B2.5 Représenter et résoudre des problèmes relatifs à la multiplication en tant qu’addition répétée de groupes égaux, y compris des groupes de un demi et de un quart, à l’aide d’une variété d’outils et de schémas.
Habileté : représenter et résoudre des problèmes relatifs à la multiplication en tant qu’addition répétée
Modélisation et dénombrement
Au début, les élèves ont habituellement besoin de modéliser les faits en utilisant leurs doigts ou des objets. Dans le cas de la multiplication, les élèves modélisent ces opérations au moyen d’objets, de traits de dénombrement ou de dessins pour représenter des objets organisés par groupes pour ensuite dénombrer ces objets afin de trouver une réponse. Elles et ils utilisent ces modèles afin de trouver une solution à des problèmes tels que « Trois bols contiennent des pommes. Chaque bol contient cinq pommes. Combien y a-t-il de pommes en tout? » Les élèves pourront dessiner les bols de pommes et dénombrer les pommes dessinées afin de déterminer le nombre total de pommes.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 12.
Pour aborder la multiplication, les élèves doivent comprendre d’autres concepts mathématiques, notamment savoir que la multiplication peut s’interpréter comme une addition répétée. Elles et ils doivent aussi être en mesure de créer des groupes ou des ensembles de taille égale.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 8.
Effet des opérations
Chaque opération produit un effet sur les quantités en cause. Selon l’opération, certaines quantités augmentent ou diminuent. Elles peuvent augmenter ou diminuer de beaucoup ou de peu. Suivre l’effet des opérations sur les nombres permet aux élèves d’établir des liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération.
On peut comparer l’effet produit par une addition à celui produit par une multiplication. Comparativement à la multiplication, l’addition fait augmenter un nombre de peu. Lorsque, par exemple, le nombre 2 est multiplié par 8, on obtient 16, alors que si on lui ajoute 8, on n’obtient que 10. Les gens qui possèdent un bon sens des opérations reconnaissent l’effet des opérations sur les nombres naturels, mais les élèves en apprentissage sont souvent impressionnées et impressionnés par l’effet, par exemple, de la multiplication. Une mise en garde s’impose : il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou les fractions peuvent avoir des effets différents que les effets sur les nombres naturels. Dans certains cas, l’effet peut même être l’inverse. Si l’on multiplie, par exemple, un nombre naturel par un autre nombre naturel, le produit est plus grand que les deux facteurs (par exemple, si l’on multiplie 3 par 6, le produit 18 est plus grand que 6 et 3), alors que si l’on multiplie une fraction propre par un nombre naturel, le produit est plus petit qu’un des deux facteurs (par exemple, si l’on multiplie \(\frac{1}{2}\) par 6, le produit 3 est plus petit que 6).
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 90 et 91.
Au départ, la multiplication représente l’addition d’une même quantité répétée un certain nombre de fois. De façon abstraite, la multiplication est composée de deux facteurs qui donnent un produit.
L’équation suivante est présentée : trois multiplié par deux égale six. Sous le chiffre trois, il est écrit facteur. Sous le chiffre deux, il est écrit facteur. Et sous le chiffre six, il est écrit produit.
Pour bien assimiler la multiplication, les élèves doivent comprendre que les deux facteurs ne jouent pas le même rôle. Fréquemment, une phrase mathématique comme 3 × 2 se lit « trois fois deux ». Dans cette interprétation, le facteur 3 représente trois groupes, alors que le facteur 2 représente deux éléments dans chaque groupe.
La même phrase mathématique 3 × 2 peut aussi être interprétée en utilisant les mots « multiplié par ». Alors, 3 × 2 se lit « trois multiplié par deux », ce qui crée plutôt l’image de groupes de trois, deux fois.
Ces deux façons d’interpréter la phrase mathématique sont correctes. Le contexte d’où provient la phrase mathématique permettrait de préciser la représentation qui lui correspond.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 80.
