GEEM - Habiletés et connaissances

B1.4 Comparer et ordonner des fractions à partir des demis jusqu’aux douzièmes, y compris des fractions impropres et des nombres fractionnaires, dans divers contextes.

Habileté : comparer et ordonner des fractions à partir des demis jusqu’aux douzièmes, y compris des fractions impropres et des nombres fractionnaires

Un enseignement efficace et équilibré permet aux élèves de développer diverses stratégies pour comparer des nombres. De même, il doit permettre aux élèves de développer et d’approfondir leur compréhension de la valeur des fractions. C’est par le biais d’expériences concrètes et de représentations que les élèves apprennent à visualiser la valeur d’une fraction et à développer les stratégies pour les ordonner, les comparer et les mettre en relation avec d’autres nombres.

Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 44.

Pour estimer une quantité, les élèves doivent d’abord saisir le contexte et, pour cela, avoir recours à leur sens analytique et à leurs expériences personnelles. Ce bagage prend souvent la forme d’une représentation mentale et joue le rôle de repère visuel. On n’insistera jamais assez sur l’importance d’enrichir constamment ce bagage de référents visuels en faisant vivre aux élèves des situations variées dans divers contextes. Soulignons que les élèves qui sont exposés à des référents visuels et à du matériel de manipulation, tels que les cercles de fractions, les jetons, les bandes de carton et les réglettes, développent plus facilement leur sens de l’ordre de grandeur, qui est indispensable à l’estimation de la quantité représentée par une fraction.

Exemple

Regarder la tarte ci-dessous et demander aux élèves d’estimer la fraction de la tarte qui reste.

Voici un exemple de raisonnement d’élève :

J’examine la tarte et je l’imagine séparée en 2. Je reconnais alors qu’il en reste plus que 1 moitié ($\frac{1}{2}$).

Un cercle qui représente la tarte. Elle est divisée en 2 parties égales. Une de ces parties est en jaune.

Si elle est séparée en 3, je vois qu’il en reste moins que 2 tiers ($\frac{2}{3}$).

Un cercle représente une tarte. Elle est divisée en 3 parties égales, 2 d’entre elles sont en jaunes.

Mais si elle est séparée en 5 morceaux égaux, je crois que c’est très près de l’équivalent de 3 morceaux.

Un cercle représente une tarte. Elle est divisée en 5 parties égales, 3 d’entre elles sont en jaunes.

Il reste environ $\frac{3}{5}$ de la tarte.

Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 38-39.

Relations d’ordre

Il est important que les élèves apprennent à ordonner des fractions en les comparant. L’habileté à ordonner et l’habileté à comparer doivent reposer sur les représentations des fractions que les élèves ont construites. Elles doivent découler de situations de résolution de problèmes qui permettent aux élèves de développer un sens de la valeur d’une fraction. C’est ce sens de la fraction qui permet aux élèves de comparer 2 fractions et de conclure qu’une est plus grande que l’autre. Par opposition, l’enseignement qui se fait hors contexte tend à favoriser un apprentissage d’algorithmes qui néglige le sens de la fraction.

Les élèves du cycle moyen ont déjà des idées bien ancrées en ce qui a trait aux propriétés des nombres naturels. Or, lorsqu’ils commencent à travailler avec des fractions, les élèves font souvent face à un déséquilibre cognitif, c’est-à-dire une impression que ce qui était vrai ne l’est plus. Par exemple, ils ont appris qu’en présence de 2 nombres naturels, le plus grand nombre indique une quantité plus grande. Ils tentent de transférer leurs connaissances et leurs compétences aux fractions. Ainsi, en voulant comparer $\frac{1}{6}$ et $\frac{1}{3}$, certains élèves croient que $\frac{1}{6}$ est plus grand que $\frac{1}{3}$, puisque 6 est plus grand que 3. Elles et ils se sentent en déséquilibre si elles et ils se font dire avoir tort. Pour éviter de telles situations, l’apprentissage doit reposer sur un regard analytique de la fraction plutôt que sur un automatisme ou un algorithme.

