GEEM - Situation d’apprentissage

B1. Sens du nombre

Démontrer sa compréhension des nombres et établir des liens avec leur utilisation dans la vie quotidienne.

Situation d’apprentissage : la coudée

Durée totale : environ 1 h 30 min

Intention pédagogique

Cette situation d’apprentissage a pour but d’amener les élèves à :

établir le lien entre les fractions dont le dénominateur est dix et leur représentation en notation décimale;
comprendre le sens d’un nombre décimal;
développer et à utiliser des stratégies de résolution de problèmes.

Contexte pédagogique	Préalables
Dans cette situation d’apprentissage, les élèves découvrent la relation entre les fractions et les nombres décimaux en mesurant des bandes de papier à l’aide d’une unité de mesure non conventionnelle. Par la suite, les élèves représentent des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes de diverses façons.	Pour être en mesure de réaliser cette situation d’apprentissage, les élèves doivent pouvoir : représenter des fractions en tant que parties d’un tout; comparer des fractions ayant un dénominateur commun.

Vocabulaire mathématique

fraction, dénominateur, numérateur, nombre décimal, dixième, entier, dizaine, partie entière, partie décimale

Matériel

annexe 4.1 (Mesure des bandes) (1 copie par équipe de deux)
trousses (1 par équipe de deux, voir Avant l’apprentissage)
monnaie en plastique
ciseaux
papier de bricolage
réglettes
matériel de base dix
cubes emboîtables
papier quadrillé

Avant l’apprentissage (mise en train)

Durée : environ 40 minutes

Confectionner à l’avance des trousses contenant cinq bandes de papier identifiées (« Coudée », « Bande A », « Bande B », « Bande C » et « Bande D ») et une copie de l’annexe 4.1. Prévoir une trousse pour chaque équipe de deux élèves.

Note : Les bandes de papier, qui peuvent être découpées sur des feuilles non lignées d’un bloc de conférence par exemple, doivent avoir exactement les longueurs précisées dans le tableau ci-dessous.

Bande	Longueur
Coudée	50 cm
Bande A	15 cm
Bande B	40 cm
Bande C	60 cm
Bande D	70 cm

5 bandes de papier, elles sont identifiées comme suit : « coudée », « bande A », « bande B », « bande C », et « bande D ». Elles sont accompagnées par une copie papier de l’annexe 4 point un.

Présenter la coudée en tant qu’unité de mesure comme suit :

Aujourd’hui, nous allons utiliser une unité de mesure très ancienne, une unité dont se servaient les Romains il y a plus de 2 000 ans. Cette unité de mesure s’appelle la « coudée ». Avez-vous une idée de ce qu’elle pouvait représenter? À l’origine, la coudée représentait la distance entre le coude et l’extrémité de la main. Par conséquent, sa longueur variait d’une personne à l’autre. C’est pourquoi, avec le temps, la coudée a été standardisée pour correspondre à cette longueur (montrer la coudée).

Estimer les dimensions (longueur, largeur ou hauteur) de quelques objets ou la taille de quelques élèves à l’aide de cette unité de mesure (par exemple, le pupitre mesure à peu près une coudée et demie de largeur ; Sergio mesure environ 3 coudées).

Grouper les élèves par deux et distribuer une trousse à chaque équipe. Expliquer que la première tâche consiste à mesurer les bandes A, B, C et D à l’aide de la coudée et à inscrire le résultat dans le tableau Mesure des bandes –Première tentative de l’annexe 4.1. Regarder le tableau avec eux afin de s’assurer qu’elles et ils comprennent bien la tâche à accomplir et les inviter à commencer la prise des mesures. Préciser qu’elles et ils ne doivent pas utiliser de règle. Lorsque les équipes ont terminé la tâche, faire une mise en commun rapide en compilant quelques mesures dans le premier tableau de l’annexe 4.1 au tableau interactif. Demander aux élèves d’expliquer les stratégies de mesure utilisées.

Exemple

Mesure des bandes – Première tentative
Bande	Mesure en coudée
A	$\frac{1}{{ 4 }}$	$\frac{1}{{ 3 }}$	$\frac{2}{{ 5 }}$
B	$\frac{3}{{ 4 }}$	$\frac{7}{{ 8 }}$	$\frac{5}{{ 6 }}$
C	$1\;et\; \frac{1}{5} $	$1\;et\; \frac{1}{4} $	$1\;et\; \frac{2}{10} $
D	$1\;et\; \frac{2}{5} $	$1\;et\; \frac{1}{2} $	$1\;et\; \frac{2}{4} $

Note : Dans cette tâche, le but n’est pas de déterminer la mesure exacte des bandes, mais plutôt d’inciter les élèves à évaluer chaque mesure en coudée et à l’exprimer à l’aide d’une fraction.

