C2.3 Déterminer et utiliser les relations d’équivalence comprenant des nombres naturels jusqu’à 1 000, dans divers contextes.
Habileté : déterminer et utiliser des relations d’équivalence avec des nombres jusqu’à 1 000
Dans une classe de mathématiques visant à développer la pensée algébrique chez les élèves, l’objectif traditionnel de l’enseignement (apprendre à calculer) n’est pas omis; il est largement dépassé.
Développer la pensée algébrique est un cheminement complexe qui mise sur trois processus fondamentaux : abstraire, généraliser et opérer sur l’inconnue.
Note : Bien que les propriétés des opérations (par exemple, la commutativité) soient explorées dans le domaine Nombres, le processus pour arriver à les comprendre et à généraliser relève de la pensée algébrique.
Généraliser
C’est tirer des conclusions valables, vraies dans tous les cas à partir de l’observation et de l’analyse de quelques exemples. (Squalli, 2002, p. 9, citation adaptée)
Dans une situation d’égalité, les élèves peuvent formuler plus aisément une généralisation lorsque celle-ci se situe à la suite d’un processus de proposition et de vérification d’une conjecture.
Une conjecture est l’expression d’une idée perçue comme étant vraie dans toute situation semblable.
Lorsque les élèves constatent un phénomène récursif en explorant diverses situations d’égalité, elles et ils sont en mesure de proposer une conjecture. Par exemple, les élèves pourraient dire que si on additionne le nombre 0 à un nombre quelconque, la quantité initiale ne change pas.
Les élèves doivent ensuite vérifier si leur conjecture est valable dans d’autres situations semblables. Ainsi, dans la situation de l’exemple précédent, les élèves pourraient la vérifier avec divers nombres ainsi qu’avec du matériel concret.
Lorsqu’une conjecture semble s’appliquer à toutes les situations semblables, les élèves formulent une généralisation en mots ou à l’aide de symboles.
Exemple
Il y a donc trois étapes importantes dans le processus de généralisation.
Aux cycles primaire et moyen, les conjectures sont généralement exprimées en mots par les élèves. Elles peuvent aussi être représentées par du matériel concret ou semi-concret afin d’illustrer le plus clairement possible leur raisonnement mathématique.
Le personnel enseignant doit exposer les élèves à diverses situations-problèmes qui les incitent à exercer l’habileté à proposer et à vérifier une conjecture. Par exemple, il leur présente la phrase mathématique 50 + 6 – 6 = 50, et leur demande ce qu’elles et ils remarquent. Ensuite, il leur propose la conjecture suivante : « Je me demande, lorsqu’on additionne et soustrait le même nombre dans une phrase mathématique, si c’est identique à ajouter ou à soustraire zéro. » Le personnel enseignant invite ensuite les élèves à discuter entre elles et eux de cette conjecture et à déterminer si elle est toujours vraie.
Les élèves vérifient cette conjecture avec d’autres phrases mathématiques. Les élèves ne sont peut-être pas persuadées et persuadés qu’elle s’applique à n’importe quelle phrase mathématique ou à tous les nombres, notamment aux grands nombres. Au cours des échanges, les élèves peuvent proposer leurs propres conjectures comme illustré ci-dessous.
image Deux
élèves négocient leur raisonnement mathématique. « Élève un » dit « La phrase mathématique cent plus 5 moins 5 égale
cent, est vraies parce que si on soustrait un nombre de lui-même, c’est comme si on ne l’avait jamais ajouté. Alors,
la phrase devient cent est égale à cent. »« Élève 2 » «Je crois que la phrase mathématique est vraie puisque
soustraire un nombre de lui-même équivaut à l’additionner d’un zéro. La quantité de départ ne change pas. Donc, la
phrase deviendrait cent plus zéro est égale à cent.
Après une vérification de diverses phrases mathématiques, les élèves peuvent conclure que la conjecture est vraie et formuler une généralisation.