Les activités qui amènent les élèves à comparer et à ordonner les fractions doivent favoriser la construction du sens de la fraction. Pour comparer des fractions, il est rarement nécessaire de chercher un dénominateur commun. Ainsi, il existe de nombreuses stratégies qui permettent de comparer des fractions. Généralement, la première stratégie apprise consiste en l’utilisation d’une représentation concrète ou semi-concrète des fractions en jeu. On peut recourir à cette stratégie, peu importe l’occasion. On peut aussi comparer les numérateurs si les dénominateurs sont identiques, ou comparer les dénominateurs si les numérateurs sont identiques. L’utilisation de fractions repères est une autre stratégie efficace.

Il est important de travailler à fond la comparaison des fractions avant l’équivalence des fractions. En effet, celle-ci est très complexe et la comparaison sert d’élément catalyseur à la compréhension des fractions équivalentes.

Comparaison de fractions en les représentant concrètement ou semi concrètement

Cette première stratégie consiste à représenter à l’aide d’un modèle les 2 fractions en cause. Par exemple, comparons les fractions $\frac{2}{5}$ et $\frac{3}{8}$.

$La fraction 2 sur 5 est représentée avec une bande. La bande est divisée en 5 parties égales, n2 des parties sont en rouge.$ $La fraction 3 sur 8 est représentée par une bande. La bande est divisée en 8 parties égales, 3 de ces parties sont en rouge.$

Donc, on peut conclure en comparant les 2 représentations que $\frac{2}{5}\; > \;\frac{3}{8}$. Il est très important de souligner, s’il s’agit de fractions d’un même tout, que le même modèle (tout) a été utilisé pour représenter les 2 fractions. Les élèves négligent parfois l’importance du tout et n’interprètent pas correctement des situations avec des fractions. Par exemple, dans la situation suivante, en ne comparant pas le même tout, des élèves pourraient affirmer que $\frac{1}{3}\; = \;\frac{1}{4}$.

$\frac{1}{3}$

Une bande divisée en 3 parties égales, une partie est en bleue.

$\frac{1}{4}$

Une bande est divisée en 4 parties égales, une partie est en bleue.

Dans la situation représentée, il est vrai que $\frac{1}{3}$ du 1^er rectangle correspond au $\frac{1}{4}$ du 2^e rectangle. Toutefois, afin de comparer les fractions d’un même tout, il aurait fallu les représenter à l’aide du même tout.

$\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$

Une bande divisée en 3 parties égales, une partie est en bleue. Une bande est divisée en 4 parties égales, une partie est en bleue.

Comparaison de fractions ayant un dénominateur commun

Les élèves s’inspirent généralement de leurs connaissances antérieures et de leurs expériences avec les nombres naturels pour déterminer, sans difficulté, que $\frac{4}{5}$ est supérieur à $\frac{3}{5}$. Or, il arrive souvent que la réponse ne soit pas motivée par les bonnes raisons. En effet, beaucoup d’élèves ne font que comparer les numérateurs. Van de Walle et Folk (2005, p. 233) suggèrent au personnel enseignant de mettre l’accent sur le fait qu’il s’agit de parties de même taille ou de même nature. Ainsi en comparant $\frac{4}{5}$ et $\frac{3}{5}$, on souligne que $\frac{4}{5}$ représentent 4 parties d’une certaine taille et que $\frac{3}{5}$ représentent 3 parties de cette même taille. On met ainsi l’accent sur la comparaison d’éléments de même nature (des cinquièmes), comme on le ferait si on comparait 3 oranges et 4 oranges.

3 cinquièmes et 4 cinquièmes d’un tout

Deux bandes divisées en 5 parties égales. 3 parties de la première bande et 4 parties, de la deuxième bande, sont en orange.

3 oranges et 4 oranges

2 ensembles composés d’oranges. Le premier a 3 oranges et le deuxième 4.