S’assurer que les élèves ont compris l’importance des fractions, en posant des questions telles que :

Comment avez-vous fait pour mesurer les bandes puisqu’elles étaient plus petites ou plus grandes que la coudée? (On a effectué des estimations ou on a plié la bande en parties égales pour déterminer la fraction de la coudée.)
Pourquoi avez-vous utilisé des fractions?
Pourquoi y a-t-il tant de réponses différentes? (Toutes les équipes n’ont pas opté pour le même fractionnement ou il est difficile d’obtenir des mesures précises parce que la coudée n’est pas graduée en plus petites unités de mesure.)
Qu’est-ce qui pourrait rendre la tâche plus facile? (Graduer la coudée comme l’est une règle.) Inviter les élèves à diviser la coudée en 10 parties égales, soit 10 sections de 5 cm. Leur permettre d’utiliser une règle pour effectuer cette division.

La bande de papier « coudée » est graduée en dix parties égales.

Leur demander de reprendre la mesure de chaque bande en utilisant la coudée divisée en dixièmes et de l’inscrire dans la deuxième colonne du tableau Mesure des bandes - Deuxième tentative de l’annexe 4.1.

Des élèves comparent deux bandes, « la coudée » et une autre bande.

Une fois le travail terminé, inviter des élèves à proposer leurs mesures en coudée et les inscrire dans un deuxième tableau de l’annexe 4.1.

Exemple

Mesure des bandes – Deuxième tentative
Bande	Mesure en coudée	Ma notation
A	$\frac{3}{{10}}$
B	$\frac{8}{{10}}$
C	$1\;et\; \frac{2}{10} $
D	$1\;et\; \frac{4}{10} $

Faire remarquer que les mesures prises par les différentes équipes sont maintenant très semblables, puisqu’elles ont été prises avec des coudées divisées en 10 parties égales, soit en dixièmes. Souligner que plus l’unité de mesure est fractionnée, plus la mesure est précise (par exemple, si la coudée était divisée en centièmes, la mesure serait encore plus précise) et que pour décrire la mesure de façon uniforme, il faut standardiser le fractionnement (par exemple, en dixièmes).

Faire ressortir l’importance du système décimal et sa notation. Par exemple, dire aux élèves :

Au cours de cette deuxième tentative, vous avez mesuré les bandes avec la coudée divisée en dixièmes. Ces fractions sont tellement importantes que les mathématiciens et les mathématiciennes ont créé une notation spéciale qui permet de représenter les mesures sans utiliser la notation fractionnaire. Avant d’examiner cette notation, inscrivez vos mesures dans la troisième colonne de votre tableau en inventant votre propre notation. Si certains connaissent déjà la notation convenue par les mathématiciens et les mathématiciennes pour représenter les dixièmes, vous pouvez aussi l’utiliser.

Inviter quelques élèves à partager leur suggestion de notation avec la classe (par exemple, bande C : 1*2, 1#2, 1^2). Si aucune équipe ne s’est servie de la notation décimale, ajouter les mesures en notation décimale (par exemple, bande C : 1,2). Prendre les mesures écrites sous la forme décimale pour expliquer le fonctionnement de la notation décimale.

Note : En français, on utilise la virgule pour séparer la partie entière de la partie décimale d’un nombre alors qu’en anglais, on utilise le point (.). Le chiffre qui se trouve immédiatement à droite de la virgule dans un nombre décimal correspond au numérateur d’une fraction exprimée en dixièmes.

Exemple

$Un, virgule 8, une flèche le pointe vers huit dixièmes d’unité, une autre flèche pointe dans cette direction, elle part de la fraction un, 8 sur dix.$

Indiquer aux élèves que le nombre 1,8 se lit « un et huit dixièmes » et non « un virgule huit ». Souligner la différence entre « dizaine » (dix fois plus grand que l’unité) et « dixième » (dix fois plus petit que l’unité) en signalant leur similitude phonétique.

Pendant l’apprentissage (exploration)

Durée : environ 30 minutes

Grouper les élèves en équipe de deux et leur demander de représenter les nombres 0,7 et 1,3 de deux façons différentes sans utiliser le même matériel. Préciser qu’elles et ils peuvent les représenter à l’aide de matériel concret ou de dessins.

Mettre à la disposition des élèves le matériel nécessaire (par exemple, réglettes, monnaie en plastique, papier quadrillé, papier de bricolage, cubes emboîtables, matériel de base dix). Allouer suffisamment de temps pour leur permettre d’accomplir la tâche. Circuler dans la classe et observer les stratégies utilisées par les élèves. Intervenir au besoin afin d’aider certaines équipes à cheminer, sans toutefois leur montrer de façon explicite comment faire. Préciser qu’elles et ils doivent être en mesure d’expliquer leur représentation. Voici quelques exemples de représentations que les élèves pourraient proposer.

Représentations de 0,7

Exemple 1

Si la coudée représente l’unité, les sept carrés bleus représentent sept dixièmes de l’unité.

Une bande divisée en dix parties égales est nommée « la coudée ».Un sphinx occupe la première et la dernière case. Les 7 premières cases sont ombragées.