Problèmes écrits relatifs à la multiplication
Les élèves acquièrent une bonne compréhension de la multiplication ainsi que des relations entre les nombres en résolvant des problèmes écrits. Les types de problèmes présentés ci-dessous, au moyen d’exemples, peuvent aider les élèves à percevoir les faits numériques de base relatifs à la multiplication de diverses façons, à l’aide de problèmes de groupes égaux. Le recours aux problèmes pour présenter les faits numériques de base oblige les élèves à raisonner pour trouver des solutions, ce qui leur permet de développer un meilleur sens des opérations.
Les exemples de problèmes écrits ci-dessous contiennent des nombres composés d’un chiffre. Les structures des trois types de problèmes écrits se prêtent aussi aux nombres à plusieurs chiffres. Les problèmes sont représentés à l’aide de réglettes CuisenaireMC.
Problèmes de groupes égaux
Une réglette Cuisenaire orange valant dix unités repose sur quatre réglettes Cuisenaire rouges valant chacune deux unités; deux à gauche, deux à droite, et un espace vide au milieu où il y a trois petits points. Cela forme un rectangle. Sur la première réglette rouge à gauche, il est écrit « Taille des groupes ». Au-dessus de la réglette orange, il y a une accolade qui dit « Résultat », et en dessous des réglettes rouges, il y a une accolade qui dit « Nombre de groupes ».
- Groupes égaux : Tout inconnu (multiplication)
Julie a acheté 5 livres pour ses camarades. Chaque livre lui a coûté 2 $. Combien Julie a-t-elle dépensé pour tous ces livres?
Une réglette orange repose sur cinq plus petites réglettes rouges toutes de taille identique, formant un rectangle. Sur la réglette orange, il y a un point d’interrogation. Au-dessus, il y a une accolade qui dit « Résultat inconnu ». Sur chaque réglette rouge, il est écrit « deux dollars ». En dessous, une accolade indique « cinq groupes ».
- Groupes égaux : Nombre de groupes inconnu (répartition égale)
Julie a acheté 10 livres pour ses camarades et prépare des sacs-cadeaux. Elle met 2 livres dans chaque sac. Combien de sacs-cadeaux Julie a-t-elle utilisés?
Une réglette orange repose sur cinq plus petites réglettes rouges toutes de taille identique, ce qui forme un rectangle. Sur la réglette orange, il y a un le nombre dix. Sur chaque réglette rouge, il y a le chiffre deux. En dessous, une accolade indique un point d’interrogation.
Les équations suivantes sont placées l’une sous l’autre : deux plus deux égale quatre. Quatre plus deux égale six. Six plus deux égale huit. Huit plus deux égale dix. Tous les chiffres deux sont entourés ensemble au crayon rouge pour les regrouper. En dessous, il est écrit : « J’ai additionné deux cinq fois. Ou dix divisé par deux égale point d’interrogation ou point d’interrogation multiplié par deux égale dix ».
- Groupes égaux : Taille des groupes inconnue (partage)
Julie a 10 livres. Elle veut les donner à 5 de ses camarades. Combien de livres chaque camarade recevra-t-il?
Une réglette orange repose sur cinq plus petites réglettes rouges qui sont toutes de taille identique, ce qui forme un rectangle. Sur la réglette orange, il y a un le nombre dix. Sur chaque réglette rouge, il y a un point d’interrogation. À côté des réglettes rouges, il est écrit « taille des groupes inconnue ». En dessous des réglettes, une accolade dit : « cinq groupes ». Au bas, il est écrit : pont d’interrogation plus point d’interrogation, plus point d’interrogation plus point d’interrogation plus point d’interrogation égale dix ou cinq multiplié par point d’interrogation égale dix.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 10 et 11.
Connaissance : problèmes de groupes égaux
Les problèmes de groupes égaux sont des problèmes qui impliquent des ensembles de quantité égale. Dans ces types de problèmes, il y a un groupe d’une taille donnée, qui est répété un certain nombre de fois pour arriver à un résultat. Parfois, la taille de chaque groupe est inconnue, parfois le nombre de groupes est inconnu et parfois le résultat est inconnu.