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C2.2 Déterminer si des paires d’expressions numériques comportant des additions et des soustractions sont équivalentes ou non.

Habileté : déterminer si des paires d’expressions numériques comportant des additions et des soustractions sont équivalentes ou non

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Deux expressions numériques sont équivalentes lorsqu’elles représentent la même quantité.

Deux expressions numériques ne sont pas équivalentes lorsqu’elles représentent des quantités différentes. Dans une phrase mathématique, le signe d’égalité traversé par une barre oblique (≠) est un symbole qui représente cette non-équivalence ou deux quantités différentes.

Remarque : Le signe d’égalité ne doit pas être considéré comme un symbole qui annonce la réponse d’une équation, mais comme un symbole qui montre une relation entre deux quantités.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année . 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Lorsque les élèves raisonnent algébriquement, elles et ils analysent les nombres, les symboles, les quantités et les opérations, puis elles et ils généralisent.

Une étape mathématique significative dans le développement de la pensée algébrique est de comprendre qu’une situation d’égalité peut être représentée à l’aide de différents modèles.

Les élèves peuvent utiliser différents modes de représentation. Les relations mathématiques peuvent être représentées à l’aide de matériel concret ou semi-concret, de symboles ou de descriptions orales. Lorsque les élèves représentent une situation algébrique à l’aide d’un ou de deux modes de représentation, elles et ils utilisent une variété de modèles tels que des tableaux, des grilles de nombres ou des droites numériques. Ces modèles les aident à organiser, à enregistrer et à communiquer leur réflexion lorsqu’elles et ils explorent des situations d’égalité. La représentation d’expressions numériques à l’aide de modèles concrets, semi-concrets ou symboliques, de pair avec une description orale, facilite l’observation de relations et contribue au développement de la pensée algébrique. Les différentes représentations aident les élèves à s’approprier les concepts algébriques.

Encadré sur les modes de représentation. Liés à des contextes réelsOn part du modèle qui peut être symploque ou concret.Le symbolique et le concret peuvent être faits en descriptions orales.Les modèles peuvent être semi-concrets et faits par descriptions orales.Le concret peut être en lien direct avec le symbolique ou passer par le semi-concret.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 14-15.

Avant leur arrivée à l’école, les jeunes enfants ont, dans leurs jeux et dans leur quotidien, eu recours à des expressions faisant appel au concept d’égalité; par exemple, il a plus ou moins ou le même nombre de jouets que moi. À l’école, elles et ils font l’apprentissage des nombres et leur associent des quantités. Il est primordial que les élèves explorent et représentent des relations d’égalité de diverses façons avant de les exprimer symboliquement au moyen d’une phrase mathématique. Une phrase telle que 3 + 4 = 7 perd tout son sens lorsque l’accent est d’abord mis sur les symboles utilisés. Avant d’exécuter des calculs, les élèves doivent explorer les nombres à l’aide de modèles pour appuyer leur raisonnement. Le sens du symbole s’acquiert en utilisant diverses représentations de relations d’égalité et d’inégalité. Le questionnement du personnel enseignant, conjugué à la manipulation des symboles et des nombres selon différentes stratégies, aidera les élèves à proposer des conjectures et, par la suite, à généraliser.

En Algèbre, les élèves doivent s’approprier les concepts d’égalité et d’inégalité afin de bien comprendre l’équivalence en tant que relation entre deux quantités. Elles et ils doivent d’abord explorer ces concepts à l’aide de matériel concret.

Dès leur entrée à l’école, les élèves peuvent déjà comparer des quantités et ainsi reconnaître des situations d’équivalence; par exemple, plus que, moins que, autant que, est égal à, n'est pas égal à.

