E2.2 Expliquer la relation entre les centimètres et les mètres comme unités de mesure de longueur, et utiliser des repères représentant ces unités pour estimer des longueurs.
Habileté : expliquer la relation entre les centimètres et les mètres comme unités de mesure de longueur
Les diverses unités de mesure conventionnelles associées à l’attribut longueur font partie d’un système décimal d’unités. On utilise ce fait mathématique pour établir des relations d’équivalence entre ces unités. Par exemple, explorer des activités de mesure de longueur qui amènent les élèves à découvrir la relation inverse entre le centimètre et le mètre qui, par la suite, mèneront à décrire la généralisation qu’il y a toujours 100 centimètres dans un mètre.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 64.
- Les unités conventionnelles permettent de communiquer des mesures avec fiabilité. Le centimètre et le mètre sont des unités métriques conventionnelles de mesure de la longueur. Il y a 100 centimètres dans 1 mètre.
- La mesure d’une quantité continue, comme la longueur, est toujours approximative. Plus l’unité de mesure utilisée est petite, plus la mesure sera exacte. Si des unités de différentes grandeurs sont utilisées pour obtenir une mesure plus exacte d’un objet, chaque unité est dénombrée et traitée séparément.
- Par exemple, pour mesurer une longueur entre 1 mètre et 2 mètres, on pourrait utiliser une combinaison de mètres et de centimètres ou seulement des centimètres, ou encore arrondir la mesure au mètre près.
Remarques :
- En 2e année, les élèves n’utilisent pas de nombres décimaux pour mesurer.
- Lorsqu’on dispose des repères familiers pour les centimètres et les mètres, il est plus facile d’estimer la longueur des objets.
Source : Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.
Habileté : utiliser des repères pour des longueurs
Développer le sens de la mesure chez les élèves, requiert de développer des habiletés très importantes telles que s’approprier des repères, estimer, visualiser, résoudre des situations-problèmes, raisonner et communiquer.
En mesure, les repères sont des images mentales qui représentent des grandeurs ou des unités de mesure non conventionnelles ou conventionnelles selon des schèmes de référence donnés ou personnels.
Si les repères peuvent varier d’une personne à l’autre, tous revêtent une signification particulière pour celle ou celui qui les utilise pour estimer une mesure quelconque.
Exemple
Pour une ou un élève, la longueur de sa voiture miniature devient un repère significatif pour estimer la mesure de divers objets familiers. Par la suite, elle ou il pourra y associer la longueur appropriée, soit 15 centimètres.
Image Le visage d’un élève associé à une bulle. Dans la bulle ,on peut lire : « Ma boite à dîner
mesure environ trois longueurs de voitures ». Il y a également une représentation de la boite à dîner, et les trois
petites voitures qui ont servi d’unités de mesure non conventionnelle
Progression en matière d’utilisation de repères
Au fil de leurs explorations en mesure, les élèves apprennent à faire une utilisation de plus en plus complexe et abstraite des repères. Selon Joram (2003, p. 65-66), cette progression est caractérisée par trois niveaux et le personnel enseignant doit aider les élèves à cheminer au travers de chacun d’eux.
Au premier niveau, comme illustré dans l’exemple précédent, les élèves se servent d’objets ou de matériel de manipulation autant comme repères que comme unités de mesure non conventionnelles. Cette utilisation de repères concrets est essentielle à la construction d’un repère au sens pur. Elle convient bien aux élèves du cycle primaire, alors que leur capacité à construire et à conserver des images mentales exactes est en développement. À ce niveau, les élèves peuvent aussi utiliser les repères concrets pour représenter des unités de mesure conventionnelles.
Exemple
La largeur de mon auriculaire égale presque la longueur d’un centimètre.
Si n’importe quel objet peut servir de repère concret, le personnel enseignant doit s’assurer que son utilisation est appropriée. Le tableau ci-dessous présente quelques repères concrets, leur avantage ainsi que certains points à considérer avant d’en proposer ou d’en accepter l’utilisation.
|
Repères concrets |
Avantages |
Considérations |
|
Parties du corps (par exemple, main, pied) 
|
Elles sont à la disposition de tous les élèves en tout temps. |
Elles ne constituent pas toujours des repères concrets idéaux en raison de la variation de mesure résultant de la croissance des élèves. |
|
Matériel de manipulation ( par exemple, cube emboitable, tombone) 
|
Il s'obstient facilement en grande quantité et à un coût raisonnable. |
|
|
Objets personnels (par exemple, figurine, peluche, petite voiture, espadrille) 
|
Ils sont significatifs pour les élèves. |
|
Au deuxième niveau, les élèves remplacent les repères concrets par des images mentales qu’elles et ils utilisent comme référence pour estimer une mesure (par exemple, l’utilisation de l’image mentale de la largeur de l’auriculaire pour estimer une longueur en centimètres).