Comparaison de fractions ayant un numérateur commun

Au cycle moyen, les élèves sont en mesure d’accorder un sens aux nombres qui composent une fraction et d’entamer un processus réflexif afin de comparer 2 fractions ayant un numérateur commun. Par exemple, comparons les fractions $\frac{5}{9}$ et $\frac{5}{6}$. Dans les 2 cas, il y a 5 parties d’un tout. Lorsque le tout est divisé en 9 parties équivalentes, ces parties sont plus petites que celles du même tout divisé en 6 parties équivalentes. Ainsi, les neuvièmes sont plus petits que les sixièmes et on en a 5 dans les 2 cas. Donc, $\frac{5}{9}$ est plus petit que $\frac{5}{6}$.

$La fraction 5 sur 9 est représentée par une bande. La bande est divisée en 9 parties égales, 5 parties sont en bleu.La fraction 5 sur 6 est représentée par une bande. La bande est divisée en 6 parties égales, 5 parties sont en jaune.5 sur 9 est plus petit que 5 sur 6.$

Pourtant, il n’est pas rare de voir des élèves penser le contraire, puisque 9 est plus grand que 6 et que les numérateurs sont les mêmes. D’où l’importance de s’attarder au sens du numérateur et du dénominateur et de développer l’habileté à visualiser des fractions.

Comparaison de fractions en utilisant des fractions repères

Il est suggéré d’aider les élèves à développer leur sens de la fraction en ayant recours à des fractions repères. D’abord, les élèves se servent de 3 repères, soit 0, $\frac{1}{2}$ et 1. Elles et ils comparent ensuite des fractions données à ces repères.

Voici quelques généralisations que les élèves sont en mesure de faire après avoir effectué un certain nombre d’activités d’apprentissage.

$\ 0$	$\frac{1}{2}$	$\ 1$
Si le dénominateur d’une fraction est beaucoup plus grand que le numérateur, la fraction représente une petite quantité et la fraction est près de 0. Ainsi, $\frac{3}{{25}}$ est près de 0.	Si le numérateur d’une fraction est à peu près la moitié du dénominateur, la fraction est près de $\frac{1}{2}$. Ainsi, $\frac{3}{8}$ est près de $\frac{1}{2}$. On pourrait ajouter que $\frac{3}{8}$ est légèrement inférieur à $\frac{1}{2}$, car $\frac{3}{8}$ est inférieur à $\frac{4}{8}$, soit $\frac{1}{2}$.	Si le numérateur d’une fraction est à peu près égal au dénominateur, la fraction est près de 1, car elle représente presque entièrement le tout. Ainsi, $\frac{9}{10}$ est près de 1.

Voici un modèle semi-concret qui illustre ces exemples.

Une droite numérique est graduée de zéro à 2 par intervalles réguliers d’un demi.

Pour comparer 2 fractions, les élèves peuvent comparer chacune à un de ces repères. Par exemple, si on veut comparer $\frac{5}{{20}}$ et $\frac{7}{8}$, on peut déterminer que $\frac{5}{{20}}$ représente une quantité entre 0 et $\frac{1}{2}$, alors que $\frac{7}{8}$ représente une quantité entre $\frac{1}{2}$ et 1. On peut donc conclure que $\frac{5}{{20}}$ est plus petit $\frac{7}{8}$. On peut aussi utiliser des repères semblables pour les nombres fractionnaires. Par exemple, pour comparer $2\frac{5}{{20}}$ et $2\frac{7}{8}$, on peut utiliser les repères 2, $2\frac{1}{2}$ et 3. Lorsque ces repères deviennent bien ancrés, on peut ajouter d’autres repères, tels que $\frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}$. Ces repères mettent l’accent sur le fait que le quart est la moitié de 1 demi.

Comparaison de fractions en utilisant d’autres aspects du sens de la fraction

Dans un environnement d’apprentissage axé sur la résolution de problèmes, les élèves peuvent découvrir de nombreuses stratégies de comparaison basées sur le sens de la fraction qu’elles et ils ont construit.

