À vue d'oeil...

Avant l’apprentissage (mise en train)

Durée approximative : 40 minutes

Animer une discussion au sujet des énigmes afin que toutes et tous les élèves en saisissent bien le sens. Enchaîner en leur expliquant que, dans la présente situation d’apprentissage, elles et ils devront chercher à comprendre, à expliquer et à créer des énigmes de nombres.

Note : Dans les énigmes de nombres ci-dessous, le nombre de départ est limité aux nombres de 1 à 10 afin de restreindre la quantité de matériel de manipulation et de dessins nécessaires aux représentations. Cette restriction facilite aussi le calcul des opérations à effectuer à chaque étape de l’énigme. Toutefois, l’énigme s’applique à tous les nombres, petits ou grands.

Proposer aux élèves l’énigme ci-dessous et leur demander d’effectuer, à l’aide d’une feuille et d’un crayon, les opérations demandées à chacune des étapes :

1. Choisir un nombre naturel de 1 à 10.

1. Ajouter 6 à ce nombre.

1. Soustraire 3.

1. Ajouter 5.

1. Ajouter 2.

1. Soustraire 10.

Animer un échange pour faire ressortir le fait que le résultat correspond au nombre choisi au départ en posant des questions telles que :

• Que remarquez-vous? 
• Y a-t-il d’autres élèves qui ont noté cela avec d’autres nombres de départ? 
• Comment peut-on expliquer cette situation? 
• Y a-t-il des élèves qui n’ont pas obtenu leur nombre de départ comme résultat? 

Note : Il est possible qu’au cours de la discussion certaines et certains élèves soulèvent le fait que les quantités soustraites annulent les quantités additionnées; par exemple, une ou un élève pourrait dire que, tout le long de l’énigme, on a ajouté 13 et l’on a soustrait 13.

Cette observation est très intéressante, mais il faut amener les élèves à recourir à une représentation généralisée pour montrer, à l’aide d’une variable, que l’énigme fonctionne avec tous les nombres. Un modelage aide à faire ressortir le raisonnement algébrique utilisé pour résoudre l’énigme.

Afficher l’annexe 6.1 au tableau interactif ou reproduire l’annexe 6.1 sur une feuille grand format ou sur un tableau effaçable.

Montrer aux élèves un contenant opaque dans lequel vous aurez mis un certain nombre de cubes ou de jetons (3, par exemple) sans le dévoiler aux élèves. Leur préciser que le contenant représente la variable, puisqu’il contient un nombre d’objets inconnu. Représenter ensuite les opérations demandées à chacune des étapes en utilisant des cubes ou des jetons. Effectuer les ajouts ou les retraits à côté du contenant. Au fur et à mesure, illustrer chaque étape dans la colonne Représentation à partir d’une variable.

Exemples de représentations de la première énigme de nombres :

Image Tableau représentant les étapes, la représentation à partir d’un nombre choisi « 3 » et la représentation à partir d’une variable « rond ». Choisir un nombre de, un à dix, 3 bâtons, un rond. Ajouter 6, 9 bâtons, un rond et 6 bâtons. Soustraire 3, 6 bâtons, un rond et 3 bâtons. Ajouter 5, 11 bâtons, un rond et 8 bâtons. Ajouter 2, 13 bâtons, un rond et dix bâtons. Soustraire dix, 3 bâtons, un rond.

Modeler une deuxième fois la représentation de la première énigme de nombres, mais, cette fois-ci, en montrant le nombre d’objets dans le contenant (3 objets, par exemple). Représenter ce nombre dans la première case de la colonne Représentation à partir d’un nombre choisi (voir l’exemple précédent). Effectuer les ajouts et les retraits de manière à faire ressortir la quantité de cubes de départ. Au fur et à mesure, indiquer dans la colonne l’opération effectuée. Un tel modelage aide à établir un lien entre les deux représentations.

Présenter ensuite aux élèves la seconde énigme de nombres et leur demander d’effectuer, à l’aide d’une feuille et d’un crayon, les opérations demandées à chacune des étapes :

1. Choisir un nombre naturel de 1 à 5.

1. Doubler le nombre.

1. Ajouter 6.

1. Doubler la somme.

1. Soustraire 4.

1. Diviser par 4.

1. Soustraire 2.

Demander ensuite aux élèves de comparer leur nombre choisi au départ avec celui obtenu à la fin. Discuter des résultats.

