C2.3 Résoudre des équations qui comprennent des termes multiples, des nombres naturels et des nombres décimaux, dans divers contextes, et vérifier les solutions.
Habileté : résoudre des équations qui comprennent des termes multiples, des nombres naturels et des nombres décimaux, dans divers contextes
Dans Mettre l’accent sur le raisonnement algébrique M-12 (ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2013), il est expliqué que « […] de nombreux élèves ne reconnaissent pas que le signe égal indique une égalité » (p. 6), voire une équivalence entre deux expressions numériques. La « […] plupart des élèves ont interprété le symbole égal comme étant synonyme d’effectuer un calcul et [d’] inscrire la réponse après le symbole égal » (p. 6).
Cette idée relève d’une association faite avec l’arithmétique où souvent il est demandé à l’apprenante ou à l’apprenant d’évaluer des équations ayant la forme : a [signe d’opération] b = ?. De plus, l’utilisation de la calculatrice renforce cette idée, puisque la réponse est affichée lorsque l’élève appuie sur la touche « = ». Il est donc nécessaire de présenter aux élèves des situations arithmétiques qui leur demandent de vérifier si des égalités sont vraies ou fausses (par exemple, 14 + 3 = 16 + 1), ainsi que des égalités ayant des formes inhabituelles (17 = 3 + 14). Pour faciliter le passage du raisonnement arithmétique au raisonnement algébrique, les élèves doivent développer certaines habiletés relatives aux relations entre des quantités.
Habileté à reconnaître une situation d’égalité
« Reconnaître une situation d’égalité, c’est identifier que deux quantités ont la même valeur » (ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2008 a, p. 75). L’utilisation de matériel concret et semi-concret pour représenter une égalité facilite le transfert aux égalités représentées à l’aide de symboles. Si les élèves sont habiles à utiliser des dispositions rectangulaires, alors reconnaître une situation d’égalité et la démontrer à l’aide d’expressions algébriques devient plus concret pour elles et eux.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 26-27.
Habileté à maintenir une situation d’égalité
Maintenir une situation d’égalité, c’est opérer sur les quantités pour s’assurer de préserver l’égalité. En explorant diverses situations, les élèves constatent que, lorsqu’une quantité est ajoutée à un membre d’une égalité ou retirée de celui-ci, la même action doit s’effectuer sur l’autre membre de l’égalité. La balance à plateaux permet de visualiser ces actions.
Exemple
image Une balance de différentes tailles de perles. Première échelle : 2 grosses perles et 6 petites perles sur le côté gauche. 3 grosses perles et 2 petites perles sur le côté droit. 2 "x" plus 6 moins, 3 "x", plus 2. Balance 2 : 2 grosses perles sont enlevées du côté droit et du côté gauche de la balance. J'enlève 2 grosses billes de chaque côté de la balance, j'obtiens 6 égal "x" plus 2. Échelle 3 : 2 petites billes sont retirées du côté droit et du côté gauche de la balance.
Sans la représentation de la balance à plateaux, il est possible de résoudre l’équation de façon algébrique :
| \(2x + 6 = 3x + 2\) | |
|---|---|
| \(2x + 6 - 2x = 3x + 2 - 2x\) | J’enlève 2x de chaque côté du signe égal. |
| \(6 - 2 = x + 2 - 2\) | J’enlève 2 de chaque côté du signe égal. |
| \(4 = x\) | Je détermine la valeur de x. |
Comprendre le processus du maintien d’une situation d’égalité est une habileté très importante qui permet aux élèves de résoudre des équations à tous les cycles. Pour résoudre une équation, il faut regrouper les variables d’un côté et les nombres de l’autre, tout en maintenant l’équilibre entre le membre de gauche et le membre de droite.
Exemple
| \(4(x - 5) + 2x = 3x + 7\) | |
|---|---|
| \(4x - 20 + 2x = 3x + 7\) | J’utilise la propriété de distributivité. |
| \(\begin{align}4x + 2x - 20 + 20 &= 3x + 7 + 20 \\ 6x &= 3x + 27 \\ 6x - 3x &= 3x - 3x + 27 \\ 3x &= 27 \end{align} \) | Je regroupe les variables d’un côté et les nombres de l’autre, tout en maintenant l’équilibre entre le membre de gauche et le membre de droite. |
| \(\frac{3x}{3} = \frac{27}{3} \) | Je divise chaque côté par 3. |
| \(x = 9 \) | Je détermine la valeur de x. |
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 30-31.
Résolution d’équations par inspection et à l’aide du modèle de la balance
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Résolution d’équations à l’aide d'un logigramme
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Habileté : vérifier les solutions à la suite de la résolution d’équations
Une fois que l’élève a résolu une équation, prendre l’habitude de vérifier sa solution en insérant cette valeur dans l’équation initiale est une excellente pratique à adopter. L’élève doit tout simplement substituer la variable par cette valeur dans le membre de gauche (à gauche du signe d’égalité) et dans le membre de droite (à droite du signe d’égalité), puis déterminer si la même réponse est obtenue de chaque côté.
Connaissance : équation
Relation d’égalité qui comporte une ou plusieurs variables.
image 3 équations équivalentes : -Diamant, plus, trois, égale, 8 -Un, plus, carreau, plus carreau, égale, 11 -3, multiplié, pique, équivaut à, quatre, multiplié, triangle pointant par le bas, multiplié par carré. J'enlève 2 petites billes de chaque côté de la balance, j'obtiens 4 égal "x".
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.