Exemple 1

On veut comparer $\frac{8}{9}$ et $\frac{2}{3}$. On peut remarquer qu’il manque une partie à chaque fraction pour faire un tout. On reconnaît ainsi que pour la fraction $\frac{8}{9}$, il manque $\frac{1}{9}$ pour faire 1, alors que pour la fraction $\frac{2}{3}$, il en manque $\frac{1}{3}$. Puisque la partie manquante $\frac{1}{3}$ est plus grande que la partie manquante $\frac{1}{9}$, alors $\frac{8}{9}$ est plus près de 1 que $\frac{2}{3}$. Ainsi, $\frac{8}{9}$ est plus grand que $\frac{2}{3}$.

Exemple 2

On veut comparer $\frac{12}{3}$ et $\frac{17}{{12}}$. Les élèves pourraient utiliser leurs connaissances des fractions équivalentes pour conclure que $\frac{12}{3}$ est plus grand que $\frac{17}{{12}}$, car $\frac{12}{3}\; = \;\frac{48}{{12}}$ et $\frac{48}{{12}}$ représentent plus de parties de même taille que $\frac{17}{{12}}$.

À la suite de l’apprentissage des divers concepts relatifs aux fractions, les élèves peuvent utiliser l’ensemble de leurs connaissances au sujet des fractions et l’ensemble des stratégies de comparaison de fractions pour résoudre des problèmes.

Exemple 3

Dans certaines courses automobiles (par exemple, formule 1), la ou le pilote qui franchit la 1^re ou le 1^er la ligne d’arrivée gagne et, à ce moment-là, la course se termine officiellement. Le classement des coureuses et coureurs n’est donc pas déterminé par l’ordre selon lequel elles et ils franchissent la ligne d’arrivée comme dans les courses traditionnelles, mais plutôt par la position des pilotes à la fin du parcours; cette dernière correspond à la fraction du circuit qu’elles et ils ont parcouru lorsque la 1^re ou le 1^er pilote franchit la ligne. Ce système permet d’assigner une position à tous les pilotes, même à ceux qui n’auraient pas terminé la course.

Voici la liste des fractions du circuit parcouru par chaque pilote à la fin de la course :

Wagner : $\frac{8}{9}$; Villeneuve : $\frac{2}{3}$; Trottier : 1; Munch : $\frac{1}{4}$; Santana : $\frac{7}{{10}}$; Burk : $\frac{5}{6}$; Fround : $\frac{3}{4}$; Colman : $\frac{1}{9}$; Martina : $\frac{5}{8}$.

Solution : Classement final de la course

1	2	3	4	5	6	7	8	9
Trottier	Wagner	Burk	Fround	Santana	Villeneuve	Martina	Munch	Colman
1	$\frac{8}{9}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{7}{{10}}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{5}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{9}$

Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 44-49.

Habileté : comparer et ordonner des fractions dans divers contextes

Il est important que les élèves apprennent à toujours tenir compte du tout. Une fraction n’a aucun sens si elle n’est pas mise en relation avec un tout. Par exemple, on ne peut comparer 1 demi-pizza et 1 tiers de pizza si elles n’ont pas la même superficie à moins que l’on nous présente les pizzas en question. Le personnel enseignant doit présenter des situations d’apprentissage qui permettent aux élèves de découvrir qu’une fraction ne révèle rien de la taille du tout ou de ses parties; elle nous renseigne seulement sur la relation qui existe entre un tout et ses parties.

Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 31.

Connaissance : fraction impropre

Une fraction impropre est une fraction où le numérateur est plus grand que le dénominateur. Cette fraction représente une quantité supérieure à 1.

Exemples

$\frac{{11}}{3},\;\frac{5}{2},\;\frac{22}{{13}}$

Connaissance : nombre fractionnaire

Un nombre fractionnaire est une fraction ayant un nombre entier ainsi qu’une fraction. Cette fraction représente une quantité supérieure à 1.

Exemples

$2\frac{1}{2},\;12\frac{2}{5},\;5\frac{{10}}{{23}}$