Exemple
image Le visage d’une élève, une bulle de parole lui est associée. On peut y
lire : « Je crois que l’épaisseur de mon livre est d’environ 4 centimètres, car elle correspond à peu près à 4 fois la
largeur de mon auriculaire » . Une bulle de pensées est associée à l’élève, on peut y voir : « le livre et une double
flèche à l’épaisseur, 4 centimètres
À ce niveau, les élèves peuvent percevoir chaque unité comme un objet particulier, sans en comprendre pleinement le sens dans le cadre d’un système de mesure.
Par exemple, l’élève perçoit que l’épaisseur du livre est de 4 centimètres, mais ne comprend pas que cela équivaut à 0,04 mètre. L’utilisation répétée d’images mentales de repères concrets favorise la compréhension du sens et de la grandeur des diverses unités de mesure conventionnelles et de leurs multiples (par exemple, centimètre, mètre).
Au troisième niveau, les élèves intègrent les repères à un système de mesure, ce qui leur permet notamment d’établir des relations entre diverses unités de mesure conventionnelles d’un même attribut (par exemple, centimètre, mètre) et de donner un sens aux stratégies de conversion entre ces unités.
Exemple
Conception de repères
Puisque les repères sont essentiellement des images mentales, leur conception est intimement liée à l’habileté à visualiser. Les élèves n’ont généralement pas trop de difficulté à concevoir des repères appropriés pour l’attribut longueur (par exemple, image de la longueur d’un côté d’un petit cube emboîtable pour représenter 1 centimètre, de la longueur d’une règle pour tableau pour représenter 1 mètre).
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 12-15.
HABILETÉ : ESTIMER DES LONGUEURS
Il est important de développer des repères chez les élèves avant d’explorer l’habileté à estimer.
« Pour certains, estimer n’est rien de plus que deviner […]. Cependant, associer l’estimation au simple fait de deviner, c’est nier le raisonnement qui la sous-tend. Formuler une estimation précise requiert souvent le recours à des stratégies de résolution de problèmes complexes et à l’application judicieuse de principes mathématiques. » [traduction libre]
(Hodgson, Simonsen, Luebeck et Andersen, 2003, p. 226)
Les adultes, tout comme les élèves, doivent déterminer des grandeurs de façon approximative dans une variété de situations quotidiennes; autrement dit, elles et ils doivent estimer (par exemple, estimer le nombre de trombones qu’il faut pour mesurer la largeur de la table). En mesure, estimer est un processus fondé sur des renseignements visuels et sur des expériences antérieures qui permet de porter un jugement quant à la grandeur approximative d’un attribut quelconque (par exemple, longueur, temps) sans recourir à une stratégie de mesure.
Selon Van de Walle et Lovin (2008, p. 296), il importe de faire de la place à l’estimation dans les activités de mesure parce que l’estimation :
- met l’accent sur l’attribut à mesurer et sur la connaissance des procédures (par exemple, pour estimer la largeur d’une table à l’aide de pailles, il faut d’abord penser à ce que signifie la largeur [attribut longueur] et ensuite, visualiser une façon d’utiliser les pailles comme unité de mesure d’aire);
- favorise la motivation intrinsèque (par exemple, les élèves veulent vérifier à quel point leur estimation est juste);
- permet de se familiariser avec les unités de mesure conventionnelles (par exemple, pour estimer la hauteur du gymnase en mètres, il faut des repères qui correspondent à un mètre).
Au cycle primaire, les élèves effectuent des estimations en utilisant principalement des unités de mesure non conventionnelles et conventionnelles. Les élèves développent l’habileté à estimer en ayant recours à leurs sens ou à leurs connaissances antérieures (par exemple, estimer le temps qu’il leur faudrait pour courir le 200 mètres en se référant au temps qu’elles et ils mettent pour courir le 100 mètres).
Cependant, puisque les élèves n’ont pas tous vécu les mêmes expériences, elles et ils doivent effectuer en classe plusieurs activités d’estimation portant sur des unités de mesure non conventionnelles ou conventionnelles afin de développer le sens de la mesure (par exemple, calculer à plusieurs reprises la longueur de plusieurs objets à l’aide de leur auriculaire permet de savoir ce à quoi correspond 1 centimètre).