Exemple
Comme le vocabulaire des élèves au primaire n’est pas encore très développé et très précis, les premières conjectures doivent habituellement être reformulées ou clarifiées. L’idéal est donc de s’exercer à formuler une conjecture en groupe-classe comme le montre l’exemple ci-dessous. Lors des échanges, les élèves peuvent souligner les limites de la conjecture proposée par un pair et contribuer à la formulation d’une conjecture commune plus claire et plus pertinente. Il importe cependant que le personnel enseignant établisse un climat d’apprentissage dans lequel les élèves perçoivent les questions des autres comme des interactions positives susceptibles d’alimenter l’échange.
Exemple
Le personnel enseignant présente la phrase mathématique 564 + 0 = 564 et demande aux élèves si elle est vraie ou fausse.
Élève : « Elle est vraie. »
Personnel enseignant : « Comment peux-tu l’affirmer? »
Élève : « Lorsqu’un zéro est
ajouté à un nombre, il n’ajoute rien en réalité, on obtient donc le nombre de départ. »
Le personnel enseignant présente d’autres phrases mathématiques semblables. Après plusieurs échanges de ce type, il
demande alors aux élèves de formuler une conjecture.
Élève : « Tous les nombres additionnés d’un zéro restent les
mêmes. »
Autre élève présente un contre-exemple : « Non, puisque 100 + 300 = 400. Les nombres 100 et 300 sont
composés de zéros. Additionnés, ils ne restent pas les mêmes. »
Après d’autres échanges, une ou un élève formule une autre conjecture :
Élève : « Lorsque tu joins un zéro à un
autre nombre, tu obtiens l’autre nombre. »
Autre élève : « C’est faux. »
Personnel enseignant : « Alors, tu
fais référence au nombre qui est juste à côté d’un zéro? »
Élève : « Non, additionné à un autre nombre. »
Après maints échanges, la formulation ci-après est retenue : « Zéro, additionné à un autre nombre, est égal à ce nombre. » Lorsque les élèves constatent que cette conjecture s’applique à tous les nombres, elles et ils peuvent généraliser.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 8-11.
Lorsque les nombres sont décomposés, les parties sont équivalentes à leur tout.
Remarques :
- Le principe d’équivalence permet de vérifier de nombreux concepts mathématiques tels que les propriétés des opérations.
- La commutativité de l’addition et de la multiplication est un exemple de relation d’équivalence.
- La commutativité et l’associativité permettent aux élèves de constater l’égalité d’une phrase mathématique et de montrer leur compréhension de ces propriétés et de constater l’égalité d’une phrase mathématique sans effectuer de calculs.
Il n’est pas attendu que les élèves soient capables de nommer ou de définir ces propriétés, mais elles et ils doivent les utiliser de manière appropriée.
Source : Curriculum de l’Ontario. Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Habiletés liées aux situations d’équivalence
Au cycle primaire, les élèves développent l’habileté à reconnaître, à expliquer, à créer, à rétablir et à maintenir des situations d’équivalence par l’application de stratégies et de modèles (par exemple, cadres à 10 cases, droite numérique). Ces habiletés doivent être développées chaque année d’études en utilisant des nombres de plus en plus grands, en conformité avec les exigences du programme-cadre.
Au début, les situations d’égalité et d’inégalité sont essentiellement explorées oralement et à l’aide de matériel concret. Par la suite, on initie graduellement les élèves à la représentation symbolique. Toutefois, le recours au matériel concret demeure tout aussi important et doit s’inscrire conjointement avec les représentations plus abstraites.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 39.
Habileté : reconnaître une situation d’équivalence
« L’utilisation efficace du matériel concret favorise l’apprentissage des concepts algébriques quel que soit le niveau des élèves […]. Puisque cette stratégie fait appel aux sens, entre autres au toucher, à la vue et à l’ouïe, elle leur donne l’occasion de faire la transition entre le concret, le semi-concret, le semi-abstrait et l’abstrait. »
(Conseil des écoles catholiques de langue française du Centre-Est, 2003, p. 6)
Dans une démarche de résolution de problèmes, le recours au matériel concret et semi-concret, de même qu’aux modèles, permet aux élèves de reconnaître et de représenter des situations d’égalité et d’inégalité.
