GEEM - Habiletés et connaissances

B2.7 Multiplier et diviser des nombres entiers, à l’aide de stratégies appropriées, dans divers contextes.

Habileté : multiplier et diviser des nombres entiers, à l’aide de stratégies appropriées, dans divers contextes

L’élève de 8^e année multiplie et divise des nombres entiers en utilisant différentes représentations (jetons bicolores, droite numérique, suites) et des stratégies de calcul qui lui permettront de généraliser des règles de calcul.

L’utilisation de jetons bicolores et de la droite numérique est essentielle pour illustrer la multiplication et la division de nombres entiers. En utilisant ces modèles, l’élève se crée des représentations visuelles des opérations à effectuer et peut mieux comprendre la raison d’être des différentes règles qui régissent la multiplication et la division des nombres entiers. Plutôt que d’enseigner des règles, il est préférable que l’élève, à la suite de certaines observations, puisse les généraliser. Les règles de calcul concernant les nombres entiers constituent le point d’arrivée et non le point de départ de l’enseignement et de l’apprentissage de ces nombres.

Source : Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et sens du nombre/Mesure, 8^e année, Module 3, Série 1, Introduction, p. 15.

Multiplication

Certaines règles de la multiplication de nombres naturels, de fractions et de nombres décimaux s’apprêtent aux nombres entiers. Cependant, l’élève découvrira que les signes des nombres entiers exercent une influence sur le signe du produit.

Source : inspiré du CFORP, Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et sens du nombre/Mesure, 8^e année, Module 3, Série 1, Activité 4 Multiplication de nombres entiers, p. 87.

Exemples

Légende :

Un jeton blanc égale un. Un jeton rouge égale moins un. Un jeton blanc et un jeton rouge égale zéro.

\(3\; \times \;2\)

Représentations à l’aide de diverses conventions : \(( 3)( 2)\); \(( 3) \cdot ( 2)\)

Représentation à l’aide de mots : 3 groupes de 2

Représentation à l’aide de jetons bicolores :

L’illustration présente trois ensembles de deux jetons blancs.

Représentation à l’aide d’une droite numérique :

Représentation symbolique : \(3\; \times \;2\; = \;6\;{\rm{ou}}\;{\rm{2}}\;{\rm{ + }}\;{\rm{2}}\;{\rm{ + }}\;{\rm{2}}\;{\rm{ = }}\;{\rm{6}}\)

\(3\; \times \; (- 2)\)

Représentations à l’aide de diverses conventions : \(( 3)(- 2)\); \(( 3) \cdot (- 2)\)

Représentation à l’aide de mots : 3 groupes de \((- 2)\)

Représentation à l’aide de jetons bicolores :

L’illustration présente trois ensembles de deux jetons rouges.

Représentation à l’aide d’une droite numérique :

Représentation symbolique : \(3\; \times (- 2)\; = \;(- 6)\;{\rm{ou}}\; (- 2)\; + \; (- 2)\; + (- 2)\; = \; (- 6)\)

\( (- 3)\; \times \;2\)

L’élève peut utiliser la propriété de la commutativité et effectuer \(2\; \times (- 3)\), ce qui donne la même réponse.

Représentations à l’aide de diverses conventions : \((- 3)( 2)\); \((- 3) \cdot ( 2)\)

Représentation à l’aide de mots : l’opposé de 3 groupes de 2

Représentation à l’aide de jetons bicolores :

L’illustration présente trois ensembles de deux jetons blancs, reliés par une flèche à trois ensembles de deux jetons rouges.

Représentation à l’aide d’une droite numérique :

Représentation symbolique : \( (- 3)\; \times \;2\; = (- 6)\)

\( (- 3)\; \times \; (- 2)\)

Représentations à l’aide de diverses conventions : \((- 3)( - 2)\); \((- 3) \cdot (- 2)\)

Représentation à l’aide de mots : l’opposé de 3 groupes de \( (- 2)\)

Représentation à l’aide de jetons bicolores :

L’illustration présente trois ensembles de deux jetons rouges, reliés par une flèche à trois ensembles de deux jetons blancs.