Il importe donc que le personnel enseignant planifie des interventions et un enseignement formel axé sur des stratégies d’estimation particulières. Van de Walle et Lovin (2008, p. 296-297) proposent l’enseignement de quatre stratégies d’estimation. Ces stratégies sont présentées dans le tableau suivant.
|
Stratégie |
Exemple |
|
Développer et utiliser des repères pour des unités de mesure importantes Les élèves qui se sont constitué un répertoire de repères et qui les utilisent régulièrement réussissent à estimer avec plus d’efficacité et d’aisance. L’estimation de la mesure de l’attribut se fait en le comparant avec un repère. |
Les élèves utilisent une quantité connue telle que la longueur d’une paille ou la largeur de leur pouce pour déterminer la longueur de plusieurs objets usuels de la classe ou de la maison. |
|
Décomposer l’objet en parties Dans certains contextes, il est plus facile d’estimer la grandeur d’un objet en estimant d’abord la grandeur de plus petites sections facilement identifiables. L’estimation de la mesure de l’attribut correspond à la somme de la grandeur de chacune des sections (concept d’additivité). |
Pour estimer la hauteur d’une tour créée par les élèves de la maternelle, les élèves de la 2e année déterminent que chaque bloc de la tour mesure environ 20 centimètres. En supposant que tous les blocs sont de la même grandeur, les élèves peuvent alors estimer que la tour mesure environ 120 centimètres. 
|
|
Utiliser des subdivisions Si l’objet à mesurer ne comporte pas d’éléments qui suggèrent une façon de le décomposer en parties, on peut d’abord le diviser mentalement ou concrètement en demis. On peut ensuite diviser une de ces moitiés à nouveau en demis et répéter ainsi le processus jusqu’à l’obtention d’une section dont on peut estimer la mesure. |
Pour estimer la longueur d’une ficelle ou d’un ruban, les élèves peuvent la plier en deux à répétition jusqu’à ce qu’elles et ils obtiennent une longueur relativement petite. Il leur suffit alors d’estimer la longueur de cette section, puis de multiplier le résultat par le nombre de fois qu’elle a été pliée. |
|
Faire des itérations concrètement ou mentalement L’itération désigne l’acte de placer, à plusieurs reprises et d’une manière ordonnée, une même unité de mesure d’un attribut quelconque. L’estimation de la mesure de l’attribut correspond au nombre de fois que l’unité est placée. |
Pour estimer la taille d’une ou d’un élève en utilisant une paille comme unité de mesure, les élèves peuvent tenter de visualiser le nombre de fois qu’une paille peut être placée tout au long de la hauteur de cette personne sans faire de chevauchements ni laisser d’espaces. |
Lorsque les élèves effectuent des activités d’estimation de façon régulière, elles et ils se rendent compte qu’il n’y a pas qu’une seule méthode efficace d’estimation. Le personnel enseignant doit donc leur proposer de fréquentes activités d’estimation ayant trait aux attributs mesurables. Ces activités s’avèrent pertinentes si les élèves discutent, justifient et expliquent la façon de parvenir à leurs résultats. Les explications et les justifications des estimations que font les élèves permettent au personnel enseignant de connaître et même d’évaluer leur compréhension des concepts et des procédures en mesure.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 16-20.
Pour l’attribut longueur, les élèves doivent visualiser un espace à une dimension, c’est-à-dire une image mentale d’une ligne droite ou courbe. Par exemple, dans une situation où il est question de déterminer le périmètre d’une figure donnée, les élèves doivent visualiser qu’il s’agit de déterminer la mesure de chacun des côtés qui correspond à la longueur de la ficelle placée autour de cette figure. Les élèves doivent aussi reconnaître que, dans certaines situations, l’attribut longueur peut prendre un autre nom, par exemple :
- la hauteur d’une montagne;
- la largeur d’un prisme;
- l’épaisseur d’un gâteau;
- la taille d’une personne;
- la profondeur d’un lac;
- le périmètre d’une boîte.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 21
CONNAISSANCE : RELATION INVERSE (CENTIMÈTRES ET MÈTRES)
Le nombre d’unités requis pour déterminer la mesure d’un attribut est inversement proportionnel à la grandeur de l’unité de mesure utilisée. Autrement dit :
- plus l’unité de mesure utilisée est petite, plus le nombre d’unités requis pour déterminer la mesure de l’attribut est grand;
- plus l’unité de mesure utilisée est grande, plus le nombre d’unités requis pour déterminer la mesure de l’attribut est petit.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3e année, p. 61.
« Combien de mètres peut-on placer bout à bout pour mesurer la longueur d’un mur d’une classe? Si on mesure la longueur d’un mur de ta classe en centimètres, y aura-t-il plus de centimètres ou de mètres? Explique ta réponse. »
(Le mètre est une unité de mesure plus grande que le centimètre, un mètre contient 100 centimètres; alors, il en faut moins pour mesurer la longueur de la classe. Un centimètre est une unité de mesure plus petite qu’un mètre, il en faut plus pour mesurer la longueur de la classe. Donc, la longueur de la classe est de 8 mètres ou de 800 centimètres.)
Source : Fiche de la maternelle à la 3e année Attribut longueur, p. 4.
CONNAISSANCE : REPÈRE
En mesure, les repères sont des images mentales qui représentent des grandeurs ou des unités de mesure non conventionnelles ou conventionnelles selon des schèmes de référence donnés ou personnels.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3e année, p. 12.