C1.4 Créer et décrire des suites numériques comprenant des nombres naturels et des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes, et représenter des relations entre les nombres.
Activité 1 : Compter en chorale
Préalable
Avant de faire compter les élèves par bonds de deux dixièmes, animer une minileçon en comptant par bonds de un dixième.
Matériel
- tableau blanc ou une grande feuille
- stylos-feutres
- droite numérique, de 0 à 5, graduée en dixièmes (ou cadres à 10 cases où chaque case est considérée comme un dixième)
Marche à suivre
Rassembler les élèves et animer la minileçon.
Dire aux élèves qu’elles et ils vont compter par bonds de deux dixièmes en partant de 0 jusqu’à 5.
Allouer d’abord aux élèves une minute afin de réfléchir aux nombres à réciter.
Ensuite, commencer à compter en chorale à un rythme qui permet d’écrire les nombres. Il est possible de montrer aux élèves le visuel sur la droite numérique ou sur les cadres à 10 cases.
Écrire les nombres, comme montré ci-dessous, au fur et à mesure que les élèves les récitent (deux dixièmes, quatre dixièmes, six dixièmes, huit dixièmes).
0,2 0,4 0,6 0,8
Faire une pause à huit dixièmes et demander aux élèves de réfléchir au prochain nombre. Leur demander la façon de le prononcer et de l’écrire.
Note : Des élèves vont penser que le prochain nombre va s’écrire comme suit : 0,10.
Faire un PPP (pense-parle-partage).
Écrire 1 en prononçant dix dixièmes (\(\frac{10}{10}\)). Demander aux élèves la raison pour laquelle ce nombre s’écrit ainsi. (Le nombre dix dixièmes est UN TOUT. Cela s’illustre bien sur la droite numérique ou à l’aide d’un cadre à 10 cases rempli.)
0,2 0,4 0,6 0,8 1
Continuer jusqu’à cinq en écrivant les nombres sous la forme décimale afin de faire ressortir les relations entre eux.
0,2 0,4 0,6 0,8 1
1,2 1,4 1,6 1,8 2
2,2 2,4 2,6 2,8 3
3,2 3,4 3,6 3,8 4
4,2 4,4 4,6 4,8 5
Inviter les élèves à observer les nombres écrits après avoir compté par bonds de deux dixièmes jusqu’à cinq.
Demander aux élèves de communiquer leurs observations aux autres au sujet des nombres en faisant un PPP (pense-parle-partage).
Faire ressortir les relations qui ont été observées entre les nombres.
Voir quelques exemples :
Suggestion
Profiter de l’occasion pour faire le lien avec les fractions. Pour chaque nombre décimal récité, il est possible d’écrire la fraction correspondante; par exemple 0,2 → \(\frac{2}{10}\). Amener les élèves à comprendre que les nombres décimaux, en dixièmes, peuvent aussi être écrits sous forme de fractions dont le dénominateur est 10. L’écriture décimale et l’écriture fractionnaire d’un nombre représentent la même quantité.
Activité 2 : Une règle de régularité calculée
Développer le raisonnement algébrique chez l’élève en explorant les relations à l’aide d’une calculatrice.
Donner aux élèves la consigne suivante :
Appuyez sur les touches [1], [×], [10] et [=] ou [10 000], [÷ ], [10]
et [=]. Vous verrez le nombre 10 ou 1 000 s’afficher.
Faire découvrir aux élèves la relation entre les nombres qui s’affichent en leur posant les questions suivantes :
- Pouvez-vous prédire le prochain nombre avant d’appuyer sur la touche [=]?
- Que va-t-il arriver si vous appuyez sur la touche [=] trois autres fois?
Écrire, une à la fois, les suites numériques que les élèves ont explorées à l’aide de la calculatrice. 10, 100, 1 000, 10 000
10 000, 1 000, 100, 10, 1, 0,1
Représenter chaque terme de la suite (a) en utilisant du matériel de base 10. Si le matériel de base 10 est insuffisant, se servir de matériel virtuel.
Demander aux élèves d’observer ce qui arrive à la quantité de chaque terme des suites (a) et (b) en les comparant. (Le terme qui suit est toujours 10 fois plus grand dans la suite (a) et 10 fois plus petit dans la suite (b).)
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3e année, p. 66.
Activité 3 : Relations dans les nombres décimaux
Présenter aux élèves le scénario suivant :
Afin de bien comprendre les nombres décimaux, Malik représente un nombre décimal à l’aide de différentes opérations apparentées selon les valeurs de position.
