B1.7 Décrire les relations et représenter les équivalences entre des fractions, des nombres décimaux jusqu’aux centièmes et des pourcentages, à l’aide d’outils et de schémas appropriés, dans divers contextes.
Habileté : décrire les relations et représenter les équivalences entre des fractions, des nombres décimaux jusqu’aux centièmes et des pourcentages
Les élèves doivent être capables de se créer une représentation mentale d’un pourcentage, comme elles et ils le font pour les nombres décimaux. La nature même du pourcentage leur permet de visualiser plus facilement une quantité, car il s’agit toujours d’un rapport avec 100. Il faut aussi bien comprendre qu’un pourcentage est une autre façon de représenter une quantité.
Exemple
Repères
Les représentations mentales utilisées par les élèves sont renforcées par l’utilisation de repères. De façon générale, un repère est un élément de référence. Les repères utilisés pour l’étude des nombres décimaux et des pourcentages ressemblent à ceux employés pour l’étude des fractions. En créant des liens entre les nombres décimaux, les pourcentages et les repères fractionnaires, les élèves approfondissent leur sens du nombre.
Le tableau ci-après présente quelques repères qui devraient faire partie du bagage des élèves.
Repères pour les fractions, les pourcentages et les nombres décimaux
| Fraction | Pourcentage | Nombre décimal | Exemple de représentation mentale |
|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{{10}}\) | 10 % | 0,1 |  |
| \(\frac{1}{4}\) | 25 % | 0,25 |  |
| \(\frac{1}{3}\) | \( \approx \;33\;\% \) | \( \approx \;0,33\ \) |  |
| \(\frac{1}{2}\) | 50 % | 0,5 |  |
| \(\frac{2}{3}\) | \( \approx \;67\;\% \) | \( \approx \;0,67\) |  |
| \(\frac{3}{4}\) | 75 % | 0,75 |  |
| 1 | 100 % | 1,00 |  |
Ces repères, ainsi que les liens entre les fractions, les pourcentages et les nombres décimaux favorisent l’approfondissement du sens du nombre et s’avèrent fort utiles en situation de résolution de problèmes. L’habileté à passer d’une notation à une autre est avantageuse, car elle permet d’utiliser celle qui répond le mieux aux besoins du moment. Par exemple, un client qui veut calculer un rabais de 50 % sur le prix d’un article peut aisément le faire s’il reconnaît que 50 % équivalent à la moitié (\(\frac{1}{2}\)).
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 37-40.
Relation d’égalité
Il est important de reconnaître l’égalité entre les diverses représentations des nombres ou des expressions numériques. Dans le cadre des nombres décimaux, les élèves doivent reconnaître l’égalité entre un nombre décimal, la fraction décimale correspondante et le pourcentage.
Les élèves doivent comprendre que puisque la notation décimale n’est qu’une autre façon de représenter une fraction décimale, il est alors possible d’établir une relation d’égalité entre les 2 notations (par exemple, \(0,3\; = \;\frac{3}{{10}}\)). En reconnaissant cette égalité, les élèves sont en mesure d’associer une valeur de position à chacune des décimales qui composent un nombre décimal, par exemple, les dixièmes et les centièmes.
Exemple
Les élèves qui n’ont pas compris cette association sont parfois portés à représenter une fraction telle que \(\frac{2}{5}\) par 0,2 ou 0,25. La description ci-après décrit des comportements observables d’élèves ayant acquis une compréhension conceptuelle des nombres et du lien entre leurs différentes représentations.
Compréhension conceptuelle des nombres
Nombre : 0,3
Comportements observables :
- L’élève peut en faire la lecture (3 dixièmes).
- L’élève peut écrire le nombre en notation fractionnaire, soit \(\frac{3}{{10}}\).
- L’élève peut représenter le nombre à l’aide de matériel concret ou semi-concret.
Exemple
Nombre : \(\frac{{16}}{{100}}\)
Comportements observables :
- L’élève peut en faire la lecture (16 centièmes).
- L’élève peut écrire le nombre en notation décimale, soit 0,16.
- L’élève peut représenter le nombre à l’aide de matériel concret ou semi-concret.
Exemple
Nombre : \(\frac{2}{7}\)
Comportements observables :
- L’élève peut en faire la lecture (2 septièmes).
- L’élève sait que la fraction \(\frac{2}{7}\) n’est pas représentée par 0,2 puisqu’elle ou il sait que 0,2 = \(\frac{2}{{10}}\).
Pour établir la relation d’égalité entre une fraction dont le dénominateur n’est pas une puissance de 10 (par exemple, \(\frac{1}{4}\)) et le nombre décimal correspondant, il est nécessaire de recourir au concept de fractions équivalentes. Par exemple, les élèves peuvent utiliser des bandes de longueurs égales telles qu’illustrées ci-dessous pour constater que \(\frac{1}{4}\) se situe entre \(\frac{2}{{10}}\) et \(\frac{3}{{10}}\).
image
Un rectangle divisé en 4 parties égales dont la première est rouge.Un deuxième rectangle sous le premier, de même
dimension, mais cette fois divisé en dix parties égales.La partie rouge du premier rectangle arrive entre la partie 2
et la partie 3 du deuxième rectangle.