Représentation à l’aide d’une droite numérique :

Représentation à l’aide d’une régularité :

Représentation symbolique : ^-3 × ^-2 = 6

Source : Grandes idées pour l’enseignement des mathématiques – 9 à 14 ans, Marian Small, p. 102.

Certaines généralisations que l’élève peut faire :

Il y a des conventions pour exprimer la multiplication de manière à rendre les expressions algébriques plus claires.
Un entier positif multiplié par un entier positif a un résultat positif.
Un entier positif multiplié par un entier négatif a un résultat négatif.
Un entier négatif multiplié par un entier positif a le même résultat qu’un entier positif multiplié par un entier négatif puisque la propriété de la commutativité s’applique à la multiplication de nombres entiers.
Lorsque le premier facteur est positif, il peut représenter le nombre de groupes et l’autre entier positif ou négatif peut représenter la quantité dans chaque groupe.
La multiplication de nombres entiers peut être vue comme une addition répétée puisqu’elle contient des groupes égaux répétés.
Des régularités peuvent être utilisées pour déterminer qu’un entier négatif multiplié par un entier négatif a un résultat positif. Si on prend l’exemple de \( (- 3)\; \times (- 2)\), lorsque le premier facteur diminue de 1, le produit augmente de (-2) de moins qui fait diminuer le produit. Pour prolonger la suite, les produits doivent être positifs.

Source: inspiré de Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Lorsque l’entier est négatif, on peut dire que c’est l’opposé de l’entier positif (par exemple, (-3) est l’opposé de 3).
Un tableau synthèse :

x	Entier positif	Entier négatif
Entier positif	Produit positif	Produit négatif
Entier négatif	Produit négatif	Produit positif

Division

Certaines règles de la division de nombres naturels, de fractions et de nombres décimaux s’apprêtent aux nombres entiers. Cependant, l’élève découvrira que les signes des nombres entiers exercent une influence sur le signe du quotient.

Source : adapté du CFORP, Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et sens du nombre/Mesure, 8^e année, Module 3, Série 1, Activité 4 Multiplication de nombres entiers, p. 87.

La compréhension de la division des nombres entiers requiert une compréhension approfondie de cette opération et de sa relation avec la multiplication.

Source : adapté du Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^eannée, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Exemples

Légende :

\(6\; \div \;2\;\)

Représentations à l’aide du symbole de division ou de la notation fractionnaire : \(6\; \div \;(^+ 2)\); \(\frac{6}{2}\;{\rm{ou}}\;\frac{6}{^+2}\)

Représentation à l’aide de mots :

Groupement : Combien de groupes de 2 se trouvent dans 6?
Partage : Combien chacun en reçoit-il si 6 (biscuits) sont partagés entre 2 (personnes)?

Représentation à l’aide de jetons bicolores (groupement) :

L’illustration montre deux ensembles de trois jetons blancs.

Représentation à l’aide d’une droite numérique (groupement) :

Une droite numérique est graduée de moins six à six. Au-dessus de la droite, une flèche relie zéro à trois en indiquant trois. Et une flèche relie trois à six en indiquant trois.

Représentation à l’aide d’une multiplication comme opération inverse : \(2\; \times \;?\; = \;6\)

Représentation symbolique : \(6\; \div \;2\; = \;3\)

\(6\; \div \; (- 2)\;\)

Représentations à l’aide du symbole de division ou de la notation fractionnaire : \(6\; \div \;(- 2)\); \(\frac{6}{{^-2}}\;\)

Utiliser la relation inverse entre la multiplication et la division pour réécrire cet énoncé comme \(\left( {- 2} \right)\; \times \;?\; = \;\left( {+6} \right)\).

Représentation à l’aide de jetons bicolores :

L’opposé de deux groupes de 3 jetons blancs

L’illustration montre deux ensembles de trois jetons blancs. Une flèche les relie à deux ensembles de trois jetons rouges.