Grouper les élèves en équipes de deux. Remettre aux équipes des cubes ou des jetons. Projeter au TBI l’annexe 6.2. Inviter les équipes à choisir un nombre de 1 à 5 et à représenter chaque étape de la seconde énigme de nombres à l’aide des cubes ou des jetons.

Inviter ensuite une équipe à venir montrer concrètement les étapes de l’énigme. Au fur et à mesure, reproduire sur le transparent ces étapes dans la colonne Représentation à partir d’un nombre choisi (voir exemple ci-dessous).

Remplir ensuite la colonne Représentation à partir d’une variable avec les élèves (voir l’exemple ci-dessous). Discuter de l’importance de cette étape pour vérifier si l’énigme fonctionne avec n’importe quel nombre qui est représenté par la variable (concrètement par le récipient, symboliquement par le carré).

Exemples de représentations de la seconde énigme de nombres :

Image Tableau représentant les étapes, la représentation à partir d’un nombre choisi « 2 » et la représentation à partir d’une variable « un carré ». Choisir un nombre de, un à dix, 2 bâtons, un carré. Doubler le nombre, 4 bâtons, 2 carrés. Ajouter 6, dix bâtons, 2 carrés et 6 bâtons. Doubler la somme, 20 bâtons, 4 carrés et 12 bâtons. Soustraire 4, 16 bâtons, 4 carrés et 8 bâtons. Diviser par 4, 4 bâtons, un carré et 2 bâtons. Soustraire 2, 2 bâtons, un carré.

Présenter au groupe-classe le problème de l’annexe 6.3 :

C’est à votre tour de créer une énigme de nombres dont le résultat correspond au nombre de départ. Votre énigme doit comprendre au moins six étapes, dont une impliquant la multiplication. Vous devrez la représenter à partir d’un nombre choisi et à partir de la variable.

S’assurer que la tâche à effectuer a été bien comprise en demandant à quelques élèves de l’expliquer en leurs propres mots.

Après l’apprentissage (objectivation/échange mathématique)

Durée approximative : 25 minutes

Demander aux équipes sélectionnées de venir, une à la fois, expliquer leur énigme de nombres et ses représentations.

Après chaque exposé, les autres élèves enrichissent l’échange mathématique en posant des questions et en faisant des observations pertinentes dans un climat de respect.

Intervenir, au besoin, en posant aux élèves des questions telles que :

• Comment pouvez-vous vous assurer que votre énigme de nombres fonctionne?
• Peut-on essayer l’énigme avec d’autres nombres?
• Cette séquence d’opérations fonctionne-t-elle avec tous les nombres?
• Si vous deviez créer une autre énigme, que feriez-vous autrement? Que feriez-vous de semblable?

Note : Le but de cette dernière question est de faire ressortir que l’utilisation de la variable, représentée par un carré, une tasse, un sac, etc., facilite la création de l’énigme. Insister sur le fait que l’utilisation d’une variable nous assure que l’énigme fonctionne avec tous les nombres. Rappeler aux élèves qu’un symbole a le même référent tout le long d’une même situation, donc tout le long de la séquence d’opérations.

Au fur et à mesure, faire ressortir les ressemblances et les différences entre certaines énigmes de nombres. Voici quelques constatations possibles :

• Plusieurs énigmes commencent par une addition.
• Certaines équipes ont effectué une division afin d’annuler une multiplication précédente.
• Dans certaines énigmes, une étape annule une étape précédente; par exemple, + 3, et un peu plus tard, − 3.
• L’addition augmente les quantités, tandis que la soustraction les diminue.
• Dans cette énigme, on ajoute 6 en une étape (par exemple, + 6), tandis que, dans l’autre, on le fait en deux étapes (par exemple, + 2, suivi de + 4).
• Lorsqu’on effectue une multiplication, il faut l’appliquer à toute la quantité précédente.

Différenciation pédagogique 
L’activité peut être modifiée pour répondre aux différents besoins des élèves.