- Décris les suites qu’a crées Malik en représentant la relation entre les nombres dans les opérations apparentées.
| 76,1 |
|---|
| 7 dizaines + 6 unités + 1 dixième |
| 6 dizaines + 16 unités + 1 dixième |
| 5 dizaines + 26 unités + 1 dixième |
| 4 dizaines + 36 unités + 1 dixième |
| 3 dizaines + 46 unités + 1 dixième |
| 2 dizaines + 56 unités + 1 dixième |
| 1 dizaine + 66 unités + 1 dixième |
| 0 dizaine + 76 unités + 1 dixième |
| 76,1 |
|---|
| 7 dizaines + 6 unités + 1 dixième |
| 7 dizaines + 5 unités + 11 dixièmes |
| 7 dizaines + 4 unités + 21 dixièmes |
| 7 dizaines + 3 unités + 31 dixièmes |
| 7 dizaines + 2 unités + 41 dixièmes |
| 7 dizaines + 1 unité + 51 dixièmes |
| 7 dizaines + 0 unité + 61 dixièmes |
Stratégie 1
Description des suites à l’aide de mots
- Dans cette suite, je remarque que lorsque les dizaines diminuent de 1, les unités augmentent de 10. Dans chaque dizaine, il y a 10 unités.
- Dans cette suite, je remarque que lorsque les unités diminuent de 1, les dixièmes augmentent de 10. Dans chaque unité, il y a 10 dixièmes.
Stratégie 2
Description d’une suite à l’aide de matériel de base 10
- Je représente les quatre premières égalités de la première série d’opérations apparentées à l’aide du matériel de base 10. Dans chaque dizaine, il y a 10 unités. Je remarque que lorsque les dizaines diminuent de 1, les unités augmentent de 10.
Image
Une représentation qui nous montre des blocs de centaines, des bâtons de dizaine et des cubes de, une unité. Il est
mentionné que dans la démarche représentée : - un bâton de dizaines est égal à un. - 7 dizaines deviennent 6 dizaines.
- 6 dizaines deviennent 5 dizaines. - 5 dizaines deviennent 4 dizaines. - 6 unités deviennent 16 unités. - 16 unités
deviennent 26 unités. - 26 unités deviennent 36 unités
- Je représente les quatre premières égalités de la deuxième série d’opérations apparentées à l’aide du matériel de base 10. Dans chaque unité, il y a 10 dixièmes. Je remarque que lorsque les unités diminuent de 1, les dixièmes augmentent de 10.
Image
Une représentation qui nous montre des blocs de centaines, des bâtons de dizaine et des cubes d’une unité. Il est
mentionné que dans la démarche représentée : - 6 unités deviennent 5 unités. - 5 unités deviennent 4 unités. - 4
unités deviennent 3 unités. - 1 dixième devient 11 dixièmes. - 11 dixièmes deviennent 21 dixièmes. - 21 dixièmes
deviennent 31 dixièmes
- Crée une série d’opérations apparentées d’addition et une série d’opérations apparentées de soustraction comprenant le nombre 76,1.
Stratégie
Création de séries d’opérations apparentées d’addition et de soustraction
| Addition | Soustraction |
|---|---|
| 76 + 0,1 = 76,1 | 76,1 – 1 = 75,1 |
| 75,9 + 0,2 = 76,1 | 76,1 – 0,9 = 75,2 |
| 75,8 + 0,3 = 76,1 | 76,1 – 0,8 = 75,3 |
| 75,7 + 0,4 = 76,1 | 76,1 – 0,7 = 75,4 |
| 75,6 + 0,5 = 76,1 | 76,1 – 0,6 = 75,5 |
| 75,5 + 0,6 = 76,1 | 76,1 – 0,5 = 75,6 |
| 75,4 + 0,7 = 76,1 | 76,1 – 0,4 = 75,7 |
| 75,3 + 0,8 = 76,1 | 76,1 – 0,3 = 75,8 |
| 75,2 + 0,9 = 76,1 | 76,1 – 0,2 = 75,9 |
| 75,1 + 1,0 = 76,1 | 76,1 – 0,1 = 75,10 |
Addition
Je remarque que lorsque le premier terme diminue de 0,1 et que le deuxième terme augmente de 0,1, j’obtiens toujours la même réponse tout le long de la série d’opérations apparentées.
Soustraction
Je remarque que lorsque le deuxième terme diminue de 0,1, la différence augmente de 0,1.
- c) Malik se demande s’il y a des régularités dans les tables de multiplication et de division. Crée une série d’opérations apparentées de multiplication et une série d’opérations apparentées de division d’un produit de ton choix.
Stratégie
Création de séries d’opérations apparentées de multiplication et de division
Multiplication
Je remarque que le produit est toujours 9 de plus que le produit précédent.
Division
Je remarque que le dividende est toujours 9 de plus que le dividende précédent.
Relation entre la multiplication et la division
Je remarque que la division est l’opération inverse de la multiplication. Il y a toujours les trois mêmes nombres.
Le produit de la multiplication devient le dividende de la division.
Le produit augmente toujours de 9 et le dividende augmente toujours de 9.
Le deuxième facteur augmente de 1 d’une multiplication à l’autre et le diviseur augmente de 1 d’une division à l’autre.
Source : En avant, les maths!, 4e année, CM, Algèbre, p. 9-13.