Exemples
Ce n’est d’ailleurs qu’après avoir manipulé divers modèles à plusieurs reprises dans le même but, soit reconnaître une situation d’égalité ou d’inégalité, que les élèves pourront aborder la représentation purement symbolique (la phrase mathématique) de cette situation. Par ailleurs, pour déterminer la nature de la relation entre les quantités, les élèves doivent comprendre que les éléments qui figurent de chaque côté du signe = sont des données à analyser et non pas seulement des expressions à calculer.
Exemple 1
Explorer la propriété de commutativité permet aux élèves de constater l’égalité de la phrase mathématique 43 + 24 = 24 + 43. Par ses interventions, le personnel enseignant incite les élèves à observer que les mêmes nombres se trouvent de chaque côté du symbole de l’égalité et que les termes de l’addition sont simplement intervertis.
Exemple 2
La stratégie annuler des termes ou des expressions égales permet aux élèves de constater l’égalité d’une phrase mathématique. Annuler des termes consiste à rayer les termes identiques qui figurent de chaque côté du signe =. Le fait de rayer ou d’annuler les termes qui se trouvent de chaque côté du signe = permet d’établir plus facilement des relations entre les termes qui restent et aide les élèves à développer leur raisonnement algébrique.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 40-41.
Habileté : expliquer une situation d’égalité
« Les élèves ont besoin de discuter de ce qui est égal/inégal, pareil/différent, plus que/moins que, en équilibre/en déséquilibre. C’est par le dialogue authentique que les élèves construisent la signification du concept d’égalité. »
(Taylor-Cox, 2003, p. 17, traduction libre)
Pour développer leur habileté à expliquer une situation d’égalité, les élèves doivent vivre différentes étapes. Le transfert du concret vers la représentation symbolique s’effectue plus aisément lorsque la relation d’égalité se construit en suivant ces différentes étapes.
1. Explorer à l’aide de matériel concret ou semi-concret
Avec des jouets, une ou un élève montre la situation
suivante : l’ajout de 0 jouet à 10 jouets.
2. Décrire à l’aide de mots et du matériel
« Si j’ajoute 0 jouet à 10 jouets, la quantité ne changera pas puisque
je n’ajoute rien. Elle sera encore égale à 10 jouets. »
3. Représenter à l’aide de symboles
L’élève pourra alors exprimer symboliquement cette égalité en écrivant la
phrase mathématique 10 + 0 = 10.
4. Proposer une conjecture
En explorant plusieurs situations semblables, l’élève peut supposer qu’un ajout de 0 ne
modifie jamais la quantité.
5. Généraliser pour tous les nombres
Des questions adéquates lors d’autres situations similaires amènent l’élève
à généraliser que l’ajout de 0 à toute quantité ne change pas la quantité.
Les élèves développent aussi leur habileté à expliquer une situation d’égalité en ayant recours à des modèles. En effet, l’utilisation de modèles permet aux élèves de communiquer efficacement leur raisonnement.
Exemple
Pour expliquer l’expression 27 + 5 – 5 = 27, les élèves peuvent utiliser une droite numérique ouverte pour appuyer leur raisonnement : « J’effectue un bond de 27 et j’ajoute un bond de 5. Je refais un bond de 5 dans l’autre direction; je reviens donc à 27. C’est comme si je n’avais jamais ajouté un bond de 5. »
image Une
droite numérique allant de zéro à 32. Une flèche va de zéro à 27. Une seconde flèche est marquée « plus cinq », elle
pointe vers 32. Et autre flèche, marquée « moins cinq » revient à 27.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 41-42.