Représentation à l’aide d’une droite numérique :

Représentation à l’aide d’une multiplication comme opération inverse : \( (- 2)\; \times \;?\; = \;6\;{\rm{ou}}\;{\rm{?}}\; \times \; (- 2)\; = \;6\)

Représentation symbolique : \(6\; \div \; (- 2)\; = \; (- 3)\)

\( (- 6)\; \div \;2\;\)

Représentations à l’aide du symbole de division ou de la notation fractionnaire : \(( - 6)\; \div \;( 2)\); \(\frac{{- 6}}{2}\;{\rm{ou}}\;\frac{{- 6}}{^+2}\)

Représentation à l’aide de mots :

Partage : Combien chacun en reçoit-il si 6 jetons rouges (-6) est partagé en 2 groupes?

Représentation à l’aide de jetons bicolores :

L’illustration montre deux ensembles de trois jetons rouges.

Représentation à l’aide d’une droite numérique :

Représentation à l’aide d’une multiplication comme opération inverse : \(2\; \times \;?\; = \; (- 6)\)

Représentation symbolique : \( (- 6)\; \div \;2\; = \; (- 3)\)

\( (- 6)\; \div \; (- 2)\;\)

Représentations à l’aide du symbole de division ou de la notation fractionnaire : \((- 6)\; \div \;( - 2)\); \(\frac{{- 6}}{{- 2}}\;\)

Représentation à l’aide de mots :

Partage : Combien de groupes de (-2) se trouvent dans (-6)?

Représentation à l’aide de jetons bicolores (groupement) :

L’opposé de deux groupes de 3 jetons rouges

Représentation à l’aide d’une droite numérique :

Représentation à l’aide d’une multiplication comme opération inverse : \( (-2)\; \times \;?\; = \; (- 6)\;\;\;{\rm{ou}}\;\;\;{\rm{?}}\; \times \; (- 2)\; = \; (- 6)\)

Représentation symbolique : \( (- 6)\; \div \; (- 2)\; = \;3\)

Certaines généralisations que l’élève peut faire :

Un nombre entier positif divisé par un nombre entier positif donne un résultat positif.
Un nombre entier positif divisé par un nombre entier négatif donne un résultat négatif.
Un nombre entier négatif divisé par un nombre entier positif donne un résultat négatif.
Un nombre entier négatif divisé par un nombre entier négatif donne un résultat positif.

Source : adapté du Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^eannée, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Lorsque l’entier est négatif, on peut dire que c’est l’opposé de l’entier positif (par exemple, (-3) est l’opposé de 3).

Un tableau synthèse :

÷	Entier positif	Entier négatif
Entier positif	Quotient positif	Quotient négatif
Entier négatif	Quotient négatif	Quotient positif

Connaissance: nombres entiers

Les nombres entiers appartiennent à l’ensemble \(\mathbb{Z}\).

\(\mathbb{Z}\)= {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…}

Chaque nombre entier est formé d’un nombre et d’un signe (– ou +).

Chaque nombre entier a un opposé (par exemple, (–3) et 3). L’opposé d’un nombre positif est un nombre négatif de même quantité (valeur absolue), et vice versa.

Les signes + et – sont associés au nombre. Ce ne sont pas des signes d’opération. Ainsi, le nombre (–4) se lit : l’opposé de 4 ou négatif 4.

Il n’y a pas d’espace entre le signe négatif (–) et le nombre 4, puisqu’il ne s’agit pas de l’opération de soustraction.

Zéro n’est ni un nombre positif ni un nombre négatif, car il est le seul nombre à être son propre opposé.

Sur la droite numérique, les nombres sont par ordre croissant de la gauche vers la droite et par ordre décroissant de la droite vers la gauche.

Source : adapté du CFORP, Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et sens du nombre/Mesure, 7^e année, Module 3, Série 1, Activité 1 Des nombres entiers sur la droite numérique, p. 35-37.