Devant une situation d’égalité représentée à l’aide de symboles, le personnel enseignant doit amener les élèves à reconnaître la relation qui existe entre les deux expressions numériques de chaque côté du signe =; par exemple, dans la phrase mathématique 18 = 10 + 8, le 18 et le 10 + 8 constituent deux représentations du nombre 18 et le signe = est le symbole qui montre la relation d’égalité entre ces représentations. Bien comprendre cette relation aidera par la suite les élèves à manipuler plus efficacement les nombres ou les variables qui figurent dans une équation.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 28-30. 

La vidéo suivante clarifie la relation d’égalité entre deux expressions numériques.

Sens du symbole de l’égalité

Le symbole de l’égalité est un signe universellement connu, mais souvent mal interprété par un grand nombre d’élèves qui perçoivent le signe = comme le symbole qui précède toujours, dans les phrases mathématiques, la réponse à un calcul de gauche à droite.

Lorsque, par la suite, les élèves explorent la représentation symbolique d’une situation d’égalité ou d’équivalence, par exemple l’équation 4 + 3 = ◯ + 2, elles et ils croient que le nombre 7 doit être inséré dans la case de l’inconnue, puisqu’il représente la réponse à l’opération 4 + 3, figurant à gauche du signe =. Lorsqu’on leur demande de traiter le nombre 2, elles et ils l’ajoutent au 7, comme si la phrase mathématique se poursuivait simplement de gauche à droite : 4 + 3 = 7 + 2. Elles et ils ne perçoivent pas le signe = comme le symbole de la relation d’égalité ou d’équivalence entre les expressions figurant de part et d’autre de ce signe.

Cette fausse conception vient, en partie, du fait que les élèves sont essentiellement exposées et exposés à des situations d’égalité présentées au moyen de simples phrases mathématiques telles que 4 + 1 = 5. Pour remédier à cette méprise, le personnel enseignant peut:

• demander aux élèves : « Est-ce que 4 + 1 représente la même quantité que 1 + 4? »;

Note : Ce type de questionnement favorise une meilleure compréhension des concepts de relation et d’égalité.

• présenter différents types de phrases mathématiques pour aider les élèves à explorer le concept du signe = en tant que relation.

Il est important d’encourager les élèves à exprimer de façon explicite leur propre compréhension du signe =. Ces échanges feront en sorte que le personnel enseignant pourra vérifier cette compréhension et que les élèves pourront utiliser des arguments mathématiques, une des assises de la pensée algébrique.

Dans une démarche de résolution de problèmes, le recours au matériel concret et semi-concret, de même qu’aux modèles, aide les élèves à reconnaître et à représenter des situations d’égalité, d’équivalence et d’inégalité.

Ce n’est d’ailleurs qu’après avoir manipulé divers modèles à plusieurs reprises dans le même but, soit reconnaître une situation d’égalité ou d’inégalité, que les élèves pourront aborder la représentation purement symbolique (la phrase mathématique) de cette situation.

Par ailleurs, pour déterminer la nature de la relation entre les quantités, elles et ils doivent comprendre que les éléments qui figurent de chaque côté du signe = sont des données à analyser et non pas seulement des expressions à calculer.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 36-40. 

Exemple 

Détermine si ces paires d’expressions numériques sont équivalentes.

6 + 2

4 + 4

Balance à plateaux

Source : En avant, les maths!, 1^re année, CM, Algèbre, p. 3. 

Droite numérique double

Connaissance : expression numérique

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Expression qui ne contient que des nombres liés entre eux par des opérations. Tous les nombres sont, par définition, des expressions numériques.

Exemples :

3 + 9

5 – 4

10

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3^e année, p. 32.

Connaissance : paire d’expressions numériques équivalentes

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Deux expressions numériques sont équivalentes lorsqu’elles représentent la même quantité.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année . Algèbre 1re année, concepts clés, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario,

Par exemple, en observant un cadre à 10 cases rempli avec 7 jetons bleus et 3 jetons rouges et un autre rempli avec 8 jetons bleus et 2 jetons rouges, l’élève constate que l’expression 7 + 3 est équivalente à 8 + 2, puisque les deux cadres représentent une quantité de 10.