Elles et ils peuvent ensuite subdiviser les dixièmes en 10 parties égales, créant ainsi 100 parties égales, soit des centièmes du tout et reconnaître que \(\frac{{25}}{{100}}\) est une fraction équivalente à \(\frac{1}{4}\).
image
Un rectangle divisé en 4 parties égales dont la première est rouge.Un deuxième rectangle sous le premier et de mêmes
dimensions, mais divisé en 100 parties égales.Une ligne qui arrive vis-à-vis la vingt-cinquième partie et la fin de la
première partie du rectangle du dessus.
Puisque \(\frac{{25}}{{100}}\; = \;0,25\), ils peuvent conclure que la fraction \(\frac{1}{4}\) peut aussi être représentée en notation décimale par 0,25 (\(\frac{1}{4}\; = \;\frac{{25}}{{100}}\; = \;0,25\)). Ce genre d’exemple permet aux élèves de reconnaître que toutes les fractions qui peuvent être exprimées par une fraction décimale équivalente peuvent être représentées par un nombre décimal. C’est le cas notamment des fractions exprimées en demis, en quarts, en cinquièmes et en vingtièmes comme le démontre le tableau suivant.
| Fraction | Fraction décimale équivalente | Nombre décimal |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{5}{{10}}\) | 0,5 |
| \(\frac{3}{4}\) | \(\frac{{75}}{{100}}\) | 0,75 |
| \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{4}{{10}}\) | 0,4 |
| \(\frac{7}{{20}}\) | \(\frac{{35}}{{100}}\) | 0,35 |
Note : Certaines fractions (par exemple, \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{5}{{11}}\)) ne peuvent être représentées par une fraction décimale équivalente. Ces fractions ne sont donc pas des nombres décimaux. Elles peuvent cependant être exprimées par des nombres à virgule ayant une partie décimale périodique (par exemple, \(\frac{2}{3}\; = \;0,\overline{6}\); \(\frac{3}{7}\; = \;0,\overline{428 \ 571}\); \(\frac{5}{{11}}\; = \;0,\overline{45}\)) en divisant le numérateur par le dénominateur.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 47-48.
On sait qu’un nombre décimal représente une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (par exemple, \(0,3\; = \frac{3}{{10}}\;\); \(0,47\; = \frac{{47}}{{100}}\;\)). Le concept de pourcentage étant intimement lié au concept de fraction, il n’y a qu’un pas à faire pour relier le pourcentage, le nombre décimal et la fraction décimale. À la fin du cycle moyen, les élèves qui ont acquis un bon sens du nombre peuvent passer d’une notation à une autre sans difficulté.
Exemple
Pour aider les élèves à développer cette habileté, il faut régulièrement les inviter à exprimer leurs réponses en utilisant une autre notation. Par exemple, le personnel enseignant peut inciter l’élève qui a répondu que \(\frac{3}{4}\) des jeunes de la classe ont les cheveux noirs à exprimer aussi cette réponse en notation décimale (0,75) et en pourcentage (75 %).
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 50-51.
Connaissance : pourcentage
Le pourcentage est une façon particulière de présenter une fraction. Il est souvent employé dans la vie courante. Une expression numérique comme 30 % (qui se lit « 30 pour cent ») est en réalité une autre notation du nombre 30 centièmes, soit \(\frac{{30}}{{100}}\) ou 0,30. Afin de faciliter la compréhension du concept de pourcentage, il faut d’abord amener les élèves à établir le lien entre le pourcentage et la fraction dont le dénominateur est 100, et ce, à l’aide de matériel concret ou semi-concret.
Exemple
Les élèves doivent aussi réaliser qu’un pourcentage représente un rapport à 100 (par exemple, 30 % représentent le rapport \(30\;:\;100\)). Il est important de souligner qu’un résultat exprimé en pourcentage ne signifie pas que la quantité en question est nécessairement composée de 100 parties, comme expliqué dans le tableau suivant.
Lien entre le pourcentage et la quantité 100
| Représentation | Pourcentage | Notes pédagogiques |
|---|---|---|
  |
75 % des cercles sont rouges. | Même si 75 % des cercles sont rouges, cela ne veut pas dire qu’il y a 100 cercles dans l’ensemble. Cependant, s’il y avait 100 cercles, il y aurait 75 cercles rouges. De plus, la fraction des cercles qui sont rouges est équivalente à \(\frac{{75}}{{100}}\)(par exemple, \(\frac{3}{4}\; = \;\frac{{75}}{{100}}\) et \(\frac{{150}}{{200}}\; = \;\frac{{75}}{{100}}\)). |
 image Un rectangle dont les dimensions sont 50 mètres par 80 mètres.Le rectangle est divisé
en 2 parties égales et la partie gauche est verte. Le nombre 40 est inscrit au-dessus de la partie de
gauche.Le nombre 40 est inscrit au-dessus de la partie de droite.On peut lire 2000 mètres carrés dans
chacune des 2 parties. |
50 % du terrain est recouvert de pelouse. | Même si 50 % du terrain est recouvert de pelouse, on ne peut pas affirmer que le terrain a une aire de 100 m2. Mais on peut affirmer que pour chaque 100 m2 de terrain, 50 m2 sont recouverts de pelouse. Ainsi, \(\frac{{2\;000}}{{4\;000}}\; = \;\frac{1}{2}\; = \;\frac{{50}}{{100}}\; = \;50\;\% \). |
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 34-35.