Exemple 2

Si le gros cube représente l’unité, sept planchettes représentent sept dixièmes de l’unité.

Un gros cube, de mille petits cubes, et 7 planchettes de cent petits cubes.

Représentations de 1,3

Exemple 1

Si le dollar représente l’unité, les pièces suivantes représentent une unité et trois dixièmes.

Une pièce d’un dollar et 3 pièces de dix cents.

Exemple 2

Si le rectangle représente l’unité, les parties en rouge représentent une unité et trois dixièmes.

2 rectangles de dix cases chacun. Les cases du premier rectangle sont toutes rouges, 3 cases du deuxième rectangle sont rouges.

Exemple 3

Si la réglette orange représente l’unité, le matériel suivant représente une unité et trois dixièmes.

Une réglette de dizaine et 3 petits cubes d’unité.

Observations possibles	Pistes d’intervention
Une équipe ne sait pas par où commencer.	Demander aux élèves d’expliquer ce qu’elles et ils doivent représenter. S’assurer que les élèves prononcent correctement les nombres (par exemple, sept dixièmes). Répéter en mettant l’accent sur le mot « dixième » afin que les élèves puissent faire le lien entre le terme « sept dixièmes », les notations 0,7 et $\frac{7}{{10}}$, et la visualisation de 7 parties d’un tout divisé en 10 parties. Leur suggérer des touts qu’elles et ils pourraient utiliser.
Une équipe représente 0,7 à l’aide de 7 objets.	Les amener à reconnaître qu’elles et ils doivent préciser l’unité. Discuter avec eux en leur disant par exemple : « Je vois sept cubes, donc vous avez représenté 7 entiers. Expliquez-moi pourquoi vous dites qu’il s’agit de sept dixièmes. » (C’est sept dixièmes d’un ensemble de dix petits cubes ou c’est sept dixièmes d’une languette.)

Après l’apprentissage (objectivation/échange mathématique)

Durée : environ 20 minutes

Placer deux tables devant la classe, soit une pour chaque nombre (0,7 et 1,3), et inviter chaque équipe à installer une de leurs représentations sur la table correspondante. Demander aux élèves de circuler autour des tables pour voir les représentations.

Choisir quelques-unes des représentations du premier nombre (0,7) et inviter les équipes qui les ont créées à venir les expliquer à tour de rôle.

Animer un échange mathématique en posant des questions telles que :

Est-ce que d’autres équipes ont utilisé cette représentation?
Est-ce que cette représentation démontre bel et bien sept dixièmes?
Pouvez-vous justifier l’exactitude de cette représentation?
Quelle est l’unité dans cette représentation?
Qu’y a-t-il de similaire entre les représentations?

Effectuer la même démarche pour les représentations du nombre 1,3. S’assurer de faire ressortir les points suivants au cours de l’échange mathématique :

La partie décimale d’un nombre décimal jusqu’aux dixièmes peut être représentée par une fraction dont le dénominateur est 10 ($0,7$ c’est $\frac{7}{{10}}$ ; $1,3$ c’est 1 et $\frac{3}{{10}}$);
La virgule sépare la partie entière de la partie décimale;
Un nombre décimal se lit en utilisant le mot « et » et non le mot « virgule » (par exemple, 1,4 se lit « un et quatre dixièmes »);
Lorsqu’on utilise un nombre décimal, il importe de préciser quel est le tout ou l’unité.

Différenciation pédagogique

L’activité peut être modifiée pour répondre aux différents besoins des élèves.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 133-144.

Bande	Mesure en coudée
A	\(\frac{1}{{ 4 }}\)	\(\frac{1}{{ 3 }}\)	\(\frac{2}{{ 5 }}\)
B	\(\frac{3}{{ 4 }}\)	\(\frac{7}{{ 8 }}\)	\(\frac{5}{{ 6 }}\)
C	\(1\;et\; \frac{1}{5} \)	\(1\;et\; \frac{1}{4} \)	\(1\;et\; \frac{2}{10} \)
D	\(1\;et\; \frac{2}{5} \)	\(1\;et\; \frac{1}{2} \)	\(1\;et\; \frac{2}{4} \)

Bande	Mesure en coudée	Ma notation
A	\(\frac{3}{{10}}\)
B	\(\frac{8}{{10}}\)
C	\(1\;et\; \frac{2}{10} \)
D	\(1\;et\; \frac{4}{10} \)

Pour faciliter la tâche	Pour enrichir la tâche
Fournir les unités à utiliser pour les représentations.	Demander aux élèves de représenter et de comparer une fraction et un nombre décimal (par exemple, \(\frac{1}{2}\;{\rm{et}}\;{\rm{0}}{\rm{,4}}\)); Demander aux élèves de représenter les deux nombres (0,7 et 1,3) en utilisant des unités de mesure de longueur du système métrique (par exemple, 7 mm = 0,7 cm; 7 dm = 0,7 m; 1,3 cm = 13 mm).