veut qu’il soit compris. Les élèves du cycle primaire ont déjà réalisé des activités avec les nombres dans différents contextes en utilisant diverses unités. Au cycle moyen et intermédiaire, on doit maintenir cette contextualisation afin de développer le sens des quantités, et ce, avec de très grands nombres et de très petits nombres.
Un pas important à franchir est d’amener les élèves à comprendre que le même nombre représente la même quantité même si les contextes sont différents. Le nombre n’est qu’une représentation symbolique de la quantité. Si une province a une dette de 3 000 000 000 $, ou une colonie regroupe 3 000 000 0000 fourmis, ou qu’un pays ait 3 000 000 000 d’arbres sur son territoire, la quantité ne change pas. Pourtant, si on demande aux élèves si elles et s’ils croient qu’il y a plus de fourmis que d’arbres, un bon nombre risque de répondre qu’il y a plus d’arbres. Elles et ils se sont attardés à l’espace occupé par les objets plutôt qu’à la quantité d’objets (3 000 000 000).
Il faut aussi que les élèves reconnaissent que selon le contexte de la situation donnée, différentes interprétations peuvent être dégagées d’une même quantité. Par exemple, pour des jeunes, une somme de 10 000 000 000 $ (10 milliards de dollars) peut représenter une somme d’argent inimaginable. Cependant, en contexte, le sens du nombre invite à nuancer : ce nombre représente une énorme somme d’argent pour une famille, mais si ce 10 000 000 000 $ équivaut à la dette totale de fin d’année au Canada, ce nombre dans ce contexte représente une somme, à première vue, moins considérable. Le contexte change, mais la quantité demeure inchangée. De même, 100 000 blocs de bois représentent beaucoup de blocs, alors que 100 000 cheveux sur la tête équivalent à une chevelure moyenne. Ou encore, les élèves peuvent considérer que 13 ne représente pas une grande quantité, mais si on ajoute qu’il est le nombre de nos frères et sœurs, il prend une tout autre valeur. Ces exemples concrets et simples incitent à réfléchir et à analyser les quantités de façon critique.
Au cycle moyen et intermédiaire, la compréhension des nombres en contexte devient de plus en plus importante. Les élèves doivent commencer à porter des jugements critiques quant aux quantités et à faire preuve de discernement par rapport aux nombres. Les activités d’apprentissage doivent donc aider les élèves à développer d’autres habiletés, telles que reconnaître la vraisemblance d’un nombre donné, reconnaître qu’il s’agit d’une valeur exacte, ou au contraire, reconnaître qu’il s’agit d’un nombre approximatif provenant d’une estimation ou même d’un arrondissement. Le développement de ces habiletés peut être amorcé en ayant en classe des échanges sur le sens de nombres provenant de journaux et/ou de revues scientifiques et en discutant de leur signification réelle et de leur pertinence.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 31-32.
En 8e année, les élèves se familiarisent avec de très petits nombres et de très grands nombres. Notons que l’apprentissage et la découverte des très petits nombres et des très grands nombres sont très abstraits pour les élèves. Par conséquent, il est primordial d’amener l’élève à décrire leurs utilités, par exemple dans les domaines et contextes où ces nombres deviennent nécessaires, voire primordiaux (par exemple, en astronomie, en biologie moléculaire, en économie mondiale, en virologie, etc.) En plus, l’élève devra porter un jugement critique concernant la représentation (nombres exprimés en mots, en notation usuelle, en forme développée à l’aide de puissances de 10, en notation scientifique) la plus appropriée selon un contexte d’utilisation donné.
Exemple
- La masse d’une cellule humaine (fibroblaste) pèse 2,3 nanogrammes, qui est équivalent à 2,3×10-12 kilogrammes.
- Au recensement de 2021, la population du Canada était d’un peu plus de 38 millions d’habitants.
Connaissance : notation scientifique
Pour qu’un nombre soit exprimé en notation scientifique, il n’y a qu’un seul chiffre autre que zéro à gauche de la virgule décimale. En notation scientifique, 36 240 000 000 000 s’écrit \(3,624\; \times \;{10^{13}}\); \(36,24\; \times \;{10^{12}}\) n’est pas écrit en notation scientifique, car il y a deux chiffres à gauche de la virgule décimale.
- Le nombre 1 en notation scientifique est \(1\; \times \;{10^0}\).
- L’exposant de la base 10, en notation scientifique, indique le nombre de fois où le nombre décimal est multiplié ou divisé par 10, et non le nombre de zéro à inclure pour qu’un nombre soit écrit en notation usuelle.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Les très petits nombres peuvent également être représentés à l’aide de la notation scientifique. À partir de régularités et des connaissances antérieures, le personnel enseignant peut encourager les élèves à prolonger une suite comme la suivante :
\(\begin{array}{l}{10^3}\; = \;1\;000\\{10^2}\; = \;100\\{10^1}\; = \;10\\{10^0}\; = \;?\\{10^{{}^ - 1}}\; = \;?\\{10^{{}^ - 2}}\; = \;?\\{10^{{}^ - 3}}\; = \;?\end{array}\)
L’élève remarquera rapidement que plus l’exposant devient petit, plus le nombre devient rapidement plus petit. L’exposant négatif amène une division par 10 n ou une multiplication par un nombre décimal suivant cette même régularité mathématique. Cette régularité est comprise lorsque l’élève établit des liens entre les différentes façons d’écrire ce nombre et lui permettre de voir les équivalences entre les notations.
Exemple
\({10^{{}^ - 2}}\; = \;0,01\; = \;\frac{1}{{100}}\; = \;\frac{1}{{{{10}^2}}}\; = \;1,0\; \times \;{10^{{}^ - 2}}\)