Habileté : créer une situation d’égalité
Pour amener les élèves à créer une situation d’égalité, il est important, au début, de leur présenter une situation d’égalité représentée à l’aide de matériel concret. Leur demander de la représenter à l’aide d’une phrase mathématique, de comparer les différentes phrases proposées par les élèves et de déterminer si elles sont toutes vraies.
Exemples
image Image, sous-titrée, « Situation d`égalité représentée avec du matériel concret. » Dans une assiette il y a un jeu, 3 reptiles en plastique, 4 loupes et 2 balles. » Image sous-titrée : « Phrases mathématiques pour représenter cette situation d’égalité. » Elle se lit comme suit : un plus 3, plus 4, plus 2 égale dix.Puis : dix égale 2, plus 4, plus 3, plus un.
Par la suite, les élèves peuvent créer leur propre situation d’égalité. Le personnel enseignant leur propose d’écrire des phrases mathématiques et de les représenter avec du matériel concret. Les élèves doivent avoir l’occasion de créer des situations d’égalité représentées par des phrases mathématiques composées de grands nombres afin qu’elles et ils utilisent les propriétés des opérations ou des stratégies au lieu de calculer.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 42-43.
Habileté : maintenir une situation d’égalité
En comparant des quantités à l’aide de matériel concret, les élèves explorent des situations d’équivalence. Afin de les inciter à approfondir leur raisonnement, le personnel enseignant peut leur poser la question ci-dessous dans le contexte d’un problème avec des cubes emboîtables :
- Si deux tours de six cubes sont formées et que j’en ajoute un à l’une des tours, que ferez-vous pour maintenir l’égalité entre les tours?
Par l’exploration et la manipulation, les élèves constateront que la même quantité doit nécessairement être ajoutée à l’autre tour pour maintenir l’égalité. La même démarche peut être suivie avec deux cadres à dix cases ou avec la balance à plateaux.
Par la suite, lorsque les élèves tentent de maintenir l’égalité d’une situation représentée par une phrase mathématique, il est important de leur demander si un nombre ajouté ou retiré d’un côté du signe = modifie la relation d’égalité entre les deux expressions et si oui, pourquoi en est-il ainsi?
Encore ici, l’exploration (l’ajout ou le retrait de nombres) leur permet de conclure que l’égalité est maintenue :
- si le nombre ajouté ou retiré d’un des deux côtés du signe = est 0;
19 + 33 + 0 = 35 + 17
- ou si le même nombre est ajouté ou retiré des deux côtés du signe =.
19 + 33 – 11 = 35 + 17 – 11
Apprendre à maintenir l’égalité est tout aussi important que d’apprendre à la rétablir. C’est par l’exploration concrète et fréquente de ces deux habiletés que les élèves manipuleront plus aisément les termes abstraits dans les expressions algébriques. Pour les élèves, l’acquisition des différentes habiletés liées aux relations d’égalité et, par conséquent d’inégalité, sert d’assise au développement de la pensée algébrique et à l’apprentissage de concepts plus symboliques et plus complexes.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 48.
Connaissance : relation d’équivalence
Une relation qui compare des quantités pour montrer qu’elles ont la même valeur.
Exemple
352 est équivalent à 350 et 2.
Source : En avant les maths!, 3e année, CM, Algèbre.
Exemples
- Représenter un nombre de différentes façons avec des réglettes.
- Représenter un nombre de différentes façons avec du matériel de base 10.
- Représenter un nombre de différentes façons avec un Rekenrek.
Connaissance : égalité
Relation entre deux quantités égales.
Connaissance : phrase mathématique
Représentation symbolique d’une relation. Dans une phrase mathématique, il n’y a pas de variable.
Exemple
Phrases vraies (égales) 75 + 5 = 5 + 75 ou 50 = 20 + 20 + 10
Phrases fausses (inégales) 100 = 95 – 5 ou 45 + 10 = 15 + 45
Connaissance : équation
Relation d’égalité qui comporte une ou plusieurs variables.
Exemple
20 + 44 = ____ + 20
a + b = 10